На пръв поглед алгебричните дроби изглеждат много сложни и необучен ученик може да си помисли, че с тях не може да се направи нищо. Бъркането на променливи, числа и дори градуси вдъхва страх. Същите правила обаче се използват за намаляване на общите (напр. 15/25) и алгебричните фракции.

Стъпки

Намаляване на фракциите

Вижте стъпките с прости фракции... Операциите с обикновени и алгебрични дроби са сходни. Да вземем например 15/35. За да се опрости тази дроб, трябва намерете общ делител... И двете числа се делят на пет, така че можем да маркираме 5 в числителя и знаменателя:

Сега ти можеш намаляване на общите фактори, т.е. зачеркнете 5 в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме опростена дроб 3/7 ... IN алгебрични изрази общите фактори се разпределят по същия начин, както при нормалните фактори. В предишния пример успяхме лесно да разграничим 5 от 15 - същият принцип се прилага и за по-сложни изрази като 15x - 5. Намерете общия фактор. В този случай ще бъде 5, тъй като и двата термина (15x и -5) се делят на 5. Както преди, изберете общия коефициент и го пренесете наляво.

15x - 5 \u003d 5 * (3x - 1)

За да проверите дали всичко е правилно, е достатъчно да умножите израза в скобите по 5 - резултатът ще бъде същите числа, които са били първи. Сложните членове могат да бъдат избрани по същия начин като обикновените. За алгебричните дроби се прилагат същите принципи, както за обикновените. Това е най-лесният начин за намаляване на част. Помислете за следната фракция:

Имайте предвид, че както числителят (отгоре), така и знаменателят (отдолу) съдържат термина (x + 2), така че той може да бъде отменен по същия начин като общия коефициент 5 във фракцията 15/35:

В резултат на това получаваме опростен израз: (x-3) / (x + 10)

Намаляване на алгебричните фракции

Намерете общия множител в числителя, т.е. в горната част на фракцията. При отмяна на алгебрична дроб, първата стъпка е да се опростят двете й части. Започнете с числителя и се опитайте да го разширите във възможно най-много фактори. Помислете за следната част в този раздел:

Нека започнем с числителя: 9x - 3. За 9x и -3 общият фактор е 3. Извадете 3 от скобите, както се прави с обикновените числа: 3 * (3x-1). В резултат на тази трансформация ще се получи следната фракция:

Намерете общия множител в числителя. Нека да продължим с горния пример и да изпишем знаменателя: 15x + 6. Както преди, намерете числото, с което и двете части се делят. И в този случай общият фактор е 3, така че можете да напишете: 3 * (5x +2). Нека пренапишем фракцията, както следва:

Намалете идентичните членове. Можете да опростите фракцията на тази стъпка. Отменете идентичните термини в числителя и знаменателя. В нашия пример това число е 3.

Определете каква е фракцията най-прост изглед... Дробът е напълно опростен, когато в числителя и знаменателя не остават общи фактори. Обърнете внимание, че не можете да отмените тези термини, които са в скобите - в горния пример няма начин да се разделят x от 3x и 5x, тъй като пълните условия са (3x -1) и (5x + 2). По този начин фракцията се противопоставя на по-нататъшното опростяване и крайният отговор изглежда така:

Практикувайте сами да режете фракции. По най-добрия начин научете метода е независимо решение задачи. Точните отговори са дадени под примерите.

Отговор: (x \u003d 13)

Отговор:(2x-1) / 5

Специални трикове

Вадя отрицателен знак отвъд фракцията. Да предположим, че е дадена следната дроб:

Имайте предвид, че (x-4) и (4-x) са „почти“ идентични, но не могат да бъдат съкратени наведнъж, защото са „обърнати“. Въпреки това, (x - 4) може да се запише като -1 * (4 - x), точно както (4 + 2x) може да се запише като 2 * (2 + x). Това се нарича "обръщане на знак".

Сега можете да отмените същите условия (4-x):

И така, получаваме окончателния отговор: -3/5 ... Научете се да разпознавате разликата в квадратите. Разликата на квадратите е, когато квадратът на едно число се изважда от квадрата на друго число, както е в израза (a 2 - b 2). Разликата на пълните квадрати винаги може да бъде разложена на две части - сумата и разликата на съответните квадратни корени... Тогава изразът ще приеме следната форма:

A 2 - b 2 \u003d (a + b) (a-b)

Тази техника е много полезна, когато се търсят общи термини в алгебрични дроби.

• Проверете дали сте разделили правилно този или онзи израз. За да направите това, умножете факторите - резултатът трябва да бъде един и същ израз.
• За да опростите напълно една дроб, винаги избирайте най-големите фактори.

В тази статия ще анализираме подробно как намаляване на фракциите... Първо, нека обсъдим това, което се нарича намаляване на фракцията. След това нека поговорим за намаляване на отменяема фракция до неприводима форма. Освен това ще получим правилото за намаляване на фракциите и накрая ще разгледаме примери за прилагане на това правило.

Навигация по страници.

Какво означава да отмените дроб?

Знаем, че обикновените дроби се подразделят на отменяеми и неприводими фракции. От имената можете да познаете, че отменяемите фракции могат да бъдат намалени, но несъкратимите не могат.

Какво означава да отмените дроб? Намалете фракцията - това означава разделяне на неговия числител и знаменател на техните положителни и не-единични. Ясно е, че в резултат на намаляването на фракцията се получава нова фракция с по-малък числител и знаменател и, по силата на основното свойство на фракцията, получената фракция е равна на оригинала.

Например, нека намалим общата дроб 8/24, като разделим нейния числител и знаменател на 2. С други думи, можем да намалим фракцията 8/24 с 2. Тъй като 8: 2 \u003d 4 и 24: 2 \u003d 12, резултатът от това намаление е фракцията 4/12, която е равна на първоначалната фракция 8/24 (виж равни и неравни фракции). В резултат на това имаме.

Намаляване на обикновените фракции до неприводима форма

Обикновено крайната цел за намаляване на фракцията е да се получи неприводима фракция, която е равна на първоначално отменената фракция. Тази цел може да бъде постигната чрез намаляване на първоначалната отменяема фракция с нейния числител и знаменател. В резултат на такова намаляване винаги се получава неприводима фракция. Наистина, фракцията е неприводимо, тъй като от него се знае, че и -. Тук казваме, че най-големият общ делител на числителя и знаменателя на фракцията е най-големият брой, с което тази фракция може да бъде намалена.

Така, намаляване на обикновена фракция до неприводима форма се състои в разделяне на числителя и знаменателя на оригиналната отменяема фракция на техния GCD.

Нека разгледаме един пример, за който се връщаме към фракцията 8/24 и я намаляваме с най-големия общ делител на числа 8 и 24, който е 8. Тъй като 8: 8 \u003d 1 и 24: 8 \u003d 3, тогава стигаме до неприводимата фракция 1/3. Така, .

Обърнете внимание, че фразата „намаляване на фракцията“ често означава намаляване на първоначалната фракция до неприводима форма. С други думи, разделянето на числителя и знаменателя по най-големия им общ делител (а не по някой от общите им делители) много често се нарича редукция на дроб.

Как можете да намалите една малка част? Правило и примери за намаляване на фракциите

Остава само да се анализира правилото за намаляване на фракциите, което обяснява как да се намали тази фракция.

Правилото за намаляване на фракциите се състои от две стъпки:

• първо, има GCD на числителя и знаменателя на фракцията;
• второ, числителят и знаменателят на фракцията се разделят на техния GCD, което дава неприводима дроб, равна на оригинала.

Нека анализираме пример за намаляване на фракцията съгласно посоченото правило.

Пример.

Намалете фракцията 182/195.

Решение.

Нека изпълним и двете стъпки, предписани от правилото за намаляване на дроби.

Първо намерете GCD (182, 195). Най-удобно е да се използва алгоритъма на Евклид (вж.): 195 \u003d 182 1 + 13, 182 \u003d 13 14, тоест GCD (182, 195) \u003d 13.

Сега разделяме числителя и знаменателя на фракцията 182/195 на 13 и получаваме неприводимата фракция 14/15, която е равна на първоначалната дроб. Това завършва намаляването на фракцията.

Накратко, решението може да бъде написано по следния начин:

Отговор:

Тук можем да завършим с намаляването на фракциите. Но за пълнота, помислете за още два начина за намаляване на фракциите, които обикновено се използват в лесни случаи.

Понякога числителят и знаменателят на отменена дроб е лесно. Намаляването на фракцията в този случай е много просто: просто трябва да премахнете всички общи фактори от числителя и знаменателя.

Трябва да се отбележи, че този метод директно следва от правилото за намаляване на фракциите, тъй като произведението на всички общи прости множители на числителя и знаменателя е равно на техния най-голям общ делител.

Нека да разгледаме примерното решение.

Пример.

Намалете фракцията 360/2 940.

Решение.

Разширяваме числителя и знаменателя в прости множители: 360 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 и 2 940 \u003d 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. По този начин, .

Сега се отърваваме от често срещаните фактори в числителя и знаменателя, за удобство просто ги зачеркваме: .

И накрая, умножете останалите фактори :, и намаляването е завършено.

Ето резюме на решението: .

Отговор:

Помислете за друг начин за намаляване на дроб, който се състои в последователно намаляване. Тук на всяка стъпка фракцията се анулира от някакъв общ делител на числителя и знаменателя, което е очевидно или лесно се определя с помощта на

Без да знаете как да намалите част и да имате стабилно умение за решаване подобни примери много е трудно да се изучава алгебра в училище. Колкото по-нататък, толкова повече върху основните знания за намаляване общи фракции насложени нова информация... Първо се появяват градусите, после факторите, които по-късно се превръщат в полиноми.

Как да не се объркате тук? Основно консолидирайте уменията в предишните теми и постепенно се подгответе за знанията за това как да намалите частта, която се усложнява от година на година.

Основни знания

Без тях няма да можете да се справите със задачи от всяко ниво. За да разберете, трябва да разберете две прости моменти... Първо, могат да бъдат отменени само множители. Този нюанс се оказва много важен, когато в числителя или знаменателя се появяват полиноми. След това трябва ясно да разграничите къде е факторът и къде е терминът.

Втората точка казва, че всяко число може да бъде представено като фактори. Освен това резултатът от намаляването е такава част, числителят и знаменателят на която вече не могат да бъдат намалени.

Правила за намаляване на обикновените дроби

Първо, струва си да проверите дали числителят се дели на знаменателя или обратно. Тогава именно този брой трябва да бъде намален. Това е най-лесният вариант.

Вторият е анализът външен вид числа. Ако и двете завършват с една или повече нули, тогава те могат да бъдат намалени с 10, 100 или хиляда. Тук можете да видите дали числата са четни. Ако е така, тогава можете спокойно да го намалите с две.

Третото правило за това как да отменим дроб е основната факторизация на числителя и знаменателя. По това време трябва активно да използвате всички знания за признаците на делимост на числата. След такова разлагане остава само да се намерят всички повтарящи се, да се умножат и да се намалят с полученото число.

Ами ако във фракцията има алгебричен израз?

Тук се появяват първите трудности. Защото тук се появяват термините, които могат да бъдат идентични с факторите. Много искам да ги отрежа, но не мога. Преди да режете алгебрична дроб, трябва да се трансформира, така че да има фактори.

Това изисква няколко стъпки. Може да се наложи да преминете през всички тях или може би първият ще ви даде подходящ вариант.

Проверете дали числителят и знаменателят или някакъв израз в тях се различават със знак. В този случай просто трябва да поставите минус един извън скобите. Това дава същите фактори, които могат да бъдат отменени.

Вижте дали е възможно да се раздели общия множител от полинома. Може би това ще доведе до скоба, която също може да бъде съкратена, или ще бъде премахнат моном.

Опитайте се да групирате мономите, за да извадите общия фактор в тях. След това може да се окаже, че ще има фактори, които могат да бъдат намалени, или отново закрепването на общите елементи може да се повтори.

Опитайте се да разгледате съкратената формула за умножение в нотацията. С тяхна помощ ще бъде лесно да преобразуваме полинома във фактори.

Последователност на действията с дроби с правомощия

За да разберем лесно въпроса как да намалим част от властта, е необходимо да запомним основно основните действия с тях. Първият е свързан с умножението на градусите. В този случай, ако основите са еднакви, трябва да се добавят показателите.

Второто е разделение. Отново за тези, които имат същата основа, показателите ще трябва да бъдат извадени. Освен това трябва да извадите от числото, което е в дивидента, а не обратно.

Третото е степенуване. В тази ситуация показателите се умножават.

Успешното намаляване също ще изисква способността да се намалят градусите до същите основи. Тоест да видиш, че четири е две на квадрат. Или 27 е куб от три. Защото е трудно да се режат 9 на квадрат и 3 кубчета. Но ако трансформирате първия израз като (3 2) 2, тогава намаляването ще бъде успешно.

Много ученици допускат същите грешки, когато работят с дроби. И всичко това, защото забравят основните правила. аритметика... Днес ще повторим тези правила за конкретни задачикоито давам в часовете си.

Ето проблема, който предлагам на всички, които се подготвят за изпита по математика:

Задача. Морската свиня яде 150 грама фураж на ден. Но тя порасна и започна да яде с 20% повече. Колко грама фураж яде сега прасето?

Не правилното решение... Това е процентен проблем, който се свежда до уравнението:

Много (много много) намаляват числото 100 в числителя и знаменателя на фракцията:

Това е грешката, която ученикът ми направи точно в деня на писането. Изрязаните числа са маркирани в червено.

Излишно е да казвам, че отговорът е грешен. Преценете сами: прасето изяде 150 грама и започна да яде 3150 грама. Увеличението не е 20%, а 21 пъти, т.е. с 2000%.

За да избегнете подобни недоразумения, запомнете основното правило:

Можете да намалите само множителите. Не можете да намалите условията!

По този начин правилното решение на предишния проблем изглежда така:

Цифрите са маркирани в червено, които са намалени в числителя и знаменателя. Както можете да видите, числителят съдържа продукта, а знаменателят е обикновено число... Следователно намаляването е напълно законно.

Работа с пропорции

Друг проблемно място — пропорции... Особено когато променливата е от двете страни. Например:

Задача. Решете уравнението:

Грешно решение - някои хора буквално сърбят да намалят всичко с m:

Променливите, които трябва да бъдат съкратени, са показани в червено. Оказва се изразът 1/4 \u003d 1/5 - пълна глупост, тези числа никога не са равни.

И сега - правилното решение. По същество това е обикновено линейно уравнение ... Решава се или чрез прехвърляне на всички елементи в една посока, или чрез основното свойство на пропорцията:

Много читатели ще възразят: „Къде е грешката в първото решение?“ Е, нека го разберем. Нека си припомним правилото за работа с уравнения:

Всяко уравнение може да бъде разделено и умножено по произволно число, ненулеви.

Пропуснали ли сте чип? Може да се раздели само на числа ненулеви... По-специално, можете да разделите на променливата m само ако m! \u003d 0. Но какво, ако все пак m \u003d 0? Нека заместим и проверим:

Получихме правилното числово равенство, т.е. m \u003d 0 е коренът на уравнението. За останалото m! \u003d 0 получаваме израз на формата 1/4 \u003d 1/5, което, разбира се, не е вярно. По този начин няма ненулеви корени.

Изводи: да се събере всичко

Така че за решението дробни рационални уравнения запомнете три правила:

1. Можете да намалите само множителите. Условията не са позволени. Затова се научете да отчитате числителя и знаменателя;
2. Основното свойство на пропорцията: произведението на крайните елементи е равно на произведението на средното;
3. Уравненията могат да се умножават и делят само на ненулеви числа k. Случаят k \u003d 0 трябва да се провери отделно.

Запомнете тези правила и не правете грешки.

Дивизия и числителя и знаменателя на фракцията по техните общ делителразлично от единството се нарича намаляване на фракцията.

За да отмените обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най-големият общ коефициент на числителя и знаменателя на фракцията.

Възможни са следните неща формуляри за записване на решения примери за намаляване на обикновените фракции.

Студентът има право да избере каквато и да е форма на регистрация.

Примери. Опростете фракциите.

Намалете фракцията с 3 (разделете числителя на 3;

раздели знаменателя на 3).

Намалете фракцията със 7.

Извършваме посочените действия в числителя и знаменателя на фракцията.

Намалете получената фракция с 5.

Намалете тази фракция 4) На 5 · 7³ - най-големият общ коефициент (GCD) на числителя и знаменателя, който се състои от общите фактори на числителя и знаменателя, взети до степента с най-малкия експонентен показател.

Нека разширим числителя и знаменателя на тази дроб в прости множители.

Получаваме: 756 \u003d 2² · 3³ · 7 и 1176 \u003d 2³ · 3 · 7².

Определете GCD (най-големият общ делител) на числителя и знаменателя на фракцията 5) .

Това е продукт на най-ниските често срещани фактори.

GCD (756; 1176) \u003d 2² · 3 · 7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб от техния GCD, т.е. 2² · 3 · 7получаваме неприводима фракция 9/14 .

И беше възможно да се напише разширяването на числителя и знаменателя под формата на произведение на прости множители, без да се използва понятието степен, и след това да се намали фракцията чрез зачертаване на същите фактори в числителя и знаменателя. Когато не останат еднакви множители, умножаваме останалите множители отделно в числителя и отделно в знаменателя и изписваме получената дроб 9/14 .

И накрая, беше възможно да се намали тази фракция 5) постепенно, прилагайки знаците за разделяне на числата както върху числителя, така и върху знаменателя на дроби. Ние разсъждаваме по следния начин: числа 756 и 1176 завършва с четна цифра, така че и двете се делят на 2 ... Намалете фракцията с 2 ... Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 и 588 също разделен на 2 ... Намалете фракцията с 2 ... Имайте предвид, че номерът 294 - дори, и 189 - странно и намаляването с 2 вече не е възможно. Нека проверим критерия за делимост на числата 189 и 294 На 3 .

(1 + 8 + 9) \u003d 18 се дели на 3 и (2 + 9 + 4) \u003d 15 се дели на 3, следователно самите числа 189 и 294 са разделени на 3 ... Намалете фракцията с 3 ... Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - не. Преминаваме през други основни фактори. И двете числа се делят на 7 ... Намалете фракцията с 7 и получаваме неприводима фракция 9/14 .