В тази статия ще разберем какво е степен на... Тук ще дадем определения за степента на число, като същевременно разгледаме по-отблизо всички възможни експоненти, като започнем с естествен експонент и завършим с ирационален. В материала ще намерите много примери за степени, обхващащи всички възникващи тънкости.

Навигация по страници.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, казваме, че определението за степента на число a с естествен експонентен n е дадено за a, което ще наречем базова степен, и n, което ще наречем експонента... Също така имайте предвид, че степента с естествен експонент се определя чрез продукта, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате представа за умножението на числата.

Определение.

Степен на число a с естествен експонентен n е израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактори, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с степен 1 \u200b\u200bе самото число a, тоест a 1 \u003d a.

Веднага трябва да се каже за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на запис a n е следният: "a в степента на n". В някои случаи са приемливи и следните опции: "a към n-та степен" и "n-та степен на число a". Например, да вземем степента на 8 12, която е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесетата степен на осем“.

Втората степен на число, както и третата степен на число, имат свои собствени имена. Извиква се втората степен на число квадратно числонапример 7 2 гласи „седем на квадрат“ или „квадрат от числото седем“. Извиква се третата степен на число числа на кубнапример 5 3 може да се чете като "куб пет" или да се каже "куб с номер 5".

Време е да водим примери за степени с естествени показатели... Нека започнем с мощността на 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4.32 е основата, а естественото число 9 е степента (4.32) 9.

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да се избегне объркване, ние ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , техните бази не са естествени числа, така че те са написани в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата между записите във формуляра (-2) 3 и -2 -2. Изразът (-2) 3 е степента на -2 с естествен експонент 3, а изразът -2 (може да бъде записан като - (2 3)) съответства на числото, стойността на степента 2 3.

Имайте предвид, че има обозначение за степента на числото a с степен n на формата a ^ n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава степента се взема в скоби. Например 4 ^ 9 е друга нотация за степента на 4 9. И ето още няколко примера за писане на градуси с помощта на символа "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). По-нататък ще използваме основно обозначението за степента на формата a n.

Една от задачите, обратна на повишаването до степен с естествен експонент, е проблемът за намиране на основата на степента от известна стойност на степента и известна степен. Тази задача води до.

Известно е, че комплектът рационални числа се състои от цели числа и дробни числа и всеки дробно число могат да бъдат представени като положителни или отрицателни обща фракция... Дефинирахме степента с цяло число в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, необходимо е да се даде значение на степента на число a с дробна степенна степен m / n, където m е цяло число и n е естествено число. Хайде да го направим.

Помислете за степен с частичен експонент на формата. За да е валидно свойството степен на степен, равенството ... Ако вземем предвид полученото равенство и как сме го определили, тогава е логично да приемем, при условие че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно е да се провери, че за всички свойства на степен с целочислена степен (това се прави в раздела за свойствата на степен с рационален показател).

Горните разсъждения ни позволяват да направим следното. изход: ако за дадени m, n и a изразът има смисъл, тогава степента на числото a с дробна степенна степен m / n се нарича n-ти корен от a към степента на m.

Това твърдение ни доближава много близо до определянето на степента с дробна степенна степен. Остава само да се опише за кои m, n и a изразът има смисъл. Има два основни подхода в зависимост от ограниченията на m, n и a.

Най-лесният начин е да ограничите a, като приемете a≥0 за положително m и a\u003e 0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на дробна степенна степен.

Определение.

Степента на положително число a с дробна степенна степен m / n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-тият корен от числото a в степен m, т.е.

Дробната мощност от нула също се определя с единственото условие, че индикаторът трябва да бъде положителен.

Определение.

Мощност на нула с положителен дробен показател m / n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дроб отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при такава дефиниция на степен с дробна степенна степен има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведем условието a≥0. Например има смисъл да пишете или, и дадената по-горе дефиниция ни принуждава да кажем, че градуси с дробна степен на степен на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да бъде отрицателна.

Друг подход за определяне на степента с дробна степен m / n е да се разглеждат отделно нечетните и четни експоненти на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е, се счита за степента на числото a, показател на което е съответната неприводима фракция (значението на това условие ще бъде обяснено по-долу). Тоест, ако m / n е неприводима фракция, тогава за всяко естествено число k степента по-рано се заменя с.

За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл), за отрицателно m числото a също трябва да е ненулево (в противен случай ще има деление на нула ). И за нечетно n и положително m, числото a може да бъде всяко (нечетен корен се дефинира за всяко реално число), а за отрицателно m, числото a трябва да е ненулево (така че да няма деление на нула).

Горните разсъждения ни водят до такава дефиниция на дробна степен.

Определение.

Нека m / n е неприводима дроб, m цяло число и n естествено число. За всяка отменяема фракция степента се заменя с. Степента на число с неприводим дробен показател m / n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател преди това се заменя със степен с неприводима степен. Ако просто дефинирахме степента като и не направихме резервация относно неприводимостта на фракцията m / n, тогава щяхме да се сблъскаме със ситуации, подобни на следните: тъй като 6/10 \u003d 3/5, тогава трябва да има равенството но , и .

ЧАСТ II. ГЛАВА 6
БРОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ

Понятието за степен с ирационален показател

Нека a е някакво положително число, а a е ирационално.
Какво значение трябва да се даде на израза a *?
За да направим презентацията по-визуална, ще я проведем насаме
пример. А именно, поставяме a - 2 и a \u003d 1. 624121121112. ... ... ...
Тук, но - безкрайно десетичнавъз основа на такива
закон: започвайки от четвъртия знак след десетичната запетая, за изображение a
използват се само цифри 1 и 2, а броят на цифрите е 1,
записано на ред преди числото 2, през цялото време се увеличава с
един. Дробът a е непериодичен, тъй като в противен случай броят на цифрите е 1,
записани подред в неговото изображение ще бъдат ограничени.
Следователно a е ирационално число.
И така, какво значение трябва да се даде на израза
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... R
За да отговорим на този въпрос, ние съставяме последователности от стойности
и с дефицит и излишък с точност до (0,1) *. Получаваме
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Нека съставим съответните последователности от степени на числото 2:
2М. 2M *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21D. 21 "63; 2 * "62Ву 21,6 Ш; ... (четири)
Последователността (3) се увеличава с последователността
(1) (Теорема 2 § 6).
Последователността (4) намалява, тъй като последователността намалява
(2).
Всеки член на последователността (3) е по-малък от всеки член на последователността
(4) и по този начин последователността (3) е ограничена
отгоре, а последователността (4) е ограничена отдолу.
Въз основа на теоремата за монотонно ограничена последователност
всяка от последователностите (3) и (4) има ограничение. Ако

384 Понятието за степен с ирационален показател . .

сега се оказва, че разликата в последователностите (4) и (3) се сближава
до нула, тогава от това ще следва, че и двете от тези последователности,
имат обща граница.
Разлика на първите членове на последователности (3) и (4)
21-7 - 21 '* \u003d 2 |, в (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Разлика във вторите термини
21'63 - 21,62 \u003d 21,62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Разлика на n-и термини
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Въз основа на теорема 3 § 6
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
Така че последователностите (3) и (4) имат обща граница. Това
limit е единственото реално число, което е по-голямо от
на всички членове на последователността (3) и по-малко от всички членове на последователността
(4), и е препоръчително да се вземе предвид точната стойност 2 *.
От казаното следва, че обикновено е препоръчително да се приеме
следното определение:
Определение. Ако a\u003e 1, тогава степента на a с ирационално
степента a е такова реално число,
което е по-голямо от всички степени на това число, степента на което е
рационално приближение a с дефицит и по-малко от всички степени
от това число, чиито показатели са рационални приближения и с
излишък.
Ако<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
се нарича реално число, което е по-голямо от всички степени
от това число, чиито показатели са рационални приближения a
с излишък и по-малко от всички степени на това число, чиито показатели
- рационални сближения и с недостатък.
Ако a-1, тогава степента му с ирационален експонентен a
е 1.
Използвайки концепцията за лимит, това определение може да бъде формулирано
Така:
Степента на положително число с ирационален показател
и се нарича граница, към която клони последователността
рационални степени на това число, при условие че последователността
показателите на тези степени клонят към a, т.е.
aa \u003d lim aH
B - *
13 Г, К. Фатчеев, И. С. Сомински

Степен с рационален показател, неговите свойства.

Израз a n е дефиниран за всички a и n, с изключение на случая a \u003d 0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива степени.

За всякакви числа a, b и всякакви числа m и n са валидни следните равенства:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Също така отбелязваме следното свойство:

Ако m\u003e n, тогава a m\u003e a n за a\u003e 1 и a m<а n при 0<а<1.

В този подраздел ние обобщаваме концепцията за степента на число, придавайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т. н. В този случай е естествено да се даде определение, така че градусите с рационални показатели да имат същите свойства (или поне част от тях) като градусите с цял експонент. Тогава, по-специално, n-та степен на числото трябва да е равно на a м ... Наистина, ако собствеността

(a p) q \u003d a pq

се изпълнява, тогава

Последното равенство означава (чрез дефиницията на n-тия корен), че числото трябва да е n-тият корен от числото a м.

Определение.

Степента на число a\u003e 0 с рационален показател r \u003d, където m е цяло число и n е естествено число (n\u003e 1), е числото

Така че по дефиниция

(1)

Силата на числото 0 се определя само за положителни показатели; по дефиниция 0 r \u003d 0 за всяко r\u003e 0.

Градус с ирационален показател.

Нерационално числоможе да се представи катограницата на последователността от рационални числа: .

Нека бъде. Тогава има степени с рационален експонентен показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е конвергентна. Извиква се границата на тази последователност степен с обосновка и ирационален показател: .

Нека нарисуваме няколко точки от графиката на функцията y \u003d 2 х предварително изчисляване на стойността 2 х върху сегмента [–2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а) и след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б). Продължавайки мислено същите конструкции със стъпка 1/16, 1/32 и т.н., виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани чрез гладка крива, което е естествено да се разглежда графиката на някаква функция, дефинирана и нарастваща вече по цялата числова линия и приемаща стойности в рационални точки (Фиг. 1, в). След като изгради достатъчно голям брой функционални точки графика, можем да проверим, че и тази функция притежава подобни свойства (разликата е, че функцията намалява с R).

Тези наблюдения предполагат, че е възможно да се определят числата 2 по този начин. α и за всяко ирационално α такова, че функциите, определени от формулите y \u003d 2 x и ще бъде непрекъсната и функцията y \u003d 2 х се увеличава и функцията намалява по цялата числова линия.

Нека опишем най-общо как числото a α за ирационално α за a\u003e 1. Искаме да постигнем, че функцията y \u003d a х се увеличаваше. Тогава за всеки рационален r 1 и r 2, така че r 1<α трябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на стойностите r 1 и r 2 приближавайки се към x, можем да видим, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че има и освен това е само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малкото a r 2 за всички рационални r 2 ... Това число y е по дефиниция a α .

Например изчисляване на стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на число ще открием, че колкото по-близо е x n и x` n k , толкова по-малка е разликата 2 x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се вземат предвид следните десетични приближения чрез дефицит и излишък стигаме до съотношенията

;

;

;

;

.

Стойност изчислено на калкулатора е както следва:

.

Числото a α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 за произволни α и 0 α \u003d 0 за α\u003e 0.

Експоненциална функция.

Кога а > 0, а = 1, функцията е дефинирана y \u003d a х различни от постоянни. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основатаа.

у\u003d a х в а> 1:

Графики на експоненциална функция с основа 0< а < 1 и а \u003e 1 са показани на фигурата.

Основни свойства експоненциална функция у\u003d a х в 0< а < 1:

• Домейнът на функцията е целият цифров ред.
• Функционален обхват - обхват (0; + ) .
• Функцията се увеличава строго монотонно по цялата числова линия, т.е. х 1 < x 2, тогава а х 1 \u003e a x 2 .
• Кога х \u003d 0, стойността на функцията е 1.
• Ако х\u003e 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то а х > 1.
ДА СЕ общи свойства експоненциална функция като за 0< a < 1, так и при a\u003e 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 и х 2.
• а - х= ( а х) − 1 = 1 ах за всеки х.
• на х= а

Степен с рационален показател, неговите свойства.

Израз a n е дефиниран за всички a и n, с изключение на случая a \u003d 0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива степени.

За всякакви числа a, b и всякакви числа m и n са валидни следните равенства:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Също така отбелязваме следното свойство:

Ако m\u003e n, тогава a m\u003e a n за a\u003e 1 и a m<а n при 0<а<1.

В този подраздел ние обобщаваме концепцията за степента на число, придавайки значение на изрази от тип 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т. н. В този случай е естествено да се даде определение, така че градусите с рационални показатели да имат същите свойства (или поне част от тях) като градусите с цял експонент. Тогава, по-специално, n-та степен на числото трябва да е равно на a м ... Наистина, ако собствеността

(a p) q \u003d a pq

се изпълнява, тогава

Последното равенство означава (чрез дефиницията на n-тия корен), че числото трябва да е n-тият корен от числото a м.

Определение.

Степента на число a\u003e 0 с рационален показател r \u003d, където m е цяло число и n е естествено число (n\u003e 1), е числото

Така че по дефиниция

(1)

Силата на числото 0 се определя само за положителни показатели; по дефиниция 0 r \u003d 0 за всяко r\u003e 0.

Градус с ирационален показател.

Нерационално числоможе да се представи катограницата на последователността от рационални числа: .

Нека бъде. Тогава има степени с рационален експонентен показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е конвергентна. Извиква се границата на тази последователност степен с обосновка и ирационален показател: .

Нека нарисуваме няколко точки от графиката на функцията y \u003d 2 х предварително изчисляване на стойността 2 х върху сегмента [–2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а) и след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б). Продължавайки мислено същите конструкции със стъпка 1/16, 1/32 и т.н., виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани чрез гладка крива, което е естествено да се разглежда графиката на някаква функция, дефинирана и нарастваща вече по цялата числова линия и приемаща стойности в рационални точки (Фиг. 1, в). След като е изградил достатъчно голям брой точки от графиката на функцията, можем да проверим, че и тази функция притежава подобни свойства (разликата е, че функцията намалява с R).

Тези наблюдения предполагат, че е възможно да се определят числата 2 по този начин. α и за всяко ирационално α такова, че функциите, определени от формулите y \u003d 2 x и ще бъде непрекъсната и функцията y \u003d 2 х се увеличава и функцията намалява по цялата числова линия.

Нека опишем най-общо как числото a α за ирационално α за a\u003e 1. Искаме да постигнем, че функцията y \u003d a х се увеличаваше. Тогава за всеки рационален r 1 и r 2, така че r 1<α трябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на стойностите r 1 и r 2 приближавайки се към x, можем да видим, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че има и освен това е само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малкото a r 2 за всички рационални r 2 ... Това число y е по дефиниция a α .

Например изчисляване на стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на число ще открием, че колкото по-близо е x n и x` n k , толкова по-малка е разликата 2 x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се вземат предвид следните десетични приближения чрез дефицит и излишък стигаме до съотношенията

;

;

;

;

.

Стойност изчислено на калкулатора е както следва:

.

Числото a α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 за произволни α и 0 α \u003d 0 за α\u003e 0.

Експоненциална функция.

Кога а > 0, а = 1, функцията е дефинирана y \u003d a х различни от постоянни. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основатаа.

у\u003d a х в а> 1:

Графики на експоненциална функция с основа 0< а < 1 и а \u003e 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция у\u003d a х в 0< а < 1:

• Домейнът на функцията е целият цифров ред.
• Функционален обхват - обхват (0; + ) .
• Функцията се увеличава строго монотонно по цялата числова линия, т.е. х 1 < x 2, тогава а х 1 \u003e a x 2 .
• Кога х \u003d 0, стойността на функцията е 1.
• Ако х\u003e 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то а х > 1.
Общите свойства на експоненциалната функция като за 0< a < 1, так и при a\u003e 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 и х 2.
• а - х= ( а х) − 1 = 1 ах за всеки х.
• на х= а

Информационен бум в биологията - микробни колонии в чашка на Петри Зайци в Австралия Верижни реакции - в химията Във физиката - радиоактивен разпад, промяна атмосферно налягане с промяна на височината, охлаждане на тялото.В физиката - радиоактивен разпад, промяна в атмосферното налягане с промяна на височината, охлаждане на тялото. Освобождаването на адреналин в кръвта и неговото унищожаване Също така се казва, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години и също така се твърди, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3,5

Израз 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d, 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1, ... 1; 1,7 1,73; 1,732, 1,73205; 1,; ... последователността се увеличава 2 1; 2 1,7; 2 1,73; 2 1,732; 2 1,73205; 2 1,; ... последователността се увеличава Ограничена и следователно се сближава до една граница - стойността 2 3

Може да се определи π 0

10 10 18 Свойства на функцията y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 title \u003d "(! LANG: Свойства на функцията y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21

Количеството информация се удвоява на всеки 10 години По оста Ox - според закона за аритметичната прогресия: 1,2,3,4…. По оста Oy - според закона геометрична прогресия: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Графиката на експоненциалната функция, тя се нарича експонента (от латински exponere - да парадирам)