Раздели на сайта
Избор на редактора:
- Шест примера за компетентен подход към склонението на числата
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
реклама
В тази статия ще разберем какво е то степен на число. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват. Навигация в страницата. Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на числоДа започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Също така отбелязваме, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа. Определение.
Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е. Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на нотацията a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“. Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“. Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 . Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 . Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например, 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n. Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степен от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до. Известно е, че мнозина рационални числасе състои от цели и дробни числа, всяко дробно числомогат да бъдат представени като положителни или отрицателни обикновена дроб. Ние дефинирахме степента с целочислен показател в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, трябва да придадете значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Нека направим това. Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и начина, по който сме определили , тогава е логично да го приемем, при условие че при дадени m, n и a изразът има смисъл. Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цяло число са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател). Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m. Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да опишем при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода. Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател. Определение. Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен от числото a на степен m, т.е. Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен. Определение.
Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като . Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дадената по-горе дефиниция ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна. Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с . За четно n и положително m, изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл за отрицателно m, числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление). с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула). Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател. Определение. Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка съкратима дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да се запази , Но , А . След като се определи силата на едно число, е логично да се говори за степенни свойства. В тази статия ще дадем основните свойства на степента на число, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени. Тук ще предоставим доказателства за всички свойства на степените и ще покажем как тези свойства се използват при решаване на примери. Навигация в страницата. Свойства на степените с естествен показателПо дефиниция на степен с естествен показател, степента a n е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Въз основа на това определение, а също и с помощта свойства на умножението на реални числа, можем да получим и обосновем следното свойства на степен с естествен показател:
Нека веднага да отбележим, че всички написани равенства са идентиченпри посочените условия могат да се сменят дясната и лявата им част. Например основното свойство на дробта a m ·a n =a m+n с опростяване на изразичесто се използва под формата a m+n =a m ·a n . Сега нека разгледаме подробно всеки от тях. Нека започнем със свойството на произведението на две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n е вярно равенството a m ·a n =a m+n. Нека докажем основното свойство на степента. По дефиницията на степен с естествен показател, произведението на степени с еднакви основи от формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като , и този продукт е степен на числото a с естествен показател m+n, тоест a m+n. Това завършва доказателството. Нека дадем пример, потвърждаващ основното свойство на степента. Нека вземем степени с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, като използваме основното свойство на степените, можем да запишем равенството 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Нека проверим неговата валидност, като изчислим стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5 . Извършвайки степенуване, имаме 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32и 2 5 =2·2·2·2·2=32, тъй като се получават равни стойности, то равенството 2 2 ·2 3 =2 5 е правилно и то потвърждава основното свойство на степента. Основното свойство на степента, базирано на свойствата на умножението, може да се обобщи до произведението на три или повече степени с еднакви основи и естествени показатели. Така че за всяко число k от естествените числа n 1, n 2, …, n k равенството е вярно a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k. например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 . Можем да преминем към следващото свойство на степените с естествен показател – свойство на частни степени с еднакви бази: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m>n, е вярно равенството a m:a n =a m−n. Преди да представим доказателството за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a≠0 е необходимо, за да избегнем деленето на нула, тъй като 0 n =0, а когато се запознахме с деленето, се съгласихме, че не можем да делим на нула. Условието m>n е въведено, за да не излизаме извън естествените степени. Наистина, за m>n показателят a m−n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m−n), или отрицателно число (което се случва за m Доказателство. Основното свойство на дробта ни позволява да напишем равенството a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. От полученото равенство a m−n ·a n =a m и следва, че a m−n е частно от степените a m и a n . Това доказва свойството на частните степени с еднакви бази. Да дадем пример. Да вземем две степени с еднакви основи π и естествени показатели 5 и 2, равенството π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 отговаря на разглежданото свойство на степента. Сега нека помислим свойство мощност на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степените a n и b n, тоест (a·b) n =a n ·b n. Наистина, по дефиницията на степен с естествен показател имаме . Въз основа на свойствата на умножението, последният продукт може да бъде пренаписан като , което е равно на a n · b n . Ето един пример: . Това свойство се простира до степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството естествена степен n на произведението от k фактора се записва като (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. За по-голяма яснота ще покажем това свойство с пример. За произведението на три множителя на степен 7 имаме . Следното свойство е свойство на частно в натура: частното на реалните числа a и b, b≠0 към естествената степен n е равно на частното на степените a n и b n, тоест (a:b) n =a n:b n. Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. И така (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, а от равенството (a:b) n ·b n =a n следва, че (a:b) n е частното от a n делено на b n . Нека напишем това свойство, използвайки конкретни числа като пример: . Сега нека го озвучим свойство за повдигане на степен на степен: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n степента на a m на степен n е равна на степента на числото a с показател m·n, тоест (a m) n =a m·n. Например (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Доказателството за свойството степен към степен е следната верига от равенства: . Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството . За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
. Остава да се спрем на свойствата на сравняване на степени с естествен показател. Нека започнем с доказване на свойството за сравняване на нула и степен с естествен показател. Първо, нека докажем, че a n >0 за всяко a>0. Произведението на две положителни числа е положително число, както следва от определението за умножение. Този факт и свойствата на умножението предполагат, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n по дефиниция е произведението на n множителя, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. Поради доказаното свойство 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 и . Съвсем очевидно е, че за всяко естествено число n с a=0 степента на a n е нула. Наистина, 0 n =0·0·…·0=0 . Например 0 3 =0 и 0 762 =0. Нека преминем към отрицателните основи на степен. Нека започнем със случая, когато показателят е четно число, нека го обозначим като 2·m, където m е естествено число. Тогава . За всяко от произведенията на формата a·a е равно на произведението на модулите на числата a и a, което означава, че е положително число. Следователно продуктът също ще бъде положителен и степен a 2·m. Нека дадем примери: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 и . И накрая, когато основата a е отрицателно число и показателят е нечетно число 2 m−1, тогава . Всички продукти a·a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и умножението му по останалите отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и . Нека да преминем към свойството за сравняване на степени с еднакви естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем. Неравенство a n свойства на неравенстватадоказуемо неравенство от формата a n също е вярно . Остава да докажем и последното от изброените свойства на степените с естествен показател. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и еднакви положителни основи, по-малки от единица, тази, чийто показател е по-малък, е по-голяма; и от две степени с естествен показател и еднакви основи, по-големи от единица, тази, чийто степен е по-голяма, е по-голяма. Нека преминем към доказателството на това свойство. Нека докажем, че за m>n и 0 0 поради първоначалното условие m>n, което означава, че при 0
Остава да се докаже и втората част от имота. Нека докажем, че за m>n и a>1 a m >a n е вярно. Разликата a m −a n след изваждане на n извън скобите приема формата a n ·(a m−n −1) . Това произведение е положително, тъй като за a>1 степента a n е положително число, а разликата a m−n −1 е положително число, тъй като m−n>0 поради началното условие, а за a>1 степента a m−n е по-голямо от едно. Следователно, a m −a n >0 и a m >a n, което трябваше да бъде доказано. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7 >3 2. Свойства на степени с цели показателиТъй като положителните цели числа са естествени числа, тогава всички свойства на степени с цели положителни показатели съвпадат точно със свойствата на степени с естествени показатели, изброени и доказани в предходния параграф. Дефинирахме степен с цяло число отрицателен показател, както и степен с нулев показател, по такъв начин, че всички свойства на степени с естествени показатели, изразени чрез равенства, останаха валидни. Следователно, всички тези свойства са валидни както за нулев показател, така и за отрицателен показател, докато, разбира се, основите на степените са различни от нула. И така, за всички реални и ненулеви числа a и b, както и за всички цели числа m и n, е вярно следното: свойства на степени с цели показатели:
Когато a=0, степените a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са цели положителни числа, тоест естествени числа. Така току-що записаните свойства са валидни и за случаите, когато a=0 и числата m и n са цели положителни числа. Доказването на всяко от тези свойства не е трудно, достатъчно е да се използват дефинициите на степени с естествени и цели числа, както и свойствата на операциите с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен към степен е валидно както за положителни цели, така и за неположителни цели числа. За да направите това, трябва да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q). Нека направим това. За положителни p и q, равенството (a p) q =a p·q беше доказано в предишния параграф. Ако p=0, тогава имаме (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1, откъдето (a 0) q =a 0·q. По същия начин, ако q=0, тогава (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1, откъдето (a p) 0 =a p·0. Ако и двете p=0 и q=0, тогава (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1, откъдето (a 0) 0 =a 0·0. Сега доказваме, че (a −p) q =a (−p)·q . Тогава по дефиниция на степен с отрицателен цяло число . По свойството частни на степени имаме . Тъй като 1 p =1·1·…·1=1 и , тогава . Последният израз по дефиниция е степен от формата a −(p·q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като a (−p)·q. По същия начин . И . Използвайки същия принцип, можете да докажете всички други свойства на степен с цяло число, записани под формата на равенства. В предпоследното от записаните свойства си струва да се спрем на доказателството на неравенството a −n >b −n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за които е изпълнено условието a . Тъй като по условие а 0 . Произведението a n · b n също е положително като произведението на положителните числа a n и b n . Тогава получената дроб е положителна като частно на положителните числа b n −a n и a n ·b n . Следователно, откъде a −n >b −n , което трябваше да се докаже. Последното свойство на степени с цели показатели се доказва по същия начин като подобно свойство на степени с естествени показатели. Свойства на степени с рационални показателиДефинирахме степен с дробен показател, като разширихме свойствата на степен с целочислен показател към него. С други думи, степените с дробни показатели имат същите свойства като степени с цели числа. а именно: Доказателството за свойствата на степени с дробен показател се основава на дефиницията на степен с дробен показател и върху свойствата на степен с цяло число. Нека предоставим доказателства. По дефиниция на степен с дробен показател и , тогава . Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да напишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с цяло число, получаваме , от което, по дефиницията на степен с дробен показател, имаме , а показателят за получената степен може да се трансформира по следния начин: . Това завършва доказателството. Второто свойство на степените с дробни показатели се доказва по абсолютно подобен начин: Останалите равенства се доказват с помощта на подобни принципи: Да преминем към доказване на следващото свойство. Нека докажем, че за всяко положително a и b, a b p . Нека запишем рационалното число p като m/n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условия стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m>0 и a По същия начин за m<0 имеем a m >b m , от където, т.е. и a p >b p . Остава да докажем последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p>q при 0 0 – неравенство a p >a q . Винаги можем да сведем рационалните числа p и q до общ знаменател, дори ако получим обикновени дроби и , където m 1 и m 2 са цели числа, а n е естествено число. В този случай условието p>q ще съответства на условието m 1 >m 2, което следва от. След това, чрез свойството за сравняване на степени с еднакви основи и естествени показатели при 0 1 – неравенство a m 1 >a m 2 . Тези неравенства в свойствата на корените могат да бъдат пренаписани съответно като И . А дефиницията на степен с рационален показател ни позволява да преминем към неравенствата и съответно. Оттук правим крайния извод: за p>q и 0 0 – неравенство a p >a q . Свойства на степени с ирационални показателиОт начина, по който се дефинира степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя има всички свойства на степени с рационален показател. Така че за всяко a>0, b>0 и ирационални числа p и q е вярно следното свойства на степени с ирационални показатели:
От това можем да заключим, че степени с всякакви реални показатели p и q за a>0 имат същите свойства. Референции.
ЧАСТ II. ГЛАВА 6 Понятието степен с ирационален показателНека a е някакво положително число и a е ирационално число. 384 Понятието за степен с ирационален показател . . сега се оказва, че разликата между последователности (4) и (3) се сближава В този материал ще разгледаме какво е степен на число. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какво представляват степени с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примерни задачи. Yandex.RTB R-A-339285-1 Първо, нека формулираме основната дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Предварително да уточним, че за база засега ще вземем реално число (означава се с буквата a), а за индикатор - естествено число (означава се с буквата n). Определение 1 Степента на число a с естествен показател n е произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на числото a. Степента се записва така: a n, а под формата на формула неговият състав може да бъде представен по следния начин: Например, ако показателят е 1 и основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1. Като се има предвид, че a е стойността на фактора и 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 = a. Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за запис на голям брой равни множители. И така, запис на формуляра 8 8 8 8може да се съкрати до 8 4 . По почти същия начин продуктът ни помага да избегнем писането на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); Вече обсъдихме това в статията, посветена на умножението на естествени числа. Как да разчетем правилно записа на степента? Общоприетата опция е „а на степен n“. Или можете да кажете „n-та степен на a“ или „антова степен“. Ако, да речем, в примера срещнахме записа 8 12 , можем да прочетем "8 на 12-та степен", "8 на степен 12" или "12-та степен на 8". Втората и третата степен на числата имат свои собствени утвърдени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадрат на числото 7“. По същия начин третата степен гласи така: 5 3 - това е „кубът на числото 5“ или „5 в куб“. Можете обаче да използвате и стандартната формулировка „на втора/трета степен“; това няма да е грешка. Пример 1 Нека да разгледаме пример за степен с естествен показател: for 5 7 пет ще бъде основата, а седем ще бъде степента. Основата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 Основата ще бъде дробта 4, 32, а показателят ще бъде девет. Обърнете внимание на скобите: тази нотация се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа. Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3. За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 И − 2 3 . Първото от тях означава отрицателно число минус две, повдигнато на степен с естествен показател три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на степента 2 3 . Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на силата на числото - a^n(където a е основата, а n е показателят). Тоест, 4^9 е същото като 4 9 . Ако n е многоцифрено число, то се поставя в скоби. Например 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Но ние ще използваме нотацията a nкато по-често срещано. Лесно е да познаете как да изчислите стойността на експонента с естествена степен от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти пъти. Писахме повече за това в друга статия. Концепцията за степен е обратното на друга математическа концепция - корен на число. Ако знаем стойността на степента и експонентата, можем да изчислим нейната основа. Градусът има някои специфични свойства, полезни за решаване на проблеми, които разгледахме в отделен материал. Експонентите могат да включват не само естествени числа, но и всякакви цели числа като цяло, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към набора от цели числа. Определение 2 Степента на число с положително цяло число може да бъде представена като формула: . В този случай n е всяко положително цяло число. Нека разберем понятието нулева степен. За да направим това, използваме подход, който взема предвид свойството частно за степени с равни бази. Формулира се така: Определение 3 Равенство a m: a n = a m − nще бъде вярно при следните условия: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 . Последното условие е важно, защото избягва деленето на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n = a n − n = a 0 Но в същото време a n: a n = 1 е частното на равни числа a nи а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица. Такова доказателство обаче не се прилага за нула на нулева степен. За да направим това, имаме нужда от друго свойство на степените - свойството на произведения на степени с равни бази. Изглежда така: a m · a n = a m + n . Ако n е равно на 0, тогава a m · a 0 = a m(това равенство също ни доказва това а 0 = 1). Но ако и също е равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m · 0 0 = 0 m, Ще бъде вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква точно е стойността на степента 0 0 , тоест може да бъде равно на всяко число и това няма да повлияе на точността на равенството. Следователно, нотация на формата 0 0 няма свое специално значение и ние няма да му го приписваме. Ако желаете, това е лесно да се провери а 0 = 1се сближава със свойството степен (a m) n = a m nпри условие че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с показател нула е едно. Пример 2 Нека да разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , и стойността 0 0 не е дефиниран. След нулевата степен просто трябва да разберем какво е отрицателна степен. За да направим това, се нуждаем от същото свойство на произведението на степени с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n = a m + n. Нека въведем условието: m = − n, тогава a не трябва да е равно на нула. От това следва, че a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Оказва се, че a n и a−nимаме взаимно реципрочни числа. В резултат на това a на отрицателна цяла степен не е нищо повече от дроб 1 a n. Тази формулировка потвърждава, че за степен с цяло число отрицателен показател са валидни всички същите свойства, които притежава степен с естествен показател (при условие, че основата не е равна на нула). Пример 3 Степен a с отрицателен цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n . По този начин, a - n = 1 a n предмет на a ≠ 0и n е всяко естествено число. Нека илюстрираме нашата идея с конкретни примери: Пример 4 3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1 В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко, което е казано ясно в една формула: Определение 4 Степента на число с естествен показател z е: a z = a z, e с l и z - цяло положително число 1, z = 0 и a ≠ 0, (за z = 0 и a = 0 резултатът е 0 0, стойностите на израза 0 0 не са дефинирани) 1 a z, ако и z е отрицателно цяло число и a ≠ 0 (ако z е отрицателно цяло число и a = 0 получавате 0 z, egoz стойността е неопределена) Какво представляват степени с рационален показател?Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Въпреки това можете да повдигнете число на степен, дори когато неговият показател съдържа дробно число. Това се нарича степен с рационален показател. В този раздел ще докажем, че тя има същите свойства като другите степени. Какво представляват рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, а дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробен показател m / n, където n е естествено число, а m е цяло число. Имаме някаква степен с дробен показател a m n. За да се запази свойството сила за захранване, трябва да е вярно равенството a m n n = a m n · n = a m. Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n = a m, можем да приемем условието a m n = a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a. Горните свойства на степен с цяло число ще бъдат верни при условието a m n = a m n. Основният извод от нашите разсъждения е следният: степента на определено число a с дробен показател m / n е n-тият корен на числото a на степен m. Това е вярно, ако за дадени стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен. 1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: нека вземем a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности - строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но такава степен не е дефинирана). В този случай дефиницията на степен с дробен показател ще изглежда така: Степен с дробен показател m/n за някакво положително число a е корен n-ти от a, повдигнат на степен m. Това може да се изрази като формула: За степен с нулева основа тази разпоредба също е подходяща, но само ако нейният показател е положително число. Степен с основа нула и дробен положителен показател m/n може да се изрази като 0 m n = 0 m n = 0, при условие че m е положително цяло число и n е естествено число. За отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет. Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието a да е по-голямо или равно на нула, в крайна сметка отхвърлихме някои случаи. Изразът a m n понякога все още има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. По този начин правилните записи са (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в които основата е отрицателна. 2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни показатели. След това ще трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има съкратима обикновена дроб, се счита за степен a, в степента на която има съответната несъкратима дроб. По-късно ще обясним защо имаме нужда от това условие и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m · k n · k, тогава можем да го намалим до a m n и да опростим изчисленията. Ако n е нечетно число и стойността на m е положителна и a е всяко неотрицателно число, тогава a m n има смисъл. Условието a да е неотрицателно е необходимо, тъй като корен от четна степен не може да бъде извлечен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде както отрицателна, така и нула, защото Нечетният корен може да бъде взет от всяко реално число. Нека комбинираме всички горни определения в един запис: Тук m/n означава несъкратима дроб, m е всяко цяло число, а n е всяко естествено число. Определение 5 За всяка обикновена съкратима дроб m · k n · k степента може да бъде заменена с a m n . Степента на число a с нередуцируем дробен показател m / n – може да се изрази като a m n в следните случаи: - за всяко реално a, цели положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19. За всяко ненулево реално a, отрицателни цели числа на m и нечетни стойности на n, например 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7 За всяко неотрицателно a, цяло положително число m и дори n, например, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18. За всяко положително a, цяло отрицателно число m и дори n, например, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, . При други стойности степента с дробен показател не се определя. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5. Сега нека обясним важността на обсъденото по-горе условие: защо да заменяме дроб с редуцируем показател с дроб с нередуцируем показател. Ако не бяхме направили това, щяхме да имаме следните ситуации, да речем, 6/10 = 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , но - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 и (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 . Определението за степен с дробен показател, което представихме първо, е по-удобно за използване на практика от второто, така че ще продължим да го използваме. Определение 6 Така степента на положително число a с дробен показател m/n се определя като 0 m n = 0 m n = 0. В случай на отрицателен анотацията a m n няма смисъл. Степен нула за положителни дробни показатели м/нсе дефинира като 0 m n = 0 m n = 0 , за отрицателни дробни показатели ние не определяме степента на нула. В заключение отбелязваме, че можете да напишете всеки дробен индикатор както като смесено число, така и като десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7. Когато изчислявате, е по-добре да замените експонентата с обикновена дроб и след това да използвате определението за експонента с дробна степен. За горните примери получаваме: 5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7 Какво представляват степени с ирационален и реален показател?Какво представляват реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да дефинираме степени с рационален и ирационален показател. Вече споменахме рационалните по-горе. Нека се занимаваме с ирационалните показатели стъпка по стъпка. Пример 5 Да приемем, че имаме ирационално число a и последователност от неговите десетични приближения a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Например, нека вземем стойността a = 1,67175331. . . , Тогава a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . . Можем да свържем последователности от приближения с последователност от степени a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Ако си спомним какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационални степени, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени. Да вземем за пример а = 3, тогава a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . и т.н. Последователността от степени може да се сведе до число, което ще бъде стойността на степента с основа а и ирационален показател а. В резултат: степен с ирационален показател от формата 3 1, 67175331. . може да се сведе до числото 6, 27. Определение 7 Степента на положително число a с ирационален показател a се записва като a a . Стойността му е границата на редицата a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , където a 0 , a 1 , a 2 , . . . са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степен с нулева основа може също да бъде дефинирана за положителни ирационални показатели, като 0 a = 0 Така че, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Но това не може да се направи за отрицателни, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Една единица, повдигната на която и да е ирационална степен, остава единица, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1. Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter Степен с рационален показател, нейните свойства. Израз a n дефинирани за всички a и n, с изключение на случая на a=0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива мощности. A m *a n =a m+n; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn; (ab) n = a n *b n; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0). (a p) q = a pq
(1)
Степен с ирационален показател. Ирационално числомогат да бъдат представени във форматаграница на поредица от рационални числа:
.
Нека . След това има степени с рационален показател. Може да се докаже, че последователността на тези степени е сходяща. Границата на тази последователност се нарича степен с основа и ирационален показател: . Нека фиксираме положително число a и го присвоим на всяко число. Така получаваме числовата функция f(x) = aх , определени върху множеството Q от рационални числа и притежаващи изброените по-горе свойства. Когато a=1 функция f(x) = aх е постоянен, тъй като 1х =1 за всяко рационално x.
;
.
При а > 0, а = 1, дефинирана функция y = a х, различна от константата. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основаа.
г= а
хпри а> 1:
Графики на експоненциални функции с основа 0< а < 1 и а> 1 са показани на фигурата. Основни свойства на експоненциалната функция г= а хна 0< а < 1:
|
Прочетете: |
---|
Популярни:
Афоризми и цитати за самоубийство |
Нов
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
- Защо мечтаете за буря на морските вълни?