Модулът е едно от нещата, за които изглежда всички са чували, но в действителност никой не разбира нормално. Затова днес ще има голям урок за решаване на уравнения с модули.

Нека ви кажа веднага: урокът няма да е труден. Като цяло модулите обикновено са относително проста тема. „Да, разбира се, не е трудно! Мозъкът ми се пръска от нея! " - ще кажат много ученици, но всички тези мозъчни прекъсвания се случват поради факта, че повечето хора нямат знания в главите си, а някакви глупости. И целта на този урок е да превърне глупостите в знания. :)

Малко теория

И така да тръгваме. Нека започнем с най-важното: какво е модул? Нека ви напомня, че модулът на числото е точно същото число, но взето без знак минус. Това е например $ \\ left | -5 \\ вдясно | \u003d 5 $. Или $ \\ left | -129,5 \\ вдясно | \u003d 129,5 $.

Толкова ли е просто? Да, просто. И тогава каква е абсолютната стойност на положително число? Тук е още по-просто: модулът на положителното число е равен на самото това число: $ \\ left | 5 \\ вдясно | \u003d 5 $; $ \\ ляво | 129,5 \\ вдясно | \u003d 129,5 $ и т.н.

Оказва се нещо странно: различни числа може да има същия модул. Например: $ \\ left | -5 \\ дясно | \u003d \\ ляво | 5 \\ вдясно | \u003d 5 $; $ \\ ляво | -129,5 \\ вдясно | \u003d \\ вляво | 129,5 \\ вдясно | \u003d 129,5 $. Лесно е да се види какви са тези числа, за които модулите са еднакви: тези числа са противоположни. По този начин ние отбелязваме за себе си, че абсолютните стойности на противоположните числа са равни:

\\ [\\ ляво | -a \\ дясно | \u003d \\ ляво | \\ вдясно | \\]

Друг важен факт: модулът никога не е отрицателен... Каквото и число да вземем - било то положително или отрицателно - неговият модул винаги се оказва положителен (или в краен случай нулев). Ето защо модулът често се нарича абсолютна стойност на число.

Също така, ако комбинираме дефиницията на модула за положителни и отрицателно число, тогава получаваме глобалната дефиниция на модула за всички числа. А именно: модулът на числото е равен на самото това число, ако числото е положително (или нула), или равно на обратното число, ако числото е отрицателно. Можете да напишете това като формула:

Има и нулев модул, но той винаги е нулев. Освен това нулата е единственото число, което няма противоположност.

По този начин, ако разгледаме функцията $ y \u003d \\ left | x \\ right | $ и се опитайте да нарисувате неговата графика, получавате тази "челюст":

Модулен график и пример за решаване на уравнение

Тази снимка веднага показва, че $ \\ left | -m \\ дясно | \u003d \\ ляво | m \\ right | $ и графиката на модула никога не пада под оста на абсцисата. Но това не е всичко: червената линия маркира правата линия $ y \u003d a $, което при положителни $ a $ ни дава два корена наведнъж: $ ((x) _ (1)) $ и $ ((x) _ ( 2)) $, но за това ще говорим по-късно. :)

Освен чисто алгебрична дефиниция, има и геометрична. Да приемем, че има две точки на числовата линия: $ ((x) _ (1)) $ и $ ((x) _ (2)) $. В този случай изразът $ \\ left | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ е само разстоянието между посочените точки. Или, ако искате, дължината на сегмента, свързващ тези точки:

Това определение също така предполага, че модулът винаги е неотрицателен. Но достатъчно дефиниции и теория - нека преминем към реални уравнения. :)

Основна формула

Е, добре, разбрахме дефиницията. Но не стана по-лесно. Как да решим уравнения, съдържащи този модул?

Спокойно, само спокойно. Нека започнем с най-простите неща. Помислете за нещо подобно:

\\ [\\ ляво | x \\ дясно | \u003d 3 \\]

И така, модулът на $ x $ е 3. Какво може да бъде $ x $? Е, съдейки по дефиницията, $ x \u003d 3 $ е добре. Наистина ли:

\\ [\\ ляво | 3 \\ дясно | \u003d 3 \\]

Има ли други номера? Капакът сякаш намеква, че има. Например, $ x \u003d -3 $ - за него също $ \\ left | -3 \\ вдясно | \u003d 3 $, т.е. важи необходимото равенство.

Така че може би ако търсим, помислете, ще намерим още числа? Но прекъснете: няма повече номера. Уравнение $ \\ left | x \\ right | \u003d 3 $ има само два корена: $ x \u003d 3 $ и $ x \u003d -3 $.

Сега нека усложним малко задачата. Нека функцията $ f \\ left (x \\ right) $ виси под знака на модула вместо променливата $ x $, а вдясно, вместо триплет, поставете произволен номер $ a $. Получаваме уравнението:

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d a \\]

Е, как да се реши това? Нека ви напомня: $ f \\ left (x \\ right) $ е произволна функция, $ a $ е произволно число. Тези. като цяло всеки! Например:

\\ [\\ ляво | 2x + 1 \\ дясно | \u003d 5 \\]

\\ [\\ ляво | 10x-5 \\ вдясно | \u003d -65 \\]

Нека обърнем внимание на второто уравнение. Веднага можете да кажете за него: той няма корени. Защо? Всичко е правилно: тъй като изисква модулът да бъде равен на отрицателно число, което никога не се случва, тъй като вече знаем, че модулът винаги е положително число или, в краен случай, нула.

Но с първото уравнение всичко е по-забавно. Има две опции: или има положителен израз под знака на модула и след това $ \\ left | 2x + 1 \\ дясно | \u003d 2x + 1 $, или този израз все още е отрицателен и след това $ \\ left | 2x + 1 \\ дясно | \u003d - \\ ляво (2x + 1 \\ дясно) \u003d - 2x-1 $. В първия случай нашето уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

\\ [\\ ляво | 2x + 1 \\ дясно | \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

И изведнъж се оказва, че изразът на подмодула $ 2x + 1 $ е наистина положителен - той е равен на числото 5. Тоест, можем спокойно да разрешим това уравнение - полученият корен ще бъде част от отговора:

Тези, които са особено недоверчиви, могат да се опитат да заменят намерения корен в оригиналното уравнение и да се уверят, че наистина ще има положително число под модула.

Сега нека разгледаме случая на отрицателен израз на подмодул:

\\ [\\ ляво \\ (\\ начало (подравняване) & \\ ляво | 2x + 1 \\ дясно | \u003d 5 \\\\ & 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\ Rightarrow -2x-1 \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d -5 \\]

Ами сега! Отново всичко е ясно: приехме, че $ 2x + 1 \\ lt 0 $ и в резултат получихме, че $ 2x + 1 \u003d -5 $ - наистина, това е израз по-малко от нула... Решаваме полученото уравнение, като вече знаем със сигурност, че намереният корен ще ни подхожда:

Така че отново получихме два отговора: $ x \u003d 2 $ и $ x \u003d 3 $. Да, сумата на изчисленията се оказа малко повече, отколкото в много простото уравнение $ \\ left | x \\ right | \u003d 3 $, но нищо не се е променило коренно. Така че може би има такива универсален алгоритъм?

Да, има такъв алгоритъм. И сега ще го разглобим.

Да се \u200b\u200bотървем от знака на модула

Нека ни бъде дадено уравнението $ \\ left | f \\ left (x \\ right) \\ right | \u003d a $ и $ a \\ ge 0 $ (в противен случай, както вече знаем, няма корени). След това можете да се отървете от знака на модула съгласно следното правило:

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d a \\ Надясно f \\ ляво (x \\ дясно) \u003d \\ pm a \\]

По този начин нашето уравнение с модул се разделя на две, но без модул. Това е цялата технология! Нека се опитаме да решим няколко уравнения. Нека започнем с това

\\ [\\ ляво | 5x + 4 \\ вдясно | \u003d 10 \\ Rightarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Нека разгледаме отделно, когато има десетка с плюс вдясно и отделно - когато е с минус. Ние имаме:

\\ [\\ начало (подравняване) & 5x + 4 \u003d 10 \\ Rightarrow 5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1,2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ Rightarrow 5x \u003d -14 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2.8. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Това е всичко! Получихме два корена: $ x \u003d $ 1,2 и $ x \u003d $ -2,8. Цялото решение взе буквално два реда.

Добре, няма въпрос, нека разгледаме нещо малко по-сериозно:

\\ [\\ ляво | 7-5x \\ дясно | \u003d 13 \\]

Разширете модула отново с плюс и минус:

\\ [\\ начало (подравняване) & 7-5x \u003d 13 \\ Rightarrow -5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1,2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ Rightarrow -5x \u003d -20 \\ Rightarrow x \u003d 4. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Отново няколко реда - и отговорът е готов! Както казах, няма нищо трудно в модулите. Просто трябва да запомните няколко правила. Затова продължаваме напред и започваме с наистина по-трудни задачи.

Променлив десен калъф

Сега помислете за това уравнение:

\\ [\\ ляво | 3x-2 \\ вдясно | \u003d 2x \\]

Това уравнение е коренно различно от всички предишни. От какво? И фактът, че вдясно от знака за равенство е изразът $ 2x $ - и не можем да знаем предварително дали е положителен или отрицателен.

Какво трябва да се направи в този случай? Първо, трябва да разберем веднъж завинаги това ако дясната страна на уравнението се окаже отрицателна, то уравнението няма да има корени - вече знаем, че модулът не може да бъде равен на отрицателно число.

И второ, ако дясната част все още е положителна (или равна на нула), тогава можете да действате по същия начин както преди: просто отворете модула отделно със знака плюс и отделно - със знака минус.

По този начин ние формулираме правило за произволни функции $ f \\ left (x \\ right) $ и $ g \\ left (x \\ right) $:

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d g \\ ляво (x \\ дясно) \\ Rightarrow \\ ляво \\ (\\ начало (подравняване) & f \\ ляво (x \\ дясно) \u003d \\ pm g \\ ляво (x \\ дясно ), \\\\ & g \\ ляво (x \\ дясно) \\ ge 0. \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

По отношение на нашето уравнение получаваме:

\\ [\\ ляво | 3x-2 \\ дясно | \u003d 2x \\ Rightarrow \\ ляво \\ (\\ начало (подравняване) & 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ & 2x \\ ge 0. \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

Е, ние можем да се справим по някакъв начин с изискването $ 2x \\ ge 0 $. В крайна сметка можете глупаво да замените корените, които получаваме от първото уравнение, и да проверите дали неравенството е вярно или не.

Затова нека решим самото уравнение:

\\ [\\ начало (подравняване) & 3x-2 \u003d 2 \\ Rightarrow 3x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ Rightarrow 3x \u003d 0 \\ Rightarrow x \u003d 0. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Е, кой от тези два корена отговаря на изискването $ 2x \\ ge 0 $? Да, и двете! Следователно отговорът ще бъде две числа: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ и $ x \u003d 0 $. Това е цялото решение. :)

Подозирам ли, че някои от учениците вече се отегчават? Е, нека разгледаме още по-сложно уравнение:

\\ [\\ ляво | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ дясно | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Въпреки че изглежда порочно, всъщност това е едно и също уравнение на формата "модулът е равен на функция":

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d g \\ ляво (x \\ дясно) \\]

И се решава по същия начин:

\\ [\\ ляво | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ дясно | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ Rightarrow \\ ляво \\ (\\ начало (подравняване) & ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ ляво (x - ((x) ^ (3)) \\ дясно), \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

По-късно ще се справим с неравенството - то е някак твърде порочно (всъщност просто, но няма да го разрешим). Засега е по-добре да се справим с получените уравнения. Нека разгледаме първия случай - това е, когато даден модул се разшири със знак плюс:

\\ [((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Е, тук е безпроблемно, че трябва да съберете всичко отляво, да донесете подобни и да видите какво ще се случи. Ето какво се случва:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ край (подравняване) \\]

Вземаме общия коефициент $ ((x) ^ (2)) $ извън скобата и получаваме много просто уравнение:

\\ [((x) ^ (2)) \\ ляво (2x-3 \\ дясно) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ ляво [\\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ & 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1.5. \\]

Тук използвахме важно свойство на продукта, заради което разложихме оригиналния полином на фактори: продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Сега нека да се справим с второто уравнение по същия начин, което се получава, когато модулът се разшири със знак минус:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ ляво (x - ((x) ^ (3)) \\ дясно); \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ ляво (-3x + 2 \\ дясно) \u003d 0. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Отново същото нещо: продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. Ние имаме:

\\ [\\ ляво [\\ начало (подравняване) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

Е, имаме три корена: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $ и $ x \u003d (2) / (3) \\; $. И така, кой от този набор ще влезе в окончателния отговор? За да направите това, не забравяйте, че имаме допълнително ограничение на неравенството:

Как може да се вземе предвид това изискване? Да, ние просто заместваме намерените корени и проверяваме дали неравенството се отнася за тези $ x $ или не. Ние имаме:

\\ [\\ начало (подравняване) & x \u003d 0 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1,5 \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d 1,5 - ((1,5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ край (подравняване) \\]

По този начин коренът $ x \u003d 1,5 $ не ни устройва. И само два корена ще отидат в отговор:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 0; \\ четворка ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Както можете да видите, дори в този случай нямаше нищо сложно - уравненията с модули винаги се решават от алгоритъм. Просто трябва да сте добре запознати с полиноми и неравенства. Затова преминаваме към по-сложни задачи - вече ще има не един, а два модула.

Уравнения с два модула

Досега сме учили само най-много прости уравнения - имаше един модул и нещо друго. Изпратихме това „нещо друго“ до друга част от неравенството, далеч от модула, така че в крайна сметка всичко беше сведено до уравнение на формата $ \\ left | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d g \\ ляво (x \\ дясно) $ или дори по-просто $ \\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d a $.

Но детска градина приключи - време е да помислите за нещо по-сериозно. Нека започнем с уравнения от този тип:

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d \\ ляво | g \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \\]

Това е уравнение по модул, равно на модула. Фундаментално важен момент е липсата на други термини и фактори: само един модул вляво, още един модул вдясно - и нищо повече.

Някой сега ще си помисли, че подобни уравнения са по-трудни за решаване от това, което сме изучавали досега. Но не: тези уравнения са още по-лесни за решаване. Ето формулата:

\\ [\\ ляво | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d \\ ляво | g \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \\ Надясно f \\ ляво (x \\ дясно) \u003d \\ pm g \\ ляво (x \\ дясно) \\]

Всичко! Просто приравняваме подмодулните изрази, като добавяме един от тях със знак плюс или минус. И тогава решаваме получените две уравнения - и корените са готови! Без допълнителни ограничения, без неравенства и т.н. Всичко е много просто.

Нека се опитаме да разрешим този проблем:

\\ [\\ ляво | 2x + 3 \\ дясно | \u003d \\ ляво | 2x-7 \\ вдясно | \\]

Елементарно Уотсън! Разширете модулите:

\\ [\\ ляво | 2x + 3 \\ дясно | \u003d \\ ляво | 2x-7 \\ вдясно | \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d \\ pm \\ вляво (2x-7 \\ вдясно) \\]

Нека разгледаме всеки случай поотделно:

\\ [\\ начало (подравняване) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ Rightarrow 3 \u003d -7 \\ Rightarrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ ляво (2x-7 \\ дясно) \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ край (подравняване) \\]

В първото уравнение няма корени. Защото кога е $ 3 \u003d -7 $? Какви са стойностите на $ x $? „Какво по дяволите е $ x $? С камъни ли сте Няма въобще $ x $ “, казвате вие. И ще бъдете прави. Получихме равенство, което не зависи от променливата $ x $, а самото равенство не е вярно. Ето защо няма корени. :)

С второто уравнение всичко е малко по-интересно, но и много, много просто:

Както можете да видите, всичко беше решено само с няколко реда - не очаквахме нищо друго от линейното уравнение. :)

В резултат на това окончателният отговор е: $ x \u003d 1 $.

Как е? Твърд? Разбира се, че не. Нека опитаме нещо друго:

\\ [\\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ дясно | \\]

Отново имаме уравнение като $ \\ left | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d \\ ляво | g \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | $. Затова веднага го пренаписваме, разширявайки знака на модула:

\\ [((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ ляво (x-1 \\ дясно) \\]

Може би някой сега ще попита: „Хей, какви са тези глупости? Защо „плюс или минус“ е от десния израз, а не отляво? “ Спокойно, сега ще обясня всичко. Всъщност по приятелски начин трябваше да пренапишем уравнението си, както следва:

След това трябва да отворите скобите, да преместите всички членове от едната страна на знака за равенство (тъй като уравнението, очевидно и в двата случая ще бъде квадрат), и след това да намерите корените. Но трябва да се съгласите: когато „плюс-минус“ е пред три термина (особено когато един от тези термини е квадратно изражение), по някакъв начин изглежда по-сложно от ситуацията, когато „плюс-минус“ е пред само два условия.

Но в края на краищата нищо не ни пречи да пренапишем първоначалното уравнение, както следва:

\\ [\\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ дясно | \\ Rightarrow \\ ляво | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ дясно | \u003d \\ ляво | x-1 \\ дясно | \\]

Какво стана? Нищо особено: просто сменихме лявата и дясната страна. Дреболия, която в крайна сметка ще улесни живота ни малко. :)

Като цяло решаваме това уравнение, като разглеждаме опции с плюс и минус:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ ляво (x-1 \\ дясно) \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Първото уравнение има корени $ x \u003d 3 $ и $ x \u003d 1 $. Вторият обикновено е точен квадрат:

\\ [((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ ляво (x-1 \\ дясно)) ^ (2)) \\]

Следователно, той има един корен: $ x \u003d 1 $. Но ние вече получихме този корен по-рано. По този начин само две числа ще влязат в крайния отговор:

\\ [((x) _ (1)) \u003d 3; \\ четворка ((x) _ (2)) \u003d 1. \\]

Мисията изпълнена! Можете да го вземете от рафта и да хапнете баница. Има 2 от тях, средно средно. :)

Важна забележка... Наличието на еднакви корени при различни опции разширяването на модула означава, че оригиналните полиноми се разлагат на фактори и сред тези фактори със сигурност ще има общ. Наистина ли:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ вдясно |; \\\\ & \\ вляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | \\ ляво (x-1 \\ дясно) \\ ляво (x-2 \\ дясно) \\ дясно |. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Едно от свойствата на модула: $ \\ left | a \\ cdot b \\ вдясно | \u003d \\ вляво | \\ вдясно | \\ cdot \\ вляво | b \\ right | $ (т.е. модулът на произведението е равен на произведението на модулите), така че първоначалното уравнение може да бъде пренаписано, както следва:

\\ [\\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | x-1 \\ дясно | \\ cdot \\ ляво | x-2 \\ дясно | \\]

Както можете да видите, ние наистина имаме общ фактор. Сега, ако съберете всички модули от едната страна, тогава можете да извадите този фактор от скобата:

\\ [\\ начало (подравняване) & \\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d \\ ляво | x-1 \\ дясно | \\ cdot \\ ляво | x-2 \\ вдясно |; \\\\ & \\ вляво | x-1 \\ дясно | - \\ ляво | x-1 \\ дясно | \\ cdot \\ ляво | x-2 \\ вдясно | \u003d 0; \\\\ & \\ вляво | x-1 \\ дясно | \\ cdot \\ ляво (1- \\ ляво | x-2 \\ дясно | \\ дясно) \u003d 0. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Е, сега помним, че продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула:

\\ [\\ ляво [\\ начало (подравняване) & \\ ляво | x-1 \\ дясно | \u003d 0, \\\\ & \\ ляво | x-2 \\ вдясно | \u003d 1. \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

Така първоначалното уравнение с два модула беше сведено до двете най-прости уравнения, за които говорихме в самото начало на урока. Такива уравнения могат да бъдат решени буквално в няколко реда. :)

Тази забележка може да изглежда прекалено сложна и неприложима на практика. В действителност обаче може да срещнете много повече предизвикателни задачиот тези, които изследваме днес. В тях модулите могат да се комбинират с полиноми, аритметични корени, логаритми и др. И в такива ситуации възможността за понижаване на общата степен на уравнението чрез поставяне на нещо извън скобата може да бъде много, много полезна. :)

Сега бих искал да анализирам още едно уравнение, което на пръв поглед може да изглежда лудо. Много студенти се придържат към него - дори тези, които смятат, че разбират добре модулите.

Независимо от това, това уравнение е дори по-лесно за решаване от това, което разгледахме по-рано. И ако разбирате защо, тогава ще получите още един трик за бързо решаване на уравнения с модули.

Така че уравнението:

\\ [\\ ляво | x - ((x) ^ (3)) \\ дясно | + \\ ляво | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ дясно | \u003d 0 \\]

Не, това не е печатна грешка: между модулите има плюс. И трябва да намерим при колко $ x $ сумата от два модула е равна на нула. :)

Какъв е проблема? И проблемът е, че всеки модул е \u200b\u200bположително число или в краен случай нула. Какво ще стане, ако добавите две положителни числа? Очевидно отново положително число:

\\ [\\ начало (подравняване) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0,004 + 0,0001 \u003d 0,0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ край (подравняване) \\]

Последният ред може да ви даде представа: единственият случай, когато сумата от модули е равна на нула е, ако всеки модул е \u200b\u200bравен на нула:

\\ [\\ ляво | x - ((x) ^ (3)) \\ дясно | + \\ ляво | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ дясно | \u003d 0 \\ Rightarrow \\ ляво \\ (\\ начало (подравняване) & \\ ляво | x - ((x) ^ (3)) \\ дясно | \u003d 0, \\\\ & \\ ляво | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ дясно | \u003d 0. \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

И кога модулът е нула? Само в един случай - когато изразът на подмодула е нула:

\\ [((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ Rightarrow \\ ляво (x + 2 \\ дясно) \\ ляво (x-1 \\ дясно) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ ляво [\\ начало (подравняване) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

По този начин имаме три точки, в които първият модул е \u200b\u200bнулиран: 0, 1 и -1; както и две точки, в които вторият модул е \u200b\u200bнулиран: -2 и 1. Въпреки това, ние се нуждаем и от двата модула да бъдат нулирани едновременно, следователно, сред намерените числа, трябва да изберем тези, които са включени в двата набора. Очевидно е, че има само едно такова число: $ x \u003d 1 $ - това ще бъде окончателният отговор.

Метод на разделяне

Е, вече покрихме куп задачи и научихме много трикове. Мислите ли, че това е всичко? Но не! Сега ще разгледаме последния трик - и в същото време най-важния. Говорим за разделяне на уравнения с модул. За какво ще става въпрос? Нека се върнем малко назад и да разгледаме едно просто уравнение. Например това:

\\ [\\ ляво | 3x-5 \\ вдясно | \u003d 5-3x \\]

По принцип вече знаем как да решим такова уравнение, защото това е стандартна конструкция като $ \\ left | f \\ ляво (x \\ дясно) \\ дясно | \u003d g \\ ляво (x \\ дясно) $. Но нека се опитаме да разгледаме това уравнение от малко по-различен ъгъл. По-точно, помислете за израза под знака на модула. Позволете ми да ви напомня, че модулът на произволно число може да бъде равен на самото число или може да е противоположно на това число:

\\ [\\ ляво | a \\ right | \u003d \\ left \\ (\\ begin (align) & a, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ & -a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ end (align) \\ right. \\]

Всъщност тази неяснота е целият проблем: тъй като броят под модула се променя (зависи от променливата), не ни е ясно дали е положителен или отрицателен.

Но какво, ако първоначално изисквате този брой да е положителен? Например, нека изискаме $ 3x-5 \\ gt 0 $ - в този случай гарантирано получаваме положително число под знака на модула и можем напълно да се отървем от самия този модул:

По този начин нашето уравнение ще се превърне в линейно, което е лесно да се реши:

Всички тези отражения обаче имат смисъл само при условие $ 3x-5 \\ gt 0 $ - ние самите въведохме това изискване, за да разкрием еднозначно модула. Затова нека заместим намереното $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ в това условие и проверим:

Оказва се, че за посочената стойност от $ x $ нашето изискване не е изпълнено, тъй като изразът се оказа равен на нула, но трябва да е строго по-голям от нула. Тъга. :(

Но всичко е наред! В крайна сметка има и друга опция $ 3x-5 \\ lt 0 $. Освен това: има и случай с $ 3x-5 \u003d 0 $ - това също трябва да се има предвид, в противен случай решението ще бъде непълно. И така, разгледайте случая $ 3x-5 \\ lt 0 $:

Очевидно модулът ще се отвори със знак минус. Но тогава възниква странна ситуация: и вляво, и вдясно в оригиналното уравнение ще изпъква един и същ израз:

Чудя се на какви такива $ x $ изразът $ 5-3x $ ще бъде равен на израза $ 5-3x $? Дори капитанът би се задушил от доказателствата от подобни уравнения, но знаем, че това уравнение е идентичност, т.е. вярно е за всяка стойност на променливата!

Това означава, че всеки $ x $ ще ни подхожда. Имаме обаче ограничение:

С други думи, отговорът няма да бъде едно число, а цял интервал:

И накрая, остава да разгледаме още един случай: $ 3x-5 \u003d $ 0. Тук всичко е просто: под модула ще има нула и нулевият модул също е нула (това директно следва от дефиницията):

Но тогава първоначалното уравнение $ \\ left | 3x-5 \\ right | \u003d 5-3x $ ще бъдат пренаписани, както следва:

Вече получихме този корен по-горе, когато разгледахме случая $ 3x-5 \\ gt 0 $. Освен това този корен е решение на уравнението $ 3x-5 \u003d 0 $ - това е ограничението, което ние самите въведохме, за да нулираме модула. :)

По този начин, в допълнение към интервала, ние сме доволни и от числото, което лежи в самия край на този интервал:

Общ окончателен отговор: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ right] $. Не е много често да се срещат такива глупости в отговора на доста просто (всъщност линейно) уравнение с модул Е, свикнете с него: сложността на модула се крие във факта, че отговорите в такива уравнения могат да бъдат напълно непредсказуеми.

Много по-важно е друго нещо: току-що анализирахме универсален алгоритъм за решаване на модулирано уравнение! И този алгоритъм се състои от следните стъпки:

1. Задайте нула всеки модул в уравнението. Нека вземем няколко уравнения;
2. Решете всички тези уравнения и маркирайте корените на числовата права. В резултат на това линията ще бъде разделена на няколко интервала, на всеки от които еднозначно се разширяват всички модули;
3. Решете оригиналното уравнение за всеки интервал и комбинирайте отговорите.

Това е всичко! Остава само един въпрос: какво да правим със самите корени, получени на 1-ва стъпка? Да приемем, че имаме два корена: $ x \u003d 1 $ и $ x \u003d 5 $. Те ще разделят числовата линия на 3 части:

Е, какви са интервалите? Ясно е, че са три:

1. Най-ляво: $ x \\ lt 1 $ - самата единица не е включена в интервала;
2. Централно: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - тук едно е включено в интервала, но петте не са включени;
3. Най-дясната: $ x \\ ge 5 $ - петте са включени само тук!

Мисля, че вече разбрахте модела. Всеки интервал включва левия край и не включва десния край.

На пръв поглед такъв запис може да изглежда неудобен, нелогичен и като цяло някакъв заблуда. Но повярвайте ми: след малко обучение ще откриете, че този подход е най-надежден и в същото време не пречи на еднозначното отваряне на модулите. По-добре е да използвате такава схема, отколкото да мислите всеки път: дайте левия / десния край на текущия интервал или го "хвърлете" в следващия.

В тази статия ще анализираме подробно абсолютната стойност на число... Ние ще дадем различни дефиниции модул на числото, въвеждаме обозначението и даваме графични илюстрации. В този случай помислете различни примери намиране на модула на число по дефиниция. След това ще изброим и обосновем основните свойства на модула. В края на статията, нека поговорим за това как се определя и намира модула на комплексно число.

Навигация по страници.

Числов модул - дефиниция, нотация и примери

Първо представяме модул на числото... Модулът на числото а ще бъде записан като, тоест отляво и отдясно на числото, ще поставим вертикални тирета, образуващи знака на модула. Ето няколко примера. Например модулът −7 може да бъде записан като; модул 4.125 е написан като, а модулът е написан като.

Следващата дефиниция на модул се отнася и следователно до, и до цели числа, и до рационални, и до ирационални числа, като съставни части от множеството реални числа. Ще говорим за модула със сложни числа в.

Определение.

Модул на числото a Или самото число a, ако a е положително число, или числото -a, противоположно число a, ако a е отрицателно, или 0, ако a \u003d 0.

Звуковата дефиниция на модула на число често се записва в следната форма , това обозначение означава, че ако a\u003e 0, ако a \u003d 0 и ако a<0 .

Записът може да бъде представен в по-компактен вид ... Тази нотация означава, че ако (a е по-голямо или равно на 0) и ако a<0 .

Има и запис ... Тук случаят, когато a \u003d 0, трябва да бъде изяснен отделно. В този случай имаме, но −0 \u003d 0, тъй като нулата се счита за число, което е противоположно на себе си.

Нека да дадем примери за намиране на модула на число използвайки озвучената дефиниция. Например, нека намерим модулите от числа 15 и. Нека започнем с намирането. Тъй като числото 15 е положително, неговият модул, по дефиниция, е равен на самото това число, т.е. И каква е абсолютната стойност на число? Тъй като е отрицателно число, неговият модул е \u200b\u200bравен на обратното число, тоест числото ... По този начин, .

В заключение на този параграф представяме едно заключение, което е много удобно да се приложи на практика при намиране на модула на число. От дефиницията на модула на числото следва, че модул на число е равно на числото под знака на модула, независимо от неговия знак, а от примерите, разгледани по-горе, това се вижда много ясно. Горното твърдение обяснява защо се извиква и модулът на число абсолютна стойност на числото... Така че модулът на числото и абсолютната стойност на числото са едно и също.

Модул на числото като разстояние

Геометрично модулът на число може да се тълкува като разстояние... Нека да дадем определяне на модула на число чрез разстояние.

Определение.

Модул на числото a Разстоянието от началото на координатната линия до точката, съответстваща на числото a.

Това определение е в съответствие с определението за модула на число, дадено в първия параграф. Нека обясним този въпрос. Разстоянието от началото до точката, съответстваща на положително число, е равно на това число. Нула съответства на началото, така че разстоянието от началото до точката с координата 0 е равно на нула (не е нужно да отлагате нито един единичен сегмент и нито един сегмент, който съставлява каквато и да е част от единичен сегмент, за да получите от точка O до точката с координата 0). Разстоянието от началото до точката с отрицателна координата е равно на числото, противоположно на координатата на тази точка, тъй като е равно на разстоянието от началото до точката, чиято координата е противоположното число.

Например абсолютната стойност на 9 е 9, тъй като разстоянието от началото до точката с координата 9 е девет. Нека дадем друг пример. Точката с координата −3,25 е на разстояние 3,25 от точката О, така че .

Звуковата дефиниция на модула на число е специален случай на определяне на модула на разликата на две числа.

Определение.

Различен модул на две числа a и b е равно на разстоянието между точките на координатната линия с координати a и b.

Тоест, ако точки са дадени на координатната линия A (a) и B (b), тогава разстоянието от точка A до точка B е равно на модула на разликата между числата a и b. Ако вземем точка O (начало) като точка B, тогава получаваме определението за абсолютната стойност на число, дадено в началото на този параграф.

Определяне на модула на число чрез аритметичен квадратен корен

Понякога се случва дефиниция на модула от гледна точка на аритметичен квадратен корен.

Например, нека изчислим абсолютните стойности на числата −30 и въз основа на тази дефиниция. Ние имаме. По същия начин изчисляваме модула на двете трети: .

Определението на модула на число чрез аритметичния квадратен корен също е в съответствие с определението, дадено в първия параграф на тази статия. Нека го покажем. Нека a е положително число, докато числото −a е отрицателно. Тогава и , ако a \u003d 0, тогава .

Свойства на модула

Модулът има редица характерни резултати - свойства на модула... Сега ще дадем основните и най-често използваните. Когато обосноваваме тези свойства, ще разчитаме на дефиницията на модула на число по отношение на разстоянието.

Нека започнем с най-очевидното свойство на модула - модул на число не може да бъде отрицателен... В буквална форма това свойство има запис на формата за произволно число a. Това свойство е много лесно да се обоснове: модулът на числото е разстояние и разстоянието не може да бъде изразено като отрицателно число.

Нека да преминем към следващото свойство на модула. Абсолютната стойност на число е нула тогава и само ако това число е нула... Модулът нула е нула по дефиниция. Нула съответства на началото, никоя друга точка на координатната линия не съответства на нула, тъй като всяко реално число е свързано с една точка на координатната линия. По същата причина всяко число, различно от нула, съответства на точка, различна от началото. И разстоянието от началото до всяка точка, различна от точка O, не е нула, тъй като разстоянието между две точки е нула тогава и само ако тези точки съвпадат. Горните разсъждения доказват, че само модулът нула е равен на нула.

Продължа напред. Противоположните числа имат равни модули, т.е.за всяко число a. Всъщност две точки на координатната линия, чиито координати са противоположни числа, са на едно и също разстояние от началото, което означава, че абсолютните стойности на противоположните числа са равни.

Следващото свойство на модула е както следва: модулът на произведението на две числа е равен на произведението на модулите на тези числа, т.е. По дефиниция модулът на произведението на числата a и b е или b, ако, или - (a b), ако. От правилата за умножаване на реални числа следва, че произведението на абсолютните стойности на числата a и b е равно или на a b, или - (a b) if, което доказва разглежданото свойство.

Модулът на коефициента на разделяне на a на b е равен на коефициента на разделяне на модула на числото a на модула на числото b, т.е. Нека оправдаем това свойство на модула. Тъй като коефициентът е равен на продукта, тогава. По силата на предишното свойство имаме ... Остава само да се използва равенството, което е валидно по силата на дефиницията на модула на число.

Следното свойство на модула е записано като неравенство: , a, b и c са произволни реални числа. Записаното неравенство не е нищо повече от неравенство в триъгълника... За да стане ясно това, вземете точките A (a), B (b), C (c) на координатната линия и разгледайте дегенериралия триъгълник ABC, чиито върхове лежат на една права линия. По дефиниция модулът на разликата е равен на дължината на сегмента AB, е дължината на сегмента AC и е дължината на сегмента CB. Тъй като дължината на която и да е страна на триъгълника не надвишава сумата от дължините на другите две страни, неравенството следователно неравенството също е вярно.

Току-що доказаното неравенство е много по-често във формата ... Писменото неравенство обикновено се разглежда като отделно свойство на модула с формулировката: „ Абсолютната стойност на сумата от две числа не надвишава сумата от абсолютните стойности на тези числа". Но неравенството следва директно от неравенството, ако в него поставим −b вместо b и вземем c \u003d 0.

Модул със сложен номер

Да дадем определяне на модула на комплексно число... Нека ни бъде дадено комплексно число, написана в алгебрична форма, където x и y са някои реални числа, които представляват съответно реалните и имагинерни части на дадения комплексен номер z, и е имагинерната единица.

Една от най-предизвикателните теми за учениците е решаването на уравнения, които съдържат променлива под знака модул. Нека да разберем за начало, с какво е свързано това? Защо, например, квадратни уравнения повечето деца щракат като ядки и с толкова далеч сложна концепция като модул, той има толкова много проблеми?

Според мен всички тези трудности са свързани с липсата на ясно формулирани правила за решаване на уравнения с модул. И така, решаване квадратно уравнение, ученикът със сигурност знае, че първо трябва да приложи дискриминантната формула, а след това формулата за корените на квадратното уравнение. Но какво, ако в уравнението има модул? Ще се опитаме ясно да опишем необходимия план за действие за случая, когато уравнението съдържа неизвестно под знака на модула. Ето няколко примера за всеки отделен случай.

Но първо, нека си припомним дефиниция на модул... И така, модулът на числото а това число се нарича само ако а неотрицателни и -аако номерът а по-малко от нула. Можете да го напишете така:

| а | \u003d a, ако a ≥ 0 и | a | \u003d -a ако a< 0

Говорейки за геометричния смисъл на модула, трябва да се помни, че всяко реално число съответства на определена точка от числовата ос - неговото k координира. И така, модулът или абсолютната стойност на число е разстоянието от тази точка до началото на числовата ос. Разстоянието винаги се посочва като положително число. По този начин абсолютната стойност на всяко отрицателно число е положително число. Между другото, дори на този етап много ученици започват да се объркват. Всяко число може да бъде в модула, но резултатът от прилагането на модула винаги е положително число.

Сега да преминем директно към решаването на уравненията.

1. Помислете за уравнение на формата | x | \u003d c, където c е реално число. Това уравнение може да бъде решено с помощта на дефиницията на модула.

Разделяме всички реални числа на три групи: тези, които са по-големи от нула, тези, които са по-малки от нула, а третата група е числото 0. Нека напишем решението под формата на диаграма:

(± c, ако c\u003e 0

Ако | x | \u003d c, тогава x \u003d (0, ако c \u003d 0

(без корени, ако с< 0

1) | x | \u003d 5, защото 5\u003e 0, тогава x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, защото -пет< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, тогава x \u003d 0.

2. Уравнение на формата | f (x) | \u003d b, където b\u003e 0. За да се реши това уравнение, е необходимо да се отървете от модула. Правим го така: f (x) \u003d b или f (x) \u003d -b. Сега е необходимо да се реши всяко от получените уравнения поотделно. Ако в оригиналното уравнение b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, защото 4\u003e 0, тогава

x + 2 \u003d 4 или x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, защото 11\u003e 0, тогава

x 2 - 5 \u003d 11 или x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 няма корени

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, защото -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение на формата | f (x) | \u003d g (x). По смисъла на модула такова уравнение ще има решения, ако дясната му страна е по-голяма или равна на нула, т.е. g (x) ≥ 0. Тогава ще имаме:

f (x) \u003d g (x)или f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Това уравнение ще има корени, ако 5x - 10 ≥ 0. Именно от това започва решението на такива уравнения.

1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Решение:

2x - 1 \u003d 5x - 10 или 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Обединяваме ODZ. и решението е:

Коренът x \u003d 11/7 не се побира според O.D.Z., той е по-малък от 2 и x \u003d 3 отговаря на това условие.

Отговор: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Нека решим това неравенство по метода на интервалите:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Решение:

x - 1 \u003d 1 - x 2 или x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 или x \u003d 1 x \u003d 0 или x \u003d 1

3. Комбинираме разтвора и ODZ:

Подходящи са само корените x \u003d 1 и x \u003d 0.

Отговор: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Уравнение на формата | f (x) | \u003d | g (x) |. Това уравнение е еквивалентно на следните две уравнения f (x) \u003d g (x) или f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Това уравнение е еквивалентно на следните две:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 или x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 или x \u003d 4 x \u003d 2 или x \u003d 1

Отговор: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Уравнения, решени чрез метода на заместване (заместване с променлива). Този метод на решение е най-лесен за обяснение в конкретен пример... И така, нека се даде квадратно уравнение с модул:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. По свойството на модула x 2 \u003d | x | 2, така че уравнението може да бъде пренаписано, както следва:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Нека заменим | x | \u003d t ≥ 0, тогава ще имаме:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Решавайки това уравнение, получаваме, че t \u003d 1 или t \u003d 5. Нека се върнем към заместването:

| x | \u003d 1 или | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Отговор: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Нека разгледаме друг пример:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. По свойството на модула x 2 \u003d | x | 2, следователно

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Нека направим заместването | x | \u003d t ≥ 0, тогава:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Решавайки това уравнение, получаваме t \u003d -2 или t \u003d 1. Нека се върнем към заместването:

| x | \u003d -2 или | x | \u003d 1

Няма корени x \u003d ± 1

Отговор: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Друг вид уравнения - уравнения със "сложен" модул. Тези уравнения включват уравнения, които имат „модули в модул“. Уравнения от този вид могат да бъдат решени с помощта на свойствата на модула.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Ще продължим по същия начин, както при уравнения от втори тип. Защото 4\u003e 0, тогава получаваме две уравнения:

3 - | x | \u003d 4 или 3 - | x | \u003d -4.

Сега изразяваме модула x във всяко уравнение, след това | x | \u003d -1 или | x | \u003d 7.

Решаваме всяко от получените уравнения. В първото уравнение няма корени, защото -един< 0, а во втором x = ±7.

Отговорът е x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Решаваме това уравнение по същия начин:

3 + | x + 1 | \u003d 5 или 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 или x + 1 \u003d -2. Без корени.

Отговор: x \u003d -3, x \u003d 1.

Съществува и универсален метод за решаване на уравнения с модул. Това е методът на интервалите. Но ще го разгледаме по-късно.

блог. сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Абсолютната стойност на число а Разстоянието от началото до точката И(а).

За да разберете това определение, заменете променливата а произволно число, например 3 и опитайте да го прочетете отново:

Абсолютната стойност на число 3 Разстоянието от началото до точката И(3 ).

Става ясно, че модулът не е нищо повече от нормално разстояние. Нека се опитаме да видим разстоянието от началото до точка A ( 3 )

Разстояние от началото до точка A ( 3 ) е равно на 3 (три единици или три стъпки).

Модулът на числото се обозначава с две вертикални линии, например:

Модулът на числото 3 се обозначава, както следва: | 3 |

Модулът на числото 4 се обозначава, както следва: | 4 |

Модулът на числото 5 се обозначава, както следва: | 5 |

Търсихме модула на числото 3 и установихме, че е 3. Така че пишем:

То гласи: „Модулът на числото три е три“

Сега нека се опитаме да намерим модула на числото -3. Отново се върнете към дефиницията и заместете числото -3 в нея. Само вместо точка A използвайте нова точка Б.... Точка A ние вече използвахме в първия пример.

Модулни числа - 3 е разстоянието от началото до точката Б.(—3 ).

Разстоянието от една точка до друга не може да бъде отрицателно. Следователно модулът на всяко отрицателно число, което е разстояние, също няма да бъде отрицателно. Модулът на числото -3 ще бъде номер 3. Разстоянието от началото до точка В (-3) също е три единици:

То гласи: „Модулът на числото минус три е равно на три“

Абсолютната стойност на числото 0 е 0, тъй като точката с координатата 0 съвпада с началото, т.е. разстояние от начало до точка O (0) е равно на нула:

„Нулевият модул е \u200b\u200bнула“

Правим изводи:

• Модулът на числото не може да бъде отрицателен;
• За положително число и нула модулът е равен на самото число, а за отрицателно число - обратното число;
• Противоположните числа имат равни модули.

Противоположни числа

Извикват се числа, които се различават само по знаци противоположно... Например числата −2 и 2 са противоположни. Те се различават само по знаци. Числото -2 има знак минус, а 2 има знак плюс, но ние не го виждаме, защото плюс, както казахме по-рано, традиционно не се пише.

Още примери за противоположни числа:

Противоположните числа имат равни модули. Например, нека намерим модули за −2 и 2

Фигурата показва, че разстоянието от началото до точките A (-2) и Б (2) е равно на две стъпки.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашите нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

И се изчислява в съответствие със следните правила:

За краткост използвайте | а |... И така, | 10 | \u003d 10; - 1/3 \u003d | 1/3 |; | -100 | \u003d 100 и т.н.

Всякакъв размер х съответства на доста точна стойност | х|. И това означава самоличност в= |х| комплекти в като някои аргументна функция х.

Графиктова функции представени по-долу.

За х > 0 |х| = х, и за х< 0 |х|= -х; в това отношение линията y \u003d | х| в х\u003e 0, комбинирано с права линия y \u003d x(бисектриса на първия координатен ъгъл) и за х< 0 - с прямой y \u003d -x(ъглополовяща на втория координатен ъгъл).

Избрано уравнения включете неизвестни под знака модул.

Произволни примери за такива уравнения - | х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 и т.н.

Решаване на уравнениясъдържащи неизвестното под знака на модула се основава на факта, че ако абсолютната стойност на неизвестното число x е равно положително число а, тогава самото число x е равно на a или -a.

например: ако | х| \u003d 10, тогава или х\u003d 10, или х = -10.

Обмисли решаване на индивидуални уравнения.

Нека анализираме решението на уравнението | х- 1| = 2.

Нека разширим модула тогава разликата х- 1 може да бъде равно на + 2, или - 2. Ако x - 1 \u003d 2, тогава х \u003d 3; ако х - 1 \u003d - 2, тогава х \u003d - 1. Правим заместване и получаваме, че и двете стойности отговарят на уравнението.

Отговор.Това уравнение има два корена: х 1 = 3, х 2 = - 1.

Нека анализираме решение на уравнението | 6 — 2х| = 3х+ 1.

След разширяване на модулаполучаваме: или 6 - 2 х= 3х+ 1 или 6 - 2 х= - (3х+ 1).

В първия случай х \u003d 1, а във втория х= - 7.

Проверка. Кога х= 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3х + 1 \u003d 4; следва от съда, х = 1 - корендадено уравнения.

Кога х = - 7 |6 — 2х| = |20| = 20, 3х+ 1 \u003d - 20; от 20 ≠ -20, тогава х \u003d - 7 не е корен от това уравнение.

Отговор. Имайтеуравнения еднокорен: х = 1.

Уравнения от този тип могат да бъдат решават и графично.

Така че нека решим напр, графично уравнение | х- 1| = 2.

Първоначално изпълняваме строителството функционална графика в = |х- 1 |. Първият е да нарисувате графика на функцията в=х- 1:

Тази част от него графични изкуствакойто се намира над оста х няма да се променяме. За нея х - 1\u003e 0 и следователно | х-1|=х-1.

Частта от графиката, която се намира под оста х, изобразяват симетрично около тази ос. Тъй като за тази част х - 1 < 0 и соответственно |х - 1|= - (х - един). Полученото линия (плътна линия) и воля функционална графика у \u003d | х—1|.

Тази линия ще се пресича с прав в \u003d 2 в две точки: M 1 с абсциса -1 и M 2 с абсциса 3. И съответно уравнението | х- 1 | \u003d 2 ще има два корена: х 1 = - 1, х 2 = 3.