В тази статия ще изследваме противоположни числа... Тук ще отговорим на въпроса кои числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни, ще покажем как се обозначава противоположното число и ще дадем примери. Ще изброим и основните резултати, типични за противоположните числа.

Навигация по страници.

Определяне на противоположни числа

Да добием представа за противоположните числа ще ни помогне.

Нека маркираме на координатната линия някаква точка М, различна от началото. Можем да стигнем до точка М, като последователно отлагаме от началото в посока на точка М единичен сегмент, както и нейния десети, стотен и т.н. Ако отложим същия брой единични сегменти и неговите дялове в обратната посока, тогава ще стигнем до друга точка, обозначаваме я с буквата N. Нека дадем пример, за да илюстрираме нашите действия (вижте фигурата по-долу). За да стигнем до точката М на координатната линия, отделяме в отрицателна посока два единични сегмента и 4 сегмента, които съставляват десета от единицата. Сега поставете два единични сегмента и 4 сегмента, които съставляват една десета от единица, в положителната посока. Това ще ни даде точка N.

Почти сме готови да възприемем определението за противоположни числа, остава само да обсъдим няколко нюанса.

Знаем, че всяка точка от координатната линия съответства на едно реално число, следователно и точка M, и точка N съответстват на някои реални числа. Така че числата, съответстващи на точките M и N, се наричат \u200b\u200bпротивоположни.

Отделно трябва да се каже за точката О - произходът. Точка O съответства на числото 0. Нулевото число се счита за противоположно на себе си.

Сега можем да гласуваме дефиниране на противоположни числа.

Определение.

Две числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни, ако можете да стигнете до точките, съответстващи на тези числа на координатната линия, като отложите същия брой единични сегменти от началото в противоположни посоки, както и части от единичен сегмент, числото 0 е противоположно на себе си.

Противоположни числа и примери

Време е да представим противоположни числа.

За да обозначите числото, противоположно на даденото число, използвайте знака минус, който е написан пред даденото число. Тоест, обратното число на a се записва като -a. Например 0,24 е срещу -0,24, а -25 е срещу - (- 25).

Нека да дадем примери за противоположни числа... Двойката числа 17 и -17 (или -17 и 17) е пример за противоположни цели числа. Числата и са противоположни рационални числа. Други примери за противоположни рационални числа са двойките числа 5.126 и −5.126. както и 0, (1201) и −0, (1201). Остава да дадем няколко примера за обратното

Тема

Тип на урока

• изучаване и първично усвояване на нов материал

Цели на урока

Запознайте се с определенията за положителни и отрицателни, противоположни числа

Намерете противоположни числа при решаване на упражнения, при решаване на уравнения

Развиваща - да развива вниманието на учениците, постоянство, постоянство, логическо мислене, математическа реч.

Образователни - чрез урок да се възпитава внимателно отношение един към друг, да се възпита способността да се изслушват другарите, взаимопомощ, независимост.

Цели на урока

Разберете какви са противоположните числа

Научете се да използвате тази концепция при решаване на проблеми

Проверете способността на учениците да решават проблеми.

План на урока

1. Въведение.

2. Теоретична част

3. Практическата част.

4. Домашна работа.

5. Интересни факти

Въведение

Погледнете снимките и с една дума опишете каква е разликата между тях.

Картините показват противоположности.

Равни ли са две числа абсолютна стойностно като различни знацинапр. 5 и -5.

Теоретична част

Първо, нека си спомним какво е това отрицателни числа... Виж видео:

Точките с координати 5 и -5 са еднакво отдалечени от точка O и са разположени от противоположните й страни. За да стигнете от точка О до тези точки, трябва да изминете същите разстояния, но в противоположни посоки. Извикват се числата 5 и -5 противоположни числа: 5 е срещу -5 и -5 е срещу 5.

Извикват се две числа, които се различават един от друг само по знаци противоположни числа.

Например, противоположните числа ще бъдат 35 и -35, тъй като числото 35 \u003d +35, което означава, че числата 35 и -35 се различават само по знаци. Обратните числа също ще бъдат 0.8 и -0.8, ¾ и -¾.

Свойства на противоположни числа

един). За всяко число има само едно противоположно число.

2). Числото 0 е противоположно на себе си.

3). Обратното на a число е -a. Ако a \u003d -7,8, тогава -a \u003d 7,8; ако a \u003d 8,3, тогава -a \u003d -8,3; ако a \u003d 0, тогава -a \u003d 0.

четири). Нотацията "- (- 15)" означава обратното на -15. Тъй като обратното число на -15 е 15, то - (- 15) \u003d 15. Като цяло - (- a) \u003d a.

Извикват се естествени числа, техните противоположни числа и нула цели числа.

Противоположно число n "по отношение на числото n е число, което, когато се добави към n, дава нула.

n + n "\u003d 0

Това равенство може да бъде пренаписано, както следва:

n + n "- n \u003d 0 - nили n "\u003d - n

По този начин, противоположни числа имат същите модули, но противоположни знаци.

Съответно се обозначава обратното на n число - n. Когато числото е положително, обратното число ще бъде отрицателно и обратно.

1. Дайте примери за противоположни числа.

2. Начертайте ги на координатна линия.

3. Кое е обратното число -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практическа част

Пример

1) Маркирайте точки A (2), B (-2), C (+4), D (-3), E (-5,2), F (5,2), G (-6) на координатата линия, H (7). 2) Сред тези точки намерете и посочете тези симетрични спрямо точката O (0). Какво може да се каже за координатите симетрични точки?

Точки, симетрични спрямо точката O (0): A (2) и B (-2), E (- 5.2) и F (5.2)

Симетрични координати на точки Номера, които се различават само по знак. Такива числа се наричат противоположно.

Отбележете на координатната линия точките A (-3), B (+6), C (+4.2), D (+3), E (-4.2), F (-6) Какво може да се каже за тези числа?

От числата 15; 2,5; - 2,5; - осемнадесет; 0; 45; - Изберете 45: а) естествени числа; б) цели числа; в) отрицателни числа; г) положителни числа; д) противоположни числа.

1) Запишете обратното число a.

2) Посочете обратното число a, ако:

a \u003d 5, a \u003d -3, a \u003d 0, a \u003d -2 / 5;

A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.

1) Не забравяйте какво означава влизането: - (- а).

2) Поставете такова число вместо *, така че да получите правилното равенство: а) - (- 5) \u003d *; б) 3 \u003d - *.

Домашна работа

един). Попълни таблицата:

2). Намерете: а) -м,

ако m \u003d -8,

ако m \u003d -16

ако -k \u003d 27

ако -k \u003d -35

ако c \u003d 41

ако c \u003d -3,6

3). Колко двойки противоположни числа са разположени между числата -7,2 и 3,6. Маркирайте на координатната линия.

четири). Разберете името на изключителния френски учен:

Знаете ли къде ежедневието изправени ли сме пред положителни и отрицателни числа?

Списък на използваните източници

1. Математическа енциклопедия (в 5 тома). - М.: Съветска енциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. „Най-новият справочник на учениците“ „КЪЩА XXI век“ 2008г
3. Резюме на урока по темата " Противоположни числа„Автор: Петрова В.П., учител по математика (5-9 клас), Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

§ 1 Понятието за положително число

В този урок ще научите кои числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни, как да намерите противоположното число, както и какви са целите числа и рационалните числа.

Да започнем с практическа работа... На координатната линия маркирайте точките A (2) и B (-2). Те са симетрични и центърът на симетрия на тези точки е началото на координатите О (0), тъй като разстоянието ОА \u003d ОВ.

Виждаме, че координатите на симетричните точки спрямо началото са числа, които се различават само по знак. Такива числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни.

Има и друго определение за противоположни числа. Какви са абсолютните стойности на числата 2 и -2? Равни са на 2. Следователно противоположните числа са числа, които имат един и същ модул, но се различават по знак.

За да обозначите числото, противоположно на даденото число, използвайте знака минус, който е написан пред даденото число. Тоест, обратното число на a се записва като -a. Например числото 0,24 е противоположно на числото -0,24, числото -25 е противоположно на числото - (- 25), но числото -25 на координатната линия е противоположно на 25, което означава - (- 25) \u003d 25. От това следва, че - (-a) \u003d a и a \u003d - (- a).

§ 2 Свойства на противоположните числа

Нека да подчертаем някои свойства на противоположните числа.

Обратното на положителното число е отрицателно, а обратното на отрицателното число е положително. Това е разбираемо, тъй като точките на координатната линия, съответстващи на противоположни числа, са разположени от противоположните страни на началото.

Ако числото a е противоположно на числото b, тогава b е противоположно на a - това следва от свойството на симетрия на точките на координатната линия.

Нека се обърнем към координатната линия. Колко точки могат да бъдат маркирани на координатна линия, симетрична на дадена за началото? Само един. Следователно за всяко число има само едно противоположно число.

Само едно число е противоположно на себе си - това е числото 0, тъй като 0 \u003d -0 (следователно -0 не се записва)

Числа с обща характеристика образуват набор (или група), всеки набор има свое име.

Не забравяйте, че числата, които използваме при броене, се наричат \u200b\u200bестествени числа, те образуват набор от естествени числа.

За всяко естествено число можете да намерите обратното число. Естествени числа, числа, противоположни на тях, и числото 0 се наричат \u200b\u200bцели числа.

Положителни или отрицателни могат да бъдат дробни числа... Всички цели числа и всички дроби се наричат \u200b\u200bрационални числа. Те също така казват, че всички заедно образуват множеството рационални числа.

Нека да изберем още две групи числа. Вземете координатната линия. Ако премахнем частта от права линия, върху която са разположени отрицателни числа, остава лъч с положителни числа и произход на числото 0. Останалите числа се наричат \u200b\u200bнеотрицателни, тоест числа, които са по-големи или равни до 0. Следователно неположителните числа са всички отрицателни числа и числото 0, тоест числа, които са по-малки или равни на 0.

Днес научихме какво са противоположните, цели, рационални, неотрицателни, неположителни числа, научихме се да намираме обратното на даденото число.

Списък на използваната литература:

1. Математика.6 клас: планове на уроци за учебника от И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович // съставител Л.А. Топилин. Мнемозина 2009
2. Математика. 6 клас: учебник за ученици образователни институции... I.I. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2013.
3. Математика. Клас 6: учебник за ученици от образователни институции. / Н. Я. Виленкин и В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург. - М.: Мнемозина, 2013
4. Справка по математика - http://lyudmilanik.com.ua
5. Наръчник за ученици в гимназията http://shkolo.ru

Дефиниция на противоположни числа

Дефиниция на противоположни числа:

Две числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни, ако се различават само по знаци.

Примери за противоположни числа

Примери за противоположни числа.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Оттук е ясно как да намерим обратното на даденото число: просто сменете знака на числото.

Обратното на 3 е минус три.

Пример. Числата са противоположни на данните.

Дадени: числа 1; пет; 8; 9.

Намерете противоположните числа.

За да решим тази задача, ние просто променяме знаците на дадените числа:

Нека направим таблица с противоположни числа:

Число, противоположно на нула

Обратното на нула число е самото число нула.

Така че обратното на 0 число е 0.

Противоположни цели числа

Противоположните цели числа се различават само по знаци.

Примери за противоположни цели числа.

10 -10
20 -20
125 -125

Чифт противоположни числа

Когато говорят за противоположни числа, те винаги означават двойка противоположни числа.

Числото е противоположно на друго число. И всяко число има само едно противоположно число.

Противоположни естествени числа

Числата, противоположни на естествените числа, са отрицателни цели числа.

Нека направим таблица с противоположни числа за първите пет естествени числа:

Сума от противоположни числа

Сумата от противоположните числа е нула. В крайна сметка противоположните числа се различават само по знак.

Като част от тази статия ще се опитаме да разберем какви са противоположните числа. Ще обясним какви са те като цяло, ще покажем какви точно обозначения се използват за тях и ще анализираме няколко примера. В последната част на материала ще изброим основните свойства на противоположните числа.

За да обясним самата концепция за опозиция, първо трябва да начертаем координатна линия. Вземете точка М върху него (но не в самото начало на справочната информация). Разстоянието му до нула ще бъде равно на определен брой единични сегменти, които от своя страна могат да бъдат разделени на десети и стотни. Ако измерим същото разстояние от началото в посоката, обратна на тази, в която се намира М, тогава можем да стигнем до друга подобна точка. Нека го наречем N. Например от M до нула е разстоянието от 2, 4 единични сегмента и от N до нула също. Погледнете снимката:

Спомнете си, че само едно реално число може да бъде свързано с всяка точка на координатната линия. В този случай нашите точки M и N съответстват на определени числа, които се наричат \u200b\u200bпротивоположни. Всяко число има обратното число с изключение на нула. Тъй като това е изходната точка, тя се счита за противоположна на себе си.

Нека запишем дефиницията на това, което са противоположните числа:

Определение 1

Отсреща са числата, на които отговарят такива точки на координатната линия, на които ще получим, ако маркираме едно и също разстояние от началото в различни посоки (положителни и отрицателни). Нулата е в началото и е противоположна на себе си.

Как са посочени противоположните числа

В този раздел въвеждаме основната нотация за такива числа. Ако имаме определено число и трябва да запишем обратното на него, тогава за това използваме минуса.

Пример 1

Да кажем, че нашето число е равно на a, следователно, неговата противоположност е a (минус a). По абсолютно същия начин за 0,26 обратното е 0,26, а за 145 ще бъде 145. Ако самото първоначално число е отрицателно, например - 9, тогава пишем обратното като - (- 9).

Какви други примери за противоположни числа можете да дадете? Да вземем цели числа: 12 и - 12. Противоположни рационални числа са 3 2 11 и - 3 2 11, както и 8, 128 и - 8, 128, 0, (18901) и - 0, (18901) и др. Нерационалните числа също могат да бъдат противоположни, например, стойности числови изрази 2 + 1 и - 2 + 1.

Противоположните ирационални числа също са e и - e.

Основни свойства на противоположните числа

Определени свойства са присъщи на такива числа. По-долу даваме списък с тях с обяснения.

Определение 2

1. Ако оригиналното число е положително, тогава неговата противоположност ще бъде отрицателна.

Това твърдение е очевидно и следва от графиката по-горе: такива числа са разположени от противоположните страни на референтната линия на координатната линия. Ако сте забравили понятията за положителни и отрицателни числа, вижте материала, който публикувахме по-рано.

От това правило може да се изведе още едно много важно твърдение. IN буквална форма обозначението му е както следва: за всяко положително a това ще бъде вярно - (- a) \u003d a. Нека да покажем с пример защо това е важно.

Да вземем числото 5. С помощта на координатната линия можете да видите, че обратното число е 5, и обратно. Използвайки обозначението, което посочихме по-горе, напишете обратното число - 5 като - (- 5). Оказва се, че - (- 5) \u003d 5. Оттук и заключението: противоположните числа се различават помежду си само от наличието на знак минус.

2. Следващото свойство обикновено се нарича свойство симетрия. Може да се извлече и от самото определение на противоположни числа. Звучи така:

Определение 3

Ако някакво число a е противоположно на число b, тогава b е противоположно на число a.

Очевидно това твърдение не се нуждае от допълнителни доказателства.

3. Третото свойство на противоположните числа е:

Определение 4

Всяко реално число има само едно противоположно число.

Това твърдение произтича от факта, че много числа не могат да съответстват на точките на координатната линия наведнъж.

Определение 5

4. Модулите с противоположни числа са равни.

Това следва от дефиницията на модул. Логично е точките на права линия, съответстващи на всякакви противоположни числа, да са на едно и също разстояние от референтната точка.

Определение 6

5. Ако добавим противоположни числа, получаваме 0.

В буквална форма това изявление изглежда като + (- a) \u003d 0.

Пример 2

Ето няколко примера за такива изчисления:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Както можете да видите, това правило работи за всички числа - цели числа, рационални, ирационални и т.н.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter