Различни действия с фракции можете например да добавяте фракции. Добавянето на фракции може да бъде разделено на няколко вида. Всеки вид добавяне на дроби има свои собствени правила и алгоритъм на действията. Нека разгледаме подробно всеки вид добавяне.

Добавяне на дроби със същия знаменател.

Използвайки пример, нека видим как да добавяме дроби с общ знаменател.

Туристите тръгнаха на поход от точка А до точка Е. Първия ден те преминаха от точка А до Б или \\ (\\ frac (1) (5) \\) от целия път. На втория ден те вървяха от точка Б до Г или \\ (\\ frac (2) (5) \\) по целия път. Колко далеч са стигнали от началото на пътя до точка D?

За да намерите разстоянието от точка А до точка D, добавете дроби \\ (\\ frac (1) (5) + \\ frac (2) (5) \\).

Добавяне на дроби с същите знаменатели е, че трябва да добавите числителите на тези дроби и знаменателят ще остане същият.

\\ (\\ frac (1) (5) + \\ frac (2) (5) \u003d \\ frac (1 + 2) (5) \u003d \\ frac (3) (5) \\)

IN буквална форма сумата на фракциите със същите знаменатели ще изглежда така:

\\ (\\ bf \\ frac (a) (c) + \\ frac (b) (c) \u003d \\ frac (a + b) (c) \\)

Отговор: туристите са преминали \\ (\\ frac (3) (5) \\) докрай.

Добавяне на дроби с различни знаменатели.

Нека разгледаме пример:

Добавете две фракции \\ (\\ frac (3) (4) \\) и \\ (\\ frac (2) (7) \\).

За да добавите дроби с различни знаменатели, първо трябва да намеритеи след това използвайте правилото за добавяне на дроби със същите знаменатели.

За знаменателите 4 и 7 общият знаменател е 28. Първата дроб \\ (\\ frac (3) (4) \\) трябва да се умножи по 7. Втората дроб \\ (\\ frac (2) (7) \\) трябва да бъде умножено по 4.

\\ (\\ frac (3) (4) + \\ frac (2) (7) \u003d \\ frac (3 \\ пъти \\ цвят (червен) (7) + 2 \\ пъти \\ цвят (червен) (4)) (4 \\ пъти \\ цвят (червен) (7)) \u003d \\ frac (21 + 8) (28) \u003d \\ frac (29) (28) \u003d 1 \\ frac (1) (28) \\)

В буквална форма получаваме следната формула:

\\ (\\ bf \\ frac (a) (b) + \\ frac (c) (d) \u003d \\ frac (a \\ пъти d + c \\ пъти b) (b \\ пъти d) \\)

Добавяне на смесени числа или смесени дроби.

Събирането става съгласно закона за събиране.

За смесени фракции добавете цели части с цели части и дробни части с частични части.

Ако дробни части смесени числа имат едни и същи знаменатели, след това добавяме числителите и знаменателят остава същият.

Добавете смесените числа \\ (3 \\ frac (6) (11) \\) и \\ (1 \\ frac (3) (11) \\).

\\ (3 \\ frac (6) (11) + 1 \\ frac (3) (11) \u003d (\\ цвят (червен) (3) + \\ цвят (син) (\\ frac (6) (11))) + ( \\ цвят (червен) (1) + \\ цвят (син) (\\ frac (3) (11))) \u003d (\\ цвят (червен) (3) + \\ цвят (червен) (1)) + (\\ цвят ( син) (\\ frac (6) (11)) + \\ color (син) (\\ frac (3) (11))) \u003d \\ цвят (червен) (4) + (\\ цвят (син) (\\ frac (6 + 3) (11))) \u003d \\ цвят (червен) (4) + \\ цвят (син) (\\ frac (9) (11)) \u003d \\ цвят (червен) (4) \\ цвят (син) (\\ frac (9) (11)) \\)

Ако дробните части на смесените числа имат различни знаменатели, тогава намираме общ знаменател.

Добавете смесените числа \\ (7 \\ frac (1) (8) \\) и \\ (2 \\ frac (1) (6) \\).

Знаменателят е различен, така че трябва да намерите общ знаменател, той е равен на 24. Умножете първата дроб \\ (7 \\ frac (1) (8) \\) по допълнителния коефициент 3 и втората дроб \\ (2 \\ frac (1) (6) \\) с 4.

\\ (7 \\ frac (1) (8) + 2 \\ frac (1) (6) \u003d 7 \\ frac (1 \\ пъти \\ цвят (червен) (3)) (8 \\ пъти \\ цвят (червен) (3) ) \u003d 2 \\ frac (1 \\ пъти \\ цвят (червен) (4)) (6 \\ пъти \\ цвят (червен) (4)) \u003d 7 \\ frac (3) (24) + 2 \\ frac (4) (24 ) \u003d 9 \\ frac (7) (24) \\)

Въпроси по темата:
Как да добавя фракции?
Отговор: първо трябва да решите към какъв тип принадлежи изразът: фракциите имат еднакви знаменатели, различни знаменатели или смесени фракции. В зависимост от вида на израза преминаваме към алгоритъма на решението.

Как се решават дроби с различни знаменатели?
Отговор: необходимо е да се намери общ знаменател и след това според правилото за добавяне на дроби със същите знаменатели.

Как да решим смесени фракции?
Отговор: добавяме цели части с цели части и дробни части с частични части.

Пример # 1:
Може ли сумата от две да доведе до правилна дроб? Неправилна фракция? Дай примери.

\\ (\\ frac (2) (7) + \\ frac (3) (7) \u003d \\ frac (2 + 3) (7) \u003d \\ frac (5) (7) \\)

Фракция \\ (\\ frac (5) (7) \\) е обикновена дроб, това е сумата от две редовни дроби \\ (\\ frac (2) (7) \\) и \\ (\\ frac (3) (7) \\ ).

\\ (\\ frac (2) (5) + \\ frac (8) (9) \u003d \\ frac (2 \\ по 9 + 8 \\ по 5) (5 \\ по 9) \u003d \\ frac (18 + 40) (45) \u003d \\ frac (58) (45) \\)

Фракцията \\ (\\ frac (58) (45) \\) е неподходяща дроб, това е сумата от правилните дроби \\ (\\ frac (2) (5) \\) и \\ (\\ frac (8) (9) \\).

Отговор: Отговорът на двата въпроса е да.

Пример # 2:
Добавете дроби: a) \\ (\\ frac (3) (11) + \\ frac (5) (11) \\) b) \\ (\\ frac (1) (3) + \\ frac (2) (9) \\).

а) \\ (\\ frac (3) (11) + \\ frac (5) (11) \u003d \\ frac (3 + 5) (11) \u003d \\ frac (8) (11) \\)

б) \\ (\\ frac (1) (3) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (1 \\ пъти \\ цвят (червен) (3)) (3 \\ пъти \\ цвят (червен) (3)) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (3) (9) + \\ frac (2) (9) \u003d \\ frac (5) (9) \\)

Пример # 3:
Записвам смесен изстрел като сума от естествено число и правилна дроб: a) \\ (1 \\ frac (9) (47) \\) b) \\ (5 \\ frac (1) (3) \\)

а) \\ (1 \\ frac (9) (47) \u003d 1 + \\ frac (9) (47) \\)

б) \\ (5 \\ frac (1) (3) \u003d 5 + \\ frac (1) (3) \\)

Пример # 4:
Изчислете сумата: a) \\ (8 \\ frac (5) (7) + 2 \\ frac (1) (7) \\) b) \\ (2 \\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13 ) \\) в) \\ (7 \\ frac (2) (5) + 3 \\ frac (4) (15) \\)

а) \\ (8 \\ frac (5) (7) + 2 \\ frac (1) (7) \u003d (8 + 2) + (\\ frac (5) (7) + \\ frac (1) (7)) \u003d 10 + \\ frac (6) (7) \u003d 10 \\ frac (6) (7) \\)

б) \\ (2 \\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13) \u003d 2 + (\\ frac (9) (13) + \\ frac (2) (13)) \u003d 2 \\ frac (11 ) (тринадесет) \\)

в) \\ (7 \\ frac (2) (5) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d 7 \\ frac (2 \\ по 3) (5 \\ по 3) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d 7 \\ frac (6) (15) + 3 \\ frac (4) (15) \u003d (7 + 3) + (\\ frac (6) (15) + \\ frac (4) (15)) \u003d 10 + \\ frac (10) (15) \u003d 10 \\ frac (10) (15) \u003d 10 \\ frac (2) (3) \\)

Задача номер 1:
За обяд хапнахме \\ (\\ frac (8) (11) \\) от тортата, а вечер за вечеря ядохме \\ (\\ frac (3) (11) \\). Мислите ли, че тортата е напълно изядена или не?

Решение:
Знаменателят на фракцията е 11, той показва на колко парчета е разделена тортата. На обяд изядохме 8 парчета торта от 11. На вечеря изядохме 3 парчета торта от 11. Добавете 8 + 3 \u003d 11, изядохме парчета торта от 11, тоест цялата торта.

\\ (\\ frac (8) (11) + \\ frac (3) (11) \u003d \\ frac (11) (11) \u003d 1 \\)

Отговор: изяли са цялата торта.

Изследването на въпроса за изваждането на дроби с различни знаменатели е намерено в учебен предмет Algebra в осми клас и понякога затруднява разбирането на децата. За да извадите дроби с различни знаменатели, използвайте следната формула:

Процедурата за изваждане на дроби е подобна на добавянето, тъй като напълно копира принципа на действие.

Първо, ние изчисляваме най-много малък брой, което е кратно както на единия, така и на другия знаменател.

Второ, умножаваме числителя и знаменателя на всяка фракция с определено число, което ще ни позволи да намалим знаменателя до даден минимален общ знаменател.

На трето място, се извършва процедурата на самото изваждане, когато в резултат знаменателят се дублира и числителят на втората дроб се изважда от първата.

Пример: 8/3 2/4 \u003d 8/3 1/2 \u003d 16/6 3/6 \u003d 13/6 \u003d 2 цели 1/6

Първо трябва да ги доведете до същия знаменател и след това да ги извадите. Например 1/2 - 1/4 \u003d 2/4 - 1/4 \u003d 1/4. Или, по-трудно, 1/3 - 1/5 \u003d 5/15 - 3/15 \u003d 2/15. Обяснете как дробът се свежда до общ знаменател?

За операции като събиране или изваждане общи фракции с различни знаменатели важи просто правило - знаменателите на тези дроби се свеждат до едно число, а самото действие се извършва с числата в числителя. Тоест фракциите получават общ знаменател и сякаш са обединени в едно. Намиране на общ знаменател за произволни дроби обикновено се свежда до просто умножаване на всяка от фракциите по знаменателя на другата фракция. Но в по-прости случаи можете веднага да намерите фактори, които ще доведат знаменателите на дроби до един и същ брой.

Пример за изваждане на дроби: 2/3 - 1/7 \u003d 2 * 7/3 * 7 - 1 * 3/7 * 3 \u003d 14/21 - 3/21 \u003d (14-3) / 21 \u003d 11/21

Много възрастни вече са забравили как да изваждаме дроби с различни знаменатели, но това действие принадлежи на елементарната математика.

За изваждане на дроби с различни знаменатели, трябва да ги доведете до общ знаменател, тоест да намерите най-малкото общо кратно на знаменателите, след което да умножите числителите по допълнителни коефициенти, равни на съотношението на най-ниското общо кратно към знаменателя.

Знаците на фракциите са запазени. След като фракциите имат същите знаменатели, можете да извадите и след това, ако е възможно, да намалите фракцията.

Елена, решихте да повторите училищен курс математика?)))

За да извадите дроби с различни знаменатели, първо трябва да ги доведете до един и същ знаменател и след това да ги извадите. Най-лесният вариант: Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб и умножете числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата дроб. Получи две фракции със същите знаменатели. Сега изваждаме числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и те имат един и същ знаменател.

Например, три пети изваждане на две седми е равно на двадесет и една тридесет и пети изваждане на десет тридесет и пети и това е единадесет тридесет и пети.

Ако знаменателите са големи, тогава можете да намерите най-малкото им общо кратно, т.е. число, което ще се дели на единия или другия знаменател. И да доведе и двете дроби до общ знаменател (най-малкото общо кратно)

Как да изваждаме дроби с различни знаменатели е много проста задача - ние привеждаме дроби до общ знаменател и след това изваждаме в числителя.

Много хора се сблъскват с трудности, когато до тези дроби има цели числа, затова исках да покажа как да го направя със следния пример:

изваждане на дроби с цяла част и с различни знаменатели

първо изваждаме цели части 8-5 \u003d 3 (трите остават близо до първата фракция);

довеждаме дроби до общ знаменател 6 (ако числителят на първата дроб е по-голям от втората, изваждаме и записваме близо до цялата част, в нашия случай продължаваме нататък);

цялата част 3 е разположена на 2 и 1;

1 се записва като дроб 6/6;

6/6 + 3 / 6-4 / 6 пишем под общия знаменател 6 и извършваме действията в числителя;

запишете намерения резултат 2 5/6.

Важно е да запомните, че изваждането на дроби се извършва, когато те имат един и същ знаменател. Следователно, когато имаме дроби с различни знаменатели в разликата, те просто трябва да бъдат доведени до общ знаменател, което не е трудно да се направи. Просто трябва да разделим всяка дроб в фактори и да изчислим най-малкото общо кратно, което не трябва да е нула. Не забравяйте да умножите и числителите по получените допълнителни фактори, но ето пример за удобство:



Ако искате да извадите дроби с различни знаменатели, първо трябва да намерите общ знаменател за тези две дроби. И след това извадете втория от числителя на първата дроб. Оказва се нова фракция, с нова стойност.

Доколкото си спомням от курса по математика от 3 клас, за да извадите дроби с различни знаменатели, първо трябва да изчислите общия знаменател и да го намалите, а след това числителите просто се изваждат един от друг и знаменателят остава този общ .

За да извадим дроби с различни знаменатели, първо трябва да намерим най-ниския общ знаменател на тези дроби.

Да вземем пример:



Разделете по-голямото число 25 на по-малкото число 20. Не се дели. Така че умножаваме знаменателя 25 по такова число, получената сума, така че да може да бъде разделена на 20. Това число ще бъде 4. 25x4 \u003d 100. 100: 20 \u003d 5. Така намерихме най-ниския общ знаменател - 100.

Сега трябва да намерим допълнителен коефициент за всяка фракция. За целта разделяме новия знаменател на стария.

Умножете 9 по 4 \u003d 36. Умножете 7 по 5 \u003d 35.

Като имаме общ знаменател, изваждаме, както е показано в примера, и получаваме резултата.

Добавяне на дроби със същия знаменател

Има два вида добавяне на фракции:

1. Добавяне на дроби със същия знаменател
2. Добавяне на дроби с различни знаменатели

Първо, нека изучим добавянето на дроби със същите знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби със същия знаменател, добавете техните числители и оставете знаменателя непроменен. Например, добавете дроби и. Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако мислите за пица, която е разделена на четири части. Ако добавите пици към пица, получавате пици:

Пример 2. Добавете фракции и.

Отговорът е неправилна дроб. Ако краят на проблема дойде, тогава е обичайно да се отървете от неправилни фракции. За да се отървете от неправилната фракция, трябва да изберете цялата част в нея. В нашия случай цяла част изпъква лесно - две разделени на две е равно на едно:

Този пример може лесно да се разбере, ако мислите за пица, която е разделена на две части. Ако добавите пица към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3... Добавете фракции и.

Отново съберете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да се разбере, ако мислите за пицата, която е разделена на три части. Ако добавите още пица към пицата, ще получите пица:

Пример 4. Намерете стойността на израз

Този пример е решен по същия начин като предишните. Добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на снимка. Ако добавите пици към пицата и добавите пици, получавате 1 цяла и повече пици.

Както можете да видите, няма нищо трудно в добавянето на дроби със същите знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби със същия знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Добавяне на дроби с различни знаменатели

Сега нека се научим как да добавяме дроби с различни знаменатели. При събиране на дроби знаменателите на тези дроби трябва да бъдат еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например можете да добавяте и фракции, защото те имат еднакви знаменатели.

Но фракциите не могат да се събират веднага, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи фракциите трябва да бъдат намалени до един и същ (общ) знаменател.

Има няколко начина за привеждане на дроби до един и същ знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като останалите методи могат да изглеждат трудни за начинаещи.

Същността на този метод е, че първо се търси (LCM) на знаменателите на двете фракции. След това LCM се разделя на знаменателя на първата фракция и се получава първият допълнителен коефициент. Направете същото с втората фракция - LCM се разделя на знаменателя на втората фракция и се получава втори допълнителен коефициент.

Тогава числителите и знаменателите на фракциите се умножават по допълнителните им фактори. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се преобразуват във фракции с еднакви знаменатели. И ние вече знаем как да добавяме такива дроби.

Пример 1... Добавете фракциите и

На първо място, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете фракции. Знаменателят на първата дроб е 3, а знаменателят на втората дроб е 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) \u003d 6

Сега се връщаме към дроби и. Първо разделете LCM на знаменателя на първата фракция и вземете първия допълнителен коефициент. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделете 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, направете малка коса линия над фракцията и напишете допълнителния коефициент, намерен над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората фракция и получаваме втория допълнителен коефициент. LCM е числото 6, а знаменателят на втората фракция е числото 2. Разделете 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен фактор. Записваме го във втората дроб. Отново изчертаваме малка коса линия над втората дроб и записваме допълнителния коефициент, намерен над нея:

Вече сме готови да добавим. Остава да умножим числителите и знаменателите на фракциите по вашите допълнителни фактори:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби, които имат различни знаменатели, се превръщат във фракции с еднакви знаменатели. И ние вече знаем как да добавяме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Така примерът завършва. Оказва се добавяне.

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на снимка. Ако добавите пици към пица, получавате една цяла пица и друга шеста пица:

Намаляването на фракциите до един и същ (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Намалявайки дроби и до общ знаменател, имаме дроби и. Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи филийки пица. Единствената разлика е, че този път те ще бъдат разделени на равни дялове (намалени до същия знаменател).

Първата снимка изобразява фракция (четири от шест парчета), а втората картина изобразява фракция (три от шест парчета). Слагайки тези парчета заедно, получаваме (седем парчета от шест). Тази дроб е неправилна, затова избрахме цялата част в нея. Резултатът беше (една цяла пица и друга шеста пица).

Имайте предвид, че сме описали този пример твърде подробно. IN образователни институции не е обичайно да се пише толкова обширно. Трябва да можете бързо да намерите LCM както на знаменателите, така и на допълнителни фактори към тях, както и бързо да умножите намерените допълнителни фактори по вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:

Но има и задната страна медали. Ако на първите етапи от изучаването на математика не правите подробни бележки, тогава започват да се появяват подобни въпроси „Откъде идва това число?“ „Защо фракциите изведнъж се превръщат в напълно различни фракции? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дроби;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка фракция и получете допълнителен коефициент за всяка фракция;
3. Умножете числителите и знаменателите на дроби по вашите допълнителни фактори;
4. Добавете дроби, които имат един и същ знаменател;
5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава изберете цялата му част;

Пример 2. Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дроби

Намерете LCM на знаменателите на двете фракции. Знаменателите на дроби са числата 2, 3 и 4.

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка фракция и вземете допълнителен коефициент за всяка фракция

Разделяме LCM на знаменателя на първата фракция. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделете 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го върху първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората фракция. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделете 12 на 3, получаваме 4. Получихме втория допълнителен множител 4. Записваме го върху втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата фракция. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделете 12 на 4, получаваме 3. Получихме третия допълнителен множител 3. Записваме го върху третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на фракциите по вашите допълнителни фактори

Умножаваме числителите и знаменателите по нашите допълнителни фактори:

Стъпка 4. Добавете дроби със същите знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат във фракции с еднакви (общи) знаменатели. Остава да добавим тези дроби. Ние добавяме:

Добавянето не се побира на един ред, така че преместихме останалия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато изразът не се побира на един ред, той се прехвърля на следващия ред и е необходимо да се постави знак за равенство (\u003d) в края на първия ред и в началото на нов ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който е бил на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, изберете цялата част в него

Получихме грешната дроб в нашия отговор. Трябва да изберем цялата част от него. Акцент:

Получих отговор

Изваждане на дроби със същия знаменател

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби със същия знаменател
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека се научим как да изваждаме дроби със същия знаменател. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същата.

Например, нека намерим стойността на израз. За да разрешите този пример, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако мислите за пица, която е разделена на четири части. Ако изрежете пици от пица, получавате пици:

Пример 2. Намерете стойността на израза.

Отново извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да се разбере, ако мислите за пицата, която е разделена на три части. Ако изрежете пици от пица, получавате пици:

Пример 3. Намерете стойността на израз

Този пример е решен по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо трудно в изваждането на дроби със същите знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, извадете числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и оставете знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част в него.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат един и същ знаменател. Но не можете да извадите дроб от дроб, тъй като тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи фракциите трябва да бъдат намалени до един и същ (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира съгласно същия принцип, който използвахме при добавяне на дроби с различни знаменатели. На първо място, намерете LCM на знаменателите на двете фракции. След това LCM се разделя на знаменателя на първата фракция и се получава първият допълнителен коефициент, който се записва върху първата фракция. По същия начин LCM се разделя на знаменателя на втората фракция и се получава втори допълнителен коефициент, който се записва върху втората фракция.

След това фракциите се умножават по допълнителните им фактори. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се преобразуват във фракции с еднакви знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1. Намерете стойността на израз:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател.

Първо, намираме LCM на знаменателите на двете фракции. Знаменателят на първата дроб е 3, а знаменателят на втората дроб е 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) \u003d 12

Сега да се върнем към фракциите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата фракция. За целта разделяме LCM на знаменателя на първата фракция. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделете 12 на 3, получаваме 4. Записваме четирите върху първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората фракция. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделете 12 на 4, получаваме 3. Напишете трите върху втората дроб:

Вече сме готови за изваждане. Остава да умножите фракциите по вашите допълнителни фактори:

Стигнахме до извода, че дроби, които имат различни знаменатели, се превръщат във фракции с еднакви знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Получих отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на снимка. Ако режете пици от пица, получавате пица

Това е подробна версия на решението. В училище би трябвало да решим този пример по-кратко. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на фракциите и до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на фигурата. Като доведем тези дроби до общ знаменател, получихме дроби и. Тези фракции ще бъдат представени от едни и същи филийки пица, но този път те ще бъдат разделени на равни части (намалени до един и същ знаменател):

Първата рисунка изобразява дроб (осем от дванадесет парчета), а втората рисунка изобразява дроб (три от дванадесет парчета). Като отрязваме три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Фракция и описва тези пет парчета.

Пример 2. Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги доведете до един и същ (общ) знаменател.

Намерете LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дроби са 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM (10, 3, 5) \u003d 30

Сега намираме допълнителни фактори за всяка фракция. За целта разделяме LCM на знаменателя на всяка фракция.

Нека намерим допълнителен фактор за първата фракция. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделете 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го върху първата дроб:

Сега намираме допълнителен коефициент за втората фракция. Разделете LCM на знаменателя на втората фракция. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделете 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го върху втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата фракция. Разделете LCM на знаменателя на третата фракция. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделете 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го върху третата дроб:

Всичко вече е готово за изваждане. Остава да умножите фракциите по вашите допълнителни фактори:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат във фракции с еднакви (общи) знаменатели. Вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, така че прехвърляме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (\u003d) на нов ред:

Отговорът се оказа правилната дроб и изглежда всичко ни устройва, но е твърде тромаво и грозно. Трябваше да го улесним. Какво може да се направи? Можете да съкратите тази дроб.

За да намалите дроб, трябва да разделите неговия числител и знаменател на (GCD) числа 20 и 30.

И така, намираме GCD от числа 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на фракцията на намерената GCD, т.е. на 10

Получих отговор

Умножаване на дроб от число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на тази дроб по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1... Умножете фракцията по 1.

Умножете числителя на фракцията по 1

Записът може да се разбира като отнемане половин 1 път. Например, ако пиете пици 1 път, получавате пици

От законите на умножението знаем, че ако множителят и множителят се обърнат, продуктът няма да се промени. Ако изразът е написан като, тогава продуктът пак ще бъде равен. Отново правилото за умножаване на цяло число и фракция работи:

Този запис може да се разбере като вземане на половината от един. Например, ако има 1 цяла пица и ние вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2... Намерете стойността на израз

Умножете числителя на фракцията по 4

Отговорът е неправилна дроб. Нека да изберем цялата част в него:

Изразът може да се разбере като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако пиете пици 4 пъти, получавате две цели пици

И ако разменим множителя и множителя на места, ще получим израза. Той също ще бъде равен на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът се окаже неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в него.

Пример 1. Намерете стойността на израза.

Получихме отговор. Желателно е да съкратите тази фракция. Дробът може да бъде намален с 2. Тогава окончателното решение ще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половината пица. Да приемем, че имаме половин пица:

Как да получим две трети от тази половина? Първо, трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три парчета:

Ще направим пица. Спомнете си как изглежда една пица, разделена на три части:

Една филия от тази пица и двете филийки, които взехме, ще имат същите размери:

С други думи, идва приблизително същия размер на пицата. Следователно стойността на израза е

Пример 2... Намерете стойността на израз

Умножаваме числителя на първата дроб по числителя на втората дроб, а знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е неправилна дроб. Нека да изберем цялата част в него:

Пример 3. Намерете стойността на израз

Умножаваме числителя на първата дроб по числителя на втората дроб, а знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е правилна дроб, но ще бъде добре, ако я намалите. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител (Gcd) номера 105 и 450.

И така, нека намерим GCD на числа 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на GCD, който сега намерихме, т.е. на 15

Представяне на дроб от цяло число

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като. От това петимата няма да променят стойността си, тъй като изразът означава "числото пет, разделено на едно", а това, както знаете, е равно на пет:

Обратни числа

Сега ще се запознаем с много интересна тема по математика. Нарича се "задни номера".

Определение. Обратното на числотоа е число, което, умножено поа дава един.

Нека заместим в тази дефиниция вместо променлива а номер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратното на числото 5 е число, което, умножено по 5 дава един.

Възможно ли е да се намери такова число, което, умножено по 5, да дава едно? Оказва се, че можете. Нека представим петте като дроб:

След това умножете тази дроб по себе си, просто разменете местата на числителя и знаменателя. С други думи, умножаваме дробната част по себе си, само обърната:

Какъв ще бъде резултатът от това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на 5 е число, тъй като 5 се умножава по едно.

Реципрочното може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също така да намерите реципрочната стойност за всяка друга дроб. За да направите това, просто го обърнете.

Разделяне на дроб от число

Да приемем, че имаме половин пица:

Разделете го по равно на две. Колко пица ще получи всеки?

Вижда се, че след разделянето на половината от пицата има две равни филийки, всяка от които съставя пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Обратните числа ви позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пицата на две части.

И така, трябва да разделите фракцията на числото 2. Тук делимото е фракцията, а делителят е числото 2.

За да разделите дроб на 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочното на делителя 2. Реципрочното на 2 е дроб. Така че трябва да умножите по

Този урок ще обхваща събирането и изваждането. алгебрични дроби с различни знаменатели. Вече знаем как да събираме и изваждаме общи дроби с различни знаменатели. За да направите това, дроби трябва да бъдат намалени до общ знаменател. Оказва се, че алгебричните дроби се подчиняват на същите правила. В същото време вече знаем как да приведем алгебрични дроби до общ знаменател. Събирането и изваждането на дроби с различни знаменатели е една от най-важните и трудни теми в курса на 8 клас. При това тази тема ще се появи в много от темите на курса по алгебра, които ще изучавате в бъдеще. Като част от урока ще изучим правилата за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели, както и ще анализираме редица типични примери.

Нека разгледаме най-простия пример за обикновени дроби.

Пример 1.Добавете фракции :.

Решение:

Нека си припомним правилото за добавяне на дроби. Като начало дроби трябва да бъдат доведени до общ знаменател. Общият знаменател за обикновените дроби е най-малко общо кратно (LCM) първоначални знаменатели.

Определение

Най-малко естествено число, което се дели едновременно на числа и.

За да се намери LCM, е необходимо да се разширят знаменателите в основни фактории след това изберете всички основни фактори, които са включени в разширяването на двата знаменателя.

; ... Тогава LCM на числата трябва да включва две двойки и две тройки :.

След намирането на общия знаменател е необходимо да се намери допълнителен коефициент за всяка от фракциите (всъщност разделете общия знаменател на знаменателя на съответната дроб).

След това всяка фракция се умножава по получения допълнителен коефициент. Получават се дроби със същите знаменатели, които се научихме да добавяме и изваждаме в предишните уроци.

Получаваме: .

Отговор:.

Помислете сега за добавяне на алгебрични дроби с различни знаменатели. Първо, помислете за дроби, чиито знаменатели са числа.

Пример 2.Добавете фракции :.

Решение:

Алгоритъмът на решението е абсолютно подобен на предишния пример. Лесно е да се намери общ знаменател за тези дроби: и допълнителни фактори за всяка от тях.

.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за събиране и изваждане на алгебрични дроби с различни знаменатели:

1. Намерете най-ниския общ знаменател на дроби.

2. Намерете допълнителни множители за всяка от фракциите (чрез разделяне на общия знаменател на знаменателя на дадената дроб).

3. Умножете числителите по съответните допълнителни множители.

4. Добавете или извадете дроби, като използвате правилата за добавяне и изваждане на дроби със същия знаменател.

Помислете сега за пример с дроби, в знаменателя на които има буквени изрази.

Пример 3.Добавете фракции :.

Решение:

Тъй като буквалните изрази и в двата знаменателя са еднакви, трябва да намерите общ знаменател за числата. Крайният общ знаменател ще бъде :. По този начин решението за този пример изглежда така:

Отговор:.

Пример 4.Извадете дроби :.

Решение:

Ако не можете да „мамите“ при избора на общ знаменател (не можете да го разчитате на множители или да използвате съкратените формули за умножение), тогава трябва да вземете произведението на знаменателите на двете фракции като общ знаменател.

Отговор:.

Като цяло, когато се решава подобни примери, най-трудната задача е да се намери общ знаменател.

Нека разгледаме по-сложен пример.

Пример 5.Опростете :.

Решение:

Когато намирате общ знаменател, първо трябва да се опитате да изчислите знаменателите на оригиналните дроби (за да опростите общия знаменател).

В този конкретен случай:

Тогава е лесно да се определи общият знаменател: .

Ние определяме допълнителни фактори и решаваме този пример:

Отговор:.

Сега нека поправим правилата за събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели.

Пример 6.Опростете :.

Решение:

Отговор:.

Пример 7.Опростете :.

Решение:

.

Отговор:.

Нека сега разгледаме пример, в който се добавят не две, а три дроби (в крайна сметка правилата за събиране и изваждане за повече ▼ фракциите остават същите).

Пример 8.Опростете :.

Правилата за добавяне на дроби с различни знаменатели са много прости.

Помислете за правилата за добавяне на дроби с различни знаменатели на стъпки:

1. Намерете LCM (най-малкото общо кратно) на знаменателите. Полученият LCM ще бъде общият знаменател на фракциите;

2. Привеждане на дроби до общ знаменател;

3. Добавете дробните части, намалени до общ знаменател.

На прост пример ще научим как да прилагаме правилата за добавяне на дроби с различни знаменатели.

Пример

Пример за добавяне на дроби с различни знаменатели.

Добавете дроби с различни знаменатели:

Ще решим на стъпки.

1. Намерете LCM (най-малкото общо кратно) на знаменателите.

Числото 12 се дели на 6.

От това заключаваме, че 12 е най-малкото кратно на 6 и 12.

Отговор: числата 6 и 12 са 12:

LCM (6, 12) \u003d 12

Полученият LCM ще бъде общият знаменател на двете фракции 1/6 и 5/12.

2. Приведете фракциите до общ знаменател.

В нашия пример само първата дроб трябва да бъде намалена до общ знаменател 12, тъй като втората дроб има знаменател, вече равен на 12.

Разделете общия знаменател 12 на знаменателя на първата дроб:

2 има допълнителен множител.

Умножете числителя и знаменателя на първата дроб (1/6) с допълнителен коефициент 2.