В една от предишните статии вече споменахме степента на брой. Днес ще се опитаме да се ориентираме в процеса на намиране на неговото значение. От научна гледна точка ще измислим как правилно да се издигнем до степен. Ще разберем как се извършва този процес, едновременно с това ще засегнем всички възможни показатели за степента: естествена, ирационална, рационална, цялостна.

Така че нека разгледаме по-отблизо решенията на примерите и да разберем какво означава това:

1. Определение на понятието.
2. Издигане до отрицателно изкуство.
3. Целият индикатор.
4. Набиране на номер в ирационална степен.

Ето дефиниция, която точно отразява значението: „Увеличението е дефиницията на значението на степента на число“.

Съответно повишаването на числото а до чл. r и процесът на намиране на стойността на степента a с степен r е еднакви понятия. Например, ако задачата е да се изчисли стойността на мощността (0,6) 6 ″, то тя може да бъде опростена до израза „Повишаване на числото 0,6 до степен 6“.

След това можете да продължите директно към строителните правила.

Отрицателна степенуване

За по-голяма яснота трябва да обърнете внимание на следната верига от изрази:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 в минус 1 ст.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 на минус 2 стъпки.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 минус 3 ст.,

110000 \u003d 0,00001 \u003d 1 * 10 при минус 4 градуса.

Благодарение на тези примери можете ясно да видите способността незабавно да изчислите 10 до всяка минусова мощност. За тази цел е доста бавно да измествате десетичния компонент:

• 10 до -1 градуса - преди единица 1 нула;
• при -3 - три нули преди една;
• в -9 е 9 нули и така нататък.

По тази схема е също толкова лесно да се разбере колко ще бъде 10 до минус 5 супени лъжици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как да съберем естествено число

Припомняйки дефиницията, ние вземаме предвид, че естественото число а в чл. n е равно на произведението на n фактори, всеки от които е равно на a. Нека илюстрираме: (a * a * ... a) n, където n е броят на числата, които се умножават. Съответно, за да се повиши a до n, е необходимо да се изчисли произведението в следната форма: a * a * ... и да се раздели на n пъти.

От това става очевидно, че ерекция в естественото изкуство. разчита на способността да се размножава (Този материал е разгледан в раздела за умножаване на реални числа). Нека да разгледаме проблема:

Издигнете -2 на 4-ти ст.

Имаме работа с естествен показател. Съответно ходът на решението ще бъде следният: (-2) в чл. 4 \u003d (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Сега остава само да се извърши умножението на цели числа: (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2). Получаваме 16.

Отговор на проблема:

(-2) в чл. 4 \u003d 16.

Пример:

Изчислете стойността: три точки две седем на квадрат.

Този пример е равно на следния продукт: цели три две седми, умножени по цели три две седми. Спомняйки си как се извършва умножението на смесени числа, завършваме конструкцията:

• 3 точки 2 7s се умножават сами по себе си;
• равно на 23 седмо по 23 седмо;
• равен на 529 четиридесет и девети;
• съкращаваме и получаваме 10 тридесет и девет четиридесет и девет.

Отговор: 10 39/49

По отношение на въпроса за повишаване до ирационален показател, трябва да се отбележи, че изчисленията започват да се извършват след приключване на предварителното закръгляване на основата на степента до всяка категория, която би позволила получаването на стойността с дадена точност. Например, трябва да изведем на квадрат числото P (pi).

Започваме с закръгляване на P до стотни и получаваме:

P на квадрат \u003d (3.14) 2 \u003d 9.8596. Ако обаче намалим P до десет хилядни, ще получим P \u003d 3.14159. Тогава квадратурата получава съвсем различно число: 9.8695877281.

Тук трябва да се отбележи, че при много проблеми няма нужда да се издигат ирационални числа до степен. По правило отговорът се записва или под формата на степен, например корен от 6 в степен 3, или, ако изразът позволява, се извършва неговото преобразуване: коренът от 5 в 7 степен \u003d 125 корен от 5.

Как да вдигнем число до цяла степен

Тази алгебрична манипулация е подходяща вземете предвид следните случаи:

• за цели числа;
• за нулев индикатор;
• за цял положителен показател.

Тъй като практически всички положителни цели числа съвпадат с масата на естествените числа, тогава настройването на положително цяло число е същият процес като задаването в чл. естествен. Ние описахме този процес в предишния параграф.

Сега нека поговорим за изчисляване на чл. нула. Вече разбрахме по-горе, че нулевата степен на числото a може да бъде определена за всеки ненулев a (реален), докато a в чл. 0 ще бъде равно на 1.

Съответно, повишаването на всяко реално число до нула Чл. ще даде един.

Например 10 в ст. 0 \u003d 1, (-3,65) 0 \u003d 1 и 0 в ст. 0 не може да бъде определено.

За да завършим повишаването до цяла степен, остава да вземем решение за опциите за целочислени отрицателни стойности. Помним, че чл. от с целочислена експонента -z ще бъде дефинирана като дроб. Знаменателят на фракцията е ст. с положително цяло число, чиято стойност вече сме се научили да намираме. Сега остава само да разгледаме пример за строителство.

Пример:

Изчислете стойността на число 2 в куб с цяло число отрицателен показател.

Процес на решение:

Според определението за степен с отрицателен показател обозначаваме: две в минус 3 с.л. е равно на едно до две в третата степен.

Знаменателят се изчислява просто: два куба;

3 = 2*2*2=8.

Отговор: две в минус 3 супени лъжици. \u003d една осма.

В рамките на този материал ще анализираме каква е степента на числото. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какви са градусите с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примери за задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо, ние формулираме основна дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Нека изясним предварително, че засега ще вземем реално число като основа (обозначим го с буквата а), а като индикатор - естествено число (обозначим го с буквата n).

Определение 1

Степента на числото a с естествен показател n е произведение на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на числото a. Степента е написана по следния начин: a n, и под формата на формула, нейният състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако степента е 1, а основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1... Като се има предвид, че a е стойността на множителя, а 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 \u003d a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за писане на голям брой равни фактори. И така, въвеждане на формуляра 8 8 8 8 може да се намали до 8 4 ... По приблизително същия начин едно парче ни помага да избягваме писането голям брой условия (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4); ние вече анализирахме това в статията за умножение естествени числа.

Как да прочета правилно записа на степента? Общоприетата опция е "a до степен n". Или можете да кажете "n-та степен на" или "n-та степен". Ако, да речем, примерът съдържа записа 8 12 , можем да прочетем „8 до 12-та степен“, „8 до 12-та степен“ или „12-та степен до 8-ма“.

Втората и третата степен на числото имат своите добре установени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадратът на числото 7“. По същия начин третата степен се чете по следния начин: 5 3 Е "куб с номер 5" или "5 в куб". Възможно е обаче да се използва и стандартната формулировка „във втора / трета степен“, това няма да е грешка.

Пример 1

Нека разгледаме пример за степен с естествен показател: за 5 7 пет ще бъде основата, а седем - индикаторът.

Базата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата е фракцията 4, 32, а степента е девет. Обърнете внимание на скобите: такъв запис се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 и − 2 3 ... Първият означава отрицателно число минус две, повишен до естествен експонентен три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на мощността 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на степента на числото - a ^ n (където a е основата, а n е степента). Тоест 4 ^ 9 е същото като 4 9 ... Ако n е многоцифрено число, то се затваря в скоби. Например 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Но ние ще използваме обозначението a nкато по-често срещани.

Лесно е да се досетите как да изчислите стойността на градуса с естествен показател от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти брой пъти. Повече за това писахме в друга статия.

Понятието степен е противоположно на друго математическо понятие - коренът на число. Ако знаем стойността на степента и степента, можем да изчислим нейната основа. Степента има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблемите, които сме обсъждали в отделен материал.

В експонентите могат да устоят не само естествени числа, но като цяло всякакви целочислени стойности, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към множеството от цели числа.

Определение 2

Степента на число с положително цяло число може да се покаже като формула: .

Освен това n е всяко положително цяло число.

Нека да се занимаем с понятието нулева степен. За целта използваме подход, който отчита свойството на коефициента за градуси с равни бази. Той е формулиран по следния начин:

Определение 3

Равенство a m: a n \u003d a m - n ще бъде вярно при условията: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, тъй като избягва делението на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

Но в същото време a n: a n \u003d 1 е коефициентът равни числа a n и а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не се отнася за нула до нула степен. За това се нуждаем от друго свойство на градусите - свойството на произведения от градуси с еднакви основи. Изглежда така: a m a n \u003d a m + n .

Ако имаме n, равно на 0, тогава a m a 0 \u003d a m (това равенство също ни доказва, че a 0 \u003d 1). Но ако a е и нула, нашето равенство приема формата 0 m 0 0 \u003d 0 m, Това ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква точно е стойността на степента 0 0 , тоест тя може да бъде равна на произволно число и това няма да повлияе на верността на равенството. Следователно обозначението е 0 0 няма специално значение и няма да му го приписваме.

При желание е лесно да се провери това a 0 \u003d 1 се сближава със свойството степен (a m) n \u003d a m n при условие, че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица.

Пример 2

Нека разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, и стойността 0 0 неопределено.

След нулевата степен остава да разберем каква е отрицателната степен. За целта ни трябва същото свойство на произведението на градуси с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n \u003d a m + n.

Нека въведем условието: m \u003d - n, тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Оказва се, че a n и a - n имаме взаимно обратни числа.

В резултат на това целочислената отрицателна степен не е нищо друго освен дроб 1 a n.

Тази формулировка потвърждава, че за степен с целочислен отрицателен експонентен коефициент всички същите свойства са валидни като степен с естествен експонентен показател (при условие, че основата не е нула).

Пример 3

Степента на a с отрицателно цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n. По този начин a - n \u003d 1 a n при условието a ≠ 0 и n е всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата мисъл с конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко казано ясно в една формула:

Определение 4

Степента на числото a с естествен показател z е: az \u003d az, e с l и z - цяло число положително 1, z \u003d 0 и a ≠ 0, (за и z \u003d 0 и a \u003d 0, получаваме 0 0, стойностите на степенуването са 0 0, а не ОПРЕДЕЛЕНИЯ) 1 az, ако и z е цяло число и a ≠ 0 (ако z е цяло число и a \u003d 0 дава 0 z, его z n в n e n n d e d e n t)

Кои са рационалните степенни степени

Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Можете обаче да увеличите число до степен, когато в степента му има дробно число. Това се нарича степен c рационален показател... В този подраздел ще докажем, че той има същите свойства като другите степени.

Кои са рационалните числа? Комплектът им включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробна степенна степен m / n, където n е естествено число и m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробна експонента a m n. За да бъде изпълнено свойството степен на степен, трябва да е вярно равенството a m n n \u003d a m n n \u003d a m.

Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n \u003d a m, можем да приемем условието a m n \u003d a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степен с цяло число експонента ще бъдат правилни при условие, че m n \u003d a m n.

Основното заключение от нашите разсъждения е следното: степента на някакво число a с дробна степенна степен m / n е n-тият корен от числото a към степента на m. Това е вярно, ако за дадените стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: вземете a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но тази степен не е определена). В този случай дефиницията на степен с частичен показател ще изглежда така:

Степента с дробна степенна степен m / n за някакво положително число a е n-тият корен от повдигнато до степен m. Под формата на формула това може да бъде представено по следния начин:

За степен с нулева основа тази позиция също е подходяща, но само ако нейният експонентен показател е положително число.

Градус с базова нула и частично положителен m / n показател може да бъде изразен като

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 при условие на положително цяло число m и естествено n.

С отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието, че a е по-голямо или равно на нула, тогава отпаднахме някои случаи.

Изразът a m n понякога има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. И така, записите (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 са правилни, при които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни експоненти. Тогава трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има отменяема обикновена фракция, се счита за степента на a, в степента на която има съответната неприводима част. По-късно ще обясним защо се нуждаем от това състояние и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m k n k, тогава можем да го намалим до m m и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно и m е положително, a е всяко неотрицателно число, тогава m n има смисъл. Условието за неотрицателно а е необходимо, тъй като не се извлича четен корен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде отрицателна или нулева, тъй като нечетен корен може да бъде извлечен от всяко реално число.

Нека комбинираме всички данни по-горе дефиниция в един запис:

Тук m / n означава неприводима дроб, m е всяко цяло число и n е всяко естествено число.

Определение 5

За всяка обикновена отменяема фракция m · k n · k, степента може да бъде заменена с m n.

Степента на число с неприводим дробен показател m / n - може да бъде изразена като m n в следните случаи: - за всяко реално a, цели числа положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

За всяко ненулево реално a, отрицателно цяло число m и нечетно n, например 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, положително цяло число m и четно n, например 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

За всяко положително а, цяло число отрицателно m и четно n, например 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.

За други стойности дробният експонент не е дефиниран. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на споменатото по-горе условие: защо да заменим фракцията с отменяем експонент с дроб с неприводима. Ако не направихме това, щяхме да получим такива ситуации, да речем, 6/10 \u003d 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, но - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 и (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

Дефиницията на степента с дробна степенна степен, която дадохме първата, е по-удобна за използване на практика от втората, така че ще продължим да я използваме.

Определение 6

По този начин степента на положителното число a с дробна степенна степен m / n се определя като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. В случай на отрицателно а обозначението a m n е безсмислено. Мощност на нула за положителни дробни експоненти м / н се дефинира като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, за отрицателни дробни експоненти не определяме степента на нула.

В заключенията отбелязваме, че всеки дробен индикатор може да бъде записан както във формата смесен номер, и във формата десетична дроб: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

При изчисляването е по-добре да замените степента с обикновена дроб и след това да използвате дефиницията на степен с дробна степен. За примерите по-горе получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват градусите с ирационален и валиден показател

Кои са реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да определим степени с рационални и ирационални показатели. По-горе вече споменахме рационалните. Нека да се справим с ирационалните показатели стъпка по стъпка.

Пример 5

Да предположим, че имаме ирационално число a и поредица от неговите десетични приближения a 0, a 1, a 2 ,. ... ... ... Да вземем например стойността a \u003d 1.67175331. ... ... тогава

a 0 \u003d 1,6, a 1 \u003d 1,67, a 2 \u003d 1,671 ,. ... ... , a 0 \u003d 1,67, a 1 \u003d 1,6717, a 2 \u003d 1,671753 ,. ... ...

Можем да свържем последователност от апроксимации с поредица от степени a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... ... Ако си спомняте какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационална степен, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Вземете например a \u003d 3, тогава a a 0 \u003d 31,67, a a 1 \u003d 31,6717, a a 2 \u003d 31,671753 ,. ... ... и т.н.

Последователността на градусите може да бъде намалена до число, което ще бъде стойността на градуса с основа a и ирационален показател a. В резултат на това: степен с ирационален показател като 3 1, 67175331. ... може да се намали до числото 6, 27.

Определение 7

Степента на положителното число a с ирационален показател a се записва като a. Стойността му е границата на последователността a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , където a 0, a 1, a 2 ,. ... ... са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степента с нулева база може да се определи и за положителни ирационални показатели, докато 0 a \u003d 0 So, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. А за отрицателните това не може да се направи, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единица, издигната до каквато и да е ирационална сила, остава единица, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Една от основните характеристики на алгебрата и на цялата математика е степента. Разбира се, през 21 век всички изчисления могат да се извършват на онлайн калкулатор, но е по-добре за развитието на мозъка да се научите как да го направите сами.

В тази статия ще разгледаме най-важните въпроси относно това определение. А именно, ще разберем какво е това като цяло и какви са основните му функции, какви свойства има в математиката.

Нека да разгледаме примери за това как изглежда изчислението, кои са основните формули. Нека разгледаме основните видове величини и как те се различават от другите функции.

Нека разберем как да решим различни проблеми, използвайки тази стойност. Нека да покажем с примери как да се повиши до нула мощност, ирационална, отрицателна и т.н.

Калкулатор за степенуване онлайн

Каква е степента на число

Какво се разбира под израза „повишаване на число до степен“?

Степента n на числото a е произведение от фактори на стойност n пъти подред.

Математически изглежда така:

a n \u003d a * a * a * ... a n.

Например:

• 2 3 \u003d 2 в третата стъпка. \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 8;
• 4 2 \u003d 4 на стъпка. две \u003d 4 * 4 \u003d 16;
• 5 4 \u003d 5 на стъпка. четири \u003d 5 * 5 * 5 * 5 \u003d 625;
• 10 5 \u003d 10 на 5 стъпки. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 100000;
• 10 4 \u003d 10 на 4 стъпки. \u003d 10 * 10 * 10 * 10 \u003d 10000.

По-долу ще има таблица на квадрати и кубчета от 1 до 10.

Класификация от 1 до 10

По-долу ще бъдат дадени резултатите от повишаването на естествените числа до положителни степени - "от 1 до 100".

Мощни свойства

Какво е характерно за такава математическа функция? Нека разгледаме основните свойства.

Учените са установили следното признаци, характерни за всички степени:

• a n * a m \u003d (a) (n + m);
• a n: a m \u003d (a) (n-m);
• (a b) m \u003d (a) (b * m).

Нека проверим с примери:

2 3 * 2 2 \u003d 8 * 4 \u003d 32. От друга страна 2 5 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32.

По същия начин: 2 3: 2 2 \u003d 8/4 \u003d 2. В противен случай 2 3 - 2 \u003d 2 1 \u003d 2.

(2 3) 2 \u003d 8 2 \u003d 64. И ако е различно? 2 6 \u003d 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 \u003d 32 * 2 \u003d 64.

Както виждате, правилата работят.

Но какво ще кажете за това с добавяне и изваждане? Просто е. Първо се извършва степенуване и едва след това събиране и изваждане.

Нека да видим няколко примера:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 \u003d 25 - 9 \u003d 16. Забележка: правилото няма да бъде изпълнено, ако първо извадите: (5 - 3) 2 \u003d 2 2 \u003d 4.

Но в този случай първо трябва да изчислите добавянето, тъй като има действия в скоби: (5 + 3) 3 \u003d 8 3 \u003d 512.

Как се произвежда изчисления в повече трудни случаи ? Процедурата е същата:

• ако има скоби - трябва да започнете с тях;
• след това степенуване;
• след това изпълнете действията на умножение, деление;
• след събиране, изваждане.

Има специфични свойства, които не са характерни за всички степени:

1. N-тият корен от числото a към степента m ще бъде записано като: a m / n.
2. Когато повдигате дроб в степен: както числителят, така и неговият знаменател са обект на тази процедура.
3. При издигане на произведение различни числа на степен, изразът ще съответства произведението на тези числа на определената степен. Това е: (a * b) n \u003d a n * b n.
4. Когато повдигате число до отрицателна стъпка., Трябва да разделите 1 на число в същия st-no, но със знак "+".
5. Ако знаменателят на фракцията е в отрицателна степен, тогава този израз ще бъде равен на произведението на числителя и знаменателя в положителната степен.
6. Всяко число в степен 0 \u003d 1 и стъпка. 1 \u003d към себе си.

Тези правила са важни в отделни случаи, те ще бъдат разгледани по-подробно по-долу.

Степен с отрицателна експонента

Какво да правим, когато степента е минус, т.е. когато степента е отрицателна?

Въз основа на свойства 4 и 5 (виж точка по-горе), оказа се:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

И обратно:

1 / A (- n) \u003d A n, 1/2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

И ако дроб?

(A / B) (- n) \u003d (B / A) n, (3/5) (-2) \u003d (5/3) 2 \u003d 25/9.

Степен с естествен показател

Под него се разбира степен с показатели, равни на цели числа.

Неща, които трябва да запомните:

A 0 \u003d 1, 1 0 \u003d 1; 2 0 \u003d 1; 3,15 0 \u003d 1; (-4) 0 \u003d 1 ... и т.н.

A 1 \u003d A, 1 1 \u003d 1; 2 1 \u003d 2; 3 1 \u003d 3 ... и т.н.

Освен това, ако (-a) 2 n +2, n \u003d 0, 1, 2 ... тогава резултатът ще бъде със знак "+". Ако отрицателно число се повиши до нечетна степен, тогава обратно.

Общите свойства и всички описани по-горе специфични характеристики също са характерни за тях.

Дробна степен

Този изглед може да бъде записан по схемата: A m / n. То се чете като: n-ти корен от числото A към степента m.

Можете да правите каквото искате с дробна степенна степен: съкращавате, разлагате, повдигате в различна степен и т.н.

Нерационална оценка

Нека α е ирационално число и A ˃ 0.

За да разберете същността на степента с такъв показател, разгледайте различни възможни случаи:

• A \u003d 1. Резултатът ще бъде равен на 1. Тъй като има аксиома - 1 във всички степени е равна на една;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - рационални числа;

• 0˂А˂1.

В този случай, напротив: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при същите условия, както във втория параграф.

Например, степента е π. Рационално е.

r 1 - в този случай е равно на 3;

r 2 - ще бъде равно на 4.

Тогава за A \u003d 1, 1 π \u003d 1.

A \u003d 2, след това 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А \u003d 1/2, тогава (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

За такива степени всички математически операции и специфичните свойства, описани по-горе.

Заключение

Нека обобщим - за какво са тези стойности, какво е предимството на такива функции? Разбира се, на първо място, те опростяват живота на математиците и програмистите при решаването на примери, тъй като ви позволяват да сведете до минимум изчисленията, да намалите алгоритмите, да систематизирате данните и много други.

Къде другаде могат да бъдат полезни тези знания? По всяко работна специалност: медицина, фармакология, стоматология, строителство, инженеринг, инженеринг, дизайн и др.

Формули за мощност се използват в процеса на намаляване и опростяване на сложни изрази, при решаване на уравнения и неравенства.

Брой ° С е н-та степен на числото а кога:

Операции със степени.

1. Умножавайки градусите с една и съща основа, техните показатели се събират:

a mA n \u003d a m + n.

2. При разделянето на градусите със същата основа се изваждат показателите им:

3. Степента на произведението на 2 или повече фактора е равна на произведението на степента на тези фактори:

(abc ...) n \u003d a n b n c n ...

4. Степента на дроб е равна на съотношението на степента на дивидента и делителя:

(a / b) n \u003d a n / b n.

5. Вдигайки степен до степен, експонентите се умножават:

(a m) n \u003d a m n.

Всяка от горните формули е вярна отляво надясно и обратно.

например. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

Коренни операции.

1. Коренът на произведението от няколко фактора е равен на произведението на корените на тези фактори:

2. Коренът на връзката е равен на съотношението на дивидента и делителя на корените:

3. Когато повдигате корен до степен, достатъчно е да издигнете корен до тази степен:

4. Ако увеличите степента на корена в н веднъж и в същото време вграждане н-та степен на коренното число, тогава кореновата стойност няма да се промени:

5. Ако намалите степента на корена в н веднъж и в същото време извлечете корена н-та степен на радикалното число, тогава стойността на корена няма да се промени:

Степен с отрицателна експонента.Степента на число с неположителна (цяла) степенна степен се дефинира като единица, разделена на степента на същото число с степен, равна на абсолютна стойност неположителен показател:

Формула a m: a n \u003d a m - n може да се използва не само за м> н , но също и при м< н.

например. а 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

Така че формулата a m: a n \u003d a m - n стана справедлив, когато m \u003d n, е необходимо наличието на нулева степен.

Нулев клас.Степента на всяко ненулево число с нулев степен е равна на единица.

например. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Дробен експонент.За издигане на реално число и до степента м / н, трябва да извлечете корена н-та степен на м-та степен на това число и.

Продължавайки разговора за степента на число, логично е да разберем как да намерим стойността на степента. Този процес се нарича степенуване... В тази статия просто ще проучим как се извършва степенуване, като същевременно се докоснем до всички възможни експоненти - естествени, цели, рационални и ирационални. И според традицията ще разгледаме подробно решенията на примери за издигане на числа до различни степени.

Навигация по страници.

Какво означава степенуване?

Трябва да започнете с обяснение на това, което се нарича степенуване. Ето подходящото определение.

Определение.

Степенуване - това е намирането на стойността на степента на числото.

По този начин намирането на стойността на степента на число a с степен r и издигане на числото a до степен r са едно и също нещо. Например, ако проблемът е „изчислете стойността на степента (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 до степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуване.

Повишаване на число до естествена степен

На практика равенството на основата обикновено се прилага във формата. Тоест при повишаване на числото a до дробна степен m / n първо се извлича n-тият корен от числото a, след което резултатът се повишава до цяло число степен m.

Нека разгледаме решения на примери за повишаване до дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на мощността.

Решение.

Нека покажем два начина за решаването му.

Първият начин. По дефиниция, частичен експонент. Изчисляваме стойността на градуса под коренния знак, след което извличаме кубичен корен: .

Втори начин. По дефиницията на степен с дробна степенна степен и въз основа на свойствата на корените, равенствата са верни ... Сега извличаме корена накрая, вдигнете до цяла степен .

Очевидно получените резултати от повишаване до дробна степен съвпадат.

Отговор:

Имайте предвид, че дробна степенна степен може да бъде записана под формата на десетична дроб или смесено число, в тези случаи тя трябва да бъде заменена със съответната обикновена дроб, след което се извършва степенуването.

Пример.

Изчислете (44.89) 2.5.

Решение.

Нека напишем степента във формата обща фракция (вижте статията, ако е необходимо): ... Сега извършваме дробно степенуване:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е достатъчно трудоемък процес (особено когато има достатъчно големи числа в числителя и знаменателя на дробния показател), което обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.

В заключение на тази точка нека се спрем на издигането на числото нула до дробна степен. Ние придадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: защото, имаме , и при нула до степента на m / n е неопределено. Нулата в частично положителна степен е нула, например, ... И нулата в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изрази и 0 -4,3 нямат смисъл.

Нерационално степенуване

Понякога става необходимо да се установи стойността на степента на число с ирационален степен. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на степента, точна до определен знак. Веднага отбелязваме, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронни компютри, тъй като ръчното повишаване до ирационална мощност изисква много тромави изчисления. Но все пак ще опишем най-общо същността на действията.

За да се получи приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален степен. Колкото по-точна е десетичната апроксимация на числото първоначално, толкова по-точна ще бъде стойността на степента в резултат.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на мощността от 2 1,174367 .... Нека вземем следното десетично приближение ирационален показател:. Сега повдигаме 2 до рационалната степен на 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 ... Ако вземем например по-точно десетично приближение на ирационален показател, тогава ще получим по-точна стойност на оригиналния експонент: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Списък с референции.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математикаЖ за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клас образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клас. образователни институции.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П. и др. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10 - 11 клас на образователни институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (ръководство за кандидати в техникуми).