Първо ниво

Квадратични уравнения. Изчерпателен справочник (2019)

От гледна точка на " квадратно уравнение"Ключът е думата" квадрат ". Това означава, че променливата трябва да присъства в уравнението (същото IX) на площада и не трябва да има ICS в третата (и по-голяма) степен.

Решението на много уравнения се намалява до решаването на точно квадратни уравнения.

Нека да научим как да определим, че имаме квадратно уравнение, а не друго.

Пример 1.

Всеки член на уравнението на знаменателя и домирността ще се отърве от

Ние прехвърляме всички Б. лявата част и поставете членове в низходящ ред на степени на IKSA

Сега можете да кажете с увереност, че това уравнение е квадрат!

Пример 2.

Вътрешна лявата и дясната страна на:

Това уравнение, въпреки че първоначално е в него, не е квадрат!

Пример 3.

Дограждане на всички:

Страшен? Четвъртата и втора степен ... Въпреки това, ако сме заменим, тогава ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4.

Изглежда, но нека погледнем внимателно. Ние прехвърляме всичко вляво:

Виж, намален - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте да определите кои от следните уравнения са квадратни и които не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадрат;
4. не квадрат;
5. не квадрат;
6. квадрат;
7. не квадрат;
8. квадрат.

Математика Обикновено разделяйте всички квадратни уравнения на типа:

• Пълни квадратни уравнения - уравнения, в които коефициентите и, както и свободен елемент не са равни на нула (както в примера). В допълнение, сред пълните квадратни уравнения разпределяйте представен - Това са уравнения, в които коефициентът (уравнение от примера е не само пълен, но и даден!)

• Непълни квадратни уравнения - уравнения, в които коефициентът и свободният елемент са нула: \\ t

  Непълно, защото им липсва някаква позиция. Но уравнението винаги трябва да присъства на площада !!! В противен случай тя няма да бъде квадрат, а друго уравнение.

Защо измислихте такова разделение? Изглежда, че има X на площада и добре. Такова разделение се дължи на методите на решенията. Помислете за повече от тях.

Решение на непълни квадратни уравнения

За да започнем, ще спрем при решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълни квадратни уравнения са видове:

1. В това уравнение коефициентът е равен.
2. В това уравнение свободният елемент е равен.
3. В това уравнение коефициентът и свободният елемент са равни.

1. и. Както знаем как да извлечем корен квадратенслед това да изразим от това уравнение

Изразът може да бъде отрицателен и положителен. Номерът, издигнат в квадрата, не може да бъде отрицателен, защото с умножаване на две отрицателни или две положителни числа - резултатът винаги ще бъде положително число, така че ако уравнението няма решения.

И ако получите два корена. Тези формули не трябва да запомнят. Основното нещо, което трябва да знаете и помните винаги, че може да не е по-малко.

Нека се опитаме да решим няколко примера.

Пример 5:

Решават уравнение

Сега остава да се отстрани от лявата и дясната страна. В края на краищата, помните ли как да извличате корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак !!!

Пример 6:

Решават уравнение

Отговор:

Пример 7:

Решават уравнение

О! Квадратът на броя не може да бъде отрицателен, което означава уравнението

няма корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиката излезе със специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан като:

Отговор:

Така, това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме премахнали корена.
Пример 8:

Решават уравнение

Ще обобщя скобите:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-лесният вид непълни квадратни уравнения (въпреки че всички те са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще го направим без примери.

Разтвор на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнението на уравнението, където

Решението на пълните квадратни уравнения е малко по-сложно (много леко) от горното.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантно! Дори непълна.

Останалите пътища ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, да започнете, решението се нарича с помощта на дискриминантно.

1. Решението на квадратните уравнения с помощта на дискриминантна.

Решението на квадратните уравнения по този начин е много прост, най-важното е да помните последователността на действията и няколко формули.

Ако уравнението се корени специално внимание Направете стъпка. Дискриминант () показва ни за броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата се свежда до. Така уравнението ще има цял корен.
• Ако, ние няма да можем да извлечем корена от дискриминацията в стъпка. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека да се върнем към нашите уравнения и да обмислим няколко примера.

Пример 9:

Решават уравнение

Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Така уравнението има два корена.

Стъпка 3.

Отговор:

Пример 10:

Решават уравнение

Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Така уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решават уравнение

Уравнението е представено в стандартен формуляр, така че Етап 1 Прескачаме.

Стъпка 2.

Ние намираме дискриминантност:

Тя няма да може да извлече корена от дискриминацията. Корените на уравнението не съществуват.

Сега знаем как да напишем такива отговори на правилно.

Отговор:Няма корени

2. Разтвор на квадратни уравнения, използвайки теоремата Vieta.

Ако си спомняте, това е такъв вид уравнения, които се наричат \u200b\u200bпредставени (когато коефициентът А е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване на използването на теоремата на Vieta:

Сумата на корените посочен Квадратното уравнение е равно на и продуктът на корените е равен.

Пример 12:

Решават уравнение

Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото .

Количеството на корените на уравнението е равно, т.е. Получаваме първото уравнение:

И работата е:

Ще решим и системата:

• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решават уравнение

Отговор:

Пример 14:

Решават уравнение

Уравнението е дадено и следователно:

Отговор:

Квадратични уравнения. Средно ниво

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнението на видовете, където неизвестното е някои числа, и.

Номерът се нарича старейшина или първи коефициент квадратно уравнение - втория коефициент, но - безплатен член.

Защо? Защото ако уравнението веднага стане линейно, защото изчезва.

В същото време и може да бъде нула. В този стол уравнението се нарича непълно. Ако всички компоненти са налице, това е, че уравнението е завършено.

Разтвори на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Ще започнем с това, ще анализираме методите за решения на непълни квадратни уравнения - те са по-лесни.

Можете да изберете вида на тези уравнения:

I. В това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. В това уравнение коефициентът е равен.

III. В това уравнение свободният елемент е равен.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Номерът, издигнат в квадрата, не може да бъде отрицателен, защото с умножаване на два отрицателни или две положителни числа, резултатът винаги ще бъде положително число. Следователно:

ако уравнението няма решения;

ако сме научили два корена

Тези формули не трябва да запомнят. Основното нещо, което трябва да помните, че може да не е по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на броя не може да бъде отрицателен, което означава уравнението

няма корени.

За да запишете накратко, че задачата няма решения, използвайте празна икона.

Отговор:

Така че това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Ще обобщя фабриката за скоби:

Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

Така че, това квадратно уравнение има два корена: и.

Пример:

Решават уравнение.

Решение:

Разстелете лявата част на фабричното уравнение и намерете корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминантност

Разрешаване на квадратни уравнения по този начин лесно, най-важното е да запомните последователността на действията и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминантна! Дори непълна.

Забелязахте ли корена от дискриминацията в коренната формула? Но дискриминацията може да бъде отрицателна. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминацията ни показва за броя на корените на уравнението.

• Ако уравнението има корен:
• Ако уравнението има същия корен и в действителност един корен:

  Такива корени се наричат \u200b\u200bдвойно.

• Ако коренът на дискриминацията не се отстранява. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо е възможно друг номер корени? Нека се обърнем към геометричното значение на квадрата уравнение. Функционалната графика е Parabola:

В конкретен случай, което е квадратно уравнение. И това означава, че корените на квадратното уравнение са точките на пресичане с оста на абсцисата (ос). Parabola може да не прекоси ос или да го прекоси в един (когато върхът на параболата се намира на оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на Парабола. Ако клоновете на Parabola са насочени нагоре и ако е надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор:.

Отговор:

Така че няма решения.

Отговор:.

2. Теорема във Виета

Теоремата на Виета е много лесна за използване: просто трябва да вземете такава няколко числа, чийто продукт е равен на свободен член на уравнението, а сумата е вторият коефициент, взет с противоположния знак.

Важно е да се помни, че теоремата на Vieta може да се използва само в намалени квадратни уравнения ().

Помислете за няколко примера:

Пример номер 1:

Решават уравнение.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решаване, използвайки теоремата на Vieta, защото . Останалите коефициенти:; .

Количеството на корените на уравнението е:

И работата е:

Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен и проверим дали сумата им е равна:

• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква;
• и. Сумата е еднаква.

и са решението на системата:

По този начин корените на нашето уравнение.

Отговор:; .

Пример номер 2:

Решение:

Ще изберем такива двойки числа, които са дадени в работата, и след това проверяват дали тяхната сума е равна:

и: в сумата, която дават.

и: в сумата, която дават. За да смените само за да промените признаците на предполагаемите корени: и, защото работата.

Отговор:

Пример номер 3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно продуктът на корените - отрицателно число. Това е възможно само ако един от корените е отрицателен, а другият е положителен. Следователно количеството на корените е равни разликите на техните модули.

Ние ще изберем такива чифтове, които са дадени в работата, а разликата е равна на:

и: тяхната разлика е еднаква - не е подходяща;

и: - не е подходящо;

и: - не е подходящо;

и: - подходящ. Остава само да си спомня, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да бъде еднаква, тогава отрицателен трябва да бъде по-малък корен модул :. Проверка:

Отговор:

Пример номер 4:

Решават уравнение.

Решение:

Уравнението е дадено и следователно:

Свободният елемент е отрицателен и следователно продуктът на корените е отрицателен. И това е възможно само когато един корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Ние ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е равен, а след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно е, че само корените са подходящи за първото условие и:

Отговор:

Пример номер 5:

Решават уравнение.

Решение:

Уравнението е дадено и следователно:

Количеството на корените е отрицателно, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като работата им е положителна, това означава и двете корени с минус знак.

Ще изберем такива двойки числа, чийто продукт е:

Очевидно корените са числа и.

Отговор:

Съгласен съм, е много удобно - да измисляте корени орално, вместо да обмисляме този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta колкото е възможно повече.

Но теоремата на Vieta е необходима, за да се улесни и ускори констатацията на корените. За да ви помогне да го използвате, трябва да въведете действия в автоматизма. И за това, клевети повече пети от примери. Но не и мащабиране: дискриминацията не може да се използва! Само теорема на Виета:

Задачи решения за независима работа:

Задача 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

На теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора на работата:

Не се вписва, защото сумата;

: Сума - това, от което се нуждаете.

Отговор:; .

Задача 2.

И отново, нашата любима теорема на Виета: в сумата трябва да се окаже, а работата е еднаква.

Но тъй като не трябва да бъде, но променете признаците на корените: и (в сумата).

Отговор:; .

Задача 3.

Хм ... и къде е какво?

Необходимо е да се прехвърлят всички термини в една част:

Размерът на корените е равен, работата.

Така че, спрете! Уравнението не е дадено. Но теоремата Vieta е приложима само в горните уравнения. Така че първо трябва да донесете уравнението. Ако не работите, хвърлете тази идея и вземете решение по различен начин (например чрез дискриминантно). Позволете ми да ви напомня, че донесете квадратното уравнение - това означава да направите старши коефициент на:

Отлично. Тогава количеството на корените е равни и работата.

Тук е по-лесно да се приберете просто: в края на краищата, прост номер (съжалявам за тавтологията).

Отговор:; .

Задача 4.

Свободният член е отрицателен. Какво е специално в това? И факта, че корените ще бъдат различни знаци. И сега по време на подбора, ние не проверяваме количеството на корените, но разликата между техните модули: тази разлика е еднаква и работата.

Така корените са равни и, но един от тях с минус. Теоремата на Виета ни казва, че количеството на корените са равни на втория коефициент с противоположния знак, т.е. Така минус ще бъде в по-малък корен: и оттогава.

Отговор:; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Право, донесете уравнението:

Отново: ние избираме множителите на броя и разликата им трябва да бъде равна:

Корените са равни и, но един от тях с минус. Какво? Тяхната сума трябва да бъде еднаква, това означава, че минусът ще бъде по-голям корен.

Отговор:; .

Ще обобщя:

1. Теоремата на Vieta се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата Vieta, можете да намерите корените по избор, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или няма подходяща двойка множители на свободен елемент, което означава, че няма цели корени и е необходимо да се реши друг метод (например чрез дискриминантно).

3. Метод за разпределение на пълен квадрат

Ако всички термини, съдържащи неизвестно, да представят под формата на компонентите на съкратеното умножение на сумата от сумата или разликата, след това след подмяна на променливите, може да бъде представена уравнение под формата на непълно квадратно уравнение от тип може да бъде представен .

Например:

Пример 1:

Решете уравнение :.

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнение :.

Решение:

Отговор:

В общ Трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Нищо не напомня? Това е дискриминацията! Това е, формулата на дискриминацията и има.

Квадратични уравнения. Накратко за най-важното нещо

Квадратно уравнение- Това е уравнението на вида, където - неизвестното, - коефициентите на квадратното уравнение, е свободен член.

Пълно квадратно уравнение - уравнение, при което коефициентите не са равни на нула.

Намаленото квадратно уравнение - уравнение, в което коефициентът, т.е.

Непълна квадратна уравнение - уравнение, при което коефициентът и свободният елемент са нула: \\ t

• ако коефициентът уравнението е:
• ако е свободен елемент, уравнението има формата:,
• ако уравнението има формата :.

1. Алгоритъм решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълен квадрат уравнение на вида, където:

1) изразяват неизвестното:

2) Проверка на знака на изразяване:

• ако уравнението няма решения,
• ако уравнението има два корена.

1.2. Непълен квадрат уравнение на вида, където:

1) Ще обобщя фабриката за скоби:

2) Продуктът е нула, ако поне един от мултипликателите е нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълна квадратна уравнение на вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен :.

2. алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения на вида, където

2.1. Решение с помощта на дискриминантна

1) даваме уравнението на стандартния формуляр:,

2) Изчислете дискриминацията по формулата: която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• ако уравнението има корен, който е във формулата:
• ако уравнението има корен, който е по формулата:
• ако уравнението няма корени.

2.2. Решение, използвайки теоремата на Vieta

Сумата от корените на намаленото квадратно уравнение (уравнение на формата, където) е еднаква и продуктът на корените е равен, т.е. , но.

2.3. Решаване на пълен квадратен метод за разпределение

2.5 Vieta формула за полиноми (уравнения) по-високи степени

Формулите, получени от воал за квадратни уравнения, са верни за полиномите на най-високите степени.

Нека полиномът

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n

Той има n различни корени x 1, x 2 ..., x n.

В този случай той има разлагане на факторите на формата:

a 0 x N + A 1 x N-1 + ... + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x N)

Разделяме двете части на това равенство на 0 ≠ 0 и ще се отворят в първата част на скобата. Получаваме равенство:

xn + () xn -1 + ... + () \u003d xn - (x 1 + x 2 + ... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + xn \\ t -1 xn) xn - 2 + ... + (- 1) nx 1 x 2 ... xn

Но два полинома са идентично равни в това и само в случая, когато коефициентите са равни на същите степени. Оттук следва, че равенството се извършва

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

Например, за полиномите от третата степен

a 0 x³ + A 1 x² + A 2 X + A 3

Имаме идентичности

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

Що се отнася до квадратните уравнения, тази формула се нарича Vieta формули. Лявата част на тези формули са симетрични полиноми от корените X 1, X 2 ..., X N на това уравнение и правилните части се изразяват през полиномния коефициент.

2.6 уравнения, намалени до квадрат (biquadant)

Четвъртата степен уравнения се намаляват до квадратни уравнения:

aX 4 + BX 2 + C \u003d 0,

наречени биккерецик и и ≠ 0.

Достатъчно поставени в това уравнение x 2 \u003d y, следователно,

aY² + + c \u003d 0

намерете корените на полученото квадратно уравнение

y 1,2 \u003d.

За да намерите корекции X 1, x 2, x 3, x 4, сменете y до x и да получите

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d. .

Ако уравнението на четвъртата степен има x 1, след това корен x 2 \u003d -x 1,

Ако има x 3, след това x 4 \u003d - x 3. Сумата от корените на такова уравнение е нула.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

Заместваме уравнението в основната формула на бистатратричните уравнения:

x 1,2,3,4 \u003d. ,

знаейки, че X 1 \u003d S 2 и X 3 \u003d -H 4, след това:

x 3,4 \u003d.

Отговор: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 \u003d.

2.7 Изследване на бикетни уравнения

Вземете бикетно уравнение

aX 4 + BX 2 + C \u003d 0,

където a, b, c е-идеи и a\u003e 0. инжектиране на помощно неизвестно y \u003d x², ние изследваме корените на това уравнение, а резултатите ще донесат в таблицата (виж Приложение № 1)

2.8 Cardano формула

Ако използвате съвременни символи, тогава изходът на кардано формулата може да има такъв вид:

x \u003d

Тази формула определя корените на общото уравнение на степента на степен:

aX 3 + 3BX 2 + 3CX + D \u003d 0.

Тази формула е много тромава и сложна (съдържа няколко сложни радикала). Не винаги се прилага, защото Много трудно е да се запълни.

F ¢ (xo) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Списък или изберете от 2-3 текста най-интересните места. По този начин разгледахме общите разпоредби за създаването и провеждането на избираеми курсове, които ще бъдат взети предвид при разработването на избираем курс по алгебра за 11-те квадратни уравнения и неравенства с параметър ". Глава II. Методи за провеждане на електрически курс "квадратни уравнения и неравенства с параметър" 1.1. Общ...

Решения от цифрови методи за изчисление. За да се определят корените на уравнението, познаването на теориите на групите на Абел, галоза, Лий и др. И използването на специална математическа терминология са използването на специална математическа терминология: пръстени, полета, идеали, изоморфизми и др. За да се реши алгебрично уравнение N - по същество, само способността за решаване на квадратни уравнения и екстракт от интегрирания номер. Корените могат да бъдат дефинирани с ...

С единици измервания на физически количества в системата MathCAD? 11. Опишете подробно текстовите, графичните и математическите блокове. Лекция номер 2. Задачите на линейната алгебра и решаването на диференциалните уравнения в Mathcad среда в проблемите на линейната алгебра на практика съществува необходимост от извършване на различни операции с матрици. Панелът на операторите с матрица е на панела по математика. ...

Формулировката и доказателство за теоремата на Vieta за квадратни уравнения. Обратен вита теорема. Vieta теорема за кубични уравнения и изследователски уравнения.

Квадратни уравнения

Vieta теорема

Нека и обозначим корените на посоченото квадратно уравнение
(1) .
Тогава количеството на корените е равно на коефициента с противоположния знак. Продуктът на корените е безплатният член:
;
.

Забележка за множество корени

Ако дискриминацията на уравнение (1) е нула, това уравнение има един корен. Но за да се избегне обемиста формулировка, се смята, че в този случай уравнението (1) има две многократни или равни, корен:
.

Първото доказателство

Намерете корените на уравнение (1). За да направите това, прилагайте формулата за корените на квадратното уравнение:
;
;
.

Ние намираме размера на корените:
.

За да намерите работа, прилагайте формулата:
.
Тогава

.

Теорема се доказва.

Второ доказателство

Ако числата са корените на квадратното уравнение (1), тогава
.
Разкриват скоби.

.
По този начин уравнението (1) ще бъде под формата:
.
Сравнявайки с (1) Ние намираме:
;
.

Теорема се доказва.

Обратен вита теорема

Нека да има произволен брой. След това са корените на квадратното уравнение
,
Където
(2) ;
(3) .

Доказателство за обратната теорема във Виета

Помислете за квадратно уравнение
(1) .
Трябва да докажем, че ако и двете са корени на уравнение (1).

Заместител (2) и (3) в (1): \\ t
.
Групиране на членове на лявата част на уравнението:
;
;
(4) .

Заместител в (4):
;
.

Заместител в (4):
;
.
Извършва се уравнението. Това означава, че броят е коренът на уравнението (1).

Теорема се доказва.

Vieta теорема за цялостно квадратно уравнение

Сега разгледайте пълно квадратно уравнение
(5) ,
Къде и има някои числа. И.

Разделяме уравнението (5) на:
.
Това означава, че сме получили същото уравнение
,
където; .

След това теоремата на Vieta за пълноценно уравнение има следната форма.

Нека и обозначим корените на пълноценно уравнение
.
Тогава количеството и продуктът на корените се определят от формулите:
;
.

Vieta теорема за кубични уравнения

По същия начин можем да установим връзки между корените на кубичното уравнение. Помислете за кубично уравнение
(6) ,
Къде, има някои числа. И.
Разделяме това уравнение на:
(7) ,
където,
Да бъдем корените на уравнение (7) (и уравнения (6)). Тогава

.

Сравнете с уравнението (7) Ние откриваме:
;
;
.

Vieta теорема за N-такст уравнение

По същия начин можете да намерите връзки между корените, ..., за N-топлобанското уравнение
.

Теоремата на Vieta за N-та степента на уравнение има следната форма:
;
;
;

.

За да получите тези формули, пишем уравнението в следната форма:
.
След това приравняваме коефициентите, когато,, ... и сравняваме свободен член.

Препратки:
I.N. Bronstein, K.A. Полудиаев, справочник по математика за инженери и студенти от страна на присъстващите, "LAN", 2009.
СМ. Николски, МК. Potapov et al., Algebra: Истойнически за 8-те Общи образователни институции, Москва, Просвещение, 2006.

В математиката има специални техники, с които много квадратни уравнения се решават много бързо и без дискриминанти. Освен това, с подходящо обучение, мнозина започват да решават квадратни уравнения устно, буквално "на пръв поглед."

За съжаление, в съвременния курс на училищната математика, такива технологии почти не са проучени. И трябва да знаете! И днес ще разгледаме една от тези техники - теорема във Виета. За да започнем, въвеждаме нова дефиниция.

Квадратното уравнение на формата X 2 + BX + C \u003d 0 се нарича по-горе. ЗАБЕЛЕЖКА: Коефициентът при х 2 е 1. Няма други ограничения върху коефициентите не са насложени.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 е дадено квадратно уравнение;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - също дадено;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - но това не е Nifiga, тъй като коефициентът при X 2 е 2.

Разбира се, всяко квадратно уравнение на тип AX 2 + BX + C \u003d 0 може да бъде направено - достатъчно е да се разделят всички коефициенти към номера a. Винаги можем да го направим, тъй като от дефиницията на квадратното уравнение, това a ≠ 0.

Вярно е, че не винаги тези трансформации ще бъдат полезни за намиране на корените. Точно по-долу се уверяваме, че е необходимо само когато в крайния квадрат на уравнението всички коефициенти ще бъдат цяло число. Междувременно разгледайте най-простите примери:

Задача. Конвертиране на квадратно уравнение на горното:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

Разделяме всяко уравнение на коефициента с променлива x 2. Получаваме:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - разделени от всички с 3;
2. -4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - разделен на -4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - разделен на 1.5, всички коефициенти стават цяло число;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - разделен на 2. В този случай възникнаха фракционни коефициенти.

Както можете да видите, представените квадратни уравнения могат да имат цели коефициенти, дори ако първоначалното уравнение съдържа фракцията.

Сега формулираме основната теорема, за която всъщност е въведена концепцията за дадено квадратно уравнение:

Vieta теорема. Помислете за даденото квадратно уравнение на формата x 2 + bx + c \u003d 0. Да предположим, че това уравнение има валидни корени x 1 и x 2. В този случай следните твърдения са верни:

1. x 1 + x 2 \u003d -b. С други думи, сумата на корените на настоящото квадратна уравнение е равна на коефициента с променлива х, взета с противоположния знак;
2. x 1 · x 2 \u003d c. Продуктът на корените на квадратното уравнение е равен на свободния коефициент.

Примери. За простота ще разгледаме само горните квадратни уравнения, които не изискват допълнителни трансформации:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d - (-9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 20; Корени: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -2; x 1 · x 2 \u003d -15; корени: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d 4; корени: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vieta Theorem ни дава допълнителна информация за корените на квадратното уравнение. На пръв поглед това може да изглежда трудно, но дори и с минимално обучение, ще се научите да "виждате" корените и буквално да ги познаете за секунди.

Задача. Решете уравнението на квадрата:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

Нека се опитаме да напишем коефициентите на теоремата на Виета и "Познайте" корените:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 е дадено квадратно уравнение.
   От теоремата, имаме: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. Лесно е да се забелязва, че корените са числа 2 и 7;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - също.
   От теоремата на Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 · x 2 \u003d 27. следователно корените: 3 и 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - Това уравнение не е дадено. Но сега ще го коригираме, като разделяме двете страни на уравнението на коефициента a \u003d 3. Получаваме: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Ние решаваме за теоремата на Veetore: x 1 + x 2 \u003d -11; x 1 · x 2 \u003d 10 ⇒ корени: -10 и -1;
4. -7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - отново коефициентът при х 2 не е равен на 1, т.е. Уравнението не е дадено. Разделяме всичко за броя A \u003d -7. Получаваме: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
   От теоремата на Vieta: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 · x 2 \u003d 30; От тези уравнения е лесно да се отгатне корените: 5 и 6.

От горното разсъждение се вижда как теоремата Vieta опростява решението на квадратните уравнения. Няма съставни изчисления, без аритметични корени и фракции. И дори дискриминантност (виж урока "Решение на квадратните уравнения") не се нуждаем.

Разбира се, във всички размишления, ние преминахме от две важни предположения, които общо казано, не винаги се изпълняват в реални задачи:

1. Дадено е квадратното уравнение, т.е. Коефициентът при х 2 е 1;
2. Уравнението има две различни корени. От гледна точка на алгебрата, в този случай дискриминантният D\u003e 0 - всъщност първоначално предполагаем, че това неравенство е вярно.

Въпреки това, при типични математически задачи, тези условия се извършват. Ако в резултат на изчисленията се оказа "лошо" квадратно уравнение (коефициентът при X 2 е различен от 1), лесно е да се поправи - погледнете примерите в самото начало на урока. За корените на всички тишини: каква е тази задача, в която няма отговор? Разбира се, корените ще бъдат.

По този начин, обща схема Решенията на квадратни уравнения на теоремата на Виета изглеждат така:

1. Намаляване на квадратното уравнение на дадената, ако все още не е направено в състоянието на проблема;
2. Ако коефициентите в посоченото квадратно уравнение се оказаха частично, решават чрез дискриминацията. Можете дори да се върнете към първоначалното уравнение, за да работите с повече "удобни" числа;
3. В случай на цяло числови коефициенти, ние решаваме уравнението на теоремата на Виета;
4. Ако в рамките на няколко секунди не успя да познае корените, отбелязани на теоремата на Виета и решаване чрез дискриминацията.

Задача. Решете уравнение: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

Така че пред нас уравнението, което не е дадено, защото Коефициентът a \u003d 5. Разделяме всички от 5, получаваме: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Всички коефициенти на квадратното уравнение са цяло число - ще се опитаме да вземем решение за теоремата на Виета. Имаме: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. В този случай корените се доразят лесно - това е 2 и 5. Не е необходимо да се брои чрез дискриминацията.

Задача. Решете уравнението: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0.

Ние търсим: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 - Това уравнение не е дадено, ние разделяме двете страни на коефициента A \u003d -5. Получаваме: X 2 - 1.6x + 0.48 \u003d 0 - уравнение с фракционни коефициенти.

По-добре е да се върнете към първоначалното уравнение и да се броят чрез дискриминатор: -5x 2 + 8x - 2.4 \u003d 0 ⇒ d \u003d 8 2 - 4 · (-5) · (-2.4) \u003d 16 ⇒ ... ⇒ x 1 \u003d 1.2; x 2 \u003d 0.4.

Задача. Решаване на уравнението: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

За да започнем, ние разделяме всичко на коефициента a \u003d 2. Извършва уравнение x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Това е намаленото уравнение, на теоремата на Виета, имаме: X 1 + x 2 \u003d -5; x 1 · x 2 \u003d -300. Предполагам, че корените на квадратното уравнение в този случай са трудни - лично аз сериозно "вися", когато реших тази задача.

Ще трябва да търсим корените чрез дискриминантно: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (-300) \u003d 1225 \u003d 35 2. Ако не помните корена от дискриминатора, аз просто отбелязвам, че 1225: 25 \u003d 49. Следователно, 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2.

Сега, когато коренът на дискриминацията е известен, уравнението няма да бъде решено. Получаваме: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Теоремата на Виета (по-точно теорема, обратната теорема на Vieta) намалява времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да можете да го използвате. Как да се научите да решавате квадратни уравнения на теоремата на Виета? Лесно е, ако узрявам малко.

Сега ще говорим само за решението на теоремата на Vieta на настоящото квадратно уравнение. Доставеното квадратно уравнение е уравнение, в което А, т.е. коефициентът пред X² е равен на един. Можете също така да не решавате квадратните уравнения на теоремата на Виета, но вече има поне един от корените не е цяло число. По-трудно е да се отгатне.

Теорема, обратната теорема на Vieta, казва: Ако номерата X1 и X2 са такива

след това x1 и x2 - корените на квадратното уравнение

При решаване на квадратно уравнение на теоремата, Vieta е възможно само 4 опции. Ако си спомняте хода на разсъжденията, намирането на цели корени може да се научи много бързо.

I. Ако Q е положително число,

това означава, че корените на X1 и X2 са номера на същия знак (тъй като само умножението на числа със същите признаци е положително число).

I.А. Ако -p е положително число, (съответно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положителни номера (Тъй като номерата на един знак бяха сгънати и получили положително число).

I.B. Ако -p е отрицателно число, (съответно, p\u003e 0), след това и двата корена са отрицателни номера (имаше числа от един знак, се получава отрицателно число).

II. Ако Q е отрицателно число,

това означава, че корените на X1 и X2 имат различни признаци (с умножаване на числа отрицателно число се получава само в случая, когато има различни признаци от множители). В този случай, X1 + X2 вече не е количеството, но от разликата (защото при добавяне на числа с различни знаци Ще приспаднем по-малко от по-малък модул). Следователно, x1 + x2 показва колко корените на x1 и x2 са различни, т.е. колко един корен е по-голям от другия (по модул).

II.a. Ако -p е положително число, (т.е. P.<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.B. Ако -p е отрицателно число, (P\u003e 0), по-големият (модул) корен е отрицателно число.

Помислете за решението на квадратните уравнения на теоремата на Виета в примерите.

Решете намаленото квадратно уравнение на теоремата на Vieta:

Тук Q \u003d 12\u003e 0, така че корените на x1 и x2 са числа на един знак. Тяхното количество е -p \u003d 7\u003e 0, така че и двата корените са положителни числа. Избираме цели числа, чийто продукт е 12. Това е 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Количеството е 7 в двойката 3 и 4. SO, 3 и 4 са корените на уравнението.

В този пример Q \u003d 16\u003e 0, това означава, че корените са X1 и X2 - броя на един знак. Тяхното количество е -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тук q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, по-дългият брой е положителен. Така корените са 5 и -3.

q \u003d -36.<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.