I. Изрази, в които числа, аритметични знаци и скоби могат да се използват заедно с букви, се наричат \u200b\u200bалгебрични изрази.

Примери за алгебрични изрази:

2m -n; 3 · (2а + Ь); 0,24x; 0,3а -б · (4а + 2Ь); a 2 - 2ab;

Тъй като буква в алгебричен израз може да бъде заменена с различни числа, буквата се нарича променлива, а самият алгебричен израз се нарича израз с променлива.

II. Ако в алгебричен израз буквите (променливите) се заменят с техните стойности и се извършват посочените действия, тогава полученото число се нарича стойността на алгебричния израз.

Примери. Намерете стойността на израз:

1) a + 2b -c, когато a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | при х \u003d -8; у \u003d -5; z \u003d 6.

Решение.

1) a + 2b -c, когато a \u003d -2; b \u003d 10; c \u003d -3,5. Нека заместим техните стойности вместо променливи. Получаваме:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) | x | + | y \u200b\u200b| - | z | при х \u003d -8; у \u003d -5; z \u003d 6. Заменете посочените стойности. Не забравяйте, че модулът отрицателно число е равно на обратното число, а модулът положително число е равно на самото число. Получаваме:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Стойностите на буква (променлива), за които алгебричен израз има смисъл, се наричат \u200b\u200bвалидни стойности на буква (променлива).

Примери. За какви стойности на променливата изразът няма смисъл?

Решение. Знаем, че е невъзможно да се дели на нула, следователно всеки от тези изрази няма да има смисъл със стойността на буквата (променливата), която превръща знаменателя на фракцията в нула!

В пример 1) тази стойност е a \u003d 0. Всъщност, ако 0 е заместено с a, тогава числото 6 ще трябва да бъде разделено на 0, но това не може да се направи. Отговор: израз 1) няма смисъл за a \u003d 0.

В пример 2) знаменателят x - 4 \u003d 0 при x \u003d 4, следователно, тази стойност x \u003d 4 и не може да бъде взета. Отговор: израз 2) няма смисъл за x \u003d 4.

В пример 3) знаменателят x + 2 \u003d 0 при x \u003d -2. Отговор: израз 3) няма смисъл за x \u003d -2.

В пример 4) знаменателят е 5 - | x | \u003d 0 за | x | \u003d 5. И тъй като | 5 | \u003d 5 и | -5 | \u003d 5, тогава не можете да вземете x \u003d 5 и x \u003d -5. Отговор: израз 4) е безсмислен, когато x \u003d -5 и когато x \u003d 5.
IV. Казват се, че два израза са еднакво равни, ако за всякакви допустими стойности на променливите съответните стойности на тези изрази са равни.

Пример: 5 (a - b) и 5a - 5b са еднакво равни, тъй като равенството 5 (a - b) \u003d 5a - 5b ще бъде вярно за всякакви стойности на a и b. Равенство 5 (a - b) \u003d 5a - 5b е идентичност.

Самоличност Валидно ли е равенство за всички допустими стойности на променливите, включени в него. Примери за идентичности, които вече знаете, са например свойствата на събиране и умножение, свойство на разпределение.

Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича трансформация на идентичност или просто трансформация на израз. Извършват се еднакви трансформации на изрази с променливи въз основа на свойствата на действията върху числата.

Примери.

а) преобразувайте израза в еднакво равен, използвайки свойството за разпространение на умножение:

1) 10 * (1.2x + 2.3y); 2) 1,5 * (a -2b + 4c); 3) a (6m -2n + k).

Решение... Припомнете си разпределителното свойство (закон) на умножение:

(a + b) c \u003d a c + b c (законът за разпределение на умножението по отношение на събирането: за да умножите сумата от две числа по третото число, можете да умножите всеки член по това число и да добавите получените резултати).
(a-b) c \u003d a c-b c (законът за разпределение на умножението по отношение на изваждането: за да умножите разликата от две числа по третото число, можете да умножите по това число, което се намалява и изважда отделно, и да извадите второто от първия резултат).

1) 10 * (1.2x + 2.3y) \u003d 10 * 1.2x + 10 * 2.3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 * (a -2b + 4c) \u003d 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) \u003d 6am -2an + ak.

б) трансформира израза в еднакво еднакви, използвайки свойствата на сместване и комбинация (закони) на добавяне

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Решение. Нека приложим законите (свойствата) на добавянето:

a + b \u003d b + a (транспонируемо: сумата не се променя от пермутацията на термините).
(a + b) + c \u003d a + (b + c) (комбинация: за да добавите третото число към сумата от два члена, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 \u003d (x + 2x) + (4,5 + 6,5) \u003d 3x + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 \u003d 3а + (2,1 + 7,8) \u003d 3а + 9,9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s \u003d (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) \u003d 3.1s -5.5.

в) преобразувайте израза в еднакво равни, използвайки свойствата на сместване и комбинация (закони) на умножение:

7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2г · (-един); 9) 3а · (-3) · 2в.

Решение. Прилагаме законите (свойствата) на умножението:

a b \u003d b a (транспонируемо: продуктът не се променя от пермутацията на факторите).
(a b) c \u003d a (b c) (комбинация: за да умножите произведението от две числа по третото число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото).

7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · x \u003d -10x.

8) -3,5 · 2г · (-1) \u003d 7г.

9) 3а · (-3) · 2s \u003d -18ac.

Ако е даден алгебричен израз под формата на отменяема дроб, тогава с помощта на правилото за отмяна на дроб може да бъде опростена, т.е. заменете с по-прост израз, който е идентичен с него.

Примери. Опростете, като използвате намаляване на фракцията.

Решение. Намаляването на фракция означава разделяне на нейния числител и знаменател на едно и също число (израз), различно от нула. Фракция 10) ще бъде намалена с 3б; фракция 11) може да бъде намалена с и и фракцията 12) може да бъде намалена с 7н... Получаваме:

Алгебричните изрази се използват за съставяне на формули.

Формулата е алгебричен израз, написан като равенство и изразяващ връзката между две или повече променливи. Пример: формула за път, която знаете s \u003d v t (s - изминато разстояние, v - скорост, t - време). Спомнете си какви други формули знаете.

Страница 1 от 1 1

Изразът е най-широкият математически термин. По същество в тази наука всичко се състои от тях и всички операции също се извършват върху тях. Друг е въпросът, че в зависимост от конкретния тип, абсолютно различни методи и трикове. И така, работата с тригонометрия, дроби или логаритми е три различни действия... Израз, който няма смисъл, може да бъде от два вида: числов или алгебричен. Но какво означава тази концепция, как изглежда нейният пример и други точки ще бъдат обсъдени по-нататък.

Числови изрази

Ако изразът се състои от числа, скоби, плюс-минус и други признаци на аритметични операции, той може безопасно да се нарече числов. Което е съвсем логично: просто трябва да погледнете още веднъж първия именован компонент.

Числовият израз може да бъде всичко: основното е, че не съдържа букви. И под „каквото и да било“ в този случай се разбира всичко: от прости, самотни, сами по себе си числа, до огромен списък от тях и признаци на аритметични операции, изискващи последващо изчисляване на крайния резултат. Фракцията също е числов израз, ако не съдържа никакви a, b, c, d и т.н., защото тогава това е съвсем различен вид, който ще бъде обсъден малко по-късно.

Условия за израз, който няма смисъл

Когато заданието започва с думата „изчисли“, може да се говори за трансформация. Работата е там, че това действие не винаги е целесъобразно: не е толкова необходимо, ако на преден план излезе израз, който няма смисъл. Примерите са безкрайно изумителни: понякога, за да разберете, че ни е настигнало, трябва да отваряте скобите дълго и досадно и да броите-броите-броите ...

Основното нещо, което трябва да запомните, е, че няма смисъл в израз, чийто краен резултат се свежда до действие, забранено в математиката. За да бъда напълно честен, тогава самата трансформация се обезсмисля, но за да разберете, първо трябва да я извършите. Такъв е парадоксът!

Най-известният, но не по-малко важен забранен математическо действие е деление на нула.

Следователно тук, например, има израз, който няма смисъл:

(17+11):(5+4-10+1).

Ако с помощта на прости изчисления намалите втората скоба до една цифра, тогава тя ще бъде нула.

По същия принцип, "почетна титла" се дава на този израз:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебрични изрази

Същият цифров израз е, ако към него добавите забранени букви. След това става пълноправен алгебричен. Може да се предлага във всякакви размери и форми. Алгебричният израз е по-широко понятие, което включва предишното. Но имаше смисъл да започнете разговор не с него, а с цифров, за да бъде по-ясен и по-лесен за разбиране. В крайна сметка има ли смисъл алгебричният израз не много сложен въпрос, но има повече пояснения.

Защо така?

Буквалният израз или изразът с променливи са синоними. Първият термин е лесен за обяснение: в края на краищата той съдържа букви! Второто също не е загадка на века: вместо букви можете да замествате различни числа, в резултат на което стойността на израза ще се промени. Лесно е да се досетим, че буквите в този случай са променливи. По аналогия числата са постоянни.

И тук се връщаме към основната тема: безсмислено?

Примери за алгебрични изрази, които нямат смисъл

Условието за безсмисленост на алгебричен израз е същото като за числов, само с едно изключение или по-точно добавяне. Когато преобразувате и изчислявате крайния резултат, трябва да вземете предвид променливите, така че въпросът не се поставя като "кой израз няма смисъл?", А "при каква стойност на променливата този израз няма смисъл?" и "има ли стойност за променливата, която обезсмисля израза?"

Например, (18-3) :( a + 11-9).

Горният израз е безсмислен, когато a е -2.

Но относно (a + 3): (12-4-8) можем спокойно да кажем, че това е израз, който няма смисъл за а.

По същия начин, каквото и b да включите (b - 11) :( 12 + 1), пак ще има смисъл.

Типични задачи по темата „Израз, който няма значение“

7 клас изучава тази тема, наред с други, по математика, а задачите по нея често се срещат както непосредствено след съответния урок, така и като „трик“ въпрос в модули и изпити.

Ето защо си струва да разгледате типични задачи и методи за тяхното решаване.

Пример 1.

Има ли смисъл изразът:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необходимо е да се извърши цялото изчисление в скоби и да се приведе изразът във формата:

Крайният резултат съдържа следователно изразът е безсмислен.

Пример 2.

Какви изрази нямат смисъл?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Изчисли крайна стойност за всеки от изразите.

Отговор: 1; 2.

Пример 3.

Намерете диапазона от валидни стойности за следните изрази:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Обхватът на допустимите стойности (ODZ) е всички тези числа, когато се заместват вместо израз на променлива ще има смисъл.

Тоест, задачата звучи като: намерете стойности, при които няма да има деление на нула.

1) b е (-∞; -17) & (-17; + ∞), или b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b е (-∞; 25) & (25; + ∞), или b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Пример 4.

За какви стойности изразът по-долу няма смисъл?

Втората скоба е нула, когато играта е -3.

Отговор: y \u003d -3

Пример 4.

Кои изрази са безсмислени само когато x \u003d -14?

1) 14: (х - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)) :( 7/8)).

2 и 3, тъй като в първия случай, ако замените x \u003d -14, тогава втората скоба е равна на -28, а не нула, както звучи в дефиницията на безсмислен израз.

Пример 5.

Създайте и запишете израз, който няма смисъл.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебрични изрази с две променливи

Въпреки факта, че всички изрази, които нямат смисъл, имат една и съща същност, има различни нива на тяхната сложност. Така че, можем да кажем, че числовите примери са прости примери, защото са по-лесни от алгебричните. Трудностите при решението се добавят и от броя на променливите в последната. Но те не трябва да бъдат във външния си вид: основното е да запомните общия принцип на решението и да го приложите, независимо дали примерът е подобен на типичен проблем или има някои неизвестни допълнения.

Например може да възникне въпросът как да се реши такава задача.

Намерете и напишете чифт числа, които не са валидни за израз:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y) / (12x 2 - y).

Опции за отговор:

Но в действителност изглежда само страшно и тромаво, защото всъщност съдържа онова, което отдавна е известно: квадратът и кубът на числата, някои аритметични операции като деление, умножение, изваждане и събиране. За удобство, между другото, проблемът може да бъде сведен до дробна форма.

Числителят на получената дроб не е доволен: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Това е факт. Но има и друга причина за щастие: дори не е нужно да го докосвате, за да решите задачата! Според дефиницията, обсъдена по-рано, не можете да разделите на нула и какво точно ще бъде разделено от нея, изобщо няма значение. Следователно оставяме този израз непроменен и заместваме двойки числа от тези опции в знаменателя. Вече третата точка се вписва идеално, превръщайки малката скоба в нула. Но да се спрем на това е лоша препоръка, защото може да се появи нещо друго. Всъщност петата точка също се вписва добре и отговаря на условието.

Записваме отговора: 3 и 5.

Накрая

Както можете да видите, тази тема е много интересна и не особено трудна. Няма да е трудно да го разберем. И все пак, никога не пречи да разработите няколко примера!

Изразът е най-широкият математически термин. По същество в тази наука всичко се състои от тях и всички операции също се извършват върху тях. Друг е въпросът, че в зависимост от конкретния вид се използват напълно различни методи и техники. И така, работата с тригонометрия, дроби или логаритми са три различни стъпки. Израз, който няма смисъл, може да бъде от два вида: числов или алгебричен. Но какво означава тази концепция, как изглежда нейният пример и други точки ще бъдат обсъдени по-нататък.

Числови изрази

Ако изразът се състои от числа, скоби, плюс-минус и други признаци на аритметични операции, той може безопасно да се нарече числов. Което е съвсем логично: просто трябва да погледнете още веднъж първия именован компонент.

Числовият израз може да бъде всичко: основното е, че не съдържа букви. И под „каквото и да било“ в този случай се разбира всичко: от прости, самотни, сами по себе си числа, до огромен списък от тях и признаци на аритметични операции, изискващи последващо изчисляване на крайния резултат. Фракцията също е числов израз, ако не съдържа никакви a, b, c, d и т.н., защото тогава това е съвсем различен вид, за който ще стане дума малко по-късно.

Условия за израз, който няма смисъл

Когато заданието започва с думата „изчисли“, може да се говори за трансформация. Работата е там, че това действие не винаги е целесъобразно: не е толкова необходимо, ако на преден план излезе израз, който няма смисъл. Примерите са безкрайно изумителни: понякога, за да разберете, че ни е настигнало, трябва да отваряте скобите дълго и досадно и да броите-броите-броите ...

Основното нещо, което трябва да запомните, е, че няма смисъл в израз, чийто краен резултат се свежда до действие, забранено в математиката. За да бъда напълно честен, тогава самата трансформация се обезсмисля, но за да разберете, първо трябва да я извършите. Такъв е парадоксът!

Най-известното, но не по-малко важно забранено математическо действие е делението на нула.

Следователно тук, например, има израз, който няма смисъл:

(17+11):(5+4-10+1).

Ако с помощта на прости изчисления намалите втората скоба до една цифра, тогава тя ще бъде нула.

По същия принцип, "почетна титла" се дава на този израз:

(5-18):(19-4-20+5).

Алгебрични изрази

Същият цифров израз е, ако към него добавите забранени букви. След това става пълноправен алгебричен. Може да се предлага във всякакви размери и форми. Алгебричният израз е по-широко понятие, което включва предишното. Но имаше смисъл да започнете разговор не с него, а с цифров, за да бъде по-ясен и по-лесен за разбиране. В крайна сметка има ли смисъл алгебричният израз не много сложен въпрос, но има повече пояснения.

Защо така?

Буквалният израз или изразът с променливи са синоними. Първият термин е лесен за обяснение: в края на краищата той съдържа букви! Второто също не е загадка на века: вместо букви можете да замените различни цифри, в резултат на което значението на израза ще се промени. Лесно е да се досетим, че буквите в този случай са променливи. По аналогия числата са постоянни.

И тук се връщаме към основната тема: какво е израз, който няма смисъл?

Примери за алгебрични изрази, които нямат смисъл

Условието за безсмисленост на алгебричен израз е същото като за числов, само с едно изключение или по-точно добавяне. Когато преобразувате и изчислявате крайния резултат, трябва да вземете предвид променливите, така че въпросът не се поставя като "кой израз няма смисъл?", А "при каква стойност на променливата този израз няма смисъл?" и "има ли стойност за променливата, която обезсмисля израза?"

Например, (18-3) :( a + 11-9).

Горният израз е безсмислен, когато a е -2.

Но относно (a + 3): (12-4-8) можем спокойно да кажем, че това е израз, който няма смисъл за а.

По същия начин, каквото и b да включите (b - 11) :( 12 + 1), пак ще има смисъл.

Типични задачи по темата „Израз, който няма значение“

7 клас изучава тази тема, наред с други, по математика, а задачите по нея често се срещат както непосредствено след съответния урок, така и като „трик“ въпрос в модули и изпити.

Ето защо си струва да разгледате типични задачи и методи за тяхното решаване.

Пример 1.

Има ли смисъл изразът:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Необходимо е да се извърши цялото изчисление в скоби и да се приведе изразът във формата:

Крайният резултат съдържа деление на нула, така че изразът е безсмислен.

Пример 2.

Какви изрази нямат смисъл?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Изчислете крайната стойност за всеки от изразите.

Отговор: 1; 2.

Пример 3.

Намерете диапазона от валидни стойности за следните изрази:

1) (11-4) / (b + 17);

2) 12 / (14-b + 11).

Обхватът на валидните стойности (ADV) е всички тези числа, когато замества вместо променливи, изразът ще има смисъл.

Тоест, задачата звучи като: намерете стойности, при които няма да има деление на нула.

1) b е (-∞; -17) & (-17; + ∞), или b\u003e -17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b е (-∞; 25) & (25; + ∞), или b\u003e 25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Пример 4.

За какви стойности изразът по-долу няма смисъл?

Втората скоба е нула, когато играта е -3.

Отговор: y \u003d -3

Пример 4.

Кои изрази са безсмислени само когато x \u003d -14?

1) 14: (х - 14);

2) (3 + 8x) :( 14 + x);

3) (x / (14 + x)) :( 7/8)).

2 и 3, тъй като в първия случай, ако замените x \u003d -14, тогава втората скоба е равна на -28, а не нула, както звучи в дефиницията на безсмислен израз.

Пример 5.

Създайте и запишете израз, който няма смисъл.

18/(2-46+17-33+45+15).

Алгебрични изрази с две променливи

Въпреки факта, че всички изрази, които нямат смисъл, имат една и съща същност, има различни нива на тяхната сложност. Така че, можем да кажем, че числовите примери са прости примери, защото са по-лесни от алгебричните. Трудностите при решението се добавят и от броя на променливите в последната. Но те не трябва да бъркат с външния си вид: най-важното е да запомните общия принцип на решението и да го приложите, независимо дали примерът изглежда като типичен проблем или има някои неизвестни допълнения.

Например може да възникне въпросът как да се реши такава задача.

Намерете и напишете чифт числа, които не са валидни за израз:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y) / (12x2 - y).

Опции за отговор:

Но в действителност изглежда само страшно и тромаво, защото всъщност съдържа онова, което отдавна е известно: квадратът и кубът на числата, някои аритметични операции като деление, умножение, изваждане и събиране. За удобство, между другото, проблемът може да бъде сведен до дробна форма.

Числителят на получената дроб не е доволен: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Това е факт. Но има и друга причина за щастие: дори не е нужно да го докосвате, за да решите задачата! Според дефиницията, обсъдена по-рано, не можете да разделите на нула и какво точно ще бъде разделено от нея, изобщо няма значение. Следователно оставяме този израз непроменен и заместваме двойки числа от тези опции в знаменателя. Вече третата точка се вписва идеално, превръщайки малката скоба в нула. Но да се спрем на това е лоша препоръка, защото може да се появи нещо друго. Всъщност петата точка също се вписва добре и отговаря на условието.

Записваме отговора: 3 и 5.

Накрая

Както можете да видите, тази тема е много интересна и не особено трудна. Няма да е трудно да го разберем. И все пак, никога не пречи да разработите няколко примера!

Когато изучавате темата, числовите, буквалните и променливите изрази трябва да обърнат внимание на концепцията стойност на израза... В тази статия ще отговорим на въпроса каква е стойността на числовия израз и какво се нарича стойност на буквален израз и израз с променливи за избраните стойности на променливите. Ето няколко примера за изясняване на тези определения.

Навигация по страници.

Каква е стойността на числовия израз?

Запознаването с числови изрази започва почти от първите уроци по математика в училище. Понятието „стойността на числовия израз“ беше въведено почти веднага. Посочва се като изрази, съставени от числа, свързани с аритметични знаци (+, -, ·, :). Нека дадем подходяща дефиниция.

Определение.

Стойността на числов израз - Това е числото, което се получава след извършване на всички действия в оригиналния цифров израз.

Например, помислете за числовия израз 1 + 2. След завършване получаваме числото 3, то е стойността на числовия израз 1 + 2.

Често във фразата „стойността на числов израз“ думата „числова“ е пропусната и те просто казват „значението на израза“, тъй като все още е ясно кой израз се има предвид.

Горната дефиниция на значението на даден израз се отнася и за числови изрази с по-сложна форма, които се изучават в гимназията. Тук трябва да се отбележи, че можете да срещнете числови изрази, чиито стойности не могат да бъдат посочени. Това се дължи на факта, че в някои изрази е невъзможно да се извършат записаните действия. Следователно, следователно, не можем да посочим стойността на израза 3: (2-2). Извикват се числови изрази като този изрази, които нямат смисъл.

Често на практика лихвата е не толкова числов израз, колкото неговата стойност. Тоест, задачата е да се определи значението на този израз. В този случай те обикновено казват, че трябва да намерите стойността на израза. В тази статия процесът на намиране на стойността на числовите изрази от различен тип е анализиран подробно и са разгледани много примери с подробни описания на решения.

Значение на буквалния израз и израз с променливи

В допълнение към числовите изрази се изучават и буквални изрази, тоест изрази, в записа на които, заедно с цифрите, присъстват една или повече букви. Буквите в азбучен израз могат да представляват различни цифри и ако буквите се заменят с тези числа, азбучният израз става цифров.

Определение.

Извикват се числата, които заместват буквите в буквален израз значенията на тези букви, и се извиква стойността на числовия израз, получен в този случай стойността на буквалния израз, като се имат предвид стойностите на буквите.

Така че, за буквалните изрази се говори не просто за значението на буквалния израз, а за значението на буквалния израз с дадените (дадени, посочени и т.н.) стойности на буквите.

Нека дадем пример. Да вземем буквалния израз 2 · a + b. Нека да бъдат дадени стойностите на буквите a и b, например a \u003d 1 и b \u003d 6. Заменяйки буквите в оригиналния израз с техните стойности, получаваме числов израз на формата 2 1 + 6, стойността му е 8. По този начин числото 8 е стойността на буквалния израз 2 a + b за дадените стойности на буквите a \u003d 1 и b \u003d 6. Ако бяха дадени други значения на буквите, тогава щяхме да получим значението на буквения израз за тези буквени значения. Например за a \u003d 5 и b \u003d 1 имаме стойността 2 5 + 1 \u003d 11.

В гимназията, когато изучават алгебра, буквите в буквените изрази имат право да приемат различни значения, такива букви се наричат \u200b\u200bпроменливи, а буквените изрази се наричат \u200b\u200bизрази с променливи. За тези изрази се въвежда концепцията за стойността на израз с променливи за избраните стойности на променливите. Нека да разберем какво е това.

Определение.

Стойността на израз с променливи с избраните стойности на променливите е стойността на числов израз, който се получава след заместване на избраните стойности на променливи в оригиналния израз.

Нека обясним това определение с пример. Помислете за израз с променливи x и y от формата 3 x y + y. Вземете x \u003d 2 и y \u003d 4, заменете тези стойности на променливите в оригиналния израз, получаваме числовия израз 3 · 2 · 4 + 4. Нека изчислим стойността на този израз: 3 · 2 · 4 + 4 \u003d 24 + 4 \u003d 28. Намерената стойност 28 е стойността на оригиналния израз с променливи 3 x y + y за избраните стойности на променливите x \u003d 2 и y \u003d 4.

Ако изберете други стойности на променливите, например x \u003d 5 и y \u003d 0, тогава тези избрани стойности на променливите ще съответстват на стойността на израза с променливи, равни на 3 · 5 · 0 + 0 \u003d 0.

Може да се отбележи, че понякога за различни избрани стойности на променливи могат да се получат равни стойности на израза. Например за x \u003d 9 и y \u003d 1 стойността на израза 3 x y + y е 28 (тъй като 3 9 1 + 1 \u003d 27 + 1 \u003d 28) и по-горе показахме, че същата стойност е израз с променливи има за x \u003d 2 и y \u003d 4.

Променливите стойности могат да бъдат избрани от съответните диапазони на валидни стойности... В противен случай заместването на стойностите на тези променливи в оригиналния израз ще доведе до числов израз, който няма смисъл. Например, ако изберете x \u003d 0 и замените тази стойност в израза 1 / x, тогава ще получите числов израз 1/0, което няма смисъл, тъй като делението на нула не е дефинирано.

Остава само да добавим, че има изрази с променливи, чиито стойности не зависят от стойностите на променливите, включени в тях. Например стойността на израз с променлива x от формата 2 + x - x не зависи от стойността на тази променлива, тя е равна на 2 за всяка избрана стойност на променливата x от обхвата на допустимите й стойности , което в случая е множеството от всички реални числа.

Списък на литературата.

• Математика: учебник. за 5 cl. общо образование. институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбург. - 21-во издание, Изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: Ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра: проучване. за 7 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М .: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: проучване. за 8 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Числов израз Записва ли числа, аритметични знаци и скоби. Числовият израз може да се състои само от едно число. Нека напомним, че основните аритметични операции са „събиране“, „изваждане“, „умножение“ и „деление“. Тези действия съответстват на знаците "+", "-", "∙", ":".

Разбира се, за да получим числов израз, нотацията на числата и аритметичните знаци трябва да има смисъл. Така например, такова обозначение 5: + ∙ не може да се нарече числов израз, тъй като това е произволен набор от знаци, който няма значение. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 вече е реален числов израз.

Стойността на числов израз.

Нека веднага кажем, че ако изпълним действията, посочени в числов израз, тогава ще получим число в резултат. Този номер се нарича стойността на числов израз.

Нека се опитаме да изчислим какво получаваме в резултат на извършването на действията от нашия пример. Според реда на извършване на аритметични операции първо извършваме операцията по умножение. Умножете 8 по 9. Вземете 72. Сега добавете 72 и 5. Вземете 77.
Така 77 - стойност числов израз 5 + 8 ∙ 9.

Числово равенство.

Можете да го напишете по следния начин: 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77. Тук първо използвахме знака "\u003d" ("Равен"). Извиква се такава нотация, в която два числови израза са разделени със знака "\u003d" числово равенство... Освен това, ако стойностите на лявата и дясната страна на равенството съвпадат, тогава се извиква равенството верен... 5 + 8 ∙ 9 \u003d 77 - истинско равенство.
Ако напишем 5 + 8 ∙ 9 \u003d 100, тогава вече ще бъде фалшиво равенство, тъй като стойностите на лявата и дясната страна на това равенство вече не съвпадат.

Трябва да се отбележи, че можем да използваме и скоби в числов израз. Скобите влияят на реда, в който се извършват действията. Така например, нека модифицираме нашия пример, като добавим скоби: (5 + 8) ∙ 9. Сега първо трябва да добавите 5 и 8. Получаваме 13. И след това умножаваме 13 по 9. Получаваме 117. По този начин ( 5 + 8) ∙ 9 \u003d 117.
117 – стойност числов израз (5 + 8) ∙ 9.

За да прочетете правилно израз, трябва да определите кое действие се изпълнява последно, за да изчислите стойността на даден цифров израз. Така че, ако последното действие е изваждане, тогава изразът се нарича "разлика". Съответно, ако последното действие е сумата - "сума", деление - "коефициент", умножение - "продукт", степенуване - "степен".

Например числовият израз (1 + 5) (10-3) се чете по следния начин: "произведението на сумата от числа 1 и 5 от разликата между числа 10 и 3".

Примери за числови изрази.

Ето пример за по-сложен числов израз:

\\ [\\ ляво (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ дясно): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \\]

В скоби имаме израза $ \\ frac (1) (4) + 3.75 $. Преобразувайте десетичния 3.75 в дроб.

$ 3,75 \u003d 3 \\ frac (75) (100) \u003d 3 \\ frac (3) (4) $

Така, $ \\ frac (1) (4) + 3.75 \u003d \\ frac (1) (4) +3 \\ frac (3) (4) \u003d 4 $

Освен това, в числителя на фракцията \\ [\\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \\] имаме израза 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47. За да опростим този израз, ние прилагаме закона за преместване на добавяне, който казва: "Сумата не се променя от промяната на местата на термините." Тоест 1,25 + 3,47 + 4,75-1,47 \u003d 1,25 + 4,75 + 3,47-1,47 \u003d 6 + 2 \u003d 8.

В знаменателя на фракцията изразът $ 4 \\ centerdot 0,5 \u003d 4 \\ centerdot \\ frac (1) (2) \u003d 4: 2 \u003d 2 $

Получаваме $ \\ ляво (\\ frac (1) (4) +3,75 \\ дясно): \\ frac (1,25 + 3,47 + 4,75-1,47) (4 \\ centerdot 0,5) \u003d 4: \\ frac (8) (2) \u003d 4: 4 \u003d 1 $

Кога цифровите изрази са безсмислени?

Да вземем друг пример. В знаменателя на фракцията $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ стойността на израза $ 3 \\ centerdot 3-9 $ е 0. И както знаем, разделянето на нула е невъзможно. Следователно фракцията $ \\ frac (5 + 5) (3 \\ centerdot 3-9) $ няма стойност. За числовите изрази, които нямат значение, се казва, че са „безсмислени“.

Ако използваме букви в допълнение към цифрите в числови термини, тогава ще получим вече