Прости кавички. Прости и сложни твърдения

Раздели на сайта

Избор на редакторите:

Изявлението е по-сложна формация от име. Когато разлагаме твърдения на по-прости части, винаги получаваме определени имена. Да кажем, че поговорката „Слънцето е звезда“ включва имената „Слънце“ и „Звезда“ като свои части.

Казвайки - граматично правилно изречение, взето заедно със значението (съдържанието), изразено от него и което е вярно или невярно.

Концепцията за изказ е една от оригиналните, ключови понятия модерна логика. Като такова не позволява точно определение, еднакво приложими в различните му раздели.

Твърдението се счита за вярно, ако даденото от него описание отговаря на реална ситуация и за невярно, ако не отговаря на него. „Истина“ и „лъжа“ се наричат \u200b\u200b„стойности на истината на твърденията“.

От отделни твърдения различни начини можете да създавате нови изявления. Например от изявленията „Вятърът духа“ и „Вали дъжд“ можете да формирате по-сложни изявления „Духа вятър и вали“, „Или вятърът духа, или вали“, „Ако вали, после духа вятър ”и т.н.

Поговорката се нарича просто, ако не включва други твърдения като части от него.

Поговорката се нарича сложно, ако се получава с помощта на логически свързващи елементи от други по-прости твърдения.

Помислете за най-много важни начини конструиране трудни изказвания.

Отрицателно твърдение се състои от първоначално твърдение и отрицание, обикновено изразено с думите „не“, „не е вярно, че“. По този начин отрицателното твърдение е сложно твърдение: то включва като своя част изявление, различно от него. Например отрицанието на твърдението „10 е четно число“ е изявлението „10 не е четно число“ (или: „Не е вярно, че 10 е четно число“).

Нека обозначим изявленията с букви A, B, C, ... Пълният смисъл на понятието за отричане на изявление се дава от условието: ако изявлението И е вярно, отрицанието му е невярно и ако И false, отричането му е вярно. Например, тъй като твърдението „1 е положително цяло число“ е вярно, отрицанието му „1 не е цяло число положително число„Е фалшив и тъй като„ 1 е просто число “е фалшиво, отрицанието му„ 1 не е просто число “е вярно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "и", дава сложен израз, наречен съчетание. Изявленията, съставени по този начин, се наричат \u200b\u200b„термини за съвпад“.

Например, ако изявленията „Днес е горещо“ и „Вчера беше студено“ се комбинират по този начин, съединението „Днес е горещо и вчера беше студено“.

Съединението е вярно само ако и двете твърдения, включени в него, са верни; ако поне един от членовете му е фалшив, тогава целият конюнкция е фалшив.

В обикновения език две твърдения са свързани чрез съединението "и", когато са свързани помежду си по съдържание или значение. Природата на тази връзка не е напълно ясна, но е ясно, че не бихме разглеждали съвкупността „Той носеше палто, а аз отидох в университет“ като израз, който има значение и може да бъде вярно или невярно. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е голям град„Вярно ли е, ние не сме склонни да считаме за истина тяхната съвкупност„ 2 е просто число, а Москва е голям град “, тъй като съставните изявления не са свързани помежду си по значение. Опростявайки значението на съвпад и други логически връзки и отхвърляйки неясната концепция за „връзка на твърдения чрез смисъл“, логиката прави значението на тези съединения едновременно по-широко и по-определено.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "или" дава дизюнкция тези твърдения. Изявленията, които образуват дизюнкция, се наричат \u200b\u200b„членове на дизюнкцията“.

Думата „или“ в ежедневния език има две различни значения. Понякога това означава „едното или другото, или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например, казвайки „Този \u200b\u200bсезон искам да отида“ Пиковата дама„Или„ Аида “позволява възможността за две посещения на хонрата. В изявлението „Той учи в Москва или Ярославския университет“ се подразбира, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Нарича се първото значение на „или“ неизключителен. Взето в този смисъл, разграничаването на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взето във втория, с изключение или в строгия смисъл, разделянето на две твърдения твърди, че едното от твърденията е вярно, а другото е невярно.

Неекслузивната дизюнкция е вярна, когато поне едно от включените в нея твърдения е вярно, а невярно само когато и двете от условията й са неверни.

Изключителната дизюнкция е вярна, когато само едно от условията й е вярно, и е невярно, когато и двете от условията са верни или и двете са неверни.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва в неизключителен смисъл.

Условна декларация - сложно изявление, обикновено формулирано с помощта на връзката "ако ..., тогава ..." и установяващо това едно събитие, състояние и т.н. е, в един или друг смисъл, основа или условие за друг.

Например: „Ако има огън, значи има дим“, „Ако числото се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

Условното твърдение се състои от две по-прости изрази. Извиква се този, на който думата „ако“ е с префикс основа, или предшественик (предишен), извиква се изявлението, което идва след думата „това“ следствие, или последващо (последващо).

Като твърдим условно твърдение, ние преди всичко имаме предвид, че не може да бъде така, че казаното в неговата основа да се е случило и това, което е казано в следствието, да отсъства. С други думи, не може да се случи предшественикът да е верен, а последващият да е невярен.

По отношение на условно твърдение обикновено се дефинират понятията за достатъчно и необходимо условие: антецедентът (причината) е достатъчно условие за последващото (следствие) и последващото е необходимо условие за предшественика. Например, истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най-добрата налична алтернатива“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най-добрата налична възможност и че изборът на такава възможност е необходимо условие за неговата рационалност.

Типична функция на условния израз е да оправдае едно твърдение чрез препратка към друго твърдение. Например фактът, че среброто е електропроводимо, може да бъде оправдано, като се позовава на факта, че е метал: „Ако среброто е метал, то е електропроводимо“.

Връзката между обосноваващото и обоснованото (основания и последици), изразена с условно изложение, е трудно да се характеризира в общ изглед, и само понякога природата е относително ясна. Тази връзка може да бъде, на първо място, връзка на логическо следствие, което се осъществява между помещенията и заключението на правилното заключение („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, значи е смъртна“); второ, по природния закон („Ако едно тяло е подложено на триене, то ще започне да се нагрява“); трето, чрез причинно-следствена връзка („Ако Луната на новолуние е във възела на своята орбита, слънчево затъмнение"); четвърто, социален модел, правило, традиция и т.н. („Ако обществото се промени, човекът също се променя“, „Ако съветът е разумен, той трябва да бъде спазен“).

С връзката, изразена с условно твърдение, обикновено се комбинира убеждението, че последицата с определена необходимост "следва" от основата и че съществува определен общ закон, след като е успял да формулира кой, бихме могли логично да изведем последицата от основа.

Например, условното твърдение „Ако бисмутът е метал е пластмаса“, както предполага, предполага общия закон „Нито един от металите не е пластмаса“, което прави следствието от това твърдение логична последица от неговия предшественик.

Както на обикновения език, така и на езика на науката, условното твърдение, освен функцията за обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако искам , Ще си отрежа наметалото ”); коригирайте всяка последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година беше дъждовно“); изразява недоверие в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа великата теорема на Ферма“); опозиция („Ако в градината расте бъз, тогава чичо живее в Киев“) и др. Множествеността и хетерогенността на функциите на условното твърдение значително усложнява неговия анализ.

Използването на условно твърдение е свързано с определени психологически фактори. По този начин ние обикновено формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият предшественик и последващ са верни или не. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако ватата е метална, това не е електрическа жица“).

Условното твърдение намира много широко приложение във всички области на разсъжденията. В логиката той е представен, като правило, чрез импликативно изявление, или последици. В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на „ако ... тогава ...“, освобождава го от влиянието на психологически фактори.

Логиката се разсейва, по-специално, от факта, че връзката между основата и ефекта, която е характерна за условно изказване, в зависимост от контекста, може да бъде изразена с помощта на ns само "ако ... тогава ...", но и други езикови средства. Например „Тъй като водата е течна, тя предава равномерно налягането във всички посоки“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, то би било електропроводимо“ и т.н. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката посредством импликация, въпреки че използването на „ако ... тогава ...“ в тях не би било напълно естествено.

Като твърдим импликация, ние твърдим, че не може да се случи основаването му и ефектът да отсъства. С други думи, импликацията е фалшива само когато причината е вярна, а ефектът е фалшив.

Тази дефиниция приема, подобно на предишните дефиниции на свързващи вещества, че всяко твърдение е или вярно, или невярно и че истинността на сложното твърдение зависи само от стойностите на истинността на съставните му твърдения и от начина, по който са свързани.

Импликацията е вярна, когато и нейната основа, и нейният ефект са верни или неверни; вярно е, ако основата му е фалшива и ефектът е верен. Само в четвъртия случай, когато основата е вярна и следствието е невярно, подтекстът е невярен.

Импликацията не означава, че твърденията И и IN някак си свързани помежду си по съдържание. Ако е вярно IN казвайки „ако И, тогава В " вярно, независимо дали И вярно или невярно и е свързано по смисъл с IN или не.

Например твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, тогава два пъти два е четири“, „Ако Волга е езеро, то Токио е голямо село“ и т.н. Условното твърдение също е вярно, когато И фалшив, и пак безразличен, верен IN или не и е свързано по съдържание с И или не. Следните твърдения са верни: „Ако Слънцето е куб, тогава Земята е триъгълник“, „Ако два пъти два са равни на пет, то Токио е малък град“ и т.н.

В обикновените разсъждения е малко вероятно всички тези твърдения да се разглеждат като значими и още по-малко като верни.

Въпреки че импликацията е полезна за много цели, тя не е напълно съвместима с конвенционалното разбиране за условната комуникация. Импликацията обхваща много важни характеристики на логическото поведение на условния израз, но в същото време не е достатъчно адекватно описание на него.

През последния половин век се правят енергични опити за реформиране на теорията за импликацията. В случая не ставаше дума за отхвърляне на описаната концепция за импликация, а за въвеждане заедно с нея на друга концепция, която отчита не само истинността на изказванията, но и тяхната връзка по съдържание.

Тясно свързано с импликацията еквивалентност, понякога наричан "двойно внушение".

Еквивалентността е сложно твърдение „А ако и само ако В“, образувано от твърдения на лъжа Б и разложено на две последици: „ако И, след това B "и" ако B, тогава И". Например: "Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е конформален." С термина „еквивалентност“ се обозначава и връзката „... ако и само ако ...“, с помощта на която дадено сложно изявление се формира от две твърдения. Вместо „ако и само ако“ за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите връзки са дефинирани по отношение на истината и лъжата, еквивалентността е вярна тогава и само ако и двете твърдения от нея имат една и съща стойност на истината, т.е. когато и двамата са верни или и двете са неверни. Съответно еквивалентността е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

Изказване - декларативно изречение, за което може да се каже, че е вярно или невярно. В алгебра на прости изрази се приписват логически променливи (A, B, C и др.)

Булева променлива Това е просто изявление.
Булевите променливи са обозначени с главни и малки букви с латински букви (a-z, A-Z) и може да приеме само две стойности - 1, ако изказването е вярно, или 0, ако изказването е невярно.

Пример за твърдения:

Логическа функция - Това е сложен израз, който се получава в резултат на логически операции върху прости изрази.

За формиране на сложни твърдения, най-често използваните основни логически операции, изразени с помощта на логически съединителни връзки "и", "или", "не".
Например,

Много хора не обичат мокрото време..

Нека A \u003d "Много хора обичат влажното време." Получаваме логическа функция F (А) \u003d не А.

Връзки "НЕ", "И", "ИЛИ" се заменят с логически операции инверсия , съчетание , дизюнкция ... то основни логически операции, с който можете да напишете всеки логически израз.

Логическа формула (логически израз) - формула, съдържаща само логически стойности и признаци на логически операции. Логическата формула изчислява на TRUE (1) или FALSE (0).

Стойността на логическата функция зависи от стойностите на логическите променливи, включени в нея. Следователно стойността на логическата функция може да бъде определена с помощта на специална таблица ( таблици на истината), който изброява всички възможни стойности на входните логически променливи и съответните стойности на функциите.

Основни (основни) логически операции:

1. Логическо умножение (съвпад), от лат. konjunctio - свързване:
Комбиниране на две (или повече) изрази в едно с помощта на обединението И;
в езиците за програмиране - И.
Приети обозначения: / \\ ,, и, и.
В алгебрата на множества съвпадът съответства на операцията на пресичане на множества.

Съединението е вярно, ако и само ако всички твърдения, включени в него, са верни.

Пример:
Помислете за сложното твърдение "2 2 \u003d 4 и 3 3 \u003d 10". Нека да подчертаем прости поговорки:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (тъй като това е невярно твърдение)
Следователно логическата функция F (A, B) \u003d A / \\ B \u003d 1 / \\ 0 \u003d 0 (в съответствие с таблицата на истината), т.е. това комбинирано изявление е невярно.

2. Логично добавяне (дизюнкция), от лат. disjunctio - различавам:
Комбиниране на два (или повече) израза в един с помощта на обединението OR;
в езиците за програмиране - Or.
Нотация: \\ /, + или, или.
В алгебрата на множества дизюнкцията съответства на операцията на обединение на множества.

Дизюнкцията е невярна, ако и само тогава, всички твърдения, включени в нея, са неверни.

Пример:
Помислете за сложното твърдение "2 2 \u003d 4 или 2 2 \u003d 5". Нека да изберем прости твърдения:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (тъй като това е вярно твърдение)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (тъй като това е невярно твърдение)
Следователно логическата функция F (A, B) \u003d A \\ / B \u003d 1 \\ / 0 \u003d 1 (в съответствие с таблицата на истината), т.е. това комбинирано твърдение е вярно.

3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion - обръщане:

Съответства на частицата НЕ, фрази НЕ ИСТИННО, КАКВО или НЕ Е ИСТИННО, КАКВО;
в езиците за програмиране - Не;
Обозначение: не А, ¬А, не
В множествената алгебра логическото отрицание съответства на операцията на допълнение към универсален набор.

Инверсиi булева променлива е true, ако самата променлива е false, и обратно обратното е false, ако променливата е true.

Пример:

A \u003d (два пъти по два е равно на четири) \u003d 1.

¬A \u003d ( Не е вярно, че два пъти два е равно на четири) \u003d 0.

Помислете за изявление А: „ Луната е спътникът на Земята“; тогава ¬A ще бъде формулиран, както следва: „ Луната не е сателит на земята“.

Помислете за поговорката: „Не е вярно, че 4 се дели на 3.“ Нека означим с A простото твърдение "4 се дели на 3". Тогава логическата форма на отричане на това твърдение има формата ¬A

Булев приоритет:

Операциите в булев израз се извършват отляво надясно, като се вземат предвид скобите в следващия добре:
1. инверсия;
2. съвпад;
3. дизюнкция;
Скобите се използват за промяна на реда, в който се извършват логическите операции.

Съставни булеви изрази наречени алгебри на предложението формули.
Вярно или невярно, значението на формула може да се определи от законите на алгебрата на логиката, без да се позовава на значението:
F \u003d (0 \\ / 1) / \\ (¬0 \\ / ¬1) \u003d (0 \\ / 1) / \\ (1 \\ / 0) \u003d 1 / \\ 1 \u003d 1 - вярно
F \u003d (¬0 / \\ ¬1) \\ / (¬1 \\ / ¬1) \u003d (1 / \\ 0) \\ / (0 \\ / 0) \u003d 0 \\ / 0 \u003d 0 - невярно

Изказване - граматично правилно изречение, взето заедно със значението (съдържанието), изразено от него и е вярно или невярно.

Концепцията за изказ е една от първоначалните, ключови концепции на логиката. Като такъв той не допуска точна дефиниция, която е еднакво приложима в различните му раздели.

От отделни изявления можете да изграждате нови изявления по различни начини.

Например от изявлението „Вятърът духа“ и „Вали дъжд“ можете да формирате по-сложни изявления „Духа вятър и вали“, „Или вятърът духа, или вали“, „Ако вали, после духа вятър ”и т.н. ...

Поговорката се нарича просто,освен ако не включва други изказвания като свои части.

Изявлението се извиква предизвиквамако се получава с помощта на логически свързващи елементи от други по-прости твърдения.

Нека разгледаме най-важните начини за изграждане на сложни твърдения.

Нека обозначим изявленията с буквите A, B, C, ... Пълният смисъл на концепцията за отричане на дадено твърдение се дава от условието: ако твърдение A е вярно, отрицанието му е невярно, а ако A е невярно, отрицанието му е вярно. Например, тъй като „1 е положително цяло число“ е вярно, отрицанието му „1 не е положително цяло число“ е фалшиво и тъй като „1 е просто число“ е невярно, отрицанието му „1 не е просто число“ е вярно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "и", дава сложен израз, наречен съчетание... Изявленията, съставени по този начин, се наричат \u200b\u200b„термини за съвпад“.

В обикновения език две твърдения са свързани чрез съединението "и", когато са свързани помежду си по съдържание или значение. Природата на тази връзка не е напълно ясна, но е ясно, че не бихме разглеждали съвкупността „Той носеше палто, а аз отидох в университет“ като израз, който има значение и може да бъде вярно или невярно. Въпреки че твърденията „2 е просто число“ и „Москва е голям град“ са верни, ние не сме склонни да считаме връзката им „2 е просто число и Москва е голям град“ като истина, тъй като съставляващите я изявления не са свързани по значение. Опростявайки значението на съвпад и други логически връзки и отказвайки за това от неясната концепция за "връзка на твърдения в смисъл", логиката прави значението на тези съединения едновременно по-широко и по-ясно.

Комбинацията от две твърдения, използващи думата "или" дава дизюнкция тези твърдения. Изявленията, които формират дизюнкцията, се наричат \u200b\u200b„членове на дизюнкцията“. .

Думата „или“ в ежедневния език има две различни значения. Понякога това означава „едното или другото, или и двете“, а понякога „едното или другото, но не и двете“. Например, изявлението „Този \u200b\u200bсезон искам да отида при Пиковата дама или Аида“ дава възможност за две посещения в операта. Изявлението „Той учи в Москва или Ярославския университет“ предполага, че споменатото лице учи само в един от тези университети.

Нарича се първото значение на „или“ неизключителен. Взето в този смисъл, разграничаването на две твърдения означава, че поне едно от тези твърдения е вярно, независимо дали и двете са верни или не. Взето във втория, с изключение, или в строгия смисъл, отделянето на две твърдения твърди, че едното от твърденията е вярно, а другото е невярно.

В логиката и математиката думата „или“ почти винаги се използва в неизключителен смисъл.

Условна декларация -сложно твърдение, обикновено формулирано с помощта на свързващото "ако ... тогава ..." и установяване, че едно събитие, състояние и т.н. е в един или друг смисъл основа или условие за друго.

Например: „Ако има огън, значи има дим“, „Ако числото се дели на 9, то се дели на 3“ и т.н.

По отношение на условно твърдение обикновено се дефинират понятията за достатъчно и необходимо условие: антецедент (причина) е достатъчно условие за последващо (следствие), а последващото е необходимо условие за антецедент. Например, истинността на условното твърдение „Ако изборът е рационален, тогава се избира най-добрата налична алтернатива“ означава, че рационалността е достатъчна причина за избора на най-добрата налична възможност и че изборът на такава възможност е необходимо условие за неговата рационалност.

Връзката между обосноваващото и обоснованото (основания и последици), изразена с условно твърдение, е трудно да се характеризира в общи линии и само понякога нейният характер е относително ясен. Тази връзка може да бъде, на първо място, връзка на логическо следствие, което се осъществява между помещенията и заключението на правилното заключение („Ако всички живи многоклетъчни същества са смъртни, а медузата е такова същество, значи е смъртна“); второ, по природния закон („Ако тялото е подложено на триене, то ще започне да се нагрява“); трето, по причинно-следствена връзка („Ако Луната е в възела на своята орбита на новолуние, настъпва слънчево затъмнение“); четвърто, социален модел, правило, традиция („Ако обществото се промени, човекът също се променя“, „Ако съветът е разумен, трябва да се следва“) и т.н.

Например, условното твърдение „Ако бисмутът е метал, той е пластмаса“, както предполага, предполага общия закон „Всички метали са пластмаса“, което прави последствието от дадено твърдение логична последица от неговия предшественик.

Както на обикновения език, така и на езика на науката, условното твърдение, освен функцията за обосновка, може да изпълнява и редица други задачи: да формулира условие, което не е свързано с някакъв подразбиращ се общ закон или правило („Ако искам , Ще си отрежа наметалото ”); да се определи някаква последователност („Ако миналото лято беше сухо, то тази година беше дъждовно“); изразява недоверие в особена форма („Ако решите този проблем, ще докажа великата теорема на Ферма“); опозиция („Ако бъз расте в градината, тогава чичо живее в Киев“) и др. Многообразието и хетерогенността на функциите на условното твърдение значително усложнява неговия анализ.

Използването на условно твърдение е свързано с определени психологически фактори. Обикновено формулираме такова твърдение само ако не знаем със сигурност дали неговият предшестващ и последващ е истина или не. В противен случай използването му изглежда неестествено („Ако ватата е метална, тя е електропроводима“).

Условното твърдение намира много широко приложение във всички области на разсъжденията. В логиката той е представен, като правило, чрез импликативно изявление, или последици... В същото време логиката изяснява, систематизира и опростява използването на „ако ... тогава ...“, освобождава го от влиянието на психологически фактори.

Логиката се разсейва, по-специално, от факта, че в зависимост от контекста, връзката между причината и ефекта, характерна за условно твърдение, може да бъде изразена, като се използва не само „ако ... тогава ...“, но и други езикови средства.

Например „Тъй като водата е течна, тя пренася равномерно налягането във всички посоки“, „Въпреки че пластилинът не е метал, той е пластмаса“, „Ако дървото беше метал, то би било електропроводимо“ и др. Тези и подобни твърдения са представени на езика на логиката посредством импликация, въпреки че използването на „ако ... тогава ...“ в тях не би било напълно естествено.

Като твърдим импликация, ние твърдим, че не може да се случи основаването му и ефектът да отсъства. С други думи, импликацията е фалшива само ако нейната основа е вярна и ефектът е фалшив.

Тази дефиниция приема, подобно на предишните дефиниции на свързващи вещества, че всяко твърдение е или вярно, или невярно и че стойността на истинността на сложното твърдение зависи само от стойностите на истинността на съставните му твърдения и начина, по който са свързани.

Импликацията не означава, че твърдения A и B са някак си свързани помежду си по съдържание. Ако B е вярно, твърдението „ако A, тогава B“ е вярно, независимо дали A е вярно или невярно и по значение е свързано с B или не.

Например, следните твърдения се считат за верни: „Ако има живот на Слънцето, то два пъти два е равно на четири“, „Ако Волга е езеро, то Токио е голямо село“ и т.н. Условното твърдение също е вярно когато A е невярно и в същото време отново няма разлика дали B е вярно или не и дали е свързано по съдържание с A или не. Твърденията са верни: „Ако Слънцето е куб, значи Земята е триъгълник“, „Ако два пъти по два е равно на пет, то Токио е малък град“ и т.н.

Тясно свързано с импликацията еквивалентностпонякога наричан "двойно внушение".

Еквивалентност - сложно изявление „А ако и само ако В“, формирано от твърдения А и В и разложено на две последици: „ако А, тогава В“ и „ако В, тогава А“. Например: "Триъгълникът е равностранен тогава и само ако е конформален." Терминът "еквивалентност" също така означава връзката "... ако и само ако ...", с помощта на която дадено сложно изявление се формира от две твърдения. Вместо „ако и само ако“ за тази цел може да се използва „ако и само ако“, „ако и само ако“ и т.н.

Ако логическите връзки са дефинирани по отношение на истината и лъжата, еквивалентността е вярна, ако и само ако и двете твърдения от нея имат една и съща стойност на истината, т.е. когато и двете са верни и двете са неверни. Съответно еквивалентността е невярна, когато едно от твърденията, включени в нея, е вярно, а другото е невярно.

При разглеждане на методите за формиране на сложни извлечения от прости, не е взета предвид вътрешната структура на простите изказвания. Те бяха взети като неразложими частици само с едно свойство: да са верни или неверни. Прости поговорки

не случайно те понякога се наричат \u200b\u200bатомни: от тях, както от елементарни тухли, с помощта на логически съединителни връзки "и", "или" и т.н. се изграждат различни сложни ("молекулярни") твърдения.

Сега трябва да се спрем на въпроса за вътрешна структура, или вътрешната структура на самите прости твърдения: от кои конкретни части са съставени и как тези части са свързани помежду си.

Веднага трябва да се подчертае, че простите твърдения могат да бъдат разложени по различни начини на съставните им части. Резултатът от разлагането зависи от целта, за която се извършва, т.е. от концепцията за логическо заключение (логическо следствие), в рамките на която се анализират подобни твърдения.

Специалният интерес към категоричните твърдения се дължи преди всичко на факта, че развитието на логиката като наука започва с изучаването на техните логически връзки. В допълнение, изявления от този тип са широко използвани в нашите разсъждения. Обикновено се нарича теория на логическите връзки на категорични твърдения силогистика.

Например в поговорката „Всички динозаври са изчезнали“ на динозаврите се приписва атрибут „да изчезнат“. В преценката "Някои динозаври са летели" се приписва способността за летене определени видове динозаври. Решението „Всички комети не са астероиди“ отрича наличието на знака „да бъде астероид“ във всяка от кометите. Изказването „Някои животни не са тревопасни животни“ отрича, че някои животни са тревопасни.

Ако пренебрегнем количествените характеристики, съдържащи се в категорично твърдение и изразени с думите „всички“ и „някои“, тогава получаваме две версии на такива твърдения: положителни и отрицателни. Тяхната структура:

"S е P" и "S не е P",

където буквата S представлява името на артикула, за който въпросният в изявление, а буквата P е името на характеристика, присъща или не присъща на този предмет.

Извиква се името на субекта, посочен в категорично изявление предмет, а името на характеристиката му е предикат... Субектът и предикатът са именувани условия категорични твърдения и са свързани помежду си чрез сноповете „е“ или „не е“ („е“ или „не е“ и т.н.). Например в изявлението „Слънцето е звезда“ термините са имената „Слънце“ и „звезда“ (първото от тях е предмет на изявлението, второто е неговият предикат) и думата „е“ е пакет.

Простите изрази от типа „S е (не е) P“ се наричат \u200b\u200bатрибутивни: в тях се извършва приписването (присвояването) на някакво свойство на обект.

Атрибутивните твърдения се противопоставят на твърдения за взаимоотношения, при които се установяват взаимоотношения между два или повече обекта: „Три по-малко от пет“, „Киев е повече от Одеса“, „Пролетта е по-добра от есента“, „Париж е между Москва и Ню Йорк "и др. Изявленията за връзките играят съществена роля в науката, особено в математиката. Те не се свеждат до категорични твърдения, тъй като връзката между няколко обекта (като "равен", "обича", "по-топъл", "е между" и т.н.) не се свежда до свойствата на отделните обекти. Един от съществените недостатъци на традиционната логика е, че тя счита, че преценките за отношенията са сведени до преценки за свойства.

Категоричното твърдение не само установява връзка между обект и характеристика, но също така дава определена количествена характеристика на предмета на изявлението. В изявления като „All S е (не е) P“ думата „всички“ означава „всеки от обектите на съответния клас“. В изявления като „Някои S са (не са) P“ думата „някои“ се използва в неизключителен смисъл и означава „някои, а може би всички“. В изключителен смисъл думата „някои“ означава „само някои“ или „някои, но не всички“. Разликата между двете значения на тази дума може да бъде демонстрирана на примера на поговорката „Някои звезди са звезди“. В неизключителен смисъл това означава „Някои, а може би и всички звезди са звезди“ и очевидно е вярно. В изключителен смисъл това твърдение означава „Само няколко звезди са звезди“ и очевидно е невярно.

В категорични твърдения се потвърждава или отрича принадлежността на някои знаци към разглежданите обекти и се посочва дали говорим за всички тези обекти или за някои от тях.

По този начин са възможни четири типа категорични твърдения:

Всички S е P - общо утвърдително твърдение,

Някои S е P - конкретно утвърдително твърдение,

Всичко S не е P - обикновено отрицателно твърдение,

Някои S не е P - частично отрицателно твърдение.

Категоричните твърдения могат да се разглеждат като резултати от заместване на някои имена в следните изрази с интервали (елипси): „Всичко ... е ...“, „Някои ... е ...“, „Всичко ... не е ...“ и „Някои ... не е ... ”. Всеки от тези изрази е логическа константа (логическа операция), която ви позволява да получите извлечение от две имена. Например, замествайки имената "летящи" и "птици" вместо елипси, получаваме съответно следните твърдения: "Всички летящи са птици", "Някои летящи птици са",

Умозаключения

„Всички, които летят, не са птици“ и „Някои, които летят, не са птици“. Първото и третото твърдение са неверни, а второто и четвъртото са верни.

Умозаключения

„Човек, който може да мисли логично, може да направи заключение за съществуването на Атлантическия океан или Ниагарския водопад с една капка вода, дори ако никога не е виждал нито едното, нито другото и никога не е чувал за тях ... По ноктите на човек, по ръцете, обувките, сгъването на панталона на коленете, по удебеляването на кожата на големия и показалец, по изражението на лицето му и маншетите на ризата му - от такива дреболии не е трудно да се отгатне професията му. И няма съмнение, че всичко това, взето заедно, ще подтикне компетентния наблюдател към правилните заключения. "

Това е цитат от основна статия на най-известния детектив и консултант в света Шерлок Холмс. Въз основа на най-малките подробности той изгради логически безупречни вериги от разсъждения и разгада сложни престъпления, често от уюта на апартамента си на улица Бейкър. Холмс използва дедуктивен метод, създаден от самия него, който, както вярва неговият приятел д-р Уотсън, поставя решаването на престъпления на ръба на точна наука.

Разбира се, Холмс донякъде преувеличава значението на дедукцията в криминалистиката, но разсъжденията му относно дедуктивния метод свършиха работа. „Приспадане“ от специален термин, известен само на малцина, се превърна в често използвана и дори модерна концепция. Популяризирането на изкуството на правилните разсъждения и преди всичко на дедуктивните разсъждения е не по-малка заслуга на Холмс от всички разкрити от него престъпления. Той успя да „придаде на логиката очарованието на една мечта, проправяйки си път през кристалния лабиринт на възможни приспадания до един блестящ извод“ (В. Набоков).

Приспадането е специален случай умозаключения.

В широк смисъл извод -логична операция, в резултат на която се получава ново изявление от едно или няколко приети твърдения (предпоставки) - заключение (заключение, следствие).

В зависимост от това дали има връзка между помещенията и заключението логично следствие, има два вида изводи.

В основата на дедуктивен извод има логичен закон, по силата на който заключението с логическа необходимост следва от приетите предпоставки.

Отличителна черта такъв извод е, че винаги води от истински предпоставки до истински извод.

IN индуктивен извод връзката между предпоставките и заключенията се основава не на закона на логиката, а на някои фактически или психологически основи, които нямат чисто формален характер.

В такова заключение заключението не следва логически от помещенията и може да съдържа информация, която липсва в тях. Надеждността на помещенията не означава, следователно, надеждността на изявлението, получено от тях индуктивно. Индукцията дава само вероятни, или правдоподобна, заключения, изискващи допълнителна проверка.

Например дедуктивните заключения включват:

Ако вали, земята е мокра. Вали.

Земята е мокра.

Ако хелийът е метал, той е електропроводим. Хелийът не е електропроводим.

Хелийът не е метал.

Линията, разделяща помещенията от заключението, замества, както обикновено, думата "следователно".

Примери за индукция са следните разсъждения:

Аржентина е република; Бразилия е република; Венецуела е република; Еквадор е република.

Аржентина, Бразилия, Венецуела, Еквадор са латиноамерикански държави.

Всички латиноамерикански щати са републики .

Италия е република, Португалия е република, Финландия е република, Франция е република.

Италия, Португалия, Финландия, Франция - западноевропейски страни.

Всички западноевропейски държави са републики.

Индукцията не дава пълна гаранция за получаване на нова истина от съществуващите. Максимумът, за който може да се говори, е определена степен на вероятност за изведено твърдение. Така че предпоставките както на първия, така и на втория индуктивен извод са верни, но заключението на първото от тях е вярно, а второто е невярно. Всъщност всички латиноамерикански държави са републики; но сред западноевропейските страни има не само републики, но и монархии, например Англия, Белгия и Испания.

Умозаключения

Особено характерни приспадания са логически преходи от общо знание към конкретно, като например:

Всички метали са пластични. Медта е метал.

Медта е пластична.

Във всички случаи, когато се изисква да се разгледа дадено явление въз основа на вече познато основно правило и за да направим необходимото заключение във връзка с тези явления, ние разсъждаваме под формата на дедукция. Разум, водещ от знания за част от обектите (частни знания) до знания за всички обекти от определен клас ( обща култура), са типични индукции. Винаги има възможност обобщението да бъде прибързано и необосновано („Наполеон е командир; Суворов е командир; следователно всеки човек е командир“).

В същото време не може да се идентифицира дедукцията с прехода от общото към частното и индукцията с прехода от конкретното към общото.

В дискурса „Шекспир пише сонети; следователно не е вярно, че Шекспир не е писал сонети ”, има дедукция, но няма преход от общото към конкретното. Мотивите „Ако алуминият е пластмаса или глината е пластмаса, тогава алуминият е пластмаса“ е, както обикновено се смята, индуктивна, но няма преход от конкретното към общото.

Дедукцията е извеждането на заключения, които са толкова надеждни, колкото приетите предпоставки, индукцията е извеждането на вероятни (правдоподобни) заключения. Индуктивните изводи включват както преходи от конкретното към общото, така и аналогия, методи за установяване на причинно-следствени връзки, потвърждаване на последици, целенасочена обосновка и т.н.

Особеният интерес към дедуктивните разсъждения е разбираем. Те позволяват на човек да получи нови истини от съществуващите знания и освен това, с помощта на чисти разсъждения, без да се прибягва до опит, интуиция, здрав разум и др. Приспадането дава сто процента гаранция за успех и не предоставя просто една или друга - може би висока - вероятността за вярно заключение. Започвайки от истинските предпоставки и разсъждавайки дедуктивно, определено ще получим надеждни знания във всички случаи.

Макар да подчертава значението на дедукцията в процеса на развитие и обосноваване на знанието, не бива обаче да се отделя от индукцията и да се подценява последната. Почти всички общи разпоредби, включително научни закони, са резултатите от индуктивно обобщение. В този смисъл индукцията е основата на нашето знание. Сама по себе си тя не гарантира своята истина и валидност, но генерира предположения, свързва ги с опит и по този начин им дава известна правдоподобност, повече или по-малко висока степен вероятности. Опитът е източникът и основата на човешкото знание. Индукцията, като се започне от това, което се разбира в опита, е необходимо средство за неговото обобщаване и систематизиране.

ЛОГИЧЕСКИ ЗАКОНИ

Глава

Понятието за логически закон

Логическите закони формират основата на човешкото мислене. Те определят кога други твърдения логически следват от някои твърдения и представляват онази невидима желязна рамка, върху която се провеждат последователни разсъждения и без която се превръща в хаотична, несвързана реч. Без логически закон е невъзможно да се разбере какво е логическо следствие и следователно какво е доказателство.

Коректното, или, както обикновено казват, логично, мисленето е мисленето според законите на логиката, според онези абстрактни схеми, които са фиксирани от тях. Следователно важността на тези закони е ясна.

Хомогенните логически закони се комбинират в логически системи, които също обикновено се наричат \u200b\u200b"логики". Всеки от тях дава описание логическа структура определен фрагмент или тип от нашите разсъждения.

Например законите, които описват логическите връзки на твърдения, които не зависят от вътрешната структура на последните, се комбинират в система, наречена „логика на твърдения“. Логическите закони, които определят връзките на категоричните твърдения, образуват логическа система, наречена „логика на категоричните твърдения“, или „силогистика“ и т.н.

Логическите закони са обективни и не зависят от волята и съзнанието на човек. Те не са резултат от споразумение между хората, някаква специално разработена или спонтанно оформена конвенция. Те не са продукт на някакъв „световен дух“, както някога е вярвал Платон. Силата на законите на логиката над човека, тяхната сила, която е задължителна за правилното мислене, се дължи на факта, че те представляват отражението в човешкото мислене на реалния свят и вековния опит на неговото познание и преобразуване чрез човече.

Както всички други научни закони, логическите закони са универсални и необходими. Те работят винаги и навсякъде, като се разпространяват еднакво за всички хора и за всяка епоха. Представители

Понятието за логически закон

различни нации и различни култури, мъже и жени, древни египтяни и съвременни полинезийци от гледна точка на логиката на своите разсъждения не се различават помежду си.

Необходимостта, присъща на логическите закони, е в известен смисъл дори по-спешна и неизменна от естествената или физическата необходимост. Невъзможно е дори да си представим, че логично необходимото е различно. Ако нещо противоречи на природните закони и е физически невъзможно, тогава никой инженер, при цялата му надареност, няма да може да го осъзнае. Но ако нещо противоречи на законите на логиката и е логично невъзможно, тогава не само инженер - дори всемогъщо същество, ако внезапно се появи, не би могло да го оживи.

Както бе споменато по-рано, при правилни разсъждения заключението следва от предпоставки с логическа необходимост и обща схема подобни разсъждения представляват логичен закон.

Броят на схемите за правилни разсъждения (логически закони) е безкраен. Много от тези схеми са ни известни от практиката на разсъждения. Прилагаме ги интуитивно, без да осъзнаваме, че във всеки извод, който правим правилно, се използва един или друг логически закон.

Преди въвеждане обща концепция логически закон, ще дадем няколко примера за логически схеми, които са логически закони. Вместо променливи A, B, C, ..., обикновено използвани за обозначаване на твърдения, ще използваме, както се правеше в древността, думите "първи" и "втори", заместващи променливите.

„Ако има първото, значи има и второто; има първото; следователно има и втора. " Тази схема на разсъждение позволява от изявлението на условното твърдение („Ако има първото, значи има и второто“) и изявлението на неговата основа („Има първото“) до изявлението на последицата („Има е вторият "). По-специално, следната аргументация протича по тази схема: „Ако ледът се нагрява, той се топи; ледът се нагрява; следователно се топи. "

Друга схема на правилни разсъждения: „Или първото се провежда, или второто; има първото; тогава няма втора. " Чрез тази схема, от две взаимно изключващи се алтернативи и установяване коя от тях се извършва, се прави преход към отрицанието на втората алтернатива. Например: „Или Достоевски е роден в Москва, или е роден в Санкт Петербург. Достоевски е роден в Москва. Това означава, че не е вярно, че той е роден в Санкт Петербург. " В американския уестърн „Добрите, лошите и грозните“ един лош казва на друг: „Не забравяйте, светът е разделен на две части: тези, които държат револвера, и тези, които копаят. Сега имам револвера, така че вземете лопатата. " Тези разсъждения също се основават на посочената схема.

И последен предварителен пример за логически закон или обща схема на правилни разсъждения: „Първото или второто се провеждат. Но първото не е там. Това означава, че второто се провежда. " Нека заместим израза „първият“ с твърдението „Ден е“, а вместо „втория“ - изказването „Сега е нощ“. От абстрактната схема получаваме разсъжденията: „Ден е или сега нощ. Но не е вярно, че е ден.

Така че е нощ. "

Това са някои прости схеми правилни разсъждения, илюстриращи концепцията за логически закон. Стотици и стотици такива схеми седят в главите ни, въпреки че не го осъзнаваме. Въз основа на тях ние разсъждаваме логично или правилно.

Закон на логиката (логически закон) - израз, който включва само логически константи и променливи вместо съществени части и е верен във всяка област на разсъждение.

Нека вземем за пример израз, състоящ се само от променливи и логически константи, изразът: „Ако A, тогава B; тогава, ако неА, тогава неБ. " Логическите константи тук са предложенията за свързване "ако, тогава" и "не". Променливите A и B представляват някои твърдения. Да приемем, че A е твърдението „Има причина“, а B е твърдението „Има последствие“. С това конкретно съдържание получаваме разсъжденията: „Ако има причина, значи има последица; това означава, че ако няма ефект, тогава няма и причина ”. Да предположим по-нататък, че вместо A, се замества изявлението „Числото се дели на шест“, а вместо В, израза „Числото се дели на три“. С това конкретно съдържание, въз основа на разглежданата схема, получаваме разсъжденията: „Ако числото се дели на шест, то се дели на три. Следователно, ако число не се дели на три, то не се дели и на шест. " Каквито и други твърдения да се заменят с променливи A и B, ако тези твърдения са верни, тогава заключението, направено от тях, ще бъде вярно.

В логиката обикновено се прави резервация, че областта на обектите, за която се провежда разсъждението и за която говорят заместваните в логическия закон твърдения, не може да бъде празна: тя трябва да съдържа поне един обект. В противен случай разсъжденията по схема, която е закон на логиката, могат да доведат от истински предпоставки до невярно заключение.

Например от истинските предпоставки „Всички слонове са животни“ и „Всички слонове имат хобот“, според закона на логиката, следва истинското заключение „Някои животни имат хобот“. Но ако зоната на въпросните обекти е празна, спазването на закона на логиката не гарантира вярно заключение с истински предпоставки. Ще спорим по същата схема, но за златните планини. Нека направим заключение: „Всички златни планини са планини; всички златни планини са златни; следователно, някои планини са златни. " И двете предпоставки на това заключение са верни. Но заключението му „Някои планини са златни“ е очевидно невярно: не съществува нито една златна планина.

Понятието за логически закон

По този начин за разсъжденията, основани на закона на логиката, са характерни две характеристики:

Такива разсъждения винаги водят от истински предпоставки до истински заключения;

Следствието произтича от предпоставки с логическа необходимост.

Нарича се и логическият закон логическа тавтология.

Логическа тавтология - израз, който остава верен, независимо за какви обекти става въпрос, или израз "винаги верен".

Например, всички резултати от замествания в логическия закон на двойното отрицание "Ако A, тогава не е вярно, че не е A" са верни твърдения: "Ако саждите са черни, тогава не е вярно, че не е черно "," Ако човек трепери от страх, тогава не е вярно, че не трепери от страх "и т.н.

Както вече споменахме, понятието за логически закон е пряко свързано с понятието за логическо следствие: заключението логично следва от приетите предпоставки, ако е свързано с тях чрез логически закон. Например, от помещенията "Ако А, тогава Б" и "Ако В, тогава С" логично следва заключението "Ако А, тогава С", тъй като изразът "Ако А, тогава В и ако В, тогава С, тогава ако A, тогава C "е логичен закон, а именно закон за преходност(транзитивност). Например от помещенията „Ако човек е баща, значи той е родител“ и „Ако човек е родител, то той е баща или майка“ съгласно този закон следва следствието „Ако човек е баща, значи е баща или майка. "

Логично проследяване - връзката между помещенията и заключението за извод, чиято обща схема е логичен закон.

Тъй като връзката на логическото следствие се основава на логически закон, тя се характеризира с две характеристики:

Логичното следване води от истински предпоставки само до вярно заключение;

Изводът, произтичащ от предпоставките, следва от тях с логическа необходимост.

Не всички логически закони определят пряко понятието логическо следствие. Има закони, които описват други логически връзки: „и“, „или“, „не е вярно, че и т.н.“ и са само косвено свързани с връзката на логическото следствие. Това е по-специално законът за противоречие, разгледан по-долу: „Не е вярно, че произволно взето изявление и

2.1. Сложни изявления

От елементарни изявления можете да изграждате по-сложни ( композитен) изявления, използващи връзки И ИЛИ НЕ.

Примери. Ограда червенаИ оградата е дървена.

Коля е по-възрастен от ПетяИЛИ Коля е по-възрастен от Федя

ОградаНЕ червен.

Значението на тези твърдения е ясно.

Изказването I съдържа две елементарни изказвания. Съставено изражение с И е вярно, ако и само ако и двете от тези елементарни твърдения са верни. Ако някой от тях е невярен, съставното изявление е невярно.

Оператор ИЛИ съдържа и два елементарни израза. Съставният израз с ИЛИ е верен, ако и само ако поне един от тези елементарни изрази е верен. Ако и двете твърдения са неверни, съставното твърдение е невярно.

Изявление с НЕ съдържа едно елементарно изказване (на руски НЕ често се поставя в средата на това изказване). Съставният оператор с NOT е истина, ако първоначалният елементарен оператор е фалшив и, обратно, ако оригиналният оператор е верен, тогава съставният оператор с NOT е фалшив.

Съставните изрази могат да бъдат изградени не само от елементарни изрази, но и от други съставни изявления. В това изграждането на съставни изявления е подобно на изграждането алгебрични изрази... Например, ясно е какво означава такова твърдение (въпреки че не е написано на руски, а с помощта на скоби :)

(Коля е по-възрастен от ПетяИЛИ Коля е по-възрастен от Федя)И ( КоляНЕ по-стари от Ваня)

Тук има 3 елементарни твърдения.

2.2. Булеви стойности. Логически операции.

Вече знаем, че всяко твърдение може да бъде приписано на едно от две булеви стойности– вярно (често се означава: 1 ) или лъжа(често се означава: 0 ). Думите И ИЛИ НЕ указват операции върху логически стойности ( логически операции). Всъщност, например, сложен израз с AND е вярно тогава и само ако и двете от елементарните му твърдения са верни. Ако някой от тях е невярен, съставното твърдение е невярно. Тук за нас не е важно какви са били първоначалните твърдения. Истината на сложното твърдение зависи само от логическото (понякога казват - честен) значенията на оригиналните твърдения.

Тъй като има само две логически стойности, тези операции могат да бъдат описани в таблици.

Операциите И, ИЛИ, НЯмат "научни" имена (дори няколко за всяка операция 🙂 и специална нотация (в примери A, B означават някои специфични логически стойности):

НЕ: отрицание, инверсия.Обозначение: ¬ (например, ¬A);

И: съвпад, логическо умножение.

Обозначава се с / \\ (например A / \\ B) или & (например A & B);

ИЛИ: дизюнкция, логическо допълнение.

Обозначава се с \\ / (например A \\ / B).

Други логически операции също се използват в математиката.

Всяка логическа операция може да бъде зададена от собствена таблица. Ето още два примера за логически операции:

1) следване (внушение); обозначено с → (например A → B); вижте раздела. 4. Изразът A → B е вярно, ако A е невярно ИЛИ B е вярно. Тоест A → B означава същото като (¬A) \\ / B.

2) идентичност (еквивалентност); обозначен с ≡ (например A ≡ B); вижте Таблица 5. Изразът A ≡ B е вярно, ако и само ако стойностите на A и B съвпадат (или и двете са верни, или и двете са неверни).

2.3. Логически изрази. Таблици на истината.

Булевите операции играят същата роля за логическите стойности като аритметичните операции за числа. Подобно на конструкцията на алгебрични изрази, като използвате логически операции, можете да изграждате логически изрази. Подобно на алгебричните изрази, булевите изрази могат да включват константи (булеви стойности 1 и 0) и променливи. Ако в булевата стойност има променливи, тя определя функцията ( логично функция; синоним: булевфункция). Стойността на такава функция за даден набор от стойности на аргументи се изчислява чрез заместване на тези стойности в израза вместо променливи.

За всеки логически израз можете да пишете таблица на истината, който описва каква стойност приема съответната булева функция (синоним: приема израза) за всеки допустим набор от променливи стойности. Ето таблиците на истината за изразите x \\ / y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) / \\ (y → z) (таблица 8).

2.4. Еквивалентни изрази.

Извикват се два булеви израза, съдържащи променливи еквивалент (еквивалент) ако стойностите на тези изрази съвпадат за някакви стойности на променливите. Така че изразите A → B и (¬A) \\ / B са еквивалентни, но A / \\ B и A \\ / B не са (стойностите на изразите са различни, например за A \u003d 1, B \u003d 0).

Еквивалентните изрази имат еднакви таблици на истината, а нееквивалентните изрази имат различни таблици на истината.

2.5. Приоритети на логическите операции.

Когато пишете логически изрази, както и когато пишете алгебрични изрази, понякога е възможно да не пишете скоби. В този случай се спазват следните споразумения за предимството (приоритета) на логическите операции, първата са операциите, които се изпълняват в първото място:

отрицание (инверсия),

съвпад (логическо умножение),

дизюнкция (логическо добавяне),

внушение (следващо),

самоличност.

По този начин ¬A \\ / B \\ / C \\ / D означава същото като ((¬A) \\ / B) \\ / (C \\ / D).

Възможно е да се пише A \\ / B \\ / C вместо (A \\ / B) \\ / C. Същото се отнася и за съвпад: възможно е да се напише A / \\ B / \\ C вместо (A / \\ B) / \\ ° С.

Обратно напред

Внимание! Прегледът на слайда се използва само за информационни цели и може да не представя всички възможности на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля изтеглете пълната версия.

Образователни: разширете разбирането на учениците за алгебрата на предложенията, запознайте ги с логическите операции и таблиците на истината.

Разработване:

Образователни:

ТИП НА УРОКА: комбиниран урок - обяснение на нов материал с последващо консолидиране на придобитите знания.

Продължителност на УРОКА: 40 минути.

МАТЕРИАЛНА И ТЕХНИЧЕСКА ОСНОВА:

интерактивна дъска SmartBoard.
Приложение за MS Windows - PowerPoint 2007.
Подготвена от учителя версия на електронния урок (презентация на PowerPoint 2007).
Подготвени от учителя карти за задание.

ПЛАН НА УРОКА:

I. Организиращо време - 1 минута.

II. Поставяне на целта на урока - 2 мин.

III. Актуализация на знанията - 9 минути

IV. Представяне на нов материал - 15 мин.

V. Консолидация на изучавания материал - 8 минути.

Vi. Размисъл "Непълни изречения" - 3 мин.

Vii. Заключение. Домашна работа - 2 мин.

ПО ВРЕМЕ НА КЛАСОВЕТЕ

I. Организационен момент.

Поздрави, маркирайте отсъстващия от урока.

Слайд 1

Продължаваме да изучаваме раздела "Логически език"... Днес нашият урок е посветен на темата "Логически твърдения". Нека започнем работата с проверка домашна работа (четат се стихове на учениците, които съдържат много логически връзки (операции) и се стига до заключението, че произволната информация може да бъде еднозначно интерпретирана въз основа на логическата алгебра).

По този начин целта на нашия урок е да изучаваме логически операции и да открием, че произволната информация може да бъде интерпретирана по уникален начин въз основа на алгебрата на логиката. Но първо трябва да прегледате материала, научен в последния урок.

III. Актуализация на знанията (фронтално проучване).

Задача 1. Работа с карти (дайте кратки отговори на поставените въпроси). Наука, която изучава законите и формите на мислене. (Логика)

Константата, обозначена с "1". (Вярно)

Константата, обозначена с "0". (Лъжа)

Декларативно изречениеза което може да се каже, че е вярно или невярно. (Изказване)

Видове изявления (прости и сложни)

Кои от следните изречения са твърдения?

Здравейте!
Аксиомата не изисква доказателство.
Вали.
Каква е температурата навън?
Рублата е валутата на Русия.
Не можете лесно да извадите риба от езерото.
Числото 2 не е делител на числото 9.
Числото х не е повече от 2.

7. Определете истинността или неверността на твърдението:

Компютърните науки се изучават в гимназиален курс.
"E" е шестата буква в азбуката.
Квадратът е ромб.
Квадратът на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на краката.
Ъглите на триъгълника са 1900.
12+14 > 30.
Пингвините живеят на Северния полюс на Земята.
23+12=5*7.

И така, какво е поговорката? (Декларативно изречение, за което може да се каже, че е вярно или невярно.)

Какво е просто изявление? (Изявление се нарича просто (елементарно), ако никоя част от него не е изявление.)

Какво е сложно изявление? (Съставният израз се състои от прости изрази, свързани с логически съединителни елементи (операции).)

Задача 2.Изградете съставни твърдения от прости твърдения: „А \u003d Петя чете книга“, „Б \u003d Петя пие чай“. (на екрана - слайд 2)

Нека продължим работата си.

Задача 3. В следващите твърдения подчертайте прости изявления, като обозначите всеки с буква:

През зимата децата ходят на кънки на лед или карат ски. (слайд 3)
Не е вярно, че слънцето се движи около земята. (слайд 4)
Числото 15 се дели на 3, ако и само ако сумата от цифрите на числото 15 се дели на 3. (слайд 5)
Ако вчера беше неделя, то Дима вчера не беше на училище и ходеше по цял ден. (слайд 6)

IV. Презентациянов материал.

В предишните задачи бяха използвани различни логически връзки: "и", "или", "не", "ако: тогава:", "ако и само ако:". В алгебрата логиката, логическите връзки и съответните логически операции имат специални имена. Помислете за 3 основни логически операции - инверсия, конюнкция и дизюнкция, с които можете да получите сложни изрази. (слайд 7)

Всяка логическа операция се определя от таблица, наречена таблица на истината. Таблицата на истината на логическия израз е таблица, в която всички възможни комбинации от стойности на първоначалните данни се записват от лявата страна, а стойността на израза за всяка комбинация се записва отдясно.

Отрицанието е логична операция, която присвоява на всеки прост (елементарен) израз ново твърдение, чието значение е противоположно на първоначалното. ( пързалка8)

Помислете за правилото за конструиране на отрицание за просто изявление.

Правило:Когато се конструира отрицание, се използва просто изражение или словесният оборот „не е вярно, че“, или отрицанието се конструира към предиката, след което частицата „не“ се добавя към предиката, докато думата „всички“ е заменен с "някои" и обратно.

Задача 4. Постройте инверсия (отрицание) към просто изявление:

A \u003d Имам компютър вкъщи. ( пързалка9)
A \u003d Всички момчета от 11 клас са отлични ученици.
Дали ще бъде, е отричането на твърдението: „Всички момчета от 11 клас не са отлични ученици“. ( пързалка10)

Изказването „Всички момчета от 11 клас не са отличници“ не е отрицание на твърдението „Всички момчета от 11 клас са отличници“. Твърденията „Всички млади мъже от 11 клас са отлични ученици“ са неверни и истинското твърдение трябва да бъде отрицание на невярно твърдение. Но поговорката „Всички момчета от 11 клас не са отличници“ не е вярна, тъй като сред 11-класниците има както отличници, така и не отличници.

Отрицанието може да бъде представено графично като набор. ( слайд 11)

Помислете за следващата логическа операция - конюнкция. Изявление, съставено от две твърдения чрез комбинирането им с връзка "и", се нарича конюнкция или логическо умножение (освен това се използват връзки - а, но, макар и).

Съчетание - логическа операция, която свързва всеки два елементарни израза с нов израз, който е верен, ако и само ако и двете първоначални твърдения са верни. ( пързалка12)

Съвкупността може да бъде представена графично като набор. ( пързалка13)

Помислете за следващата логическа операция - дизюнкция. Изявление, съставено от две твърдения, обединени от връзка „или“, се нарича дизюнкция или логическо допълнение.

Дизюнкция - логическа операция, която свързва всеки два елементарни израза с нов израз, който е невярен, ако и само ако и двете първоначални твърдения са неверни. ( пързалка14)

Графично дизюнкцията може да бъде представена като набор. ( пързалка15)

И така, назовете трите основни операции, които сме научили. ( пързалка16)

Нека се опитаме да приложим нови знания при извършване на проверка.

V. Закрепване на изучавания материал (работа на дъската).

Задача 5. Съвпадение на диаграмата и нейното обозначение. ( пързалка17)

Задача 6. Има две прости твърдения: A \u003d "Числото 10 е четно", B \u003d "Вълкът е тревопасно животно." Съставете от тях всички възможни сложни твърдения и определете тяхната истина.

Отговор: 1-2; 2-6; 3-5; 4-1; 5-4; 6-3; 7-7.

Задача 8. Дадени са две прости твърдения: A \u003d „Рублата е валутата на Русия“, B \u003d „Гривна е валутата на САЩ“. Какви са твърденията на истината?

4) A v B

Отговори: 1) 0; 2) 1; тридесет; 4) 1.

Vi. Отражение „Незавършени изречения“.
Беше ми интересно в урока, защото:

Най-много в урока ми хареса:

Ново за мен беше:

Vii. Заключение. Домашна работа.

Оценява се работата на класа като цяло и на отделни ученици, отличили се в урока.

Домашна работа:

1) Научете основните дефиниции, знайте обозначенията.

2) Представете прости изказвания. (Общо трябва да има 5 комплекта от две твърдения). От тях съставете всякакви съставни твърдения, определете тяхната истина.

Списък на използваните материали:
Информатика и ИКТ. 10-11 клас. Профилно ниво. Част 1: Клас 10: учебник за образователни институции / М.Е. Фиошин, А.А. Ресин - М.: Дрофа, 2008

Математически основи на компютърните науки. Учебно ръководство / E.V. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина - М.: БИНОМ. Лаборатория на знанието, 2007

Материали на учителя по информатика Поспелова Н.П., МОУ средно училище No 22, Сочи

Фрагменти от презентацията на учителя по информатика Поляков К.Ю.

Прочети:

Процедурата за регистрация на дарение за апартамент или дял в него от нотариус Може да има една акция или Допустима ли е отстъпка от данък върху превозното средство, ако колата е регистрирана при пенсионер? Пенсия за вредни условия на труд Правила за ранно пенсиониране за безработни граждани Как да разбера размера на издръжката?

Прочети: