Поздрави, котки! Последния път разгледахме подробно какви са корените (ако не си спомняте, препоръчвам да прочетете). Основният извод от този урок е, че има само едно универсално определение за корени, което трябва да знаете. Останалото е глупост и загуба на време.

Днес отиваме по-далеч. Ще се научим да умножаваме корени, ще изучаваме някои от проблемите, свързани с умножението (ако тези проблеми не бъдат решени, тогава те могат да станат фатални на изпита) и да практикуваме правилно. Затова се запасете с пуканки, настанете се удобно и ще започнем. :)

Още не сте го вкусили, нали?

Урокът се оказа доста дълъг, затова го разделих на две части:

1. Първо ще разгледаме правилата за умножение. Капачка сякаш подсказва: това е, когато има два корена, между тях има знак „умножи се“ - и ние искаме да направим нещо по въпроса.
2. След това ще анализираме обратната ситуация: има един голям корен и бяхме впечатлени да го представим като продукт на два по-прости корена. С каква страх е необходимо това - отделен въпрос. Ще анализираме само алгоритъма.

За тези, които нямат търпение да преминат направо към втората част - заповядайте. Нека започнем с останалите по ред.

Основно правило за умножение

Нека започнем с най-простото - класическите квадратни корени. Същите, които са означени с $ \\ sqrt (a) $ и $ \\ sqrt (b) $. За тях всичко обикновено е очевидно:

Правило за умножение. За да умножите един квадратен корен по друг, просто трябва да умножите техните радикални изрази и да запишете резултата под общия радикал:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Не се налагат допълнителни ограничения за числата отдясно или отляво: ако кореновите фактори съществуват, тогава продуктът също съществува.

Примери. Нека да разгледаме четири примера с числа едновременно:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27 )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Както можете да видите, основната точка на това правило е да се опростят ирационалните изрази. И ако в първия пример ние самите бихме извлекли корените от 25 и 4 без никакви нови правила, тогава калайът започва по-нататък: $ \\ sqrt (32) $ и $ \\ sqrt (2) $ самите не се броят, но техният продукт се оказва точен квадрат, така че коренът от него е равен на рационалното число.

Бих искал да отбележа и последния ред. Там и двата радикални израза са фракции. Благодарение на продукта много фактори се анулират и целият израз се превръща в адекватен брой.

Разбира се, не винаги всичко ще бъде толкова красиво. Понякога под корените ще има пълна бъркотия - не е ясно какво да се прави с нея и как да се трансформира след умножението. Малко по-късно, когато започнете да изучавате ирационални уравнения и неравенства, като цяло ще има всякакви променливи и функции. И много често съставителите на задачи просто очакват, че ще намерите някои анулиращи условия или фактори, след което задачата ще бъде значително опростена.

Освен това изобщо не е необходимо да се умножават точно два корена. Можете да умножите три наведнъж, четири - но поне десет! Това няма да промени правилото. Погледни:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0,001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0,001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ край (подравняване) \\]

И отново малка забележка според втория пример. Както можете да видите, в третия фактор под корена има десетична фракция - в процеса на изчисления ние го заместваме с обичайния, след което всичко лесно се анулира. И така: Силно препоръчвам да се отървете от десетичните дроби във всякакви ирационални изрази (т.е. съдържащи поне един радикален знак). Това ще ви спести много време и разочарование в бъдеще.

Но това беше лирично отклонение. Сега помислете за повече общ случай - когато основният експонент съдържа произволен номер $ n $, не само "класическите" две.

Произволен случай на индикатор

И така, разбрахме квадратните корени. И какво да правим с кубичните? Или като цяло с корени от произволна степен $ n $? Да, всичко е същото. Правилото остава същото:

За да умножите два корена от степен $ n $, е достатъчно да умножите техните радикални изрази и след това да запишете резултата под един радикал.

Като цяло, нищо сложно. Освен че количеството на изчисленията може да бъде повече. Нека разгледаме няколко примера:

Примери. Изчислете продуктите:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d пет; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0.16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3))) (((25) ^ (3)) )) \u003d \\ sqrt (((\\ ляво (\\ frac (4) (25) \\ дясно)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ край (подравняване) \\]

И отново внимание към втория израз. Умножаваме кубични корени, отървавам се от десетична дроб и в резултат получаваме в знаменателя произведението на числата 625 и 25. Това е доста голям брой - лично аз няма да изчисля веднага на какво е равно.

Затова просто избрахме точния куб в числителя и знаменателя и след това използвахме едно от ключовите свойства (или, ако предпочитате, дефиницията) на $ n $ -тия корен:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ ляво | a \\ вдясно |. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Подобни "машинации" могат значително да ви спестят време на изпита или тестова работатака че запомнете:

Не бързайте да умножавате числа в радикален израз. Първа проверка: какво ще стане, ако точната степен на някакъв израз е „криптирана“ там?

С цялата очевидност на тази забележка, трябва да призная, че повечето нетренирани ученици не виждат точните градуси в точката. Вместо това те умножават всичко направо и след това се чудят: защо са получили толкова брутални цифри? :)

Всичко това обаче е по детски в сравнение с това, което ще изучаваме сега.

Умножение на корени с различни показатели

Добре, сега знаем как да умножаваме корените със същите показатели. Ами ако показателите са различни? Кажете, как да умножим обичайните $ \\ sqrt (2) $ по някакви глупости като $ \\ sqrt (23) $? Можете ли да направите това изобщо?

Да, разбира се, че можете. Всичко се прави по тази формула:

Правило за умножение на корен. За да умножите $ \\ sqrt [n] (a) $ по $ \\ sqrt [p] (b) $, просто трябва да извършите следната трансформация:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Тази формула обаче работи само ако радикалните изрази са неотрицателни... Това е много важен момент, към който ще се върнем малко по-късно.

Засега нека разгледаме няколко примера:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3))) \u003d \\ sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Както виждате, нищо сложно. Сега нека разберем откъде идва изискването за неотрицателност и какво се случва, ако го нарушим. :)

Защо радикалните изрази трябва да са неотрицателни?

Разбира се, човек може да стане като учителски учители и умно да цитирам урока:

Изискването за неотрицателност е свързано с различни дефиниции на корени на четна и нечетна степен (съответно техните области на дефиниция също са различни).

Е, стана ли по-ясно? Лично аз, когато четях тези глупости в 8-ми клас, разбрах нещо подобно: „Изискването за не-негативизъм е свързано с * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%“ - накратко, не Понякога не разбирам нищо. :)

Така че сега ще обясня всичко по нормален начин.

Първо, нека разберем откъде идва формулата за умножение, дадена по-горе. За да направите това, нека ви напомня за едно важно свойство на корена:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

С други думи, можем спокойно да издигнем радикалния израз до всеки естествена степен $ k $ - в този случай основната степен ще трябва да бъде умножена по една и съща мощност. Следователно можем лесно да намалим всички корени до общ показател и след това да умножим. Следователно се взема формулата за умножение:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Но има един проблем, който силно ограничава прилагането на всички тези формули. Помислете за този номер:

Според току-що дадената формула можем да добавим всяка степен. Нека се опитаме да добавим $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ ляво (-5 \\ дясно)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (2))) \\]

Премахнахме минуса точно защото квадратът изгаря минуса (както всяка друга четна мощност). А сега нека извършим обратната трансформация: ще „намалим“ двете в степен и степен. В края на краищата всяко равенство може да се чете както отляво надясно, така и отдясно наляво:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n ] (а); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Но след това се оказва някаква глупост:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

Това не може да бъде, защото $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ и $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Това означава, че за четни градуси и отрицателни числа нашата формула вече не работи. Тогава имаме две възможности:

1. Удряйте се в стената, за да заявите, че математиката е глупава наука, където „има някои правила, но това е неточно“;
2. Въведете допълнителни ограничения, при които формулата ще стане 100% работеща.

В първия вариант ще трябва непрекъснато да хващаме „неработещи“ случаи - това е трудно, дълго и като цяло fu. Следователно математиците предпочетоха втория вариант. :)

Но не се притеснявайте! На практика това ограничение по никакъв начин не засяга изчисленията, тъй като всички описани проблеми се отнасят само до корени с нечетна степен и от тях можете да извадите минусите.

Затова ще формулираме още едно правило, което се прилага като цяло за всички действия с корени:

Преди да умножите корените, уверете се, че радикалните изрази са неотрицателни.

Пример. В числото $ \\ sqrt (-5) $ можете да извадите минуса под знака за корен - тогава всичко ще бъде наред:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ end (align) \\]

Усещате ли разликата? Ако оставите минуса под корена, тогава, когато радикалният израз е на квадрат, той изчезва и започва глупостта. И ако първо извадите минуса, тогава можете дори да издигнете / премахнете квадрата, дори преди да стане син - числото ще остане отрицателно. :)

По този начин, най-правилните и най-много надежден начин умножаването на корените е както следва:

1. Премахнете всички минуси изпод радикалите. В корените с нечетна множественост има само недостатъци - те могат да бъдат поставени пред корена и, ако е необходимо, да бъдат съкратени (например, ако има два от тези недостатъци).
2. Извършете умножение съгласно правилата, обсъдени по-горе в днешния урок. Ако индексите на корените са еднакви, ние просто умножаваме радикалните изрази. И ако те са различни, използваме злата формула \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\].
3. 3. Радваме се на резултата и добрите оценки. :)

Добре? Да се \u200b\u200bупражняваме?

Пример 1. Опростете израза:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ ляво (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3 )) \\ вдясно) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ sqrt (64) \u003d - 4; \\ край (подравняване) \\]

Това е най-простият вариант: индексите на корените са еднакви и странни, проблемът е само в минуса на втория фактор. Изваждаме този минус нафиг, след което всичко се разглежда лесно.

Пример 2. Опростете израза:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((\\ вляво (((2) ^ (5)) \\ вдясно)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ вляво (((2) ^ (2)) \\ вдясно)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ end ( подравняване) \\]

Тук мнозина биха били объркани от факта, че изходът е ирационално число. Да, случва се: не можахме напълно да се отървем от корена, но поне значително опростихме израза.

Пример 3. Опростете израза:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ ляво ((( а) ^ (4)) \\ вдясно)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ end (подравняване) \\]

Бих искал да насоча вниманието ви към тази задача. Има две точки наведнъж:

1. Коренът не е определен брой или степен, а променливата $ a $. На пръв поглед това е малко необичайно, но в действителност, когато решавате математически задачи, най-често трябва да се справяте с променливи.
2. В крайна сметка успяхме да „отрежем“ степента на корена и степента в радикалния израз. Това се случва доста често. И това означава, че е било възможно значително да се опростят изчисленията, ако не сте използвали основната формула.

Например можете да направите това:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ ляво (((a) ^ ( 4)) \\ вдясно)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ \\ \\ край (подравняване) \\]

Всъщност всички трансформации са извършени само с втория радикал. И ако не опишете подробно всички междинни стъпки, тогава в крайна сметка размерът на изчисленията значително ще намалее.

Всъщност вече срещнахме подобна задача по-горе, когато решихме примера $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $. Сега може да се опише много по-просто:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (( (\\ ляво (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ дясно)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((\\ ляво (75 \\ дясно)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ край (подравняване) \\]

Е, разбрахме умножението на корените. Сега помислете за обратната операция: какво да правите, когато продуктът е под корена?

Вземането на корена на квадранта на число не е единствената операция, която може да се извърши с това математическо явление. Подобно на обикновените числа, квадратните корени се добавят и изваждат.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила за събиране и изваждане за квадратни корени

Действия като събиране и изваждане на квадратния корен са възможни само ако изразът е същият.

Пример 1

Можете да добавяте или изваждате изрази 2 3 и 6 3но не и 5 6 и 9 4. Ако е възможно да опростите израза и да го доведете до корените със същото радикално число, тогава опростете и след това добавете или извадете.

Вкоренени дейности: Основите

6 50 - 2 8 + 5 12

Алгоритъм на действие:

1. Опростете радикалния израз... За да направите това, трябва да разложите радикалния израз на 2 фактора, единият от които е квадратно число (число, от което се извлича цял квадратен корен, например 25 или 9).
2. След това трябва да извлечете корена на квадратното число и запишете получената стойност преди знака за корен. Моля, обърнете внимание, че вторият фактор се въвежда под коренния знак.
3. След процеса на опростяване е необходимо да се подчертаят корените със същите радикални изрази - само те могат да се добавят и изваждат.
4. За корени със същите радикални изрази е необходимо да се добавят или изваждат фактори, които стоят пред знака на корена. Радикалният израз остава непроменен. Не можете да добавяте или изваждате радикални числа!

Съвет 1

Ако имате пример с голям брой идентични радикални изрази, тогава подчертайте такива изрази с единични, двойни и тройни линии, за да улесните процеса на изчисление.

Пример 3

Нека се опитаме да разрешим този пример:

6 50 \u003d 6 (25 × 2) \u003d (6 × 5) 2 \u003d 30 2. Първо, трябва да разложите 50 на 2 фактора 25 и 2, след това да извлечете корена от 25, което е 5, и да извадите 5 от под корена. След това трябва да умножите 5 по 6 (коефициентът в основата) и да получите 30 2.

2 8 \u003d 2 (4 × 2) \u003d (2 × 2) 2 \u003d 4 2. Първо, трябва да разчетете 8 на 2 фактора: 4 и 2. След това извлечете корена от 4, което е 2, и извадете 2 изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 2 (коефициентът в основата) и да получите 4 2.

5 12 \u003d 5 (4 × 3) \u003d (5 × 2) 3 \u003d 10 3. Първо, трябва да разчетете 12 на 2 фактора: 4 и 3. След това извлечете корена от 4, което е 2, и го извадете изпод корена. След това трябва да умножите 2 по 5 (коефициентът в основата) и да получите 10 3.

Резултат от опростяване: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В резултат видяхме колко идентични радикални израза се съдържат в този пример... Сега нека практикуваме с други примери.

Пример 4

• Ние опростяваме (45). Коефициент 45: (45) \u003d (9 × 5);
• Изваждаме 3 от под корен (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Добавете факторите в корените: 3 5 + 4 5 \u003d 7 5.

Пример 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Опростете 6 40. Коефициент 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10);
• Изваждаме 2 от под корен (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Умножаваме множителите пред корена: 12 10;
• Записваме израза в опростена форма: 12 10 - 3 10 + 5;
• Тъй като първите два члена имат еднакви радикални числа, можем да ги извадим: (12 - 3) 10 \u003d 9 10 + 5.

Пример 6

Както виждаме, не е възможно да се опростят радикалните числа, затова търсим членове със същите радикални числа в примера, извършваме математически операции (добавяне, изваждане и т.н.) и записваме резултата:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Съвет:

• Преди да добавите или извадите, не забравяйте да опростите (ако е възможно) радикалните изрази.
• Добавянето и изваждането на корени с различни радикални изрази е строго забранено.
• Цяло число или корен не трябва да се добавят или изваждат: 3 + (2 x) 1/2.
• Когато извършвате действия с дроби, трябва да намерите число, което се дели на всеки знаменател, след което да намалите дроби до общ знаменател, след това добавете числителите и оставете знаменателите непроменени.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да се използват за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние можем да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна поща и т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време можем да използваме вашата лична информация за изпращане на важни известия и съобщения.
• Можем също да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобно промоционално събитие, ние можем да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получена от вас информация на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в пробен период, и / или въз основа на публични искания или искания от държавни агенции на територията на Руската федерация - за разкриване на вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба можем да прехвърлим събраната от нас лична информация на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Вземаме предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, изменение и унищожаване.

Уважение към вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е в безопасност, ние предоставяме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Най-лесният начин да извадите корена от число е с калкулатор. Но ако нямате калкулатор, тогава трябва да знаете алгоритъма за изчисляване на квадратния корен. Факт е, че под корена има квадратно число. Например, 4 на квадрат е 16. Тоест квадратният корен от 16 ще бъде равен на четири. Също така 5 на квадрат е 25. Следователно коренът на 25 ще бъде 5. И така нататък.

Ако броят е малък, тогава той може лесно да бъде изваден устно, например коренът от 25 ще бъде 5, а коренът от 144 е 12. Можете също да изчислите на калкулатора, има специална икона на корен, трябва да вкарате число и да кликнете върху иконата.

Таблицата с квадратни корени също ще помогне:

Има повече начини, които са по-сложни, но много ефективни:

Коренът на произволно число може да бъде изваден с помощта на калкулатор, особено след като те са във всеки телефон днес.

Можете да опитате грубо да прецените как това число може да бъде получено чрез умножаване на едно число само по себе си.



Изчисляването на квадратния корен на число не е трудно, особено ако имате специална таблица. Добре позната таблица от уроците по алгебра. Тази операция се нарича вземане на квадратния корен от числото a, с други думи, решаване на уравнението. Почти всички калкулатори в смартфоните имат функция за определяне на квадратния корен.



Резултатът от извличането на квадратния корен от известно число ще бъде друго число, което, когато се повиши до втората степен (квадрат), ще даде същото число, което познаваме. Помислете за едно от описанията на изчисленията, което изглежда кратко и ясно:







Ето свързано видео:

Има няколко начина за изчисляване на квадратния корен от число.

Най-популярният начин е да се използва специална коренна таблица (виж по-долу).

Също така на всеки калкулатор има функция, с която можете да разберете корен.

Или с помощта на специална формула.



Има няколко начина за извличане на квадратния корен от число. Един от тях е най-бързият, използвайки калкулатор.

Но ако няма калкулатор, можете да го направите ръчно.

Резултатът ще бъде точен.

Принципът е почти същият като дългото разделяне:



















Нека се опитаме да намерим квадратния корен от число без калкулатор, например 190969.







По този начин всичко е изключително просто. При изчисленията основното е да се придържате към определени прости правила и мисли логично.

Това изисква таблица на квадратите



Например коренът от 100 \u003d 10, от 20 \u003d 400 от 43 \u003d 1849

Сега почти всички калкулатори, включително тези на смартфони, могат да изчислят квадратния корен на число. НО ако нямате калкулатор, тогава можете да намерите корена на числото по няколко прости начина:

Разлагане в основни фактори



Фактор на радикалното число, което е квадратни числа... В зависимост от коренния номер ще получите приблизителен или точен отговор. Квадратните числа са числа, от които може да се извлече цял квадратен корен. Числови фактори, които при умножаване дават оригиналното число. Например, факторите на 8 са 2 и 4, тъй като 2 x 4 \u003d 8, 25, 36, 49 са квадратни числа, тъй като 25 \u003d 5, 36 \u003d 6, 49 \u003d 7. Квадратните фактори са фактори, които са квадратни числа. .. Първо, опитайте се да изчислите корена на квадрат.

Например изчислете квадратния корен от 400 (ръчно). Първо, опитайте се на квадрат 400. 400 е кратно на 100, тоест делимо на 25 е квадратното число. Ако разделите 400 на 25, получавате 16, което също е квадратно число. По този начин 400 могат да бъдат разчетени на квадратни коефициенти от 25 и 16, т.е. 25 х 16 \u003d 400.

Запишете го като: 400 \u003d (25 x 16).



Квадратният корен от произведението на някои членове е равен на произведението на квадратните корени на всеки член, т.е. (a x b) \u003d a x b. Използвайки това правило, вземете квадратния корен от всеки квадратен коефициент и умножете резултатите, за да намерите своя отговор.

В нашия пример извлечете корена от 25 и 16.



Ако коренният номер не се раздели на две квадратен коефициент (което се случва през повечето време), няма да можете да намерите точния отговор като цяло число. Но можете да опростите проблема, като разберете корена на числото в квадратен и обикновен коефициент (число, от което не може да бъде извлечен целият квадратен корен). След това ще вземете квадратния корен от квадратния фактор и ще вземете корена на обикновения множител.

Например изчислете квадратния корен от числото 147. Числото 147 не може да се раздели на два квадратни множителя, но може да се раздели на следните фактори: 49 и 3. Решете задачата по следния начин:



Сега можете да изчислите коренната стойност (да намерите приблизителна стойност), като я сравните със стойностите на квадратните корени, които са най-близо (от двете страни на числовата линия) до коренния номер. Ще получите коренната стойност като десетична дроб, която трябва да се умножи по числото зад коренния знак.

Да се \u200b\u200bвърнем към нашия пример. Радикалното число 3. Най-близките квадратни числа до него ще бъдат числата 1 (1 \u003d 1) и 4 (4 \u003d 2). Така че 3 е между 1 и 2. Тъй като 3 вероятно е по-близо до 2 от 1, нашата оценка е 3 \u003d 1.7. Умножаваме тази стойност по числото в коренния знак: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ако правите изчисленията на калкулатор, получавате 12.13, което е доста близо до нашия отговор.

Този метод работи и с големи числа. Например, помислете за 35. Коренното число е 35. Най-близките квадратни числа са 25 (25 \u003d 5) и 36 (36 \u003d 6). Така че 35 е между 5 и 6. Тъй като 35 е много по-близо до 6, отколкото до 5 (защото 35 е само 1 по-малко от 36), тогава можем да кажем, че 35 е малко по-малко от 6. Проверката на калкулатора ни дава отговор 5.92 - бяхме прави.



Друг начин е да разделим радикалното число на основни фактори. Първични фактори на число, които се делят само на 1 и самите те. Напишете главните фактори подред и намерете двойки от същите фактори. Такива фактори могат да бъдат взети извън кореновия знак.

Например, изчислете квадратния корен от 45. Разлагаме радикалното число на прости множители: 45 \u003d 9 x 5 и 9 \u003d 3 x 3. По този начин 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 може да се вземе извън коренния знак: 45 \u003d 35. Сега можете да оцените 5.

Помислете за друг пример: 88.

\u003d (2 х 4 х 11)

\u003d (2 х 2 х 2 х 11). Имате три умножителя по 2; вземете няколко от тях и ги поставете извън коренния знак.

2 (2 x 11) \u003d 22 x 11. Сега можете да оцените 2 и 11 и да намерите груб отговор.

Това видео с урок също може да бъде полезно:

За да извлечете корена на число, трябва да използвате калкулатор, или ако няма подходящ, ви съветвам да отидете на този сайт и да разрешите проблема с онлайн калкулаторкоето ще даде правилната стойност за секунди.

Събиране и изваждане на корени е един от най-често срещаните „препъни камъни“ за тези, които посещават курс по математика (алгебра) в гимназията. Много е важно обаче да се научите как да ги добавяте и изваждате правилно, тъй като примери за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да се овладее решението на такива примери, са необходими две неща - да се разберат правилата, а също и да се развие практика. След като реши една или две дузини типични примери, студентът ще доведе това умение до автоматизъм и тогава няма да има от какво да се страхува на изпита. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметични операции с добавяне, защото добавянето им е малко по-лесно от изваждането им.

Най-лесният начин да обясним това е с примера на квадратния корен. В математиката има утвърден термин „квадрат“. "На квадрат" означава да се умножи конкретно число веднъж само по себе си... Например, ако квадрат 2, получавате 4. Ако квадрат 7, получавате 49. Квадратът 9 е 81. Значи квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7, а от 81 е 9.

По правило изучаването на тази тема по математика започва с квадратни корени. За да го определи веднага, ученикът от гимназията трябва да знае наизуст таблицата за умножение. Тези, които не са сигурни в тази таблица, трябва да използват подсказки. Обикновено процесът на извличане на кореновия квадрат от число се дава под формата на таблица на кориците на много учебни тетрадки по математика.

Корените са от следните видове:

• квадрат;
• кубичен (или така наречената трета степен);
• четвърта степен;
• пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, трябва да се има предвид, че не всички коренни числа могат да бъдат подредени помежду си... За да могат да бъдат сгънати, те трябва да бъдат доведени до общ модел. Ако това не е възможно, тогава проблемът няма решение. Подобни проблеми често се срещат и в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Не се допуска добавяне в задачи, когато радикалните изрази се различават помежду си. Това може да бъде илюстрирано с илюстративен пример:

• ученикът е изправен пред задачата: добавете квадратния корен от 4 и 9;
• неопитен ученик, който не познава правилото, обикновено пише: „корен от 4 + корен от 9 \u003d корен от 13“.
• много е лесно да се докаже, че това решение е погрешно. За да направите това, трябва да намерите квадратния корен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
• с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3,6. Сега остава да се провери решението;
• коренът от 4 \u003d 2 и от 9 \u003d 3;
• Сборът от числата "две" и "три" е пет. По този начин този алгоритъм на решение може да се счита за неправилен.

Ако корените са от еднаква степен, но различни числови изрази, той се поставя извън скобите и сумата от два радикални израза... Така тя вече се извлича от тази сума.

Алгоритъм на добавяне

За да се вземе правилното решение най-простата задача, необходимо е:

1. Определете какво точно изисква добавяне.
2. Разберете дали е възможно да добавяте стойности една към друга, като се ръководите от правилата, съществуващи в математиката.
3. Ако не могат да бъдат сгънати, трябва да ги преобразувате, за да могат да бъдат сгънати.
4. След като извършихме всички необходими трансформации, е необходимо да извършим добавяне и да запишем готовия отговор. Добавянето може да се извърши в главата или с помощта на микро калкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобни корени

За да разрешите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е приликата.

Способността да се идентифицират подобни помага бързо да се решат подобни примери за добавяне, като ги приведе в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва:

1. Намерете подобни и ги изберете в една група (или няколко групи).
2. Препишете съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат един и същ индикатор, да вървят ясно един след друг (това се нарича "групиране").
3. След това трябва да пренапишете израза отново, този път по такъв начин, че подобни (които имат един и същ индикатор и еднакъв радикален номер) също да следват един друг.

След това опростен пример обикновено е лесен за решаване.

За да се разреши правилно всеки пример за добавяне, е необходимо ясно да се разберат основните правила за добавяне, както и да се знае какво е корен и какво е той.

Понякога подобни задачи изглеждат много трудни на пръв поглед, но обикновено се решават лесно чрез групиране на подобни. Най-важното е практиката и тогава студентът ще започне да „щрака проблеми като ядки“. Добавянето на корени е една от най-важните области на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.