Назад напред

Внимание! Визуализациите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от това произведение, моля, изтеглете пълната версия.

• Образователни: разширете разбирането на учениците за алгебрата на предложенията, запознайте ги с логическите операции и таблиците на истината.
• Развиващи се:
развиват способността на учениците да оперират с понятия и символи на математическата логика; продължете формирането на логическо мислене; развиват познавателна дейност; разширяване на хоризонтите на учениците.
• Образователни:
развиват способността да изразяват своето мнение; възпитават умения за самостоятелна работа.

ТИП УРОК: комбиниран урок - обяснение на нов материал с последващо затвърждаване на придобитите знания.

Продължителност на урока: 40 минути.

МАТЕРИАЛ И ТЕХНИЧЕСКА БАЗА:

• интерактивна дъска SmartBoard.
• Приложение MS Windows - PowerPoint 2007.
• Подготвена от учителя версия на електронния урок (презентация PowerPoint 2007).
• Картички за задания, подготвени от учителя.

ПЛАН НА УРОКА:

И. Организиране на времето- 1 минута.

II. Поставяне на целта на урока - 2 мин.

III. Актуализация на знанията - 9 мин.

IV. Представяне на нов материал - 15 мин.

V. Укрепване на изучения материал - 8 мин.

Ви. Размисъл „Непълни изречения“ - 3 мин.

Вии. Заключение. Домашна работа - 2 мин.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКОВЕТЕ

I. Организационен момент.

Поздрави, маркира отсъства от урока.

Слайд 1

Продължаваме да изучаваме раздела "Логически език"... Днес нашият урок е посветен на темата "Логически твърдения". Нека започнем работата с проверка домашна работа(четат се стихотворения на учениците, които съдържат много логически връзки (операции) и се прави заключението, че произволна информация може да се тълкува недвусмислено въз основа на логическата алгебра).

По този начин целта на нашия урок е да изучаваме логически операции и да открием, че произволната информация може да бъде тълкувана недвусмислено въз основа на алгебрата на логиката. Но първо трябва да прегледате материала, научен в последния урок.

III. Актуализация на знанията (челно проучване).

Задача 1. Работа с карти (дайте кратки отговори на поставените въпроси) .Наука, която изучава законите и формите на мислене. (Логики)

• Здравейте!
• Аксиомата не изисква доказателства.
• Вали.
• Каква е температурата навън?
• Рублата е валутата на Русия.
• Не можете лесно да извадите риба от езерото.
• Числото 2 не е делител на числото 9.
• Числото x не е повече от 2.

7. Определете истинността или невярността на твърдението:

• Информатика се изучава в курс на гимназия.
• "Е" е шестата буква в азбуката.
• Квадратът е ромб.
• Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.
• Ъглите на триъгълника се увеличават до 1900.
• 12+14 > 30.
• Пингвините живеят на северния полюс на Земята.
• 23+12=5*7.

И така, какво е поговорката? (Декларативно изречение, за което може да се каже, че е вярно или невярно.)

Какво е просто изявление? (Изявлението се нарича просто (елементарно), ако никоя част от него не е изявление.)

Какво е сложно изявление? (Сложното изявление се състои от прости изявления, свързани чрез логически съединители (операции).)

Задача 2.Изградете сложни твърдения от прости твърдения: „А = Петя чете книга“, „В = Петя пие чай“. (на екрана - слайд 2)

Нека продължим работата си.

Задача 3.В следните изявления подчертайте прости твърдения, като маркирате всеки с буква:

1. През зимата децата ходят на кънки или ски. (слайд 3)
2. Не е вярно, че слънцето се движи около земята. (слайд 4)
3. Числото 15 се дели на 3 тогава и само ако сумата от цифрите на 15 се дели на 3. (слайд 5)
4. Ако вчера беше неделя, тогава Дима вчера не беше на училище и цял ден се разхождаше. (слайд 6)

IV. Презентациянов материал.

В предишните задачи бяха използвани различни логически съединители: „и“, „или“, „не“, „ако: тогава:“, „ако и само ако:“. В алгебрата логиката, логическите съединители и съответните логически операции имат специални имена. Помислете за 3 основни логически операции - инверсия, конюнкция и дизюнкция, с които можете да получите сложни изявления. (слайд 7)

Всяка логическа операция се определя от таблица, наречена таблица на истината. Таблицата на истинността на логически израз е таблица, където всички възможни комбинации от стойности на оригиналните данни са записани от лявата страна, а стойността на израза за всяка комбинация е написана отдясно.

Отрицанието е логическа операция, която възлага на всяко просто (елементарно) изявление ново изявление, чието значение е противоположно на първоначалното. ( пързалка 8)

Помислете за правилото за конструиране на отрицание за просто изявление.

Правило:При конструиране на отрицание се използва просто изявление или словесният оборот „не е вярно, че“, или отрицанието е конструирано към предиката, тогава частицата „не“ се добавя към предиката, докато думата „всички“ е заменени с "някои" и обратно.

Задача 4.Конструирайте инверсия (отрицание) към просто изявление:

1. A = Имам компютър у дома. ( пързалка 9)
2. A = Всички момчета от 11 клас са отличници.
3. Дали ще бъде, е отричането на твърдението: „Всички момчета от 11 клас не са отличници“. ( пързалка 10)

Твърдението „Всички момчета в 11 клас не са отличници“ не е отрицание на твърдението „Всички момчета в 11 клас са отличници“. Твърденията „Всички млади мъже в 11 клас са отличници“ са неверни, а вярно твърдение трябва да бъде отрицание на невярно твърдение. Но поговорката „Всички млади мъже в 11 клас не са отличници“ не е вярна, тъй като сред учениците от 11 клас има както отличници, така и не отличници.

Отрицанието може да бъде представено графично като съвкупност. ( слайд 11)

Помислете за следващата логическа операция - свързване. Изявление, съставено от две изявления чрез комбинирането им с връзка „и“, се нарича свързване или логическо умножение (освен това се използват връзки - а, но въпреки това).

Съчетание- логическа операция, която свързва всеки два елементарни израза с ново изявление, което е вярно, ако и само ако и двете първоначални твърдения са верни. ( пързалка 12)

Съединението може да бъде представено графично като съвкупност. ( пързалка 13)

Помислете за следващата логическа операция - дизъюнкция. Изявление, съставено от две твърдения, обединени от връзка "или", се нарича дизъюнкция или логическо допълнение.

Разединение- логическа операция, която поставя в съответствие с всеки два елементарни твърдения ново изявление, което е невярно, ако и само ако и двете първоначални твърдения са неверни. ( пързалка 14)

Графично една дизъюнкция може да бъде представена като множество. ( пързалка 15)

И така, назовете трите основни операции, които сме научили. ( пързалка 16)

Нека се опитаме да приложим нови знания при извършване на тестова работа.

V. Затвърдяване на изучения материал (работа на дъската).

Задача 5. Свържете диаграмата и нейното обозначение. ( пързалка 17)

Задача 6. Има две прости твърдения: A = "Числото 10 е четно", B = "Вълкът е тревопасен." Съставете от тях всички възможни сложни твърдения и определете тяхната истина.

Отговор: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Задача 8. Дадени са две прости твърдения: A = "Рублата е валутата на Русия", B = "Гривна е валутата на Съединените щати". Какви са изказванията за истината?

4)A v B

Отговори: 1) 0; 2) 1; тридесет; 4) 1.

Ви. Отражение „Незавършени изречения“.

• Беше ми интересно в урока, защото:
• Най -много в урока ми хареса:
• Новото за мен беше:

Вии. Заключение. Домашна работа.

Оценява се работата на класа като цяло и на отделни ученици, отличили се в урока.

Домашна работа:

1) Научете основните определения, познайте нотацията.

2) Измислете прости твърдения. (Трябва да има общо 5 комплекта от две изявления). От тях съставете всякакви сложни твърдения, определете тяхната истина.

Списък на използваните материали:

1. Информатика и ИКТ. 10-11 клас. Ниво на профил. Част 1: 10 клас: учебник за учебни заведения / М.Е. Фиошин, А.А. Ressin - M.: Bustard, 2008
2. Математически основи на компютърните науки. Учебно ръководство / Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007 г.
3. Материали на учителя по информатика Поспелова Н.П., МОУ средно училище № 22, Сочи
4. Фрагменти от презентацията на учителя по компютърни науки Поляков К.Ю.

Изявлението е по -сложна формация от името. Когато разлагаме изявления на по -прости части, винаги получаваме определени имена. Да кажем, че поговорката „Слънцето е звезда“ включва имената „Слънце“ и „Звезда“ като части.

Неустойчивост- граматически правилно изречение, взето заедно със смисъла (съдържанието), изразено от него и е вярно или невярно.

Концепцията за изказване е една от оригиналните, ключови понятиялогика. Като такъв той не позволява точно определение, еднакво приложими в различните си раздели.

Твърдението се счита за вярно, ако описанието, дадено от него, отговаря на реална ситуация, и за невярно, ако не отговаря на него. „Истината“ и „лъжата“ се наричат ​​„стойности на истината на твърденията“.

От отделни изявления различни начиниможете да създавате нови изявления.

Например от твърденията „Вятърът духа“ и „Вали дъжд“ можете да формирате по -сложни изявления „Вятърът духа и вали“, „Или духа вятър, или вали“, „Ако вали, после духа вятър ”и т.н. ...

Поговорката се нарича просто,освен ако не включва други изказвания като свои части.

Изявлението се нарича Предизвиквамако е получено с помощта на логически съединители от други по -прости изявления.

Обмислете най -много важни начиниконструиране трудни изявления.

Отрицателно твърдениесе състои от първоначално изявление и отрицание, обикновено изразено с думите „не“, „не е вярно, че“. Следователно отрицателното твърдение е сложно изявление: то включва като своя част изявление, различно от него. Например отрицанието на изявлението „10 е четно число“ е твърдението „10 не е четно число“ (или: „Не е вярно, че 10 е четно число“).

Нека обозначим изявленията с буквите A, B, C, ... Пълният смисъл на концепцията за отричане на изявление се дава от условието: ако твърдение A е вярно, отрицанието му е невярно, а ако A е невярно, отрицанието му е вярно. Например, тъй като твърдението „1 е положително цяло число“ е вярно, неговото отрицание „1 не е цяло число положително число"Е невярно и тъй като" 1 е просто число "е невярно, отрицанието му" 1 не е просто число "е вярно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "и", дава сложно изявление, наречено съчетание... Изявленията, събрани по този начин, се наричат ​​„термини за свързване“.

Например, ако твърденията „Днес е горещо“ и „Вчера беше студено“ се комбинират по този начин, съединението „Днес е горещо и вчера беше студено“.

Съединението е вярно само ако и двете твърдения, включени в него, са верни; ако поне един от членовете му е невярен, тогава цялата връзка е невярна.

В обикновения език две твърдения са свързани чрез съединението „и“, когато са свързани помежду си по съдържание или значение. Характерът на тази връзка не е напълно ясен, но е ясно, че няма да разглеждаме съюза „Той носеше палто, а аз отидох в университет“ като израз, който има смисъл и може да бъде истина или лъжа. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е Голям град"Вярно ли е, не сме склонни да считаме за вярно тяхната връзка" 2 е просто число, а Москва е голям град ", тъй като съставните му изявления не са свързани по смисъл. Опростявайки значението на съюза и други логически съединители и отказвайки това от неясната концепция за „връзка на изявления по смисъл“, логиката прави смисъла на тези съединители по -широк и по -ясен.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "или" дава разединениетези изявления. Твърденията, които образуват дизъюнкцията, се наричат ​​„членове на дизъюнкцията“. .

Думата „или“ в ежедневния език има две различни значения. Понякога означава „едното или другото, или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например, казвайки „Този ​​сезон искам да отида Пиковата дама"Или" Аида "" позволява възможност за две посещения в операта. Изявлението „Учи в Москва или Ярославския университет“ предполага, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Извиква се първото значение на „или“ неизключителен.В този смисъл разделянето на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взето във втория, с изключение, или в строгия смисъл, разединението на две твърдения твърди, че едното твърдение е вярно, а другото е невярно.

Неизключителната дизюнкция е вярна, когато поне едно от твърденията, включени в нея, е вярно, и невярно само когато и двете условия са неверни.

Изключителното разединение е вярно, когато е вярно само едно от условията му, и е невярно, когато и двете условия са верни или и двете са неверни.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва в неизключителен смисъл.

Условно изявление -сложно твърдение, обикновено формулирано с помощта на съединителя „ако ..., тогава ...“ и установяващо, че едно събитие, състояние и т.н. е в един или друг смисъл основа или условие за друго.

Например: „Ако има огън, значи има и дим“, „Ако числото се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

Условно изявление се състои от две по -прости изявления. Този, към който думата "ако" е префикс, се нарича основа,или предшественик(предишен), изявлението, което идва след думата „това“, се нарича последица,или последващ(последващо).

При утвърждаването на условно изявление ние на първо място имаме предвид, че не може да се случи така, че казаното в основата му да се е случило, а казаното в следствието отсъства. С други думи, не може да се случи, че предшественикът е истина, а последствието е невярно.

По отношение на условно изявление обикновено се определят понятията за достатъчно и необходимо условие: предшественикът (причината) е достатъчно условие за последващото (следствие), а последващото е необходимо условиеза предшественика. Например истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най -добрата налична алтернатива“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най -добрата налична възможност и че изборът на такава възможност е необходимо условие за неговата рационалност.

Типична функция на условно изявление е да обоснове едно твърдение чрез позоваване на друго. Например, фактът, че среброто е електропроводимо, може да бъде оправдан чрез позоваване на факта, че то е метал: „Ако среброто е метал, то е електропроводимо“.

Трудно е да се характеризира връзката между обоснованото и оправданото (основания и последици), изразена с условно изявление общ изглед, и само понякога природата му е относително ясна. Тази връзка може да бъде, първо, връзка от логическо следствие, която се осъществява между предпоставките и заключението на правилния извод („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, то то е смъртно“); второ, по закона на природата ("Ако тялото е подложено на триене, то ще започне да се нагрява"); трето, чрез причинно -следствена връзка („Ако Луната е в възела на своята орбита на новолуние, слънчево затъмнение"); четвърто, социален модел, правило, традиция („Ако обществото се промени, човекът също се променя“, „Ако съветът е разумен, той трябва да се следва“) и т.н.

С връзката, изразена с условно изявление, обикновено се съчетава убеждението, че последицата с определена необходимост „следва“ от основата и че има някакъв общ закон, след като сме успели да формулираме това, логично бихме могли да изведем последствието от основата .

Например условното твърдение „Ако бисмутът е метал, той е пластмаса“, така или иначе, предполага общия закон „Всички метали са пластмаси“, което прави последствията от дадено твърдение логично следствие от неговия предшественик.

Както на обикновения език, така и на езика на науката, едно условно изявление, освен функцията за обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако искам , Ще си отрежа наметката ”); да се определи някаква последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година беше дъждовно“); изразявайте неверието в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа великата теорема на Ферма“); противопоставяне („Ако бъз расте в градината, тогава чичо живее в Киев“) и др. Множеството и разнородността на функциите на условното изявление значително усложнява неговия анализ.

Използването на условно изявление е свързано с определени психологически фактори. Обикновено ние формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият предшественик и последващи са верни или не. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако памучната вата е метална, тя е електропроводима“).

Условното изявление намира много широко приложениевъв всички области на разсъждения. В логиката тя се представя, като правило, посредством импликативно изявление, или последици... В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на „ако ... тогава ...“, освобождава я от влиянието на психологическите фактори.

Логиката се разсейва по -специално от факта, че връзката на основата и ефекта, характерни за условно изявление, в зависимост от контекста, могат да бъдат изразени с помощта не само на „ако ... тогава ...“ , но и други езикови средства.

Например „Тъй като водата е течна, тя прехвърля равномерно налягането във всички посоки“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, то би било електропроводимо“ и т.н. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката посредством импликация, въпреки че използването на „ако ... тогава ...“ в тях не би било напълно естествено.

Като утвърждаваме импликация, ние твърдим, че не може да се случи нейното основаване и ефектът отсъства. С други думи, едно заключение е невярно само ако основата му е вярна, а ефектът е лъжлив.

Това определение предполага, подобно на предишните дефиниции на съединители, че всяко твърдение е вярно или невярно и че стойността на истинността на сложно изявление зависи само от стойностите на истинността на неговите съставни изявления и от начина, по който са свързани.

Импликацията е вярна, когато основата и нейният ефект са верни или неверни; вярно е, ако основата му е невярна и ефектът е верен. Само в четвъртия случай, когато основата е вярна и последствието е невярно, импликацията е невярна.

Изводът не означава, че изявленията A и B са някак свързани помежду си по съдържание. Ако B е вярно, твърдението „ако A, тогава B“ е вярно независимо от това дали A е вярно или невярно и е свързано по смисъл с B или не.

Например следните твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, тогава два пъти две е равно на четири“, „Ако Волга е езеро, значи Токио е голямо село“ и т.н. Условно твърдение също е вярно когато A е невярно и в същото време отново, няма значение дали B е вярно или не и дали е свързано по съдържание с A или не. Твърденията са верни: „Ако Слънцето е куб, тогава Земята е триъгълник“, „Ако две по две е равно на пет, то Токио е малък град“ и т.н.

При обикновените разсъждения всички тези твърдения е малко вероятно да се считат за смислени, а още по -малко за верни.

Въпреки че импликацията е полезна за много цели, тя не е напълно в съответствие с конвенционалното разбиране за условна комуникация. Импликацията обхваща много важни характеристики на логическото поведение на условно изявление, но в същото време не е достатъчно адекватно описание на него.

През последния половин век бяха направени енергични опити за реформиране на теорията за импликацията. В случая не ставаше дума за отхвърляне на описаната концепция за импликация, а за въвеждане заедно с нея на друго понятие, което взема предвид не само истинните стойности на твърденията, но и тяхната връзка по съдържание.

Тясно свързано с импликацията еквивалентностпонякога наричан „двойно значение“.

Еквивалентност- сложно изявление „A ако и само ако B“, образувано от изявления A и B и разложено на две последици: „ако A, тогава B“ и „ако B, тогава A“. Например: "Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е конформален." Терминът „еквивалентност“ също означава връзката „… ако и само ако…“, с помощта на която дадено сложно изявление се формира от две твърдения. Вместо „ако и само ако“ за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите съединения са дефинирани от гледна точка на истината и лъжата, еквивалентността е вярна тогава и само ако и двете твърдения за нея имат еднаква стойност на истинността, тоест когато и двете са верни и двете са неверни. Съответно, еквивалентността е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

При разглеждане на методите за формиране на сложни изявления от прости, вътрешната структура на прости изявления не се взема предвид. Те бяха взети като неразградими частици само с едно свойство: да бъде вярно или невярно. Прости поговорки

не случайно понякога се наричат ​​атомни: от тях, както от елементарни тухли, с помощта на логически съединители „и“, „или“ и т.н., се конструират различни сложни („молекулярни“) изявления.

Сега трябва да се спрем на въпроса за вътрешна структураили вътрешната структура на самите прости изявления: от кои конкретни части са съставени и как тези части са свързани помежду си.

Трябва веднага да се подчертае, че простите твърдения могат да бъдат разложени на съставните им части по различни начини. Резултатът от декомпозицията зависи от целта, за която се извършва, тоест от концепцията за логическо заключение (логическо следствие), в рамките на която се анализират такива твърдения.

Специалният интерес към категоричните твърдения се дължи преди всичко на факта, че развитието на логиката като наука започва с изучаването на техните логически връзки. В допълнение, твърдения от този тип са широко използвани в нашите разсъждения. Обикновено се нарича теория за логическите връзки на категоричните твърдения силогистика.

Например в поговорката „Всички динозаври са изчезнали“ на динозаврите се приписва атрибутът „да изчезнат“. В решението „Някои динозаври са летели“ се приписва способността за летене определени видовединозаври. Изявлението „Всички комети не са астероиди“ отрича наличието на знака „да бъдеш астероид“ във всяка от кометите. Изявлението „Някои животни не са тревопасни” отрича някои животни да са тревопасни.

Ако пренебрегнем количествените характеристики, съдържащи се в категорично изявление и изразени с думите „всички“ и „някои“, тогава получаваме две версии на такива твърдения: положителна и отрицателна. Тяхната структура:

"S е P" и "S не е P",

където буквата S представлява името на елемента, за който въпросниятв изявление, а буквата P е името на характеристика, присъща или не присъща на този предмет.

Извиква се името на субекта, посочен в категорично изявление предмет, а името на неговата характеристика е предикат... Субектът и предикатът са кръстени условиякатегорични изявления и са свързани помежду си чрез пакетите "е" или "не е" ("е" или "не е" и т.н.). Например в изявлението „Слънцето е звезда“ термините са имената „Слънце“ и „звезда“ (първото от тях е предмет на изявлението, второто е неговият предикат) и думата „е“ е пакет.

Простите изявления от типа „S е (не е) P“ се наричат ​​атрибутивни: в тях се извършва приписването (присвояването) на някакво свойство на обект.

Атрибутивните твърдения се противопоставят на твърдения за отношения, в които отношенията се установяват между два или повече обекта: „Три по -малко от пет“, „Киев е повече от Одеса“, „Пролетта е по -добра от есента“, „Париж е между Москва и Ню Йорк "и др. Изявленията за взаимоотношенията играят съществена роля в науката, особено в математиката. Те не се свеждат до категорични твърдения, тъй като връзката между няколко обекта (като "равно", "обича", "по -топло", "е между" и т.н.) не се свежда до свойствата на отделните обекти. Един от съществените недостатъци на традиционната логика е, че тя счита преценките за взаимоотношения като свеждащи се до преценките за свойствата.

Категоричното изявление не само установява връзка между обект и признак, но и дава определена количествена характеристика на субекта на изявлението. В изявления като „All S е (не е) P“ думата „all“ означава „всеки от обектите на съответния клас“. В изявления като „Някои S са (не са) P“ думата „някои“ се използва в неизключителен смисъл и означава „някои, а може би всички“. В изключителен смисъл думата „някои“ означава „само някои“ или „някои, но не всички“. Разликата между двете значения на тази дума може да се демонстрира с примера на поговорката „Някои звезди са звезди“. В неизключителен смисъл това означава „Някои и вероятно всички звезди са звезди“ и очевидно е вярно. В изключителен смисъл това твърдение означава „Само няколко звезди са звезди“ и е очевидно невярно.

В категоричните изявления принадлежността на някои знаци към разглежданите обекти се потвърждава или отрича и се посочва дали говорим за всички тези обекти или за някои от тях.

По този начин са възможни четири типа категорични изявления:

Всички S са P - общо положително твърдение,

Някои S е P - конкретно утвърдително изявление,

Всички S не са P - като цяло отрицателно твърдение,

Някои S не са P - частично отрицателно твърдение.

Категоричните изявления могат да се разглеждат като резултати от заместването на някои имена в следните изрази с интервали (елипси): „Всичко ... е ...“, „Някои ... е…“, „Всичко ... не е ...“ и „Някои ... не е“ … ”. Всеки от тези изрази е логическа константа (логическа операция), която ви позволява да получите изявление от две имена. Например, замествайки имената „летящи“ и „птици“ вместо елипси, получаваме съответно следните твърдения: „Всички летящи са птици“, „Някои летящи птици са“,

Изводи

„Всички, които летят, не са птици“ и „Някои, които летят, не са птици“. Първото и третото твърдение са неверни, а второто и четвъртото са верни.

Изводи

„Човек, който може да мисли логично, може да направи извод за съществуването на Атлантическия океан или Ниагарския водопад с една капка вода, дори ако никога не е виждал нито едното, нито другото и никога не е чувал за тях ... По ноктите на човек, с ръце, обувки, сгъването на панталона си на коленете, по удебеляването на кожата на големия и показалец, по изражението на лицето и маншетите на ризата му - от такива дреболии е лесно да се отгатне професията му. И няма съмнение, че всичко това, взето заедно, ще подтикне компетентен наблюдател към правилните заключения. "

Това е цитат от основна статия на най -известния детектив и консултант в света, Шерлок Холмс. Въз основа на най -малките подробности той изгражда логически безупречни вериги от разсъждения и разкрива сложни престъпления, а често и от комфорта на апартамента си на Бейкър Стрийт. Холмс използва дедуктивен метод, който самият той създаде, който, както вярваше неговият приятел д -р Уотсън, постави разрешаването на престъпленията на ръба на точна наука.

Разбира се, Холмс донякъде преувеличава значението на дедукцията в съдебната медицина, но разсъжденията му за дедуктивния метод свършиха работа. „Приспадане“ от специален и известен само за няколко термина се е превърнал в често използвано и дори модерно понятие. Популяризирането на изкуството на правилното разсъждение и най -вече на дедуктивното разсъждение е не по -малка заслуга на Холмс от всички разкрити от него престъпления. Той успя да „придаде на логиката очарованието на една мечта, като си проправи път през кристалния лабиринт от възможни удръжки до един -единствен блестящ извод“ (В. Набоков).

Приспадането е специален случайизводи.

В широк смисъл извод -логическа операция, в резултат на която се получава ново твърдение от едно или няколко приети твърдения (предпоставки) - заключение (заключение, следствие).

В зависимост от това дали има връзка между предпоставките и заключението логично следствие, има два вида изводи.

В основата на дедуктивно заключениесъществува логически закон, по силата на който заключението с логическа необходимост следва от приетите предпоставки.

Отличителна чертатакова заключение е, че винаги води от истински предпоставки до истински извод.

V индуктивен изводвръзката между предпоставки и изводи се основава не на закона на логиката, а на някои фактически или психологически основи, които нямат чисто формален характер.

При такова заключение заключението не следва логически от предпоставките и може да съдържа информация, която отсъства в тях. Следователно надеждността на помещенията не означава надеждността на твърдението, получено от тях индуктивно. Индукцията дава само вероятни, или правдоподобно, заключения, изискващи допълнителна проверка.

Например, дедуктивните заключения включват:

Ако вали, земята е мокра. Вали.

Почвата е мокра.

Ако хелият е метал, той е електропроводим. Хелият не е електропроводим.

Хелият не е метал.

Линията, разделяща предпоставките от заключението, замества, както обикновено, думата „следователно“.

Примери за индукция са следните разсъждения:

Аржентина е република; Бразилия е република; Венецуела е република; Еквадор е република.

Аржентина, Бразилия, Венецуела, Еквадор са държави от Латинска Америка.

Всички латиноамерикански държави са републики .

Италия е република, Португалия е република, Финландия е република, Франция е република.

Италия, Португалия, Финландия, Франция - западноевропейски страни.

Всички западноевропейски държави са републики.

Индукцията не дава пълна гаранция за получаване на нова истина от съществуващите. Максимумът, за който може да се говори, е определена степен на вероятност за изведено твърдение. Така че предпоставките както на първия, така и на втория индуктивен извод са верни, но заключението на първото от тях е вярно, а второто е невярно. Всъщност всички латиноамерикански държави са републики; но сред западноевропейските страни има не само републики, но и монархии, например Англия, Белгия и Испания.

Изводи

Особено характерни удръжки са логическите преходи от общо познание към конкретно, като например:

Всички метали са пластични. Медта е метал.

Медта е пластична.

Във всички случаи, когато е необходимо да се разгледа определено явление въз основа на вече известно общо правилои за да направим необходимия извод във връзка с тези явления, разсъждаваме под формата на приспадане. Разсъждения, водещи от познания за част от обекти (частни знания) до знания за всички обекти от определен клас ( обща култура), са типични индукции. Винаги съществува възможност обобщението да бъде прибързано и неоснователно ("Наполеон е командир; Суворов е командир; следователно всеки човек е командир").

В същото време не може да се отъждествява приспадането с прехода от общото към частното и индукцията с прехода от частното към общото.

В дискурса „Шекспир пише сонети; следователно не е вярно, че Шекспир не е писал сонети ”, има приспадане, но няма преход от общото към частното. Мотивите „Ако алуминият е пластичен или глината е пластична, алуминият е пластичен“ е, както обикновено се смята, индуктивен, но няма преход от частното към общото.

Дедукцията е извеждането на заключения, които са също толкова надеждни, колкото приетите предпоставки, индукцията е извеждането на вероятните (правдоподобни) заключения. Индуктивните изводи включват както преходи от частното към общото, така и аналогия, методи за установяване на причинно -следствени връзки, потвърждаване на последствията, целенасочено оправдание и т.н.

Особеният интерес към дедуктивното разсъждение е разбираем. Те позволяват на човек да получи нови истини от съществуващите знания и освен това, с помощта на чисто разсъждение, без да прибягва до опит, интуиция, здрав разум и пр. Приспадането дава сто процента гаранция за успех и не просто предоставя една или друга - може би висока - вероятността за вярно заключение. Като започнем от истински предпоставки и разсъждаваме дедуктивно, определено ще получим надеждни знания във всички случаи.

Подчертавайки значението на дедукцията в процеса на развитие и утвърждаване на знанията, не бива обаче да ги отделяме от индукцията и да подценяваме последните. Почти всички общи разпоредби, включително научните закони, са резултатите от индуктивното обобщение. В този смисъл индукцията е в основата на нашите знания. Сам по себе си той не гарантира неговата истинност и валидност, но генерира предположения, свързва ги с опита и по този начин им придава известна правдоподобност, повече или по -малко висока степенвероятности. Опитът е източникът и основата на човешкото знание. Индукцията, като се започне от това, което се разбира в опита, е необходимо средство за неговото обобщение и систематизиране.

ЛОГИЧЕСКИ ЗАКОНИ

Глава

Понятието за логически закон

Логическите закони са в основата на човешкото мислене. Те определят кога други твърдения логично следват от някои твърдения и представляват онази невидима желязна рамка, върху която се държи последователно разсъждение и без която тя се превръща в хаотична, несвързана реч. Без логически закон е невъзможно да се разбере какво е логическо следствие и следователно какво е доказателство.

Правилното или, както обикновено казват, логическото мислене е мислене според законите на логиката, според онези абстрактни схеми, които са фиксирани от тях. Следователно важността на тези закони е ясна.

Хомогенните логически закони се комбинират в логически системи, които обикновено се наричат ​​и „логики“. Всеки от тях дава описание на логическата структура на определен фрагмент или тип на нашите разсъждения.

Например, законите, които описват логическите връзки на твърдения, които не зависят от вътрешната структура на последното, са комбинирани в система, наречена „логика на изявленията“. Логическите закони, които определят връзките на категоричните изявления, образуват логическа система, наречена „логика на категоричните твърдения“, или „силогистика“ и т.н.

Логическите закони са обективни и не зависят от волята и съзнанието на човек. Те не са резултат от споразумение между хората, някаква специално разработена или спонтанно оформена конвенция. Те не са продукт на някакъв „световен дух“, както някога е вярвал Платон. Силата на законите на логиката над човек, тяхната сила, която е задължителна за правилното мислене, се дължи на факта, че те представляват отражение в човешкото мислене на реалния свят и вековния опит от неговото познаване и трансформиране чрез човек.

Както всички други научни закони, логическите закони са универсални и необходими. Те действат винаги и навсякъде, като се простират еднакво за всички хора и за всяка епоха. Представители

Понятието за логически закон

различни нации и различни култури, мъже и жени, древни египтяни и съвременни полинезийци от гледна точка на логиката на техните разсъждения не се различават един от друг.

Необходимостта, присъща на логическите закони, е в известен смисъл дори по -спешна и неизменна от естествената или физическата необходимост. Невъзможно е дори да си представим, че логически необходимото е било различно. Ако нещо противоречи на законите на природата и е физически невъзможно, тогава никой инженер, въпреки цялата си дарба, няма да може да го осъзнае. Но ако нещо противоречи на законите на логиката и е логически невъзможно, тогава не само един инженер - дори и всемогъщото същество, ако изведнъж се появи, нямаше да може да го съживи.

Както бе споменато по -рано, при правилното разсъждение изводът следва от предположения с логическа необходимост, и обща схематакова разсъждение представлява логически закон.

Броят на правилните разсъждения (логически закони) е безкраен. Много от тези схеми са ни известни от практиката на разсъждения. Ние ги прилагаме интуитивно, без да осъзнаваме, че при всеки извод, който правим правилно, се използва един или друг логически закон.

Преди въвеждането обща концепциялогически закон, ще дадем няколко примера за схеми на разсъждения, които са логически закони. Вместо променливи A, B, C, ..., обикновено използвани за обозначаване на изявления, ще използваме, както беше направено в древността, думите „първи“ и „втори“, заменяйки променливите.

„Ако има първото, значи има и второто; има първото; следователно, има втори ".Тази схема на разсъждение позволява от изявлението на условно изявление ("Ако има първо, значи има и второ") и изявлението на неговото основание ("Има първо") до изявлението на последицата ("Там е секунда "). По -специално, следните разсъждения протичат по тази схема: „Ако ледът се нагрява, той се топи; ледът се нагрява; следователно се топи. "

Друга схема на правилно разсъждение: „Или първото се случва, или второто; има първото; така че няма втори ".Чрез тази схема, от две взаимно изключващи се алтернативи и установяване коя от тях се осъществява, се прави преход към отрицанието на втората алтернатива. Например: „Или Достоевски е роден в Москва, или е роден в Санкт Петербург. Достоевски е роден в Москва. Това означава, че не е вярно, че е роден в Санкт Петербург “. В американския уестърн „Добрият, лошият и грозният“ един лош човек казва на друг: „Не забравяйте, че светът е разделен на две части: тези, които държат револвера, и тези, които копаят. Сега имам револвера, така че вземете лопатата. " Това разсъждение се основава и на посочената схема.

И последен предварителен пример за логически закон или обща схема на правилно разсъждение: „Първото или второто се случва. Но първото го няма. Това означава, че второто се случва. "Нека заменим израза „първото“ с изявлението „Днес е ден“, а вместо с „второто“ - изявлението „Сега е нощта“. От абстрактната схема получаваме разсъжденията: „Сега е денят или сега е нощта. Но не е вярно, че е ден.

Значи е нощ. "

Това са някои прости схемиправилно разсъждение, илюстриращо концепцията за логически закон. Стотици и стотици такива схеми седят в главите ни, въпреки че ние не го осъзнаваме. Въз основа на тях разсъждаваме логично или правилно.

Закон на логиката (логически закон)- израз, който включва само логически константи и променливи вместо смислени части и е верен във всяка област на разсъждение.

Нека вземем за пример израз, състоящ се само от променливи и логически константи, израза: „Ако A, тогава B; тогава, ако не А, то не В. " Логическите константи тук са предложените съединители „ако, тогава“ и „не“. Променливите A и B представляват някои твърдения. Да кажем, че A е твърдението „Има причина“, а B е твърдението „Има следствие“. С това конкретно съдържание получаваме разсъжденията: „Ако има причина, значи има следствие; това означава, че ако няма ефект, значи няма и причина ”. Да предположим по -нататък, че вместо A се заменя изявлението „Числото се дели на шест“, а вместо B - „Числото се дели на три“. С това конкретно съдържание, въз основа на разгледаната схема, получаваме разсъжденията: „Ако числото е делимо на шест, то се дели на три. Следователно, ако едно число не се дели на три, то не се дели на шест. " Каквито и други твърдения да бъдат заменени с променливи A и B, ако тези твърдения са верни, тогава изводите, направени от тях, ще бъдат верни.

В логиката обикновено се прави резерва, че областта на обектите, за които се провеждат разсъжденията и за които говорят твърденията, заместени в логическия закон, не може да бъде празна: тя трябва да съдържа поне един обект. В противен случай разсъжденията по схема, която е закон на логиката, може да доведе от истински предпоставки до фалшив извод.

Например от истинските предпоставки „Всички слонове са животни“ и „Всички слонове имат хобот“, според закона на логиката, следва истинският извод „Някои животни имат хобот“. Но ако въпросната област на обектите е празна, спазването на закона на логиката не гарантира истинско заключение с истински предпоставки. Ще спорим по същата схема, но този път за златните планини. Нека направим заключение: „Всички златни планини са планини; всички златни планини са златни; следователно някои планини са златни. " И двете предпоставки на този извод са верни. Но заключението му „Някои планини са златни“ е очевидно невярно: не съществува нито една златна планина.

Понятието за логически закон

По този начин, за разсъждения, основани на закона на логиката, са характерни две характеристики:

Такива разсъждения винаги водят от истински предпоставки към верни заключения;

Следствието следва от предположения с логическа необходимост.

Логическият закон също се нарича логическа тавтология.

Логическа тавтология- израз, който остава верен, независимо за какви обекти става въпрос, или израз „винаги вярно“.

Например, всички резултати от замествания в логическия закон на двойното отрицание „Ако А, тогава не е вярно, че не А“ са верни твърдения: „Ако саждите са черни, тогава не е вярно, че не е черно“ , „Ако човек трепери от страх, тогава не е вярно, че не трепери от страх“ и т.н.

Както вече беше споменато, концепцията за логически закон е пряко свързана с понятието логическа последица: логически следва заключение от приетите предпоставки, ако е свързано с тях чрез логически закон. Например от предпоставките „Ако A, тогава B“ и „Ако B, тогава C“ логично следва заключението „Ако A, тогава C“, тъй като изразът „Ако A, тогава B и ако B, тогава C, тогава ако A, тогава C "е логически закон, а именно закон за преходността(транзитивност). Например от предпоставката „Ако едно лице е баща, то той е родител“ и „Ако едно лице е родител, то той е баща или майка“, съгласно този закон следва следствието „Ако човек е баща, значи е баща или майка. "

Логично проследяване- връзката между предпоставките и заключението на извода, чиято обща схема е логически закон.

Тъй като връзката на логическите последствия се основава на логически закон, тя се характеризира с две характеристики:

Логичното следване води от истински предпоставки само до истински извод;

Изводът, който следва от предпоставките, следва от тях с логическа необходимост.

Не всички логически закони директно определят концепцията за логическа последица. Има закони, които описват други логически връзки: "и", "или", "не е вярно, че" и т.н., и са само косвено свързани с връзката на логическите последствия. Това е по -специално законът за противоречие, разгледан по -долу: „Не е вярно, че произволно взето изявление и

Умните мисли идват само когато вече са направени глупави неща.

Само тези, които правят абсурдни опити, могат да постигнат невъзможното. Алберт Айнщайн

Добрите приятели, добрите книги и спящата съвест са идеалният живот. Марк Твен

Не можете да се върнете назад във времето и да промените старта си, но можете да започнете сега и да промените финала.

При по -внимателно разглеждане по принцип ми става ясно, че тези промени, които изглежда ще дойдат с течение на времето, по същество не се променят: променя се само моето виждане за нещата. (Франц Кафка)

И въпреки че има голямо изкушение да минете по два пътя едновременно, не можете да играете с една и съща колода карти и с дявола, и с Бога ...

Оценявайте тези, с които можете да бъдете себе си.
Без маски, пропуски и амбиции.
И се грижи за тях, те са ти изпратени от съдбата.
В крайна сметка в живота ви има само няколко от тях.

За утвърдителен отговор е достатъчна само една дума - „да“. Всички други думи са предназначени да казват „не“. Дон Аминадо

Попитайте човека: „Какво е щастието?“ и ще разберете какво му липсва най -много.

Ако искате да разберете живота, спрете да вярвате на това, което казват и пишат, но наблюдавайте и чувствайте. Антон Чехов

Няма нищо по -разрушително, непоносимо на света от бездействието и чакането.

Сбъднете мечтите си, работете върху идеи. Тези, които ви се смееха преди, ще започнат да завиждат.

Записите съществуват, за да ги счупят.

Не е нужно да губите време, но инвестирайте в него.

Историята на човечеството е история на сравнително малък брой хора, които вярват в себе си.

Доведохте се до ръба? Не виждате ли причина да живеете повече? Значи вече сте близо ... Близо до решението да достигнете дъното, да се отблъснете от него и завинаги да решите да бъдете щастливи. Така че не се страхувайте от дъното - използвайте го ....

Ако сте честни и ясни, хората ще ви измамят; все пак бъди честен и откровен.

Човек рядко успява в нещо, ако заниманието му не му доставя радост. Дейл Карнеги

Ако поне един цъфтящ клон остане в душата ви, пееща птица винаги ще седи на нея. (Източна мъдрост)

Един от законите на живота казва, че щом една врата се затвори, друга се отваря. Но цялата беда е, че гледаме заключената врата и не обръщаме внимание на отворената. Андре Жид

Не съдете човек, докато не говорите лично с него, защото всичко, което чувате, е слух. Майкъл Джексън.

Първо те игнорират, после ти се присмиват, после се бият с теб, после печелиш. Махатма Ганди

Човешкият живот се разделя на две половини: през първата половина те се стремят напред към втората, а през втората - обратно към първата.

Ако не правите нищо сами, как можете да получите помощ? Можете да шофирате само движеща се кола

Всичко ще бъде. Само когато решите да го направите.

В този свят можете да търсите всичко освен любовта и смъртта ... Самите те ще ви намерят, когато дойде времето.

Вътрешното удовлетворение въпреки заобикалящия свят на страдание е много ценен актив. Шридхар Махарадж

Започнете сега да живеете живота, който бихте искали да го видите в края. Марк Аврелий

Трябва да живеем всеки ден, както в последния момент. Нямаме репетиция - имаме живот. Не започваме в понеделник - живеем днес.

Всеки момент от живота е друга възможност.

Година по -късно ще погледнете света с други очи и дори това дърво, което расте близо до къщата ви, ще ви се стори различно.

Не е нужно да търсите щастие - трябва да бъдете. Ошо

Почти всяка история на успеха, която познавам, започва с човек, легнал на гръб, победен от провал. Джим Рон

Всяко дълго пътуване започва с едно, от първата стъпка.

Никой не е по -добър от теб. Никой не е по -умен от теб. Те просто започнаха по -рано. Брайън Трейси

Този, който тича, пада. Този, който пълзи, не пада. Плиний Стари

Достатъчно е само да разберете, че живеете в бъдещето и веднага ще се озовете там.

Избирам да живея, а не да съществувам. Джеймс алън хетфийлд

Когато оценявате това, което имате, и не живеете в търсене на идеали, тогава наистина ще станете щастливи.

Само тези, които са по -лоши от нас, мислят лошо за нас, а тези, които са по -добри от нас, просто не зависят от нас. Омар Хаям

Понякога едно обаждане ни разделя от щастието ... Един разговор ... Едно признание ...

Признавайки слабостта си, човек става силен. Онре Балзак

Този, който смирява духа си, е по -силен от този, който завладява градовете.

Когато се появи шанс, трябва да го вземете. И когато сте грабнали, постигнали успех - наслаждавайте се. Почувствайте радостта. И нека всички около вас смучат маркуч, защото бяха кози, когато не ви дадоха нито стотинка. И тогава - махай се. Красив. И оставете всички в шок.

Никога не се обезсърчавайте. И ако вече сте изпаднали в отчаяние, тогава продължете да работите в отчаяние.

Решаващата крачка напред е резултат от добър удар отзад!

В Русия трябва да бъдеш известен или богат, за да бъдеш третиран по същия начин, както се отнася към всеки в Европа. Константин Райкин

Всичко зависи само от вашето отношение. (Чък Норис)

Никакви разсъждения не могат да покажат на човека пътя, по който той не иска да види Ромен Роланд

Това, в което вярвате, се превръща във ваш свят. Ричард Матесън

Добре е там, където не сме. Вече не сме в миналото и затова изглежда красиво. Антон Чехов

Богатите стават по -богати, защото се научават да се справят с финансовите трудности. Те ги виждат като възможност за учене, израстване, развитие и забогатяване.

Всеки има свой ад - не е задължително да е огън и катран! Нашият ад е пропилян живот! Къде мечтите могат да дойдат

Няма значение колко работиш, основното е резултатът.

Само мама има най -привързаните ръце, най -нежната усмивка и най -любящото сърце ...

Победителите в живота винаги мислят в духа: мога, искам, аз съм. Губещите, от друга страна, фокусират разпръснатите си мисли върху това, което биха могли да направят, могат или не могат да направят. С други думи, победителите винаги поемат отговорност върху себе си, а губещите обвиняват обстоятелствата или други хора за своите провали. Дениз Уейтли.

Живот - бавно се качваш на планината, слизаш бързо. Гай дьо Мопасан

Хората толкова се страхуват да направят крачка към нов живот, че са готови да затворят очи за всичко, което не им подхожда. Но е още по -лошо: да се събудиш един ден и да осъзнаеш, че всичко не е наред, не това, не онова следващото ... Бернард Шоу

Приятелството и доверието нито се купуват, нито се продават.

Винаги, във всяка минута от живота си, дори когато сте абсолютно щастливи, имайте едно мислене по отношение на хората около вас: - Във всеки случай ще правя каквото искам, със или без теб.

В света само човек може да избира между самотата и вулгарността. Артър Шопенхауер

Човек трябва само да гледа на нещата по различен начин и животът ще тече в различна посока.

Iron говореше така на магнита: най -вече те мразя, защото привличаш, нямаш достатъчно сили да се влачиш със себе си! Фридрих Ницше

Знайте как да живеете, когато животът стане непоносим. Н. Островски

Картината, която виждате в ума си, в крайна сметка ще се превърне в живота ви.

„Първата половина от живота си се питаш на какво си способен, но втората - и кой има нужда от това?“

Никога не е късно да си поставите нова цел или да намерите нова мечта.

Контролирайте съдбата си, или някой друг ще го направи.

да видиш красотата в грозното,
да видиш наводненията на реки в потоците ...
който знае как да бъде щастлив в ежедневието,
той наистина щастлив човек! Е. Асадов

Мъдрецът беше попитан:

Колко вида приятелство има?

Четири, отговори той.
Приятелите са като храна - имате нужда от тях всеки ден.
Има приятели, като медицината, търсиш ги, когато се чувстваш зле.
Има приятели, като болест, те самите те търсят.
Но има приятели като въздуха - те не се виждат, но винаги са с вас.

Ще стана човекът, който искам да стана, ако вярвам, че ще стана. Ганди

Отворете сърцето си и слушайте за какво мечтае. Следвайте мечтата си, защото само чрез някой, който не се срамува от себе си, славата на Господ ще се прояви. Пауло Куелю

Няма да се страхувате да бъдете опровергани; човек трябва да се страхува от нещо друго - да бъде разбран погрешно. Имануел Кант

Бъдете реалисти - изисквайте невъзможното! Че Гевара

Не отлагайте плановете си, ако навън вали.
Не се отказвайте от мечтите си, ако хората не вярват във вас.
Ходете противно на природата, хора. Ти си човек. Ти си силен.
И помнете - няма непостижими цели - има висок коефициент на мързел, липса на изобретателност и запас от оправдания.

Или вие създавате света, или светът създава вас. Джак Никълсън

Обичам, когато хората се усмихват просто така. Например, отивате в автобус и виждате човек, който гледа през прозореца или изпраща текстови съобщения и се усмихва. Чувствам се толкова добре в душата ми. И аз самият искам да се усмихвам.

Изявлението е по -сложна формация от името. Когато разлагаме изявления на по -прости части, винаги получаваме определени имена. Да кажем, че поговорката „Слънцето е звезда“ включва имената „Слънце“ и „Звезда“ като части.

Казвайки -граматически правилно изречение, взето заедно със изразеното от него значение (съдържание) и което е вярно или невярно.

Концепцията за изказване е едно от първоначалните, ключови понятия на съвременната логика. Като такъв, той не допуска точно определение, което да е еднакво приложимо в различните си раздели.

Твърдението се счита за вярно, ако описанието, дадено от него, отговаря на реална ситуация, и за невярно, ако не отговаря на него. „Истината“ и „лъжата“ се наричат ​​„стойности на истината на твърденията“.

От отделни изявления можете да изграждате нови изявления по различни начини. Например от твърденията „Вятърът духа“ и „Вали дъжд“ можете да формирате по -сложни изявления „Вятърът духа и вали“, „Или духа вятър, или вали“, „Ако вали, после духа вятър ”и т.н.

Поговорката се нарича просто,ако не включва други изявления като негови части.

Поговорката се нарича сложно,ако е получено с помощта на логически съединители от други по -прости изявления.

Помислете за най -важните начини за изграждане на сложни изявления.

Отрицателно твърдениесе състои от първоначално изявление и отрицание, обикновено изразено с думите „не“, „не е вярно, че“. Следователно отрицателното твърдение е сложно изявление: то включва като своя част изявление, различно от него. Например отрицанието на изявлението „10 е четно число“ е твърдението „10 не е четно число“ (или: „Не е вярно, че 10 е четно число“).

Нека обозначим изявленията с букви A, B, C,... Пълният смисъл на концепцията за отричане на изявление се дава от условието: ако изявлението Ае вярно, отрицанието му е невярно и ако Аневярно, отричането му е вярно. Например, тъй като твърдението „1 е положително цяло число“ е вярно, неговото отрицание „1 не е положително цяло число“ е невярно, и тъй като „1 е просто число“ е невярно, отрицанието му „1 не е просто число ”Е вярно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "и", дава сложно изявление, наречено съчетание.Изявленията, събрани по този начин, се наричат ​​„термини за свързване“.

Например, ако твърденията „Днес е горещо“ и „Вчера беше студено“ се комбинират по този начин, съединението „Днес е горещо и вчера беше студено“.

Съединението е вярно само ако и двете твърдения, включени в него, са верни; ако поне един от членовете му е невярен, тогава цялата връзка е невярна.

В обикновения език две твърдения са свързани чрез съединението „и“, когато са свързани помежду си по съдържание или значение. Характерът на тази връзка не е напълно ясен, но е ясно, че няма да разглеждаме съюза „Той носеше палто, а аз отидох в университет“ като израз, който има смисъл и може да бъде истина или лъжа. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е голям град“ са верни, ние не сме склонни да считаме съвпадът им „2 просто число и Москва е голям град“ да бъде истина, тъй като твърденията които ги правят не са свързани по смисъл. Опростявайки значението на съюза и други логически съединители и отхвърляйки неясната концепция за „свързване на изявления по значение“, логиката прави смисъла на тези съединители по -широк и по -определен.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "или" дава разединениетези изявления. Твърденията, които образуват дизюнкция, се наричат ​​„членове на дизъюнкцията“.

Думата „или“ в ежедневния език има две различни значения. Понякога означава „едното или другото, или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например, изявлението „Този ​​сезон искам да отида в Пиковата дама или Аида позволява възможността за две посещения на хонра. В изявлението „Учи в Москва или Ярославския университет“ се подразбира, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Извиква се първото значение на „или“ неизключителен.В този смисъл разделянето на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взето във втория, с изключениеили в строг смисъл, разединението на две твърдения твърди, че едно от твърденията е вярно, а другото е невярно.

Неизключителната дизюнкция е вярна, когато поне едно от твърденията, включени в нея, е вярно, и невярно само когато и двете условия са неверни.

Изключителното разединение е вярно, когато е вярно само едно от условията му, и е невярно, когато и двете условия са верни или и двете са неверни.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва *** в неизключително значение.

Условно изявление -сложно изявление, обикновено формулирано с помощта на връзката „ако ..., тогава ...“ и установяващо това едно събитие, състояние и т.н. е в един или друг смисъл основа или условие за друг.

Например: „Ако има огън, значи има и дим“, „Ако числото се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

Условно изявление се състои от две по -прости изявления. Този, към който думата "ако" е префикс, се нарича основа,или предшественик(предишен), изявлението, което идва след думата „това“, се нарича последица,или последващ(последващо).

При утвърждаването на условно изявление ние на първо място имаме предвид, че не може да се случи така, че казаното в основата му да се е случило, а казаното в следствието отсъства. С други думи, не може да се случи, че предшественикът е истина, а последствието е невярно.

По отношение на условно изявление обикновено се определят понятията за достатъчно и необходимо условие: предшественик (причина) е достатъчно условие за последствие (последица), а последствие е необходимо условие за предшественик. Например истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най -добрата налична алтернатива“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най -добрата налична възможност и че изборът на такава възможност е необходимо условие за неговата рационалност.

Типична функция на условно изявление е да обоснове едно твърдение чрез позоваване на друго. Например, фактът, че среброто е електропроводимо, може да бъде оправдан чрез позоваване на факта, че то е метал: „Ако среброто е метал, то е електропроводимо“.

Връзката между обоснованото и обоснованото (основания и последици), изразена с условно изявление, е трудно да се характеризира в общи линии и само понякога естеството на това е относително ясно. Тази връзка може да бъде, първо, връзка от логическо следствие, която се осъществява между предпоставките и заключението на правилния извод („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, то то е смъртно“); второ, по закона на природата ("Ако едно тяло е подложено на триене, то ще започне да се нагрява"); трето, по причинно -следствена връзка („Ако Луната е в възела на своята орбита на новолуние, настъпва слънчево затъмнение“); четвърто, социален модел, правило, традиция и т.н. („Ако се промени обществото, се променя и човекът“, „Ако съветът е разумен, той трябва да се спазва“).

С връзката, изразена с условно изявление, обикновено се съчетава убеждението, че последицата с определена необходимост „следва“ от основата и че има някакъв общ закон, след като сме успели да формулираме това, логично бихме могли да изведем последствието от основата .

Например условното твърдение „Ако бисмутът е метал е пластмаса“, така или иначе, предполага общия закон „Нито един от металите не е пластмаса“, което прави последствията от това твърдение логично следствие от неговия предшественик.

Както на обикновения език, така и на езика на науката, едно условно изявление, освен функцията за обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако искам , Ще си отрежа наметката ”); поправете всяка последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година беше дъждовно“); изразявайте неверието в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа великата теорема на Ферма“); противопоставяне („Ако бъз расте в градината, тогава чичо живее в Киев“) и т.н. Множеството и хетерогенността на функциите на условното изявление значително усложнява неговия анализ.

Използването на условно изявление е свързано с определени психологически фактори. По този начин обикновено формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият предшественик и последващ са верни или не. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако памучната вата е метална, това не е електрически проводник“).

Условното изявление намира много широко приложение във всички области на разсъждения. В логиката тя се представя, като правило, посредством импликативно изявление,или последици.В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на „ако ... тогава ...“, освобождава я от влиянието на психологическите фактори.

Логиката се абстрахира по -специално от факта, че връзката на основата и ефекта, която е характерна за условно изявление, в зависимост от контекста, може да бъде изразена с помощта на ns само „ако ... тогава ...“, но и други езикови средства. Например „Тъй като водата е течна, тя прехвърля равномерно налягането във всички посоки“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, то би било електропроводимо“ и т.н. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката посредством импликация, въпреки че използването на „ако ... тогава ...“ в тях не би било напълно естествено.

При утвърждаването на импликация ние твърдим, че не може да се случи нейното основаване и ефектът да отсъства. С други думи, заключението е невярно само когато причината е вярна и ефектът е фалшив.

Тази дефиниция предполага, подобно на предишните дефиниции на съединители, че всяко твърдение е или вярно, или невярно и че стойността на истинността на сложно изявление зависи само от истинните стойности на съставните му изявления и от начина, по който те са свързани.

Импликацията е вярна, когато основата и нейният ефект са верни или неверни; вярно е, ако основата му е невярна и ефектът е верен. Само в четвъртия случай, когато основата е вярна и последствието е невярно, импликацията е невярна.

Изводът не означава, че твърденията Аи Vпо някакъв начин свързани помежду си по съдържание. Ако е вярно Vказвайки „ако А,тогава V "е вярно независимо дали Авярно или невярно и е свързано по смисъл с Vили не.

Например следните твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, тогава два пъти две е равно на четири“, „Ако Волга е езеро, значи Токио е голямо село“ и т.н. Условното твърдение е вярно и когато Аневярно, и пак безразлично, вярно Vили не, и е свързано по съдържание с Аили не. Следните твърдения са верни: „Ако Слънцето е куб, тогава Земята е триъгълник“, „Ако два пъти две е равно на пет, тогава Токио е малък град“ и т.н.

При обикновените разсъждения всички тези твърдения е малко вероятно да се считат за смислени, а още по -малко за верни.

Въпреки че импликацията е полезна за много цели, тя не е напълно в съответствие с конвенционалното разбиране за условна комуникация. Импликацията обхваща много важни характеристики на логическото поведение на условно изявление, но в същото време не е достатъчно адекватно описание на него.

През последния половин век бяха направени енергични опити за реформиране на теорията за импликацията. В случая не ставаше дума за отхвърляне на описаната концепция за импликация, а за въвеждане заедно с нея на друго понятие, което взема предвид не само истинните стойности на твърденията, но и тяхната връзка по съдържание.

Тясно свързано с импликацията еквивалентност,понякога наричан „двойно значение“.

Еквивалентността е сложно изявление „А ако и само ако В“, образувано от твърденията на Лей В и разложено на две последици: „ако А,след това B "и" ако B, тогава А ".Например: "Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е конформален." Терминът "еквивалентност" също означава връзката "... ако и само ако ...", с помощта на която дадено сложно изявление се формира от две твърдения. Вместо „ако и само ако“ за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите съединители са дефинирани от гледна точка на истината и лъжата, еквивалентността е вярна тогава и само ако и двете твърдения за нея имат еднаква стойност на истинност, т.е. когато и двете са верни или и двете са неверни. Съответно, еквивалентността е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

Пропозиционна логика , наричана още логика на предложението, е клон на математиката и логиката, който изучава логическите форми на сложни изявления, изградени от прости или елементарни твърдения, използващи логически операции.

Логиката на твърденията е разсеяна от значимото натоварване на изявленията и изучава тяхната истинност, тоест дали твърдението е вярно или невярно.

Снимката по -горе е илюстрация на явление, известно като Парадокс на лъжеца. В същото време, според автора на проекта, подобни парадокси са възможни само в среди, които не са свободни от политически проблеми, където някой априори може да бъде маркиран като лъжец. В естествен многопластов свят нататък темата за „истина“ или „лъжа“ се оценява само за отделни твърдения ... И по -нататък в този урок ще бъдете представени възможността да се оценят по този въпрос много изявления (и след това вижте правилните отговори). Включително сложни изявления, в които по -простите са свързани чрез признаци на логически операции. Но първо нека разгледаме тези операции върху самите изявления.

Пропозиционната логика се използва в компютърните науки и програмирането под формата на обявяване на логически променливи и присвояване им на логически стойности „false“ или „true“, от които зависи ходът на по -нататъшното изпълнение на програмата. В малки програми, в които е включена само една булева променлива, тази булева променлива често получава име като "флаг" и се приема, че е "повдигнат флаг", когато стойността на тази променлива е "вярно" и "флагът е изключен", когато стойността на тази променлива е невярна. В големите програми, в които има няколко или дори много булеви променливи, от професионалистите се изисква да измислят имена на булеви променливи, които имат формата на изявления и смислово натоварванекоето ги отличава от другите булеви променливи и разбираемо за други професионалисти, които ще прочетат текста на тази програма.

По този начин може да се декларира логическа променлива с името "UserRegistered" (или нейният англоезичен аналог), която има формата на изявление, на което може да се присвои булева стойност "true", ако са изпълнени условията, че данните за регистрацията е изпратена от потребителя и тези данни се разпознават като подходящи от програмата. При по -нататъшни изчисления стойностите на променливите могат да се променят в зависимост от това коя булева стойност („true“ или „false“) има променливата „UserRegistered“. В други случаи на променлива, например с името "UntilDaysHOutMore than ThreeDays", може да се присвои стойността "True" до определен блок изчисления и в хода на по -нататъшното изпълнение на програмата тази стойност може да бъде запазени или променени на „false“, а ходът на по -нататъшното изпълнение зависи от стойността на тази променлива.

Ако една програма използва няколко логически променливи, чиито имена са под формата на изявления, и от тях са изградени по -сложни, тогава е много по -лесно да се разработи програма, ако преди да я разработим, запишем всички операции от изразите в форма на формули, използвани в логиката на изявленията, отколкото правим в хода на този урок и нека го направим.

Логически операции върху изявления

За математически твърдения винаги можете да избирате между две различни алтернативи „вярно“ и „невярно“, а за твърдения, направени на „словесен“ език, понятията „истина“ и „лъжа“ са малко по -неясни. Въпреки това, например, словесни форми като „Върни се вкъщи“ и „Дъжд ли вали?“ Не са изказвания. Следователно е ясно, че изявленията са такива словесни форми, в които е посочено нещо ... Въпросителни или възклицателни изречения, обжалвания, както и желания или искания не са изявления. Те не могат да бъдат оценени със значенията „вярно“ и „невярно“.

Твърденията, от друга страна, могат да се разглеждат като количество, което може да приеме две значения: „вярно“ и „невярно“.

Например са дадени следните преценки: „кучето е животно“, „Париж е столицата на Италия“, „3

Първото от тези твърдения може да бъде оценено със символа „вярно“, второто - „невярно“, третото - „истина“ и четвъртото - „невярно“. Това тълкуване на предложенията е предмет на алгебрата на предложенията. Ще обозначаваме изявленията с големи размери с латински букви А, Б, ..., и техните стойности, тоест съответно вярно и невярно Ии L... В обикновената реч се използват връзки между изявленията „и“, „или“ и други.

Тези връзки позволяват, свързвайки различни изявления помежду си, да образуват нови изявления - трудни изказвания ... Например, куп "и". Нека бъдат дадени изявленията: " π повече от 3 "и казвайки" π по -малко от 4 ". Можете да организирате ново - сложно изявление" π повече от 3 и π по -малко от 4 ". Казвайки" ако π ирационално, значи π ² също е ирационален “се получава чрез свързване на две твърдения с връзката„ ако - тогава. “Накрая можем да получим от всяко изявление ново - сложно изявление - като отречем първоначалното изявление.

Считайки изявленията за количества, приемащи стойности Ии L, ще дефинираме допълнително логически операции върху изявления които ви позволяват да получите нови от тези изявления - сложни твърдения.

Нека бъдат дадени две произволни твърдения Аи Б.

1 ... Първата логическа операция върху тези твърдения - свързването - е образуването на ново изявление, което ще обозначим А ∧ Би което е вярно, ако и само ако Аи Бса верни. В обикновената реч тази операция съответства на връзката на изказванията чрез връзката „и“.

Таблица на истината за свързване:

2 ... Втората логическа операция върху изявления Аи Б- дизюнкция, изразена като А ∨ Б, се дефинира, както следва: вярно е тогава и само ако поне едно от първоначалните изявления е вярно. В обикновената реч тази операция съответства на комбинацията от изказвания с връзката „или“. Тук обаче нямаме разделяне "или", което се разбира в смисъла на "или-или" кога Аи Би двете не могат да бъдат верни. В дефиницията на логиката на изявленията А ∨ Бвярно, ако само едно от твърденията е вярно и ако и двете твърдения са верни Аи Б.

Таблица на истината за разделяне:

3 ... Третата логическа операция върху изявления Аи Бизразено като А → Б; така полученото твърдение е невярно тогава и само тогава Авярно, и Бневярно. АНаречен колет , Б - последица и изявлението А → Б - следване , наричан още импликация. В обикновената реч тази операция съответства на съюза „ако - тогава“: „ако А, тогава Б". Но в дефиницията на логиката на твърденията това твърдение винаги е вярно, независимо дали твърдението е вярно или невярно. Б... Това обстоятелство може да се формулира накратко по следния начин: „всичко следва от невярно“. На свой ред, ако Авярно, и Бневярно, след това цялото твърдение А → Бневярно. Ще бъде вярно, ако и само ако и А, и Бса верни. Накратко, тя може да бъде формулирана по следния начин: „невярно не може да следва от истината“.

Таблица на истината за следното (значение):

4 ... Четвъртата логическа операция върху изявления, по -точно върху едно изявление, се нарича отрицание на изявлението Аи се обозначава с ~ А(можете също да намерите използването не на символа ~, а на символа ¬, както и на горния предел над А). ~ Аима поговорка, която е невярна, когато Авярно и вярно, когато Аневярно.

Таблица на истината за отрицание:

5 ... И накрая, петата логическа операция върху изявления се нарича еквивалентност и се обозначава А ↔ Б... Полученото изявление А ↔ Бе вярно твърдение, ако и само ако Аи Би двете са верни или и двете са неверни.

Таблица на истината за еквивалентност:

Повечето езици за програмиране имат специални символи за обозначаване на логически стойности на изявления, те са написани на почти всички езици като вярно и невярно.

Нека обобщим горното. Пропозиционна логика изучава връзки, които са напълно определени от начина, по който някои твърдения се изграждат от други, наречени елементарни. В този случай елементарните изявления се разглеждат като цяло, а не се разлагат на части.

Нека систематизираме в таблицата по -долу имената, обозначенията и значението на логическите операции върху изявления (скоро ще се нуждаем от тях отново за решаване на примери).

За логическите операции следното е правилно законите на логическата алгебракоето може да се използва за опростяване на булевите изрази. Трябва да се отбележи, че в логиката на изказванията те са отклонени от семантичното съдържание на твърдението и се ограничават до разглеждането му от позицията, че то е или вярно, или невярно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7);

2) Не (15;

3) ("Бор" = "дъб") ИЛИ ("череша" = "клен");

4) Не ("Pine" = "Дъб");

5) (Не (15 20);

6) ("Очите се дават да виждат") И ("Под третия етаж е вторият етаж");

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7 * 5 = 20).

1) Стойността на израза в първите скоби е „вярно“, стойността на израза във вторите скоби също е вярна. И двете твърдения са свързани чрез логическата операция "И" (вижте правилата за тази операция по -горе), следователно логическото значение на цялото това изявление е "вярно".

2) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предхожда от логическата операция на отрицание, следователно логическият смисъл на цялото дадено изявление е „истина“.

3) Значението на изявлението в първите скоби е „невярно“, значението на изявлението във вторите скоби също е „невярно“. Изявленията са свързани чрез логическа операция "ИЛИ" и никое от тях няма стойността "true". Следователно логическият смисъл на цялото това твърдение е „невярно“.

4) Значението на твърдението в скоби е „невярно“. Това твърдение се предхожда от логическата операция на отрицание. Следователно логичният смисъл на цялото това твърдение е „истина“.

5) В първите скоби изявлението във вътрешните скоби се отрича. Това твърдение във вътрешните скоби има значението на „невярно“, следователно неговото отрицание ще има логическото значение на „вярно“. Изявлението във вторите скоби има значението „невярно“. Тези две твърдения са свързани чрез логическата операция "И", тоест се получава "вярно И невярно". Следователно логическият смисъл на цялото дадено изявление е „невярно“.

6) Значението на изявлението в първите скоби е „вярно“, значението на изявлението във вторите скоби също е „вярно“. Тези две твърдения са свързани чрез логическата операция „И“, тоест се получава „истина И истина“. Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е „истина“.

7) Значението на твърдението в първите скоби е „вярно“. Значението на твърдението във вторите скоби е "невярно". Тези две твърдения са свързани чрез логическата операция "ИЛИ", тоест се получава "вярно ИЛИ невярно". Следователно логическият смисъл на цялото дадено твърдение е „истина“.

Пример 2.Запишете следните сложни изявления, като използвате логически операции:

1) „Потребителят не е регистриран“;

2) „Днес е неделя и някои служители са на работа“;

3) „Потребителят е регистриран тогава и само ако данните, изпратени от потребителя, се окажат валидни.“

1) стр- единично изявление "Потребителят е регистриран", логическа операция :;

2) стр- едно изявление „Днес е неделя“, q- „Някои служители са на работа“, логическа операция :;

3) стр- едно изявление „Потребителят е регистриран“, q- "Данните, изпратени от потребителя, са валидирани", логическа операция :.

Решете сами примерите за логиката на изявленията и след това вижте решенията

Пример 3.Изчислете логическите стойности на следните изявления:

1) ("Има 70 секунди в минута") ИЛИ ("Работният часовник показва часа");

2) (28> 7) И (300/5 = 60);

3) („Телевизия - електроуред") И (" Стъкло - дърво ");

4) Не ((300> 100) ИЛИ ("Жаждата може да бъде утолена с вода"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4.Използвайки логически операции, запишете следните сложни изявления и изчислете техните логически стойности:

1) "Ако часовникът показва часа неправилно, тогава не можете да дойдете на час в грешното време";

2) „В огледалото можете да видите своето отражение и Париж е столицата на САЩ“;

Пример 5.Определете логическата стойност на израза

(стр → q) ↔ (r → с) ,

стр = "278 > 5" ,

q= "Apple = Orange",

стр = "0 = 9" ,

с= "Шапка покрива главата".

Формули на логическата логика

Концепцията за логическата форма на сложно изявление се изяснява с помощта на концепцията формули за логика на предложението .

В примери 1 и 2 се научихме да пишем сложни изявления, използвайки логически операции. Всъщност те се наричат ​​формули на логиката на предложението.

За да обозначим изявления, както в горния пример, ще продължим да използваме буквите

стр, q, r, ..., стр 1 , q 1 , r 1 , ...

Тези букви ще играят ролята на променливи, които приемат стойностите на истината „true“ и „false“ като стойности. Тези променливи се наричат ​​още променливи на предложението. Ще им се обадим допълнително елементарни формули или атоми .

За конструиране на формули за логиката на изявленията, в допълнение към горните букви, се използват признаци на логически операции

~, ∧, ∨, →, ↔,

както и символи, които осигуряват възможност за еднозначно четене на формули - лява и дясна скоба.

Концепция формули за логика на предложението дефинираме по следния начин:

1) елементарни формули (атоми) са формули на логиката на предложението;

2) ако Аи Б- формули на логиката на изявленията, тогава ~ А , (А ∧ Б) , (А ∨ Б) , (А → Б) , (А ↔ Б) също са формули на логиката на изявленията;

3) само тези изрази са формули на логиката на предложенията, за които следва от 1) и 2).

Определението на формула за логика на предложение съдържа изброяване на правилата за формиране на тези формули. Според дефиницията всяка формула на логиката на предложението е или атом, или е образувана от атоми в резултат на последователното прилагане на правило 2).

Пример 6.Нека бъде стр- едно изявление (атом) „Всички рационални числа са реални“, q- „Някои реални числа са рационални числа“, r- „някои рационални числа са реални“. Преобразувайте следните формули на логиката на изявленията под формата на словесни изявления:

6) .

1) "няма реални числа, които да са рационални";

2) "ако не всички рационални числа са реални, тогава няма рационални числа, които са реални";

3) "ако всички рационални числа са реални, тогава някои реални числа са рационални числа, а някои рационални числа са реални";

4) "всички реални числа са рационални числа и някои реални числа са рационални числа и някои рационални числа са реални числа";

5) „всички рационални числа са реални тогава и само ако не е така, че не всички рационални числа са реални“;

6) „няма къде да бъде, че няма къде да бъде, че не всички рационални числа са реални и няма реални числа, които са рационални или няма рационални числа, които са реални.“

Пример 7.Направете таблица на истинността за формула на логическата пропозиция , които в таблицата могат да бъдат обозначени е .

Решение. Започваме да съставяме таблица на истинността, като записваме стойностите ("true" или "false") за единични изявления (атоми) стр , qи r... Всички възможни стойности се записват в осем реда на таблицата. Освен това, определяйки стойностите на импликационната операция и придвижвайки се надясно по таблицата, не забравяйте, че стойността е равна на „невярно“, когато „невярно“ следва от „истина“.

Обърнете внимание, че нито един атом няма формата ~ А , (А ∧ Б) , (А ∨ Б) , (А → Б) , (А ↔ Б). Сложните формули имат тази форма.

Броят на скобите във формулите на логиката на предложението може да бъде намален, като се приеме, че

1) в сложна формулаще пропуснем външната двойка скоби;

2) нека подредим признаците на логически операции „по старшинство“:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В този списък ↔ има най -големия обхват и ~ има най -малкия. Обхватът на операционния знак се разбира като онези части от формулата на логическата пропозиция, към които се прилага разглежданото възникване на този знак (към които действа). По този начин е възможно във всяка формула да се пропуснат тези двойки скоби, които могат да бъдат възстановени, като се вземе предвид "редът на приоритет". И при възстановяване на скоби първо се поставят всички скоби, свързани с всички появявания на знака ~ (в този случай се движим отляво надясно), след това до всички появявания на ∧ и т.н.

Пример 8.Поправете скобите във формулата за логика на предложението Б ↔ ~ ° С ∨ д ∧ А .

Решение. Скобите се възстановяват стъпка по стъпка, както следва:

Б ↔ (~ ° С) ∨ д ∧ А

Б ↔ (~ ° С) ∨ (д ∧ А)

Б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А))

(Б ↔ ((~ ° С) ∨ (д ∧ А)))

Не всяка формула за логическа логика може да бъде написана без скоби. Например във формулите А → (Б → ° С) и ~ ( А → Б) по -нататъшното премахване на скобите не е възможно.

Тавтологии и противоречия

Логическите тавтологии (или просто тавтологии) са такива формули на логиката на предложенията, че ако буквите са произволно заменени с предложения (вярно или невярно), тогава резултатът винаги ще бъде вярно предложение.

Тъй като истинността или невярността на сложните твърдения зависи само от значенията, а не от съдържанието на твърдения, всяко от които съответства на определена буква, проверката дали дадено твърдение е тавтология може да бъде заместена по следния начин. В изследвания израз стойностите 1 и 0 (съответно „вярно“ и „невярно“) се заменят на мястото на буквите по всички възможни начини, а логическите стойности на изразите се изчисляват с помощта на логически операции. Ако всички тези стойности са равни на 1, тогава изследваният израз е тавтология и ако поне едно заместване дава 0, това не е тавтология.

Така формулата на логиката на предложението, която приема стойността „true“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула, се нарича идентично с истинската формула или тавтология .

Обратното значение има логическо противоречие. Ако всички стойности на изявленията са равни на 0, тогава изразът е логическо противоречие.

Така формулата на логиката на предложението, която приема стойността „false“ за всяко разпределение на стойностите на атомите, включени в тази формула, се нарича идентично невярна формула или противоречие .

В допълнение към тавтологиите и логическите противоречия, има формули на логиката на изявленията, които не са нито тавтологии, нито противоречия.

Пример 9.Създайте таблица на истинността за формулата на логическата пропозиция и определете дали това е тавтология, противоречие или нито едно от двете.

Решение. Съставяме таблица на истината:

В стойностите на импликацията не откриваме ред, в който от „истината“ следва „невярно“. Всички значения на първоначалното изявление са равни на "истина". Следователно тази формула на логиката на предложението е тавтология.