Първо ниво

Степента и нейните свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими степени? Къде ще ви бъдат полезни? Защо трябва да отделите време, за да ги изучите?

За да научите всичко за степените, за какво са предназначени, как да използвате знанията си ежедневието прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешен преминаване на OGE или Единния държавен изпит и за постъпване в университета на мечтите ви.

Хайде ... (Хайде!)

Важна забележка! Ако вместо формули видите глупости, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL + F5 (за Windows) или Cmd + R (за Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е същото математическа операциякато събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език в много прости примери... Обърни внимание. Примерите са основни, но обясняват важни неща.

Нека започнем с добавяне.

Няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: ние сме осем. Всяка има две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Един и същ пример за кола може да се напише по различен начин :. Математиците са хитри и мързеливи хора. Първо забелязват някои модели, а след това измислят начин бързо да ги „преброят“. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаха еднакъв брой бутилки с кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение... Можете, разбира се, да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още едно, по-красиво:

Какво друго хитри трикове мързеливи математици измислили сметките? Правилно - издигане на число до степен.

Повишаване на число до степен

Ако трябва да умножите числото само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да издигнете това число до петата степен. Например, . Математиците помнят, че две до петата степен е. И те решават такива проблеми в главите си - по-бързо, по-лесно и без грешки.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е подчертано в таблицата на степента на числата... Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втората степен квадрат числа, а третият - куб? Какво означава? Силно добър въпрос... Сега ще имате както квадратчета, така и кубчета.

Пример за живот №1

Нека започнем с квадрат или втората степен на число.

Представете си басейн с квадратни метри по метър. Басейнът е във вашата селска къща. Горещо е и много искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки са ви необходими? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като пъхнете пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър на метър. Ако имате плочка метър по метър, ще ви трябват парчета. Лесно е ... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката е по-вероятно да бъде см на см. И тогава ще бъдете измъчвани от "броя на пръстите". След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязали ли сте, че сме умножили един и същ номер по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? След като едно и също число се умножи, можем да използваме техниката "степенуване". (Разбира се, когато имате само две числа, все още можете да ги умножите или да ги повишите до степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването до степен е много по-лесно и има и по-малко грешки в изчисленията. За изпита, това е много важно).
Така че тридесет във втората степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратно, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот # 2

Ето задача за вас, пребройте колко квадратчета са на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото ... От едната страна на клетките, а от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да каре осем. Получавате клетки. () Така?

Пример от реалния живот № 3

Сега кубът или третата степен на числото. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода трябва да налеете в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Обемите и течностите, между другото, се измерват в кубични метри... Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размер на метър и дълбочина метър и се опитайте да изчислите колко кубчета на метър по метър ще влязат във вашия басейн.

Посочете пръста си и бройте! Едно, две, три, четири ... двадесет и две, двадесет и три ... Колко се оказа? Не сте загубени? Трудно ли е да се брои с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите дължината, ширината и височината му помежду си. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

А сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако и това са опростили. Те сведоха всичко до едно действие. Те забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава само по себе си ... Какво означава това? Това означава, че можете да използвате степента. И така, това, което някога сте преброили с пръст, те правят с едно действие: три в куб е равно. Написано е така :.

Остава само запомнете таблицата на градусите... Освен ако, разбира се, не сте толкова мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да грешите, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя най-накрая, че градусите са измислени от безделници и хитрости, за да решават своите житейски проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот № 4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още милион от всеки милион. Тоест всеки милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръст“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще отговорите след няколко секунди, защото сте умни! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - случилото се беше още две, през третата година ... Спри! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две до петата степен са милион! А сега си представете, че имате състезание и тези милиони ще бъдат получени от този, който изчислява по-бързо ... Заслужава ли си да запомните градусите на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот № 5

Имате милион. В началото на всяка година печелите още два на всеки милион. Страхотно, нали? На всеки милион тройки. Колко пари ще имате след години? Нека преброим. Първата година - умножете по, след това резултата по друга ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три пъти се умножава само по себе си. Така че четвъртата степен е равна на милион. Просто трябва да запомните, че три до четвъртата степен е или.

Сега знаете, че като повишите число до степен, ще улесните значително живота си. Нека да разгледаме какво можете да правите със степени и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се объркате

И така, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е експонента? Много е просто - това е числото, което е „в горната част“ на степента на числото. Не научно, но разбираемо и лесно за запомняне ...

Е, в същото време това такава степен степен? Още по-просто е числото, което е отдолу, в основата.

Ето чертеж, за да сте сигурни.

Е, вътре общ изглед, за да обобщим и запомним по-добре ... Степен с радикс "" и степенна степен "" се чете като "в степен" и се записва, както следва:

Степен на число с натурален експонент

Вероятно вече се досещате: защото степента е естествено число... Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези, които се използват при броене при изброяване на обекти: едно, две, три ... Когато броим обекти, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Също така не казваме „една трета“ или „нула точка пет десети“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите?

Цифрите като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят цели числа. По принцип целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус), и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. А какво означават отрицателните („минусови“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате рубли на телефона си, това означава, че дължите рубли на оператора.

Всяка дроб е рационално число. Как мислите, че са възникнали? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци откриха, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайно десетична... Например, ако разделите обиколката на кръг на диаметъра му, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме понятието степен, чийто степен е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число в първата степен е равно на себе си:
2. Да квадрат на число означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение. Увеличаването на число до естествена степен означава умножаване на броя по себе си по пъти:
.

Мощни свойства

Откъде идват тези имоти? Сега ще ви покажа.

Да видим: какво е и ?

По дефиниция:

Колко са факторите общо?

Много е просто: добавихме умножители към множителите и сумата е множители.

Но по дефиниция това е степента на число с степен, т.е. според изискванията.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример: Опростете израза.

Решение: Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължително трябва да имат същите бази!
Затова комбинираме градусите с основата, но остава отделен фактор:

само за произведението от градуси!

В никакъв случай не можете да напишете това.

2. това е -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „поставяне на индикатор в скоби“. Но никога не трябва да правите това общо:

Нека си припомним съкратените формули за умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Степен с отрицателна основа

До този момент ние само обсъждахме каква трябва да бъде степента.

Но каква трябва да е основата?

В градуси с естествен показател основата може да бъде произволно число... Всъщност можем да умножаваме всякакви числа помежду си, били те положителни, отрицателни или дори.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степен на положителни и отрицателни числа?

Например дали числото ще бъде положително или отрицателно? И? ? С първата всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим помежду си, резултатът ще бъде положителен.

Но отрицателното е малко по-интересно. В края на краищата си спомняме просто правило от 6-ти клас: „минус за минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по, това работи.

Сами решете кой знак ще имат следните изрази:

Успяхте ли?

Ето отговорите: Надяваме се, че в първите четири примера всичко е ясно? Ние просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова лесно!

6 примера за обучение

Разбор на решението 6 примера

Освен осмата степен, какво виждаме тук? Припомняме програмата от 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от множителите в числителя, но какво не е наред? Грешен ред на условията. Ако трябваше да бъдат отменени, правилото можеше да се приложи.

Но как да го направя? Оказва се много лесно: тук ни помага еднаква степен на знаменателя.

Условията са магически обърнати. Това "явление" е приложимо за всеки израз в четна степен: ние можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се \u200b\u200bвърнем към примера:

И отново формулата:

Цял ние наричаме естествените числа срещу тях (т.е. взети със знака "") и числото.

положително цяло число, но той не се различава от естествения, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме някои нови случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число до нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека си зададем въпроса: защо е така?

Помислете за степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. И кое число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така. Означава.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число в нулевата степен е равно на едно.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да бъде равна на всяка степен - колкото и да умножавате сами, пак получавате нула, това е ясно. Но от друга страна, както всяко число в нулевата степен, то трябва да е равно. И така, кое от това е вярно? Математиците решиха да не се включват и отказаха да вдигнат нула до нула. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да я издигнем до нула мощност.

Да вървим по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, отрицателните числа принадлежат към цели числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същото в отрицателна степен:

Оттук вече е лесно да изразите това, което търсите:

Сега разширяваме полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число в отрицателната степен е обратно на същото число в положителната степен. Но в същото време основата не може да бъде нула: (защото не можете да разделите на).

Нека обобщим:

I. Израз, който не е посочен в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число до нулевата степен е равно на едно :.

III. Число, което не е равно на нула, е в отрицателна степен, обратна на същото число в положителна степен :.

Задачи за независимо решение:

Е, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са ужасни, но на изпита трябва да си готов за всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не сте могли да ги разрешите и ще научите как лесно да се справите с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, „подходящи“ като степен.

Сега помислете рационални числа. Какви числа се наричат \u200b\u200bрационални?

Отговор: всичко това може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е Дробна степен, помислете за фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението в степен:

Сега нека си припомним правилото за "Степен до степен":

Кое число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корен th.

Нека ви напомня: коренът на степента на числото () е число, което, когато се повиши до степен, е равно на.

Тоест, коренът на степента е обратното на операцията за степенуване :.

Оказва се, че. Очевидно това специален случай може да се разшири :.

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът се получава лесно, като се използва правилото за степен до степен:

Но може ли основата да е произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повишено до четна степен, е положително число. Тоест, не можете да извлечете корени на четна степен от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повишени до дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изражението?

Но тук идва проблемът.

Числото може да бъде представено като други, отменяеми дроби, например или.

И се оказва, че той наистина съществува, но не съществува, но това са само два различни записа с един и същ брой.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да пишете. Но ако запишем индикатора по различен начин и отново получим неприятност: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнете подобни парадокси, помислете само положителен радикс с дробна степен.

Така че, ако:

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за преобразуване на вкоренени изрази, например:

5 примера за обучение

Анализ на 5 примера за обучение

А сега най-трудната част. Сега ще анализираме степен с ирационален показател .

Всички правила и свойства на градусите тук са абсолютно същите като за степен с рационален показател, с изключение на

Всъщност по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучавахме степени с естествен, цялостен и рационален показател, всеки път си съставяхме един вид „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например, естествен експонент е число, умножено по няколко пъти само по себе си;

...нулево число на мощността - това е, като че ли число, умножено само по себе си веднъж, т.е. все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно, резултатът е само един вид "празно число ", а именно номера;

...отрицателно цяло число - все едно определено " обратен процес”, Тоест броят не е умножен по себе си, а е разделен.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за такива трудности; ще имате възможност да разберете тези нови понятия в института.

КЪДЕ СМЕ СИГУРНИ, ЩЕ ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решения:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен до степен:

Сега погледнете индикатора. Напомня ли ви за нещо? Припомняме формулата за намалено умножение, разликата в квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Довеждаме фракциите в експоненти до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Нека вземем например:

Отговор: 16

3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степента

Степента е израз на формата :, където:

• — основа на степен;
• - експонента.

Степен с естествен показател (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Увеличаването на число до естествена степен n означава умножаване на броя по себе си по пъти:

Цяла степен (0, ± 1, ± 2, ...)

Ако степента е цяло положително номер:

Ерекция до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, във всяка степен - това, а от друга - произволно число в та степен - това.

Ако степента е цяло отрицателно номер:

(защото не можете да разделите на).

Още веднъж за нули: изразът е недефиниран в случай. Ако, тогава.

Примери:

Рационална оценка

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Мощни свойства

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Нека да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степента на число с степен, т.е.

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да имат същите бази. Затова комбинираме градусите с основата, но остава отделен фактор:

Още една важна бележка: това правило е - само за произведението от градуси!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степента:

Нека да пренаредим това парче по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „поставяне на индикатор в скоби“. Но никога не трябва да правите това общо :!

Нека си припомним съкратените формули за умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Степен с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само как трябва да бъде индикатор степен. Но каква трябва да е основата? В градуси с естествен индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножаваме всякакви числа помежду си, били те положителни, отрицателни или дори. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степен на положителни и отрицателни числа?

Например дали числото ще бъде положително или отрицателно? И? ?

С първата всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим помежду си, резултатът ще бъде положителен.

Но отрицателното е малко по-интересно. В края на краищата си спомняме просто правило от 6-ти клас: „минус за минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Човек може да формулира такива прости правила:

1. дори степен, - номер положителен.
2. Отрицателно число, издигнат през странно степен, - номер отрицателен.
3. Положително число до всяка степен е положително число.
4. Нула към всяка мощност е нула.

Сами решете кой знак ще имат следните изрази:

Успяхте ли? Ето отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера се надявам всичко да е ясно? Ние просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че и следователно основата по-малко от нула... Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението за градуси и ги разделяме един на друг, разделяме ги по двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Освен осмата степен, какво виждаме тук? Припомняме програмата от 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Внимателно разглеждаме знаменателя. Прилича много на един от множителите в числителя, но какво не е наред? Грешен ред на условията. Ако бяха разменени, можеше да се приложи правило 3. Но как да го направя? Оказва се много лесно: тук ни помага еднаква степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва следното:

Условията са магически обърнати. Това "явление" е приложимо за всеки израз в четна степен: ние можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да бъде заменен с промяна само на един недостатък, който не искаме!

Да се \u200b\u200bвърнем на примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим понятието степен и опростим:

Сега нека отворим скобите. Колко писма ще има? пъти по умножители - как изглежда? Това не е нищо повече от дефиниция на операция умножение: имаше само умножители. Тоест, по дефиниция е степента на число с експонента:

Пример:

Нерационална оценка

В допълнение към информацията за градусите за междинното ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на градусите тук са абсолютно същите като за степен с рационален показател, с изключение - все пак по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (че е, ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучавахме степени с естествен, цялостен и рационален показател, всеки път си съставяхме един вид „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например, естествен експонент е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, като че ли, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число все още не се е появило - следователно, резултатът е само вид „празен номер“, а именно номерът; степен с целочислено отрицателно степенно показател е сякаш е имало някакъв "обратен процес", тоест броят не е умножен по себе си, а е разделен.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят понятието за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за такива трудности, ще имате възможност да разберете тези нови понятия в института.

И така, какво правим, когато видим ирационален показател? С всички сили се опитваме да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

Отговори:

1. Запомнете разликата във формулата на квадратите. Отговор:.
2. Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двата знака след десетичната запетая, или и двете обикновени. Получаваме например :.
3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степен се нарича израз на формата :, където:

Цяла степен

степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Рационална оценка

степен, чийто експонент е отрицателни и дробни числа.

Нерационална оценка

степен, чийто експонент е безкрайна десетична дроб или корен.

Мощни свойства

Характеристики на градусите.

• Отрицателно число, повишено до дори степен, - номер положителен.
• Отрицателно число, повишено до странно степен, - номер отрицателен.
• Положително число до всяка степен е положително число.
• Нулата е равна на всяка степен.
• Всяко число до нулева степен е равно на.

СЕГА ВАШАТА ДУМА ...

Как ви харесва статията? Запишете в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит със свойствата на степента.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!

Информационен бум в биологията - микробни колонии в чашка на Петри Зайци в Австралия Верижни реакции - в химията Във физиката - радиоактивен разпад, промяна атмосферно налягане с промяна на височината, охлаждане на тялото. Във физиката - радиоактивен разпад, промяна в атмосферното налягане с промяна на височината, охлаждане на тялото. Освобождаването на адреналин в кръвта и неговото унищожаване Те също така твърдят, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години, а също така твърдят, че количеството информация се удвоява на всеки 10 години.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3,5

Израз 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d \u003d 1/2 4 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d, 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1, ... 1; 1,7 1,73; 1,732, 1,73205; 1,; ... последователността се увеличава 2 1; 2 1,7; 2 1,73; 2 1,732; 2 1,73205; 2 1,; ... последователността се увеличава Ограничена и следователно се сближава до една граница - стойността 2 3

Може да се определи π 0

10 10 18 Свойства на функцията y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 title \u003d "(! LANG: Свойства на функцията y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21

Количеството информация се удвоява на всеки 10 години По оста Ox - според закона за аритметичната прогресия: 1,2,3,4…. По оста Oy - според закона геометрична прогресия: 2 1,2 2,2 3,2 4 ... Графиката на експоненциалната функция, тя се нарича експонента (от латинското exponere - да парадирам)

Степен с рационален показател, неговите свойства.

Израз a n е дефиниран за всички a и n, с изключение на случая a \u003d 0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива степени.

За всякакви числа a, b и всякакви числа m и n са валидни следните равенства:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Също така отбелязваме следното свойство:

Ако m\u003e n, тогава a m\u003e a n за a\u003e 1 и a m<а n при 0<а<1.

В този подраздел ние обобщаваме понятието мощност на число, придавайки значение на изрази като 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т. н. Естествено е да се даде определение, така че градусите с рационални експоненти да имат същите свойства (или поне част от тях) като градусите с цял експонент. Тогава, по-специално, n-та степен на числото трябва да бъде равно на a м ... Наистина, ако собствеността

(a p) q \u003d a pq

се изпълнява, тогава

Последното равенство означава (чрез дефиницията на n-тия корен), че числото трябва да е n-тият корен от числото a м.

Определение.

Степента на число a\u003e 0 с рационален показател r \u003d, където m е цяло число и n е естествено число (n\u003e 1), е числото

Така че по дефиниция

(1)

Степента на числото 0 е дефинирана само за положителни експоненти; по дефиниция 0 r \u003d 0 за всяко r\u003e 0.

Градус с ирационален показател.

Нерационално числоможе да се представи катограницата на последователността от рационални числа: .

Нека бъде. Тогава има степени с рационален експонентен показател. Може да се покаже, че последователността на тези степени е конвергентна. Извиква се границата на тази последователност степен с обосновка и ирационален показател: .

Нека нарисуваме няколко точки от графиката на функцията y \u003d 2 х предварително изчисляване на стойността 2 х върху сегмента [–2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а) и след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б). Продължавайки мислено същите конструкции със стъпка 1/16, 1/32 и т.н., виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани чрез плавна крива, което е естествено да се разглежда графиката на някаква функция, дефинирана и нарастваща вече по цялата числова линия и приемаща стойности в рационални точки (Фиг. 1, в). След като изгради достатъчно голям брой функционални точки графика, може да се увери, че и тази функция притежава подобни свойства (разликата е, че функцията намалява с R).

Тези наблюдения предполагат, че е възможно да се определят числата 2 по този начин. α и за всяко ирационално α такова, че функциите, определени от формулите y \u003d 2 x и ще бъде непрекъсната и функцията y \u003d 2 х се увеличава и функцията намалява по цялата числова линия.

Нека опишем най-общо как числото a α за ирационално α за a\u003e 1. Искаме да постигнем, че функцията y \u003d a х се увеличаваше. Тогава за всеки рационален r 1 и r 2, така че r 1<α трябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на стойностите r 1 и r 2 приближавайки се към x, можем да видим, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че има и освен това е само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малкото a r 2 за всички рационални r 2 ... Това число y е по дефиниция a α .

Например с помощта на калкулатора за изчисляване на стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на число ще открием, че колкото по-близо е x n и x` n k , толкова по-малка е разликата 2 x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се вземат предвид следните десетични приближения чрез дефицит и излишък стигаме до съотношенията

;

;

;

;

.

Стойност изчислено на калкулатора е както следва:

.

Числото a α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 за всякакви α и 0 α \u003d 0 за α\u003e 0.

Експоненциална функция.

Кога а > 0, а = 1, функцията е дефинирана y \u003d a х различни от постоянни. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основатаа.

у\u003d a х в а> 1:

Графики на експоненциална функция с основа 0< а < 1 и а \u003e 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция у\u003d a х в 0< а < 1:

• Домейнът на функцията е цялата числова линия.
• Функционален диапазон - обхват (0; + ) .
• Функцията се увеличава строго монотонно по цялата числова линия, т.е. х 1 < x 2, тогава а х 1 \u003e a x 2 .
• Кога х \u003d 0, стойността на функцията е 1.
• Ако х\u003e 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то а х > 1.
ДА СЕ общи свойства експоненциална функция като за 0< a < 1, так и при a\u003e 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 и х 2.
• а - х= ( а х) − 1 = 1 ах за всеки х.
• на х= а

Степен с рационален показател, неговите свойства.

Израз a n е дефиниран за всички a и n, с изключение на случая a \u003d 0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива степени.

За всякакви числа a, b и всякакви числа m и n са валидни следните равенства:

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0).

Също така отбелязваме следното свойство:

Ако m\u003e n, тогава a m\u003e a n за a\u003e 1 и a m<а n при 0<а<1.

В този подраздел ние обобщаваме понятието мощност на число, придавайки значение на изрази като 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 и т. н. Естествено е да се даде определение, така че градусите с рационални експоненти да имат същите свойства (или поне част от тях) като градусите с цял експонент. Тогава, по-специално, n-та степен на числото трябва да бъде равно на a м ... Наистина, ако собствеността

(a p) q \u003d a pq

се изпълнява, тогава

Последното равенство означава (чрез дефиницията на n-тия корен), че числото трябва да е n-тият корен от числото a м.

Определение.

Степента на число a\u003e 0 с рационален показател r \u003d, където m е цяло число и n е естествено число (n\u003e 1), е числото

Така че по дефиниция

(1)

Степента на числото 0 е дефинирана само за положителни експоненти; по дефиниция 0 r \u003d 0 за всяко r\u003e 0.

Градус с ирационален показател.

Нерационално числоможе да се представи катограницата на последователността от рационални числа: .

Нека бъде. Тогава има степени с рационален експонентен показател. Може да се покаже, че последователността на тези степени е конвергентна. Извиква се границата на тази последователност степен с обосновка и ирационален показател: .

Нека нарисуваме няколко точки от графиката на функцията y \u003d 2 х предварително изчисляване на стойността 2 х върху сегмента [–2; 3] със стъпка 1/4 (фиг. 1, а) и след това със стъпка 1/8 (фиг. 1, б). Продължавайки мислено същите конструкции със стъпка 1/16, 1/32 и т.н., виждаме, че получените точки могат да бъдат свързани чрез плавна крива, което е естествено да се разглежда графиката на някаква функция, дефинирана и нарастваща вече по цялата числова линия и приемаща стойности в рационални точки (Фиг. 1, в). След като е изградил достатъчно голям брой точки върху графиката на функцията, може да се увери, че и тази функция притежава подобни свойства (разликата е, че функцията намалява с R).

Тези наблюдения предполагат, че е възможно да се определят числата 2 по този начин. α и за всяко ирационално α такова, че функциите, определени от формулите y \u003d 2 x и ще бъде непрекъсната и функцията y \u003d 2 х се увеличава и функцията намалява по цялата числова линия.

Нека опишем най-общо как числото a α за ирационално α за a\u003e 1. Искаме да постигнем, че функцията y \u003d a х се увеличаваше. Тогава за всеки рационален r 1 и r 2, така че r 1<α трябва да удовлетворява неравенствата a r 1<а α <а r 1 .

Избор на стойностите r 1 и r 2 приближавайки се към x, можем да видим, че съответните стойности на a r 1 и a r 2 ще се различава малко. Може да се докаже, че има и освен това е само едно число y, което е по-голямо от всички a r 1 за всички рационални r 1 и най-малкото a r 2 за всички рационални r 2 ... Това число y е по дефиниция a α .

Например с помощта на калкулатора за изчисляване на стойността 2 x в точки x n и x` n, където x n и x` n - десетични приближения на число ще открием, че колкото по-близо е x n и x` n k , толкова по-малка е разликата 2 x n и 2 x` n.

От тогава

и следователно,

По същия начин, като се вземат предвид следните десетични приближения чрез дефицит и излишък стигаме до съотношенията

;

;

;

;

.

Стойност изчислено на калкулатора е както следва:

.

Числото a α за 0<α<1. Кроме того полагают 1 α \u003d 1 за всякакви α и 0 α \u003d 0 за α\u003e 0.

Експоненциална функция.

Кога а > 0, а = 1, функцията е дефинирана y \u003d a х различни от постоянни. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основатаа.

у\u003d a х в а> 1:

Графики на експоненциална функция с основа 0< а < 1 и а \u003e 1 са показани на фигурата.

Основни свойства на експоненциалната функция у\u003d a х в 0< а < 1:

• Домейнът на функцията е цялата числова линия.
• Функционален диапазон - обхват (0; + ) .
• Функцията се увеличава строго монотонно по цялата числова линия, т.е. х 1 < x 2, тогава а х 1 \u003e a x 2 .
• Кога х \u003d 0, стойността на функцията е 1.
• Ако х\u003e 0, след това 0< а < 1 и ако х < 0, то а х > 1.
Общите свойства на експоненциалната функция като за 0< a < 1, так и при a\u003e 1 включват:
• а х 1 а х 2 = а х 1 + х 2, за всички х 1 и х 2.
• а - х= ( а х) − 1 = 1 ах за всеки х.
• на х= а