Степента се използва за опростяване на обозначението на умножаването на числото само по себе си. Например, вместо да пишете, можете да пишете 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) (обяснение на този преход е дадено в първия раздел на тази статия). Градусите улесняват писането на дълги или сложни изрази или уравнения; също така степента се добавя и изважда лесно, което води до опростяване на израза или уравнението (например, 4 2 ∗ 4 3 \u003d 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) \u003d 4 ^ (5))).

Забележка: ако трябва да решите експоненциално уравнение (в такова уравнение неизвестното е в експонента), прочетете.

Стъпки

Решаване на най-простите задачи за степен

Умножете основата на степента по себе си толкова пъти, колкото степента. Ако трябва да разрешите проблем със степен ръчно, пренапишете степента като операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, като се има предвид степента 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))... В този случай основата на степента 3 трябва да бъде умножена по себе си 4 пъти: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\\ displaystyle 3 * 3 * 3 * 3)... Ето и други примери:

Първо умножете първите две числа. Например, 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4)... Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четворки и след това ги заменете с вашия резултат. Като този:

• 4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 * 4 \u003d 16 (\\ displaystyle 4 * 4 \u003d 16)

1. Умножете резултата си (16 в нашия пример) по следното число. Всеки следващ резултат ще се увеличава пропорционално. В нашия пример умножете 16 по 4. По този начин:

   • 4 5 \u003d 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 \u003d 64 (\\ displaystyle 16 * 4 \u003d 64)
   • 4 5 \u003d 64 ∗ 4 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 \u003d 256 (\\ displaystyle 64 * 4 \u003d 256)
   • 4 5 \u003d 256 ∗ 4 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 256 * 4)
     • 256 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 256 * 4 \u003d 1024)
   • Продължете да умножавате първите две числа по следващото, докато получите окончателния си отговор. За да направите това, умножете първите две числа и след това умножете резултата по следващото число в последователността. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 \u003d 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 \u003d 1024 (\\ displaystyle 4 ^ (5) \u003d 4 * 4 * 4 * 4 * 4 \u003d 1024) .

2. Решете следните задачи. Проверете отговора с калкулатор.

   • 8 2 (\\ displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\\ displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\\ displaystyle 10 ^ (7))

3. Намерете на вашия калкулатор ключа с надпис „exp“ или „ x n (\\ displaystyle x ^ (n))", Или" ^ ". С този бутон ще повишите число до степен. Почти е невъзможно ръчно да се изчисли степента с голяма степен (например степента 9 15 (\\ displaystyle 9 ^ (15))), но калкулаторът може да се справи с тази задача с лекота. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерен режим; за да направите това, щракнете върху „Преглед“ -\u003e „Инженеринг“. За да превключите в нормален режим, щракнете върху „Преглед“ -\u003e „Нормален“.

   • Проверете получения отговор с помощта на търсачка (Google или Yandex)... Използвайки клавиша „^“ на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, който незабавно ще покаже правилния отговор (и вероятно ще предложи подобни изрази за изучаване).

   Събиране, изваждане, умножение на степени

   1. Можете да добавяте и изваждате градуси само ако имат еднакви основи. Ако трябва да добавите правомощия със същите бази и експоненти, тогава можете да замените операцията за събиране с операцията за умножение. Например, като се има предвид израза 4 5 + 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5))... Не забравяйте, че степента 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5)) може да се представи като 1 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 1 * 4 ^ (5)); по този начин, 4 5 + 4 5 \u003d 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 \u003d 2 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) \u003d 2 * 4 ^ (5)) (където 1 +1 \u003d 2). Тоест, пребройте броя на тези градуси и след това умножете тази степен и това число. В нашия пример вдигнете 4 до петата степен и след това умножете резултата по 2. Не забравяйте, че операцията за събиране може да бъде заменена с операцията за умножение, например, 3 + 3 \u003d 2 ∗ 3 (\\ displaystyle 3 + 3 \u003d 2 * 3)... Ето и други примери:

      • 3 2 + 3 2 \u003d 2 ∗ 3 2 (\\ displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) \u003d 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 \u003d 3 ∗ 4 5 (\\ displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) \u003d 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 \u003d 2 (\\ displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 \u003d 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 \u003d 2 x 2 (\\ displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) \u003d 2x ^ (2))

   2. При умножаване на градуси с една и съща основа се добавят техните показатели (основата не се променя). Например, като се има предвид израза x 2 ∗ x 5 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5))... В този случай просто трябва да съберете показателите, оставяйки основата непроменена. По този начин, x 2 ∗ x 5 \u003d x 7 (\\ displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) \u003d x ^ (7))... Ето визуално обяснение на това правило:

      При повишаване на степен до степен индикаторите се умножават. Например се дава степен. Тъй като експонентите се умножават, тогава (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ 5 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2 * 5) \u003d x ^ (10))... Смисълът на това правило е, че умножавате степента (x 2) (\\ displaystyle (x ^ (2))) себе си пет пъти. Като този:

      • (x 2) 5 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2) * x ^ (2) * x ^ (2))
      • Тъй като основата е една и съща, експонентите просто се добавят: (x 2) 5 \u003d x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 \u003d x 10 (\\ displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) \u003d x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ (2) \u003d x ^ (10))

   3. Степента с отрицателна степен трябва да се преобразува във дроб (обратно). Няма значение дали не знаете каква е обратната степен. Ако ви бъде дадена степен с отрицателна степен, например, 3 - 2 (\\ displaystyle 3 ^ (- 2)), запишете тази степен в знаменателя на фракцията (поставете 1 в числителя) и направете степента положителна. В нашия пример: 1 3 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (3 ^ (2))))... Ето и други примери:

      При разделяне на градусите с една и съща основа, техните показатели се изваждат (основата не се променя). Делението е обратното на умножението. Например, като се има предвид израза 4 4 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))))... Извадете показателя в знаменателя от показателя в числителя (не променяйте основата). По този начин, 4 4 4 2 \u003d 4 4 - 2 \u003d 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) \u003d 4 ^ (4-2) \u003d 4 ^ (2)) = 16 .

      • Степента в знаменателя може да бъде записана по следния начин: 1 4 2 (\\ displaystyle (\\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\\ displaystyle 4 ^ (- 2))... Не забравяйте, че дроб е число (степен, израз) с отрицателна степен.

   4. По-долу има няколко израза, които ще ви помогнат да се научите да решавате проблеми със захранването. Предоставените изрази обхващат материала в този раздел. За да видите отговора, просто маркирайте празното място след знака за равенство.

   Решаване на проблеми с дробни експоненти

   Експонента с частичен експонент (например) се преобразува в коренна операция. В нашия пример: x 1 2 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (2))) = x (\\ displaystyle (\\ sqrt (x)))... Няма значение кое число е в знаменателя на дробния показател. Например, x 1 4 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (4))) е четвъртият корен на "x", т.е. x 4 (\\ displaystyle (\\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Ако степента е неправилна дроб, тогава тази степен може да бъде разширена в две степени, за да се опрости решението на задачата. В това няма нищо трудно - просто запомнете правилото за умножаване на градусите. Например се дава степен. Преобразувайте такава степен в корен, мощността на който ще бъде равна на знаменателя на дробния индикатор и след това издигнете този корен до степен, равна на числителя на дробния индикатор. За да направите това, не забравяйте това 5 3 (\\ displaystyle (\\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\\ displaystyle ((\\ frac (1) (3))) * 5)... В нашия пример:

      • x 5 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 \u003d x 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (1) (3)) \u003d (\\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 \u003d x 5 ∗ x 1 3 (\\ displaystyle x ^ (\\ frac (5) (3)) \u003d x ^ (5) * x ^ (\\ frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\\ displaystyle ((\\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Някои калкулатори имат бутон за изчисляване на градусите (първо трябва да въведете основата, след това да натиснете бутона и след това да въведете степента). Означава се като ^ или x ^ y.
   3. Не забравяйте, че всяко число в първата степен е равно на себе си, например, 4 1 \u003d 4. (\\ displaystyle 4 ^ (1) \u003d 4.) Освен това всяко число, умножено или разделено по едно, е равно на себе си, например, 5 * 1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5 * 1 \u003d 5) и 5/1 \u003d 5 (\\ displaystyle 5/1 \u003d 5).
   4. Имайте предвид, че степента 0 0 не съществува (тази степен няма решение). Ако се опитате да решите такава степен на калкулатор или компютър, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всяко число с нулева степен е 1, например, 4 0 \u003d 1. (\\ displaystyle 4 ^ (0) \u003d 1.)
   5. Във висшата математика, която оперира с въображаеми числа: e a i x \u003d c o s a x + i s i n a x (\\ displaystyle e ^ (a) ix \u003d cosax + isinax)където i \u003d (- 1) (\\ displaystyle i \u003d (\\ sqrt (()) - 1)); e е константа, приблизително равна на 2.7; a е произволна константа. Доказателството за това равенство може да бъде намерено във всеки учебник по висша математика.

   Предупреждения

   • С увеличаване на степента, стойността му се увеличава силно. Така че, ако отговорът ви изглежда грешен, той всъщност може да е верен. Можете да проверите това, като начертаете всеки експоненциална функциянапример 2 х.

Отрицателната степенуване е един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаване на алгебрични задачи. По-долу има подробна инструкция.

Как да се издигна до отрицателна степен - теория

Когато сме число с обичайната степен, умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. При отрицателна фракция е точно обратното. Обща форма формулата ще има следната форма: a -n \u003d 1 / a n. По този начин, за да повишите число до отрицателна степен, трябва да разделите единицата на даденото число, но до положителна степен.

Как да се повиши до отрицателна степен - примери за обикновени числа

Имайки предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговорът е -4 -2 \u003d 1/16.

Но защо отговорът в първия и втория пример е един и същ? Факт е, че по време на строителството отрицателно число до четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента е четна, тогава минусът остава:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да повишим до отрицателна степен - числа от 0 до 1

Спомнете си, че когато вдигнете число в диапазона от 0 до 1 до положителна степен, стойността намалява с увеличаване на мощността. Например 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Отговор: 0,5 -2 \u003d 4

Анализ (последователност от действия):

• Ние превеждаме десетична 0,5 до дробна 1/2. По този начин е по-лесно.
  Вдигнете 1/2 до отрицателна степен. 1 / (2) -2. Разделете 1 на 1 / (2) 2, получаваме 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Отговор: -0,5 -3 \u003d -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти примери ще направим няколко извода:

• За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повишен до отрицателна степен, четната или нечетната степен не е важна, стойността на израза ще бъде положителна. Освен това, колкото по-голяма е степента, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число в диапазона от 0 до 1 (пример 5), повишено до отрицателна степен, четността или странността на степента не са важни, стойността на израза ще бъде отрицателна. Освен това, колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повишим до отрицателна степен - степен като дробно число

Изразите от този тип имат следната форма: a -m / n, където a е обикновено число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Нека разгледаме пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Запомнете правилото за повишаване на число до отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Забележете, че знаменателят е 8 като дробна степен. Общият изглед за изчисляване на дробна мощност е както следва: a m / n \u003d n √8 m.
• По този начин 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Получаваме кубичен корен от осем, което е 2. Въз основа на това 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Отговор: 8 -1/3 \u003d 2

От училище всички знаем правилото за повишаване до степен: всяко число с степен N е равно на резултата от умножаването на това число по себе си N-ти брой пъти. С други думи, 7 в степен 3 е 7, умножено само по себе си три пъти, т.е. ако е четно и същия резултат със знак минус, ако е нечетен.

Правилата също така дават отговор за това как да се повиши число до отрицателна степен. За да направите това, трябва да изградите необходимата стойност по обичайния начин от модула на индикатора и след това да разделите единицата на резултата.

От тези правила става ясно, че изпълнението на реални задачи с експлоатацията на големи количества ще изисква технически средства... Ръчно ще се окаже, че умножава по себе си максималния диапазон от числа до двадесет и тридесет, а след това не повече от три или четири пъти. Това не е да споменем факта, че по-късно единицата се разделя на резултата. Затова за тези, които нямат под ръка специален инженерен калкулатор, ще ви кажем как да вдигнете число до отрицателна степен в Excel.

Решаване на проблеми в Excel

Excel ви позволява да използвате една от двете опции за решаване на проблеми с повишаване на властта.

Първият е да се използва формула със стандартния знак за капачка. Въведете следните данни в клетките на работния лист:

По същия начин можете да повишите необходимата стойност до всяка степен - отрицателна, дробна. Да изпълним следните действия и отговорете на въпроса как да вдигнете число до отрицателна степен. Пример:

Можете да коригирате \u003d B2 ^ -C2 точно във формулата.

Вторият вариант е да се използва готовата функция "Степен", която взема два задължителни аргумента - число и индикатор. За да започнете да го използвате, просто поставете знак за равенство (\u003d) във всяка свободна клетка, обозначавайки началото на формулата, и въведете горните думи. Остава да изберете две клетки, които ще участват в операцията (или да зададете конкретни номера ръчно), и натиснете клавиша Enter. Нека да разгледаме няколко прости примера.

Както можете да видите, няма нищо трудно в това как да повишите число до отрицателна степен и до обичайното с помощта на Excel. Всъщност, за да разрешите този проблем, можете да използвате както познатия символ „капачка“, така и вградената функция на програмата, която е лесна за запомняне. Това е категоричен плюс!

Нека да преминем към по-сложни примери. Нека си припомним правилото за това как да повишим число до отрицателна дробна степен и ще видим, че тази задача е много лесна за решаване в Excel.

Дробни показатели

Накратко, алгоритъмът за изчисляване на число с дробна степенна степен е както следва.

1. Преобразуване на дробна степенна степен в дясна или грешна дроб.
2. Увеличете нашето число до числителя на получената трансформирана фракция.
3. От числото, получено в предишния абзац, изчислете корена, с условието знаменателят на фракцията, получена на първия етап, да бъде показателят за корена.

Съгласете се, че дори когато работите с малки числа и правилни дроби подобни изчисления могат да отнемат много време. Добре е, че процесорът за електронни таблици на Excel не се интересува какъв брой и до каква степен да се повиши. Опитайте се да разрешите следния пример в работен лист на Excel:

Използвайки горните правила, можете да проверите и да се уверите, че изчислението е правилно.

В края на нашата статия ще дадем под формата на таблица с формули и резултати, няколко примера за това как да повишим число до отрицателна степен, както и няколко примера с опериране с дробни числа и степени.

Примерна таблица

Вижте следните примери на работния лист на работната книга на Excel. За да работи всичко правилно, трябва да използвате смесена връзка, когато копирате формулата. Фиксирайте номера на колоната, съдържащ номера, който трябва да бъде издигнат, и номера на реда, съдържащ мярката. Вашата формула трябва да изглежда по следния начин: "\u003d $ B4 ^ C $ 3".

Моля, обърнете внимание, че положителните числа (дори нецели числа) се изчисляват безпроблемно за никакви показатели. Няма проблеми с увеличаването на числата до цели показатели. Но повишаването на отрицателно число до степенна степен ще се окаже грешка за вас, тъй като е невъзможно да се спази правилото, посочено в началото на нашата статия за изграждането на отрицателни числа, тъй като паритетът е характеристика изключително на ИНТЕГЛ номер.

Броят, повишен до степен се нарича число, което се умножава няколко пъти само по себе си.

Степента на число с отрицателна стойност (a - n) може да се определи подобно на това как се определя степента на същото число с положителен степен (a n) ... Това обаче изисква и допълнителна дефиниция. Формулата се определя като:

a - n \u003d (1 / a n)

Свойствата на отрицателните степени на числата са подобни на степени с положителен степен. Представено уравнение а m / a n \u003d a m-n може да бъде справедливо като

« Никъде, както в математиката, яснотата и точността на заключението не позволява на човек да се измъкне от отговора, като говори около въпроса.».

А. Д. Александров

в н Повече ▼ м и в м Повече ▼ н ... Да вземем пример: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Първо трябва да определите числото, което е определението за степента. b \u003d a (-n) ... В този пример -н е степен, б - необходимата цифрова стойност, а - основата на степента под формата на естествен числова стойност... След това определете модула, т.е. абсолютната стойност на отрицателно число, което действа като степен. Изчислете степента на дадено число относително абсолютен бройкато показател. Стойността на степента се намира чрез разделяне на една на полученото число.

Фигура: един

Помислете за степента на число с отрицателна дробна степенна степен. Представете си, че числото a е всяко положително число, числата н и м - цели числа. По дефиниция а която е издигната до властта - е равно на едно, разделено на същия брой с положителна степен (Фигура 1). Когато степента на числото е дробна, тогава в такива случаи се използват само числа с положителни степенни показатели.

Заслужава си да се запомниче нулата никога не може да бъде степен на число (деление на нулево правило).

Разпространението на такова понятие като число се превърна в такива манипулации като изчисления на измерване, както и развитието на математиката като наука. Въвеждането на отрицателни стойности се дължи на развитието на алгебра, което даде общи решения аритметични задачи, независимо от конкретното им значение и първоначални числени данни. В Индия през 6-11 век систематично се използват отрицателни стойности на числата при решаване на проблеми и се тълкуват по същия начин, както днес. В европейската наука отрицателните числа започнаха да се използват широко благодарение на Р. Декарт, който даде геометрична интерпретация на отрицателните числа като посоки на отсечките. Декарт беше този, който предложи обозначаването на числото, повишено до степен, да бъде показано като двуетажна формула a n .

може да се намери чрез умножение. Например: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 5x6. За такъв израз те казват, че сумата от равни членове се сгъва в продукт. И обратно, ако четем това равенство отдясно наляво, ще открием, че сме разширили сумата от равни членове. По същия начин можете да свиете произведението на няколко равни фактора 5x5x5x5x5x5 \u003d 5 6.

Тоест, вместо да умножават шест еднакви множители 5x5x5x5x5x5, те пишат 5 6 и казват „пет към шестата степен“.

Израз 5 6 е степен на число, където:

5 - основа на степен;

6 - експонента.

Извикват се действия, при които произведението на равни фактори се сгъва в степен степенуване.

По принцип степента с основа "а" и степен "n" се записва, както следва

Повишаването на числото a до степен n означава да се намери произведението на n фактори, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "а" е 1, тогава стойността на степента за всяко естествено n ще бъде 1. Например, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Ако вдигнете числото "а" до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 \u003d a

Ако вдигнете някакво число до нулева степен, след това в резултат на изчисленията получаваме едно. a 0 \u003d 1

Втората и третата степен на числото се считат за специални. За тях са измислени имена: нарича се втората степен квадратно число, трето - куб този номер.

Всяко число може да бъде повишено до степен - положителна, отрицателна или нула. Следните правила обаче не се използват:

Намирането на степента на положително число води до положително число.

Когато изчисляваме нула в естествена мощност, получаваме нула.

х m X n \u003d x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 \u003d 7 1,7 + (- 0,9) \u003d 7 1,7 - 0,9 \u003d 7 0,8

Да се разделени градуси със същите основи не променяме основата, а изваждаме степенните:

х m / x n \u003d x m - n където, m\u003e n,

например: 13 3,8 / 13 -0,2 \u003d 13 (3,8 -0,2) \u003d 13 3,6

При изчисляване степенуване ние не променяме основата, а умножаваме степенните показатели един по друг.

(за m ) н \u003d y m н

например: (2 3) 2 \u003d 2 3 2 \u003d 2 6

(х у) н \u003d x n · на m ,

например: (2 3) 3 \u003d 2 n 3 m,

При извършване на изчисления на степенуванеиздигаме числителя и знаменателя на фракцията до тази степен

(x / y) n \u003d x n / y n

например: (2/5) 3 \u003d (2/5) (2/5) (2/5) \u003d 2 3/5 3.

Последователността на извършване на изчисления при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи градуси, на първо място се извършва повишаване до степен, след това умножение и деление и едва след това операции по събиране и изваждане.

Ако е необходимо да се изчисли израз, съдържащ скоби, тогава първо, в горния ред, правим изчисленията в скоби, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления се използват готови таблици на градусите за опростяване на изчисленията.

Урок и презентация по темата: "Степен с отрицателен показател. Определение и примери за решаване на проблеми"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания. Всички материали са проверени от антивирусна програма.

Учебни помагала и симулатори в онлайн магазин Integral за 8 клас
Ръководство за учебника Muravin G.K. Ръководство за учебника Ш. А. Алимов

Определяне на степента с отрицателен експонент

Много добре знаем, че всяко число в нулевата степен е равно на единица. $ a ^ 0 \u003d 1 $, $ a ≠ 0 $.
Възниква въпросът, какво ще се случи, ако числото бъде повишено до отрицателна степен? Например, на какво е равно числото $ 2 ^ (- 2) $?
Първите математици, които задават този въпрос, решават, че преоткриването на колелото не си заслужава и е добре всички свойства на градусите да останат същите. Тоест, когато умножавате градуси с една и съща основа, се добавят експонентите.
Нека разгледаме този случай: $ 2 ^ 3 * 2 ^ (- 3) \u003d 2 ^ (3-3) \u003d 2 ^ 0 \u003d 1 $.
Разбрахме, че произведението на такива числа трябва да даде едно. Единицата в продукта се получава чрез умножаване на реципрочните числа, т.е. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) $.

Това разсъждение доведе до следното определение.
Определение. Ако $ n $ е естествено число и $ a ≠ 0 $, тогава има равенство: $ a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) $.

Важна идентичност, която често се използва: $ (\\ frac (a) (b)) ^ (- n) \u003d (\\ frac (b) (a)) ^ n $.
По-специално, $ (\\ frac (1) (a)) ^ (- n) \u003d a ^ n $.

Примери за решения

Решение.
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
1. $ 2 ^ (- 3) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 3) \u003d \\ frac (1) (2 * 2 * 2) \u003d \\ frac (1) (8) $.
2. $ (\\ frac (2) (5)) ^ (- 2) \u003d (\\ frac (5) (2)) ^ 2 \u003d \\ frac (5 ^ 2) (2 ^ 2) \u003d \\ frac (25) (4) $.
3. $ 8 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (8) $.
Остава да се извършат операции по събиране и изваждане: $ \\ frac (1) (8) + \\ frac (25) (4) - \\ frac (1) (8) \u003d \\ frac (25) (4) \u003d 6 \\ frac ( 1) (4) $.
Отговор: $ 6 \\ frac (1) (4) $.

Пример 2.
Представят дадено число като степен просто число $ \\ frac (1) (729) $.

Решение.
Очевидно $ \\ frac (1) (729) \u003d 729 ^ (- 1) $.
Но 729 не е просто число, завършващо на 9. Може да се приеме, че това число е степен на три. Нека да разделим последователно 729 на 3.
1) $ \\ frac (729) (3) \u003d 243 $;
2) $ \\ frac (243) (3) \u003d 81 $;
3) $ \\ frac (81) (3) \u003d 27 $;
4) $ \\ frac (27) (3) \u003d 9 $;
5) $ \\ frac (9) (3) \u003d 3 $;
6) $ \\ frac (3) (3) \u003d 1 $.
Извършени са шест операции, което означава: $ 729 \u003d 3 ^ 6 $.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Отговор: $ 3 ^ (- 6) $.

Пример 3. Представете израза като степен: $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1)) $.
Решение. Първото действие винаги се извършва в скобите, след това умножението $ \\ frac (a ^ 6 * (a ^ (- 5)) ^ 2) ((a ^ (- 3) * a ^ 8) ^ (- 1) ) \u003d \\ frac (a ^ 6 * a ^ (- 10)) ((a ^ 5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (a ^ ((- 4))) (a ^ ((- 5)) ) \u003d a ^ (-4 - (- 5)) \u003d a ^ (- 4 + 5) \u003d a $.
Отговор: $ a $.

Пример 4. Докажете самоличността:
$ (\\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) * \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2 ) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y))): \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1 ) +1) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.

Решение.
Вляво ще разгледаме всеки фактор в скоби поотделно.
1. $ \\ frac (y ^ 2 (xy ^ (- 1) -1) ^ 2) (x (1 + x ^ (- 1) y) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ) (y) -1) ^ 2) (x (1+ \\ frac (y) (x)) ^ 2) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (x ^ 2) (y ^ 2) -2 \\ frac (x) (y) +1)) (x (1 + 2 \\ frac (y) (x) + \\ frac (y ^ 2) (x ^ 2))) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (x + 2y + \\ frac (y ^ 2) (x)) \u003d \\ frac (x ^ 2-2xy + y ^ 2) (\\ frac (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) (x )) \u003d \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) $.
2. $ \\ frac (y ^ 2 (x ^ (- 2) + y ^ (- 2))) (x (xy ^ (- 1) + x ^ (- 1) y)) \u003d \\ frac (y ^ 2 (\\ frac (1) (x ^ 2) + \\ frac (1) (y ^ 2))) (x (\\ frac (x) (y) + \\ frac (y) (x))) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2) (x ^ 2) +1) (\\ frac (x ^ 2) (y) + y) \u003d \\ frac (\\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) ) ((\\ frac (x ^ 2 + y ^ 2) (y))) \u003d \\ frac (y ^ 2 + x ^ 2) (x ^ 2) * \\ frac (y) (x ^ 2 + y ^ 2 ) \u003d \\ frac (y) (x ^ 2) $.
3. $ \\ frac (x (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) ((x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) * \\ frac (y) (x ^ 2) \u003d \\ frac (y (x ^ 2-2xy + y ^ 2)) (x (x ^ 2 + 2xy + y ^ 2)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2) $.
4. Нека да преминем към частта, на която разделяме.
$ \\ frac (1-x ^ (- 1) y) (xy ^ (- 1) +1) \u003d \\ frac (1- \\ frac (y) (x)) (\\ frac (x) (y) +1 ) \u003d \\ frac (\\ frac (xy) (x)) (\\ frac (x + y) (y)) \u003d \\ frac (xy) (x) * \\ frac (y) (x + y) \u003d \\ frac ( y (xy)) (x (x + y)) $.
5. Нека направим разделението.
$ \\ frac (y (xy) ^ 2) (x (x + y) ^ 2): \\ frac (y (xy)) (x (x + y)) \u003d \\ frac (y (xy) ^ 2) ( x (x + y) ^ 2) * \\ frac (x (x + y)) (y (xy)) \u003d \\ frac (xy) (x + y) $.
Получихме правилната самоличност, която беше необходима за доказване.

В края на урока отново ще запишем правилата за работа със степени, тук степента е цяло число.
$ a ^ s * a ^ t \u003d a ^ (s + t) $.
$ \\ frac (a ^ s) (a ^ t) \u003d a ^ (s-t) $.
$ (a ^ s) ^ t \u003d a ^ (st) $.
$ (ab) ^ s \u003d a ^ s * b ^ s $.
$ (\\ frac (a) (b)) ^ s \u003d \\ frac (a ^ s) (b ^ s) $.

Задачи за независимо решение

Отрицателната степенуване е един от основните елементи на математиката, който често се среща при решаване на алгебрични задачи. По-долу има подробна инструкция.

Как да се издигна до отрицателна степен - теория

Когато сме число с обичайната степен, умножаваме стойността му няколко пъти. Например 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. При отрицателна фракция е точно обратното. Общият изглед на формулата ще бъде както следва: a -n \u003d 1 / a n. По този начин, за да повишите число до отрицателна степен, трябва да разделите единицата на даденото число, но вече до положителна степен.

Как да се повиши до отрицателна степен - примери за обикновени числа

Имайки предвид горното правило, нека решим няколко примера.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Отговор: 4 -2 \u003d 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Отговорът е -4 -2 \u003d 1/16.

Но защо отговорът в първия и втория пример е един и същ? Факт е, че когато отрицателното число се повиши до четна степен (2, 4, 6 и т.н.), знакът става положителен. Ако степента е четна, тогава минусът остава:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Как да вдигнем до отрицателна степен - числа от 0 до 1

Спомнете си, че когато вдигнете число в диапазона от 0 до 1 до положителна степен, стойността намалява с увеличаване на мощността. Например 0,5 2 \u003d 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицателна степен обратното е вярно. При повишаване на десетично (дробно) число до отрицателна степен, стойността се увеличава.

Пример 3: Изчислете 0,5 -2
Решение: 0,5 -2 \u003d 1/1/2 -2 \u003d 1/1/4 \u003d 1 × 4/1 \u003d 4.
Отговор: 0,5 -2 \u003d 4

Анализ (последователност от действия):

• Преобразуване на десетичната 0,5 в дроб 1/2. По този начин е по-лесно.
  Вдигнете 1/2 до отрицателна степен. 1 / (2) -2. Разделете 1 на 1 / (2) 2, получаваме 1 / (1/2) 2 \u003d\u003e 1/1/4 \u003d 4

Пример 4: Изчислете 0,5 -3
Решение: 0,5 -3 \u003d (1/2) -3 \u003d 1 / (1/2) 3 \u003d 1 / (1/8) \u003d 8

Пример 5: Изчислете -0,5 -3
Решение: -0,5 -3 \u003d (-1/2) -3 \u003d 1 / (- 1/2) 3 \u003d 1 / (- 1/8) \u003d -8
Отговор: -0,5 -3 \u003d -8

Въз основа на 4-ти и 5-ти примери ще направим няколко извода:

• За положително число в диапазона от 0 до 1 (пример 4), повишено до отрицателна степен, четността или странността на степента не е важна, стойността на израза ще бъде положителна. Освен това, колкото по-голяма е степента, толкова по-голяма е стойността.
• За отрицателно число в диапазона от 0 до 1 (пример 5), повишено до отрицателна степен, четността или странността на степента не са важни, стойността на израза ще бъде отрицателна. Освен това, колкото по-висока е степента, толкова по-ниска е стойността.

Как да повишим до отрицателна степен - степен като дробно число

Изразите от този тип имат следната форма: a -m / n, където a е обикновено число, m е числителят на степента, n е знаменателят на степента.

Нека разгледаме пример:
Изчислете: 8 -1/3

Решение (последователност от действия):

• Запомнете правилото за повишаване на число до отрицателна степен. Получаваме: 8 -1/3 \u003d 1 / (8) 1/3.
• Забележете, че знаменателят е 8 като дробна степен. Общият изглед за изчисляване на дробна мощност е както следва: a m / n \u003d n √8 m.
• По този начин 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (3 √8 1). Получаваме куб корен от осем, което е 2. Въз основа на това, 1 / (8) 1/3 \u003d 1 / (1/2) \u003d 2.
• Отговор: 8 -1/3 \u003d 2