Обикновено диференциално уравнение се нарича уравнение, свързващо независимата променлива, неизвестната функция на тази променлива и нейните производни (или диференциали) от различни подреждания.

Редът на диференциалното уравнение е редът на най-високата производна, съдържаща се в нея.

В допълнение към обикновените се изучават и уравнения с частични диференциали. Това са уравнения, свързващи независими променливи, неизвестната функция на тези променливи и нейните частични производни по отношение на същите променливи. Но ние само ще разгледаме обикновени диференциални уравнения и затова за краткост ще пропуснем думата „обикновен“.

Примери за диференциални уравнения:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) е от четвърти ред, уравнение (2) е от трети ред, уравнения (3) и (4) са от втори ред, а уравнение (5) е от първи ред.

Диференциално уравнение н-тият ред не трябва да съдържа изрично функция, всички нейни производни от първия до нтия ред и независимата променлива. Той не може да съдържа изрично производни на някои поръчки, функция, независима променлива.

Например в уравнение (1) очевидно няма производни на третия и втория ред, както и функции; в уравнение (2) - производно и функция от втори ред; в уравнение (4) - независима променлива; в уравнение (5) - функции. Само уравнение (3) съдържа изрично всички производни, функция и независима променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнение извиква се всяка функция y \u003d f (x), когато се замени в уравнение, то се превръща в идентичност.

Процесът на намиране на решение на диференциално уравнение се нарича интегриране.

Пример 1. Намерете решение на диференциалното уравнение.

Решение. Нека напишем това уравнение във формата. Решението е да се намери функцията по нейната производна. Първоначалната функция, както е известно от интегралното смятане, е антидеривата за, т.е.

Това е решение на дадено диференциално уравнение ... Промяна в него ° С, ще получим различни решения. Установихме, че има безкрайно много решения за диференциално уравнение от първи ред.

Общото решение на диференциалното уравнение н-тият ред е неговото решение, изразено изрично по отношение на неизвестна функция и съдържащо н независими произволни константи, т.е.

Решението на диференциалното уравнение в пример 1 е общо.

Чрез конкретно решение на диференциалното уравнение се нарича неговото решение, при което на произволни константи се приписват конкретни числови стойности.

Пример 2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение и конкретното решение за .

Решение. Интегрираме двете страни на уравнението толкова пъти, колкото е редът на диференциалното уравнение.

,

.

В резултат получихме общо решение -

даденото диференциално уравнение от третия ред.

Сега ще намерим конкретно решение при посочените условия. За да направите това, заменете техните стойности вместо произволни коефициенти и получете

.

Ако освен диференциалното уравнение във форма е дадено и начално условие, тогава се извиква такъв проблем проблемът на Коши ... Стойностите и се заместват в общото решение на уравнението и се намира стойността на произволна константа ° Си след това конкретно решение на уравнението за намерената стойност ° С... Това е решението на проблема с Коши.

Пример 3. Решете задачата на Коши за диференциалното уравнение от пример 1 при условие.

Решение. Нека заместим в общото решение стойностите от началното условие у = 3, х \u003d 1. Получаваме

Записваме решението на задачата на Коши за дадено диференциално уравнение от първи ред:

Решаването на диференциални уравнения, дори и най-простите, изисква добри умения за интегриране и вземане на производни, включително сложни функции. Това може да се види в следващия пример.

Пример 4. Намерете общото решение на диференциалното уравнение.

Решение. Уравнението е написано по такъв начин, че можете веднага да интегрирате двете му страни.

.

Прилагаме метода на интегриране чрез промяна на променлива (заместване). Нека, тогава.

Изисква се да се вземе dx и сега - внимание - правим го според правилата за разграничаване на сложна функция, тъй като х и има сложна функция ("ябълка" е извличането на квадратния корен или, което е същото нещо, степенуването на "една половина" и "кайма" е самият израз под корена):

Намерете интеграла:

Връщайки се към променливата х, получаваме:

.

Това е общото решение на това диференциално уравнение от първа степен.

При решаването на диференциални уравнения ще са необходими не само умения от предишните раздели на висшата математика, но и умения от елементарна, т.е. Както вече споменахме, в диференциално уравнение от произволен ред не може да има независима променлива, т.е. променлива х... Знанието за пропорцията, не забравено (между другото, за кого как) от училище, ще помогне за решаването на този проблем. Това е следващият пример.

Диференциални уравнения (DE). Тези две думи обикновено ужасяват обикновения неспециалист. Диференциалните уравнения изглеждат като нещо скандално и трудно за научаване на много ученици. Uuuuuuu ... диференциални уравнения, как мога да преживея всичко това ?!

Това мнение и това отношение е коренно погрешно, защото всъщност РАЗЛИЧНИТЕ УРАВНЕНИЯ СА ПРОСТИ И ДАЖЕ ЗАБАВЛЕНИ... Какво трябва да знаете и да можете да научите как да решавате диференциални уравнения? За да изучавате успешно дифура, трябва да сте добри в интегрирането и диференцирането. Колкото по-добре се изучават темите Производно на функция от една променлива и Неопределен интеграл, толкова по-лесно ще бъде да се разберат диференциалните уравнения. Ще кажа повече, ако имате повече или по-малко прилични умения за интеграция, тогава темата е практически усвоена! Колкото повече интеграли от различни видове можете да решите, толкова по-добре. Защо? Защото трябва да се интегрирате много. И разграничават. Също горещо препоръчвам научи се да намираш производна на имплицитна функция.

В 95% от случаите при тестове има 3 вида диференциални уравнения от първи ред: уравнения с разделими променливи, които ще разгледаме в този урок; еднородни уравнения и линейни нехомогенни уравнения... За начинаещи в дифузия ви съветвам да прочетете уроците в този ред. Има дори по-редки видове диференциални уравнения: общи диференциални уравнения, уравнения на Бернули и някои други. Най-важният от последните два типа са уравнения в общите диференциали, тъй като в допълнение към това DE разглеждам нов материал - частично интегриране.

Нека първо да си припомним обичайните уравнения. Те съдържат променливи и числа. Най-простият пример :. Какво означава решаване на обикновено уравнение? Това означава да се намери много числакоито удовлетворяват това уравнение. Лесно е да се види, че уравнението на децата има един корен :. За забавление, нека направим проверка, заместим намерения корен в нашето уравнение:

- получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно.

Разликите са подобни!

Диференциално уравнение първа поръчка, съдържа:
1) независима променлива;
2) зависима променлива (функция);
3) първата производна на функцията :.

В някои случаи в уравнението от първи ред може да липсва „x“ или (и) „game“ - важно така че в DU беше първото производно и не са имали деривати от по-високи порядъци - и др.

Какво означава ?Решаването на диференциално уравнение означава намиране много функции които отговарят на това уравнение. Този набор от функции се нарича общо решение на диференциалното уравнение.

Пример 1

Решете диференциално уравнение

Пълни боеприпаси. Откъде да започнем да решаваме диференциално уравнение от първи ред?

На първо място, трябва да пренапишете производното в малко по-различна форма. Припомняме тромавата нотация на производната :. Това обозначение на производното за много от вас вероятно изглеждаше нелепо и ненужно, но именно то управлява дифузията!

И така, на първия етап ние пренаписваме производното във формата, в която се нуждаем:

Във втория етап е винаги вижте дали е възможно разделяне на променливи? Какво означава разделяне на променливи? Грубо казано, отляво трябва да си тръгнем само "геймъри", и от дясната страна организирайте само "х"... Разделянето на променливите се извършва с помощта на „училищни“ манипулации: скоби, прехвърляне на термини от част към част със смяна на знака, прехвърляне на фактори от част към част според правилото за пропорция и т.н.

Диференциали и са пълноценни мултипликатори и активни участници във военните действия. В разглеждания пример променливите лесно се разделят чрез хвърляне на множители според правилото за пропорция:

Променливите са разделени. От лявата страна има само "игри", от дясната страна - само "X".

Следващ етап - интегриране на диференциално уравнение... Просто е, закачаме интеграли от двете страни:

Разбира се, трябва да се вземат интегралите. В този случай те са таблични:

Както си спомняме, на всеки антидериват се присвоява константа. Има два интеграла, но е достатъчно да запишем константата веднъж. Почти винаги се приписва на дясната страна.

Строго погледнато, след като се вземат интегралите, диференциалното уравнение се счита за решено. Единственото нещо е, че нашата „игра“ не се изразява чрез „х“, тоест решението е представено в неявно форма. Извиква се решението на диференциалното уравнение в неявна форма общ интеграл от диференциално уравнение... Тоест, това е общ интеграл.

Сега трябва да се опитаме да намерим общо решение, т.е. да се опитаме да представим изрично функцията.

Моля, запомнете първата техника, тя е много разпространена и често се използва в практическите упражнения. Когато след интегрирането се появи логаритъм от дясната страна, почти винаги е препоръчително да се напише и константата под логаритъма.

Т.е., вместозаписите обикновено се пишат .

Тук е същата пълноценна константа като. Защо е необходимо това? И за да улесни изразяването на „игра“. Използваме училищното свойство на логаритмите: ... В такъв случай:

Сега логаритмите и модулите могат да бъдат премахнати от двете части с чиста съвест:

Функцията е представена изрично. Това е общото решение.

Много функции е общо решение на диференциално уравнение.

Като давате константа различни стойности, можете да получите безкрайно много частни решения диференциално уравнение. Всяка от функциите ,, и т.н. ще задоволи диференциалното уравнение.

Общото решение понякога се нарича семейство от функции... В този пример основното решение е Е семейство с линейни функции, или по-скоро, семейство с преки пропорции.

Много диференциални уравнения са доста лесни за тестване. Това се прави много просто, ние вземаме намереното решение и намираме производната:

Заместваме нашето решение и намереното производно в първоначалното уравнение:

- получава се правилното равенство, което означава, че решението е намерено правилно. С други думи, общото решение удовлетворява уравнението.

След като внимателно сдъвкваме първия пример, е подходящо да отговорим на няколко наивни въпроса относно диференциалните уравнения.

1) В този пример успяхме да разделим променливите :. Винаги ли може да се направи това? Не винаги. Още по-често променливите не могат да бъдат разделени. Например в еднородни уравнения от първи ред, първо трябва да замените. В други видове уравнения, например, в линейно нехомогенно уравнение от първи ред, трябва да използвате различни техники и методи, за да намерите общо решение. Разделимите уравнения, които разглеждаме в първия урок, са най-простият тип диференциални уравнения.

2) Винаги ли е възможно да се интегрира диференциално уравнение? Не винаги. Много е лесно да се измисли „изискано“ уравнение, което не може да се интегрира, освен това има нетривиални интеграли. Но такива DE могат да бъдат решени приблизително с помощта на специални методи. Гаранция на Д'Аламбер и Коши. ... ъъъ, lurkmore.ru просто четох много.

3) В този пример получихме решение под формата на общ интеграл ... Винаги ли е възможно да се намери общо решение от общ интеграл, т.е. да се изрази „играта“ в изрична форма? Не винаги. Например: . Е, как мога да изразя "игра"?! В такива случаи отговорът трябва да бъде написан като общ интеграл. Освен това понякога може да се намери общо решение, но то е написано толкова тромаво и тромаво, че е по-добре отговорът да се остави под формата на общ интеграл

Да не бързаме. Още едно просто дистанционно управление и още едно типично решение.

Пример 2

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение, което отговаря на първоначалното условие

По условие трябва да намерите частно решение DE, отговарящо на първоначалното условие. Този въпрос също се нарича проблемът на Коши.

Първо, намираме общо решение. В уравнението няма променлива “x”, но това не бива да обърква, основното е, че съдържа първата производна.

Пренаписваме производното в необходимата форма:

Очевидно променливите могат да бъдат разделени, момчета отляво, момичета отдясно:

Интегрираме уравнението:

Получава се общият интеграл. Тук нарисувах константа със звезден индекс, факт е, че много скоро тя ще се превърне в друга константа.

Сега се опитваме да трансформираме общия интеграл в общо решение (изразете изрично „играта“). Спомняме си старото, доброто училище: ... В такъв случай:

Константата в индикатора изглежда някак некошерна, така че обикновено се понижава от небето на земята. В детайли се случва така. Използвайки свойството power, ние пренаписваме функцията, както следва:

Ако е константа, то тя е и някаква константа, която обозначаваме с буква:

Не забравяйте „дрейфа“ на константата, това е втората техника, която често се използва при решаване на диференциални уравнения.

Така че основното решение е :. Толкова хубаво семейство от експоненциални функции.

На последния етап е необходимо да се намери конкретно решение, което да удовлетворява даденото начално условие. Това също е лесно.

Каква е задачата? Трябва да вземете такива стойността на константата, за да отговаря на определеното начално условие.

Можете да проектирате по различни начини, но най-разбираемото може би ще бъде така. В общото решение вместо "х" заместваме нула, а вместо "игра" две:



Т.е.,

Версия със стандартен дизайн:

Заместваме намерената постоянна стойност в общото решение:
- това е конкретното решение, от което се нуждаем.

Да проверим. Проверката на частно решение включва два етапа.

Първо, необходимо е да се провери дали намереното конкретно решение наистина отговаря на първоначалното условие? Вместо "x" заместваме нула и виждаме какво се случва:
- да, наистина се получава двойка, което означава, че първоначалното условие е изпълнено.

Вторият етап вече е познат. Взимаме полученото конкретно решение и намираме производната:

Заместете в оригиналното уравнение:

- получава се правилното равенство.

Заключение: конкретно решение беше намерено правилно.

Нека да преминем към по-смислени примери.

Пример 3

Решете диференциално уравнение

Решение: Пренаписваме производното във формата, в която се нуждаем:

Оценяване дали променливите могат да бъдат разделени? Мога. Прехвърляме втория член в дясната страна с промяна на знака:

И хвърляме умножителите според правилото за пропорция:

Променливите са разделени, ние интегрираме и двете части:

Трябва да ви предупредя, идва съдният ден. Ако не сте учили добре неопределени интеграли, са решили няколко примера, тогава няма къде да отидете - сега ще трябва да ги овладеете.

Интегралът от лявата страна е лесен за намиране, можем да се справим с интеграла от котангенса, използвайки стандартната техника, която разгледахме в урока Интегриране на тригонометрични функции Миналата година:

От дясната страна получихме логаритъма, според първата ми техническа препоръка, в този случай константата също трябва да бъде написана под логаритъма.

Сега нека се опитаме да опростим общия интеграл. Тъй като имаме едни и същи логаритми, е напълно възможно (и необходимо) да се отървем от тях. Опаковаме логаритмите колкото е възможно повече. Опаковането се извършва с помощта на три свойства:

Моля, препишете тези три формули във вашата работна книга, те се използват много често при решаване на дифузи.

Ще запиша решението с много подробности:

Опаковката е завършена, премахваме логаритмите:

Можете ли да изразите "игра"? Мога. И двете страни трябва да са в квадрат. Но не е нужно да правите това.

Трети технически съвет: Ако, за да се получи общо решение, трябва да се повиши до степен или да се извлекат корени, тогава в повечето случаи човек трябва да се въздържа от тези действия и да остави отговора под формата на общ интеграл. Факт е, че общото решение ще изглежда претенциозно и ужасно - с големи корени, знаци.

Следователно, ние пишем отговора под формата на общ интеграл. Счита се за добра практика представянето на общия интеграл във формата, тоест отдясно, ако е възможно, оставете само константа. Не е необходимо да правите това, но винаги е полезно да угаждате на професора ;-)

Отговор: общ интеграл:

Забележка: общият интеграл на всяко уравнение може да бъде написан по повече от един начин. По този начин, ако резултатът ви не съвпада с познатия по-рано отговор, това не означава, че сте решили уравнението неправилно.

Общият интеграл също се проверява доста лесно, основното е да можете да го намерите производни на имплицитна функция... Разграничаване на отговора:

Умножаваме двата термина по:

И ние разделяме на:

Оригиналното диференциално уравнение е точно получено, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 4

Намерете конкретно решение на диференциалното уравнение, което отговаря на първоначалното условие. Проверете.

Това е пример за решение „направи си сам“. Нека ви напомня, че проблемът с Коши се състои от два етапа:
1) Намиране на общо решение.
2) Намиране на частно решение.

Проверката също се извършва на два етапа (вижте също примера на пример 2), трябва:
1) Уверете се, че намереното конкретно решение наистина отговаря на първоначалното условие.
2) Проверете дали конкретното решение обикновено отговаря на диференциалното уравнение.

Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 5

Намерете конкретно решение на диференциално уравнение удовлетворяващо първоначалното условие. Проверете.

Решение:Първо, намираме общото решение.Това уравнение вече съдържа готови диференциали и следователно решението е опростено. Разделящи променливи:

Интегрираме уравнението:

Интегралът отляво е табличен, интегралът отдясно е взет чрез метода за привеждане на функцията под диференциалния знак:

Получава се общият интеграл, възможно ли е да се изрази успешно общото решение? Мога. Закачаме логаритмите:

(Надявам се, че всички разбират трансформацията, такива неща вече трябва да се знаят)

Така че основното решение е:

Нека намерим конкретно решение, съответстващо на даденото начално условие. В общото решение вместо "х" заместваме нула, а вместо "игра" логаритъмът от две:

По-познат дизайн:

Заместваме намерената стойност на константата в общото решение.

Отговор: частно решение:

Проверка: Първо, нека проверим дали първоначалното условие е изпълнено:
- всичко е наред.

Сега нека проверим дали намереното конкретно решение обикновено удовлетворява диференциалното уравнение. Намерете производната:

Разглеждаме първоначалното уравнение: - представя се в диференциали. Има два начина за проверка. Възможно е да се изрази диференциалът от намерената производна:

Заместете намереното конкретно решение и получената разлика в първоначалното уравнение :

Използваме основната логаритмична идентичност:

Получава се правилното равенство, което означава, че конкретното решение е намерено правилно.

Вторият начин за проверка е огледален и по-познат: от уравнението изразяваме производната, за това разделяме всички парчета на:

И в преобразувания DE заместваме полученото конкретно решение и производното производно. В резултат на опростяванията трябва да се получи и правилното равенство.

Пример 6

Решете диференциалното уравнение. Отговорът е представен под формата на общ интеграл.

Това е пример „направи си сам“, цялостно решение и отговор в края на урока.

Какви трудности чакат при решаването на диференциални уравнения с разделими променливи?

1) Не винаги е очевидно (особено за чайник), че променливите могат да се споделят. Нека разгледаме условен пример :. Тук трябва да извършите факторирането от скобите: и да отделите корените :. Как да продължите е ясно.

2) Трудности при самата интеграция. Интегралите често не са много прости и ако има недостатъци в уменията за намиране неопределен интеграл, тогава много дифузи ще бъдат трудни. Освен това сред компилаторите на сборници и ръководства логиката е популярна „тъй като диференциалното уравнение е просто, тогава нека интегралите бъдат по-сложни“.

3) Преобразувания с константа. Както всички са забелязали, можете да правите почти всичко с константа в диференциални уравнения. И такива трансформации не винаги са ясни за начинаещи. Нека разгледаме друг условен пример: ... В него е препоръчително всички условия да се умножат по 2: ... Получената константа също е някакъв вид константа, която може да се обозначи с: ... Да, и тъй като логаритъмът е от дясната страна, препоръчително е да презапишете константата под формата на друга константа: .

Проблемът е, че те често не се занимават с индекси и използват една и съща буква. И в резултат на това записът на решенията има следната форма:

Какво по дяволите е това? Има и грешки. Формално, да. И неформално - няма грешка, разбира се, че при преобразуване на константа все пак се получава някаква друга константа.

Или такъв пример, да предположим, че по време на решаването на уравнението се получава общ интеграл. Този отговор изглежда грозен, затова е препоръчително да промените знаците на всички фактори: ... Формално според записа отново има грешка, трябваше да бъде записана. Но неофициално се има предвид, че тя все още е някаква друга константа (още повече, че може да приеме всякаква стойност), поради което промяната на знака на константата няма никакъв смисъл и можете да използвате същата буква.

Ще се опитам да избегна небрежен подход и все пак да присвоявам различни индекси на константите при преобразуването им.

Пример 7

Решете диференциалното уравнение. Проверете.

Решение: Това уравнение позволява разделяне на променливи. Разделящи променливи:

Ние интегрираме:

Константата тук не трябва да се определя като логаритъм, тъй като нищо добро няма да се получи.

Отговор: общ интеграл:

Проверка: Диференцирайте отговора (имплицитна функция):

Отърваваме се от дроби, за това умножаваме двата термина по:

Получава се оригиналното диференциално уравнение, което означава, че общият интеграл е намерен правилно.

Пример 8

Намерете частно решение на дистанционното управление.
,

Това е пример за решение „направи си сам“. Единственият коментар е, че тук получавате общ интеграл и, по-правилно, трябва да измислите, за да намерите не конкретно решение, а частичен интеграл... Пълно решение и отговор в края на урока.

Както вече беше отбелязано, в дифузи с разделими променливи често се появяват не много прости интеграли. И ето няколко такива примера за независимо решение. Препоръчвам на всички да решат примери 9-10, независимо от нивото на обучение, това ще актуализира уменията за намиране на интеграли или ще запълни пропуските в знанията.

Пример 9

Решете диференциално уравнение

Пример 10

Решете диференциално уравнение

Не забравяйте, че има повече от един начин да напишете общия интеграл и външният вид на вашите отговори може да се различава от външния вид на моите отговори. Кратък курс на решение и отговори в края на урока.

Успешна промоция!

Пример 4:Решение: Нека намерим общо решение. Разделящи променливи:


Ние интегрираме:



Получава се общият интеграл, ние се опитваме да го опростим. Опаковаме логаритмите и се отърваваме от тях:

I. Обикновени диференциални уравнения

1.1. Основни понятия и определения

Диференциалното уравнение е уравнение, което свързва независимата променлива х, необходимата функция у и неговите производни или диференциали.

Символичното диференциално уравнение се записва, както следва:

F (x, y, y ") \u003d 0, F (x, y, y") \u003d 0, F (x, y, y ", y", .., y (n)) \u003d 0

Диференциалното уравнение се нарича обикновено, ако желаната функция зависи от една независима променлива.

Чрез решаване на диференциалното уравнение се нарича функция, която преобразува това уравнение в идентичност.

Редът на диференциалното уравнение е редът на най-високата производна, влизаща в това уравнение

Примери.

1. Помислете за диференциалното уравнение от първи ред

Решението на това уравнение е функцията y \u003d 5 ln x. Всъщност заместването y " в уравнението получаваме - идентичност.

И това означава, че функцията y \u003d 5 ln x– е решение на това диференциално уравнение.

2. Помислете за диференциалното уравнение от втори ред y "- 5y" + 6y \u003d 0... Функцията е решението на това уравнение.

Наистина,.

Замествайки тези изрази в уравнението, получаваме :, - идентичност.

И това означава, че функцията е решение на това диференциално уравнение.

Интегриране на диференциални уравнения се нарича процесът на намиране на решения на диференциални уравнения.

Общото решение на диференциалното уравнение функция на формата , който включва толкова независими произволни константи, колкото е редът на уравнението.

Чрез конкретно решение на диференциалното уравнение се нарича решението, получено от общото решение за различни числови стойности на произволни константи. Стойностите на произволни константи се намират при определени начални стойности на аргумента и функцията.

Извиква се графиката на конкретно решение на диференциално уравнение интегрална крива.

Примери за

1. Намерете конкретно решение на диференциално уравнение от първи ред

xdx + ydy \u003d 0, ако у\u003d 4 ат х = 3.

Решение. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме

Коментирайте. Произволна константа C, получена в резултат на интегриране, може да бъде представена във всякаква форма, удобна за по-нататъшни преобразувания. В този случай, като се вземе предвид каноничното уравнение на окръжността, е удобно във формата да се представи произволна константа C.

- общо решение на диференциалното уравнение.

Конкретно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия у \u003d 4 ат х \u003d 3 се намира от общото заместване на началните условия в общото решение: 3 2 + 4 2 \u003d C 2; С \u003d 5.

Замествайки C \u003d 5 в общото решение, получаваме x 2 + y 2 = 5 2 .

Това е конкретно решение на диференциалното уравнение, получено от общото решение за дадени начални условия.

2. Намерете общото решение на диференциалното уравнение

Решението на това уравнение е всяка функция на формата, където C е произволна константа. Всъщност, замествайки в уравненията, получаваме:,.

Следователно, това диференциално уравнение има безкраен набор от решения, тъй като за различни стойности на константата C равенството определя различни решения на уравнението.

Например, чрез директно заместване, човек може да се увери, че функциите са решения на уравнението.

Проблемът, при който се изисква да се намери конкретно решение на уравнението y "\u003d f (x, y) удовлетворяващо първоначалното условие y (x 0) \u003d y 0се нарича проблем на Коши.

Решение за уравнение y "\u003d f (x, y)удовлетворяващо първоначалното условие, y (x 0) \u003d y 0, се нарича решение на проблема Коши.

Решението на задачата на Коши има просто геометрично значение. Всъщност, според тези определения, за решаване на проблема на Коши y "\u003d f (x, y) като се има предвид това y (x 0) \u003d y 0, означава да се намери интегралната крива на уравнението y "\u003d f (x, y) който преминава през дадена точка M 0 (x 0,y 0).

II. Диференциални уравнения от първи ред

2.1. Основни понятия

Диференциално уравнение от първи ред е уравнение на формата F (x, y, y ") \u003d 0.

Диференциалното уравнение от първи ред включва първото производно и не включва производни от по-висок ред.

Уравнението y "\u003d f (x, y) се нарича уравнение от първи ред, разрешено по отношение на производната.

Общо решение на диференциално уравнение от първи ред е функция на формата, която съдържа една произволна константа.

Пример.Помислете за диференциално уравнение от първи ред.

Решението на това уравнение е функцията.

Всъщност, замествайки в това уравнение неговата стойност, получаваме

т.е. 3x \u003d 3x

Следователно функцията е общо решение на уравнението за всяка константа C.

Намерете конкретно решение на това уравнение, което отговаря на първоначалното условие y (1) \u003d 1 Замяна на началните условия x \u003d 1, y \u003d 1 в общото решение на уравнението, получаваме откъде С \u003d 0.

По този начин получаваме конкретно решение от общото, като заместваме получената стойност в това уравнение С \u003d 0 - частно решение.

2.2. Разделими диференциални уравнения

Диференциалното уравнение с разделими променливи е уравнение от вида: y "\u003d f (x) g (y) или чрез диференциали, където f (x) и g (y)- определени функции.

За тези у, за което, уравнението y "\u003d f (x) g (y) е еквивалентно на уравнението, в която променливата у присъства само от лявата страна, а променливата x е само от дясната страна. Те казват, „в уравнението y "\u003d f (x) g (y нека разделим променливите ".

Уравнение на формата се нарича уравнение с разделени променливи.

Чрез интегриране на двете страни на уравнението от х, получаваме G (y) \u003d F (x) + CЕ общото решение на уравнението, където G (y) и F (x) - някои антидеривати на функции и f (x), ° С произволна константа.

Алгоритъм за решаване на диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

Пример 1

Решете уравнението y "\u003d xy

Решение. Производна функция y " замени с

разделете променливите

интегрират двете страни на равенството:

Пример 2

2гг "\u003d 1- 3x 2, ако y 0 \u003d 3 в x 0 \u003d 1

Това е отделно уравнение с променлива. Нека го представим в диференциали. За да направим това, ние пренаписваме това уравнение във формата Оттук

Интегрирайки двете страни на последното равенство, намираме

Замяна на началните стойности x 0 \u003d 1, y 0 \u003d 3намирам ОТ 9=1-1+° С, т.е. С \u003d 9.

Следователно търсеният частичен интеграл ще бъде или

Пример 3

Приравнете крива през точка М (2; -3) и има допирателна с наклон

Решение. Според условието

Това е отделимо уравнение. Разделяйки променливите, получаваме:

Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме:

Използвайки първоначалните условия, x \u003d 2 и y \u003d - 3 намирам ° С:

Следователно търсеното уравнение има формата

2.3. Линейни диференциални уравнения от първи ред

Линейно диференциално уравнение от първи ред е уравнение на формата y "\u003d f (x) y + g (x)

където f (x) и g (x) - някои предварително зададени функции.

Ако g (x) \u003d 0тогава линейното диференциално уравнение се нарича хомогенно и има вид: y "\u003d f (x) y

Ако тогава уравнението y "\u003d f (x) y + g (x) наречен хетерогенен.

Общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение y "\u003d f (x) y се дава по формулата: където ОТ Е произволна константа.

По-специално, ако C \u003d 0,тогава решението е y \u003d 0 Ако едно линейно хомогенно уравнение има формата y "\u003d ky Където к - някаква константа, тогава нейното общо решение има формата :.

Общо решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение y "\u003d f (x) y + g (x) се дава от формулата ,

тези. е равна на сумата от общото решение на съответното линейно хомогенно уравнение и конкретното решение на това уравнение.

За линейно нехомогенно уравнение на формата y "\u003d kx + b,

където к и б- някои числа и константна функция ще бъдат конкретно решение. Следователно, общото решение е.

Пример... Решете уравнението y "+ 2y +3 \u003d 0

Решение. Представяме уравнението във формата y "\u003d -2y - 3 Където k \u003d -2, b \u003d -3 Общото решение се дава от формулата.

Следователно, където C е произволна константа.

2.4. Решение на линейни диференциални уравнения от първи ред по метода на Бернули

Намиране на общо решение на линейно диференциално уравнение от първи ред y "\u003d f (x) y + g (x) се свежда до решаване на две диференциални уравнения с разделени променливи, като се използва заместването y \u003d uvкъдето u и v - неизвестни функции от х... Този метод на решение се нарича метод на Бернули.

Алгоритъм за решаване на линейно диференциално уравнение от първи ред

y "\u003d f (x) y + g (x)

1. Въведете заместване y \u003d uv.

2. Диференцирайте това равенство y "\u003d u" v + uv "

3. Заместител у и y " в това уравнение: u "v + uv" \u003df (x) uv + g (x)или u "v + uv" + f (x) uv \u003d g (x).

4. Групирайте условията на уравнението така, че u извадете от скобите:

5. От скобата, приравнявайки я на нула, намерете функцията

Това е отделимо уравнение:

Нека да разделим променливите и да получим:

От къде . .

6. Заместете получената стойност vв уравнението (от т. 4):

и намерете функцията Това е отделимо уравнение:

7. Запишете общото решение във формата: , т.е. ...

Пример 1

Намерете конкретно решение на уравнението y "\u003d -2y +3 \u003d 0 ако y \u003d 1 в x \u003d 0

Решение. Нека го решим, като използваме заместването y \u003d uv,.y "\u003d u" v + uv "

Заместване уи y " в това уравнение получаваме

Групирайки втория и третия член в лявата част на уравнението, изваждаме общия коефициент u от скоби

Изразът в скоби се приравнява на нула и след като решим полученото уравнение, намираме функцията v \u003d v (x)

Получи уравнение с разделени променливи. Интегрираме двете страни на това уравнение: Намерете функцията v:

Заместете получената стойност v в уравнението Получаваме:

Това е уравнение с разделени променливи. Интегрираме двете страни на уравнението: Намерете функцията u \u003d u (x, c) Нека намерим общо решение: Нека намерим конкретно решение на уравнението, удовлетворяващо началните условия y \u003d 1 в x \u003d 0:

III. Диференциални уравнения от по-висок ред

3.1. Основни понятия и определения

Диференциално уравнение от втори ред е уравнение, съдържащо производни не по-високи от втория ред. В общия случай диференциално уравнение от втори ред се записва под формата: F (x, y, y ", y") \u003d 0

Общо решение на диференциално уравнение от втори ред е функция на формата, която включва две произволни константи C 1 и С 2.

Частично решение на диференциално уравнение от втори ред е решение, получено от общо за някои стойности на произволни константи C 1 и С 2.

3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти се нарича уравнение на формата y "+ py" + qy \u003d 0където стри q- постоянни стойности.

Алгоритъм за решаване на еднородни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

1. Запишете диференциалното уравнение под формата: y "+ py" + qy \u003d 0.

2. Съставете характерното му уравнение, обозначаващо y " през r 2, y " през r, ув 1: r 2 + pr + q \u003d 0

Съдържанието на статията

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ.Много физически закони, които се подчиняват на определени явления, са написани под формата на математическо уравнение, изразяващо определена връзка между някои величини. Често говорим за връзката между стойностите, които се променят във времето, например икономичността на двигателя, измерена чрез разстоянието, което автомобилът може да измине с един литър гориво, зависи от скоростта на автомобила. Съответното уравнение съдържа една или повече функции и техните производни и се нарича диференциално уравнение. (Скоростта на промяна на разстоянието във времето се определя от скоростта; следователно скоростта е производно на разстоянието; по подобен начин ускорението е производно на скоростта, тъй като ускорението определя скоростта на промяна на скоростта във времето.) От голямо значение е тази разлика уравнения за математиката и особено за нейните приложения, се обясняват с факта, че изучаването на много физически и технически проблеми се свежда до решаването на такива уравнения. Диференциалните уравнения играят съществена роля и в други науки, като биология, икономика и електротехника; всъщност те възникват навсякъде, където има нужда от количествено (числено) описание на явленията (веднага щом околният свят се промени във времето и условията се сменят от едно място на друго).

Примери.

Следващите примери дават по-добро разбиране за това как са формулирани различни проблеми на езика на диференциалните уравнения.

1) Законът за разпадането на някои радиоактивни вещества е, че скоростта на разпадане е пропорционална на наличното количество от това вещество. Ако х - количеството вещество в даден момент от времето т, тогава този закон може да бъде написан по следния начин:

където dx/dt Е степента на разпадане и к - някаква положителна константа, характеризираща даденото вещество. (Знак минус вдясно показва това х намалява с времето; знак плюс, винаги подразбиращ се, когато изрично не е посочен знак, би означавало това х се увеличава с течение на времето.)

2) Контейнерът първоначално съдържа 10 kg сол, разтворена в 100 m 3 вода. Ако в контейнера се излее чиста вода със скорост 1 m 3 в минута и се смеси равномерно с разтвора и полученият разтвор изтича от съда със същата скорост, колко сол ще има в контейнера при всяко следващо време? Ако х - количеството сол (в кг) в контейнера към момента т, след това по всяко време т 1 m 3 разтвор в контейнера съдържа х/ 100 кг сол; следователно количеството сол намалява със скорост х/ 100 кг / мин, или

3) Оставете телесната маса мокачен от края на пружината, възстановяваща сила действа пропорционално на размера на напрежението в пружината. Нека бъде х - количеството на отклонението на тялото от равновесното положение. Тогава, според втория закон на Нютон, който гласи, че ускорението (второ производно на х във времето, обозначено д 2 х/dt 2) пропорционално на силата:

Дясната страна има знак минус, защото възстановяващата сила намалява напрежението на пружината.

4) Законът за охлаждащите тела гласи, че количеството топлина в тялото намалява пропорционално на разликата в температурата между тялото и околната среда. Ако чаша кафе, загрята до температура от 90 ° C, се намира в стая с температура от 20 ° C, тогава

където т - температура на кафето във времето т.

5) Министърът на външните работи на щата Блефуску твърди, че приетата от Лилипутия програма за оръжия принуждава страната му да увеличи колкото е възможно по-големи военни разходи. Външният министър на Лилипутия също прави подобни изявления. Получената ситуация (в нейната най-проста интерпретация) може да бъде точно описана чрез две диференциални уравнения. Нека бъде х и у - разходите за въоръжаване на Лилипутия и Блефуску. Ако приемем, че Лилипутия увеличава разходите си за въоръжение със скорост, пропорционална на скоростта на нарастване на разходите за въоръжение до Blefusk, и обратно, получаваме:

където са членовете брадва и - от опишете военните разходи на всяка държава, к и л - положителни константи. (Този проблем е формулиран за първи път по този начин през 1939 г. от Л. Ричардсън.)

След като задачата е написана на езика на диференциалните уравнения, човек трябва да се опита да ги реши, т.е. намерете величините, чиито темпове на промяна са включени в уравненията. Понякога решенията се намират под формата на явни формули, но по-често е възможно да се представят само в приблизителна форма или да се получи качествена информация за тях. Често е трудно да се установи дали изобщо съществува решение, камо ли да се намери такова. Важен раздел от теорията на диференциалните уравнения съставляват така наречените „теореми за съществуването“, в които се доказва съществуването на решение за един или друг вид диференциални уравнения.

Оригиналната математическа формулировка на физически проблем обикновено съдържа опростяващи предположения; критерият за тяхната обоснованост може да бъде степента на съответствие на математическото решение с наличните наблюдения.

Решения на диференциални уравнения.

Диференциално уравнение, например ди/dx = х/у, не е число, което удовлетворява, а функция, в конкретния случай такава, че нейната графика във всяка точка, например в точка с координати (2,3), има допирателна с наклон, равен на съотношението на координати (в нашия пример 2/3). Това е лесно да се види, ако изградите голям брой точки и от всяка отделете кратък сегмент със съответния наклон. Решението ще бъде функция, чиято графика докосва всяка от нейните точки до съответния сегмент. Ако има достатъчно точки и сегменти, тогава можем грубо да очертаем хода на кривите на разтвора (три такива криви са показани на фиг. 1). Има точно една крива на решението, преминаваща през всяка точка с у № 0. Всяко отделно решение се нарича конкретно решение на диференциалното уравнение; ако е възможно да се намери формула, съдържаща всички конкретни решения (с възможно изключение на няколко специални), тогава те казват, че е получено общо решение. Конкретно решение е една функция, докато общо е цялото им семейство. Да се \u200b\u200bреши диференциално уравнение означава да се намери или неговото конкретно, или общо решение. В нашия пример общото решение има формата у 2 – х 2 = ° Скъдето ° С - произволен номер; конкретното решение, преминаващо през точката (1,1) има формата у = х и се получава, когато ° С \u003d 0; конкретното решение, преминаващо през точката (2.1), има формата у 2 – х 2 \u003d 3. Условието, което изисква кривата на решението да премине, например, през точката (2,1), се нарича начално условие (тъй като определя началната точка на кривата на решението).

Може да се покаже, че в пример (1) общото решение има формата х = ce –kt където ° С Е константа, която може да се определи, например, като се посочи количеството на веществото при т \u003d 0. Уравнението от пример (2) е частен случай на уравнението от пример (1), съответстващо на к \u003d 1/100. Първоначално състояние х \u003d 10 ат т \u003d 0 дава конкретно решение х = 10д –т/сто . Уравнението от пример (4) има общо решение т = 70 + ce –kt и частно решение 70 + 130 - kt ; за определяне на стойността к, се изискват допълнителни данни.

Диференциално уравнение ди/dx = х/у се нарича уравнение от първи ред, тъй като съдържа първото производно (редът на най-високата производна, включен в него, се счита за ред на диференциално уравнение). За повечето (макар и не всички) диференциални уравнения от първи вид, които възникват на практика, през всяка точка преминава само една крива на решението.

Има няколко важни типа диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат решени под формата на формули, съдържащи само елементарни функции - градуси, експоненциални показатели, логаритми, синуси и косинуси и т.н. Тези уравнения включват следното.

Разделими уравнения.

Уравнения на формата ди/dx = е(х)/ж(у) може да бъде решен чрез записване в диференциали ж(у)ди = е(х)dx и интегриране на двете части. В най-лошия случай решението може да бъде представено като интеграли на известни функции. Например в случая на уравнението ди/dx = х/у ние имаме е(х) = х, ж(у) = у... Записвайки го като ydy = xdx и интегриране, получаваме у 2 = х 2 + ° С... Уравненията с разделими променливи включват уравнения от примери (1), (2), (4) (те могат да бъдат решени, както е описано по-горе).

Уравнения в общи диференциали.

Ако диференциалното уравнение има формата ди/dx = М(х,у)/н(х,у), където М и н - две зададени функции, тогава тя може да бъде представена като М(х,у)dx – н(х,у)ди \u003d 0. Ако лявата страна е диференциалът на някаква функция F(х,у), тогава диференциалното уравнение може да бъде записано като dF(х,у) \u003d 0, което е еквивалентно на уравнението F(х,у) \u003d const. По този начин кривите на решението на уравнението са "линиите на постоянни нива" на функцията или геометричните места на точките, удовлетворяващи уравненията F(х,у) = ° С... Уравнението ydy = xdx (Фиг. 1) - с разделими променливи, а също така е в общи диференциали: за да се убедим в последното, го записваме във формата ydy – xdx \u003d 0, т.е. д(у 2 – х 2) \u003d 0. Функция F(х,у) в този случай е равно на (1/2) ( у 2 – х 2); някои от линиите му с постоянно ниво са показани на фиг. един.

Линейни уравнения.

Линейните уравнения са уравнения от първа степен - неизвестна функция и нейните производни влизат в такива уравнения само до първата степен. По този начин линейното диференциално уравнение от първи ред има формата ди/dx + стр(х) = q(х), където стр(х) и q(х) Функциите зависят ли само от х... Неговото решение винаги може да бъде написано с помощта на интеграли от известни функции. Много други видове диференциални уравнения от първи ред се решават с помощта на специални техники.

Уравнения от по-висок ред.

Много диференциални уравнения, пред които са изправени физиците, са уравнения от втори ред (т.е. уравнения, съдържащи втори производни) Такова е например уравнението на простото хармонично движение от пример (3), md 2 х/dt 2 = –kx... Най-общо казано, може да се очаква, че уравнението от втори ред има конкретни решения, отговарящи на две условия; например, можете да изискате кривата на решението да премине през дадена точка в дадена посока. В случаите, когато диференциалното уравнение съдържа определен параметър (число, чиято стойност зависи от обстоятелствата), решения от необходимия тип съществуват само за определени стойности на този параметър. Например, помислете за уравнението md 2 х/dt 2 = –kx и изискват това у(0) = у(1) \u003d 0. Функция у е 0 със сигурност е решение, но ако е цяло число, кратно на стр, т.е. к = м 2 н 2 стр2, където н - цяло число, но в действителност само в този случай има и други решения, а именно: у \u003d грях npx... Стойностите на параметъра, при които уравнението има специални решения, се наричат \u200b\u200bхарактеристика или собствени стойности; те играят важна роля в много задачи.

Уравнението на простото хармонично движение служи като пример за важен клас уравнения, а именно линейни диференциални уравнения с постоянни коефициенти. По-общ пример (също от втори ред) е уравнението

където а и б - дадени константи, е(х) Дадена функция ли е. Такива уравнения могат да бъдат решени по различни начини, например с помощта на интегралната трансформация на Лаплас. Същото може да се каже и за линейни уравнения от по-високи порядъци с постоянни коефициенти. Линейните уравнения с променливи коефициенти също играят важна роля.

Нелинейни диференциални уравнения.

Уравнения, съдържащи неизвестни функции и техните производни до степен, по-висока от първата или по някакъв по-сложен начин, се наричат \u200b\u200bнелинейни. През последните години те привличат все повече и повече внимание. Въпросът е, че физическите уравнения обикновено са линейни само в първото приближение; по-нататъшните и по-точни изследвания, като правило, изискват използването на нелинейни уравнения. Освен това много проблеми имат нелинеен характер. Тъй като решенията на нелинейните уравнения често са много сложни и трудни за представяне с прости формули, значителна част от съвременната теория е посветена на качествения анализ на тяхното поведение, т.е. разработването на методи, които позволяват, без да се решава уравнението, да се каже нещо съществено за същността на решенията като цяло: например, че всички те са ограничени, или имат периодичен характер, или по определен начин зависят от коефициентите .

Приблизителни решения на диференциални уравнения могат да бъдат намерени числено, но това отнема много време. С появата на високоскоростните компютри това време беше значително намалено, което отвори нови възможности за числено решаване на много проблеми, които преди това не се поддаваха на такова решение.

Теореми за съществуване.

Теорема за съществуване е теорема, която гласи, че при определени условия дадено диференциално уравнение има решение. Има диференциални уравнения, които нямат решения или имат повече от очакваното. Целта на теоремата за съществуването е да ни убеди, че дадено уравнение наистина има решение и най-често да гарантира, че има точно едно решение от необходимия тип. Например уравнението, което вече срещнахме ди/dx = –2у има точно едно решение, преминаващо през всяка точка на равнината ( х,у) и тъй като вече намерихме едно такова решение, решихме напълно това уравнение. От друга страна, уравнението ( ди/dx) 2 = 1 – у 2 има много решения. Сред тях са директни у = 1, у \u003d –1 и криви у \u003d грях ( х + ° С). Решението може да се състои от няколко сегмента от тези прави линии и криви, преминаващи един в друг в точките на допир (Фиг. 2).

Частични диференциални уравнения.

Обикновено диференциално уравнение е някакво твърдение за производната на неизвестна функция на една променлива. Частичното диференциално уравнение съдържа функция от две или повече променливи и производни на тази функция по отношение на поне две различни променливи.

Във физиката примери за такива уравнения са уравненията на Лаплас

Х, у) вътре в кръга, ако стойностите u са посочени във всяка точка на ограничителния кръг. Тъй като проблемите с повече от една променлива във физиката са по-скоро правило, отколкото изключение, лесно е да си представим колко обширен е предметът на PDE теорията.

Този онлайн калкулатор ви позволява да решавате диференциални уравнения онлайн. Достатъчно е да въведете вашето уравнение в съответното поле, като обозначите „производната на функцията" с апостроф и да кликнете върху бутона „решаване на уравнението". И системата, внедрена на базата на популярния уебсайт WolframAlpha, ще даде подробна решение на диференциално уравнение абсолютно безплатно. Можете също така да зададете проблема на Коши, за да изберете коефициент, съответстващ на дадените начални условия от целия набор от възможни решения. Проблемът на Коши е въведен в отделно поле.

Диференциално уравнение

Функцията по подразбиране в уравнението е у е функция на променлива х... Можете обаче да зададете свое собствено обозначение на променлива, ако напишете, например, y (t) в уравнението, тогава калкулаторът автоматично ще разпознае това у има функция на променлива т... С калкулатор можете решаване на диференциални уравнения от всякаква сложност и тип: хомогенни и нехомогенни, линейни или нелинейни, първи или втори и по-високи порядки, уравнения с разделими или неразделни променливи и др. Диференциално решение уравнението е дадено в аналитична форма, има подробно описание. Диференциалните уравнения са много често срещани във физиката и математиката. Без изчисляването им е невъзможно да се решат много задачи (особено в математическата физика).

Един от етапите на решаване на диференциални уравнения е интегрирането на функции. Има стандартни методи за решаване на диференциални уравнения. Необходимо е уравненията да се приведат във формата с разделими променливи y и x и отделно да се интегрират разделените функции. За да направите това, понякога трябва да се извърши определена подмяна.