Определение. Извиква се най-голямото естествено число, с което числата a и b се делят без остатък най-големият общ фактор (gcd) тези числа.

Намерете най-големия общ делител на 24 и 35.
Делителите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.

Определение. Наричат \u200b\u200bсе естествени числа взаимно простиако най-големият им общ делител (GCD) е 1.

Най-големият общ делител (GCD) може да се намери, без да се изписват всички делители на дадените числа.

Като разчитаме числата 48 и 36, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разлагането на първото от тези числа, изтрийте тези, които не са включени в разлагането на второто число (т.е. две двойки).
Факторите остават 2 * 2 * 3. Тяхното произведение е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Открит е и най-големият общ делител на три или повече числа.

Да намеря най-големият общ фактор

2) от факторите, включени в разлагането на едно от тези числа, изтрийте тези, които не са включени в разлагането на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.

Ако всички тези числа се делят на едно от тях, то това число е най-големият общ фактор дадени числа.
Например, най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като всички останали числа се делят на него: 45, 75 и 180.

Най-малко често срещано множество (LCM)

Определение. Най-малко често срещано множество (LCM) естествените числа a и b се наричат \u200b\u200bнай-малкото естествено число, което е кратно на a и b. Най-малко често срещаното кратно (LCM) от числа 75 и 60 може да бъде намерено, без да се изписват кратните числа от тези числа подред. За целта разлагаме 75 и 60 на прости фактори: 75 \u003d 3 * 5 * 5 и 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Нека запишем факторите, включени в разлагането на първото от тези числа, и добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разлагането на второто число (т.е. комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чийто продукт е 300. Това число е най-малкото често кратно на 75 и 60.

Намерете и най-малкото общо кратно на три или повече числа.

Да се намерете най-малкото общо кратно няколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на основни фактори;
2) запишете факторите, включени в разлагането на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.

Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички останали числа, то това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например, най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 е 60, защото се дели на всички тези числа.

Питагор (VI век пр. Н. Е.) И неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сумата на всички негови делители (без самото число), те наричат \u200b\u200bперфектно число. Например числата 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. д. Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. Към 1983 г. вече са известни 27 перфектни числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни перфектни числа, дали има най-голямото перфектно число.
Интересът на древните математици към прости числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Сигурно сте забелязали, че прости числа в поредица от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части от поредицата има повече от тях, в други - по-малко. Но колкото по-нататък се придвижваме по числовата серия, толкова по-рядко срещани са прости числа. Възниква въпросът: има ли последно (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (III в. Пр. Н. Е.) В книгата си „Начала“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число има още по-голямо просто число номер.
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, е измислил такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това зачеркна единица, която не е нито просто, нито съставно число, след което зачеркна всички числа след 2 (числа, кратни на 2, т.е. 4, 6, 8 и др.). Първото оставащо число след 2 беше 3. Тогава всички числа след 3 (числа, кратни на 3, т.е. 6, 9, 12 и т.н.) бяха зачеркнати след две. в крайна сметка непроменени останаха само простите числа.

Математическите изрази и задачи изискват много допълнителни знания. NOC е един от основните, особено често използван в Темата се изучава в гимназията, докато не е особено трудно да се разбере материал, човек, който е запознат със степени и таблицата за умножение, няма да е трудно да избере необходимите числа и намерете резултата.

Определение

Общото кратно е число, което може да бъде напълно разделено на две числа едновременно (a и b). Най-често това число се получава чрез умножаване на първоначалните числа a и b. Числото трябва да се дели на двете числа наведнъж, без отклонения.

NOC е приетото наименование кратко имесъставен от първите букви.

Начини за получаване на номер

За да се намери LCM, методът за умножаване на числа не винаги е подходящ, той е много по-подходящ за прости едноцифрени или двуцифрени числа. обичайно е да се дели на фактори, колкото по-голям е броят, толкова повече фактори ще има.

Пример №1

За най-простия пример училищата обикновено вземат прости, едно- или двуцифрени числа. Например трябва да решите следния проблем, да намерите най-малкото общо кратно на 7 и 3, решението е съвсем просто, просто ги умножете. В резултат на това има число 21, просто няма по-малък номер.

Пример №2

Вторият вариант на задачата е много по-труден. Като се имат предвид номерата 300 и 1260, намирането на LCM е задължително. За да се реши задачата, се приемат следните действия:

Разлагане на първото и второто число на най-простите фактори. 300 \u003d 2 2 * 3 * 5 2; 1260 \u003d 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Първият етап е завършен.

Вторият етап включва работа с вече получени данни. Всяко от получените числа трябва да участва в изчисляването на крайния резултат. За всеки фактор от състава на оригиналните числа най-много голям брой прояви. NOC е общ бройследователно факторите от числата трябва да се повтарят във всичко до едно, дори тези, които присъстват в едно копие. И двете начални числа имат в състава си числата 2, 3 и 5, в различна степен, 7 е само в един случай.

За да изчислите крайния резултат, трябва да вземете всяко число в най-голямата степен, представена в уравнението. Остава само да се умножи и да се получи отговорът, с правилното попълване задачата се вписва в две действия без обяснение:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) LCM \u003d 6300.

Това е целият проблем, ако се опитате да изчислите необходимото число чрез умножаване, тогава отговорът определено няма да е верен, тъй като 300 * 1260 \u003d 378 000.

Проверка:

6300/300 \u003d 21 - вярно;

6300/1260 \u003d 5 - правилно.

Коректността на резултата се определя чрез проверка - разделяне на LCM на двете начални числа, ако числото е цяло число и в двата случая, тогава отговорът е верен.

Какво означава LCM в математиката

Както знаете, в математиката няма нито една безполезна функция, тази не е изключение. Най-често се използва това число за преобразуване на фракции в общ знаменател... Това, което обикновено се преподава в 5-6 клас на гимназията. Освен това е общ делител за всички кратни, ако такива условия са в проблема. Подобен израз може да намери кратно не само на две числа, но и на много по-голямо число - три, пет и т.н. Колкото повече числа - толкова повече действия в задачата, но сложността не се увеличава от това.

Например, като се имат предвид числата 250, 600 и 1500, трябва да намерите общия им LCM:

1) 250 \u003d 25 * 10 \u003d 5 2 * 5 * 2 \u003d 5 3 * 2 - този пример описва факторизацията в детайли, без отмяна.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

За да се състави израз, се изисква да се споменат всички фактори, в този случай са дадени 2, 5, 3, - за всички тези числа е необходимо да се определи максималната степен.

Внимание: всички умножители трябва да бъдат доведени до пълно опростяване, ако е възможно, разширяване до нивото на еднозначни.

Проверка:

1) 3000/250 \u003d 12 - вярно;

2) 3000/600 \u003d 5 - вярно;

3) 3000/1500 \u003d 2 - вярно.

Този метод не изисква никакви трикове или способности на ниво гений, всичко е просто и ясно.

Друг начин

В математиката много неща са свързани, много могат да бъдат решени по два или повече начина, същото се отнася и за намирането на най-малкото общо кратно, LCM. Следният метод може да се използва в случай на прости двуцифрени и едноцифрени числа. Компилира се таблица, в която множителят се въвежда вертикално, множителят хоризонтално и продуктът се посочва в пресичащите се клетки на колоната. Можете да отразявате таблицата с помощта на ред, взема се число и резултатите от умножаването на това число по цели числа, от 1 до безкрайност, се записват на ред, понякога са достатъчни 3-5 точки, второто и следващите числа са подложени на същия изчислителен процес. Всичко се случва, докато има общо кратно.

Като се имат предвид числата 30, 35, 42, трябва да намерите LCM, който свързва всички числа:

1) Кратни на 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 и т.н.

2) Кратни на 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 и т.н.

3) Кратни на 42: 84, 126, 168, 210, 252 и т.н.

Забелязва се, че всички числа са доста различни, единственото общо число сред тях е 210, така че ще бъде LCM. Сред процесите, свързани с това изчисление, има и най-големият общ делител, който се изчислява по сходни принципи и често се среща в съседни задачи. Разликата е малка, но достатъчно значима, LCM предполага изчисляването на число, което е разделено на всички дадени начални стойности, а GCD поема изчислението най-голямата стойност с което се разделят оригиналните числа.

Второ число: b \u003d

Цифров разделител Няма разделително пространство "´

Резултат:

Най-големият общ делител на GCD ( а,б)=6

Най-малко често срещано множество LCM ( а,б)=468

Извиква се най-голямото естествено число, с което числата a и b се делят без остатък най-големият общ фактор (Gcd) тези числа. Посочено с gcd (a, b), (a, b), gcd (a, b) или hcf (a, b).

Най-малко общо кратно (LCM) от две цели числа a и b е най-малкото естествено число, което се дели на a и b без остатък. LCM е обозначен (a, b) или lcm (a, b).

Извикват се цели числа a и b взаимно простиако нямат общи делители, различни от +1 и -1.

Най-големият общ делител

Дадени две положителни числа а 1 и а 2 1). Необходимо е да се намери общия делител на тези числа, т.е. намери такъв номер λ което разделя числата а 1 и а 2 едновременно. Нека опишем алгоритъма.

1) В тази статия думата номер ще означава цяло число.

Нека бъде а 1 ≥ а 2 и нека

където м 1 , а 3 някои цели числа, а 3 <а 2 (остатък от разделяне а 1 нататък а 2 трябва да е по-малко а 2).

Нека се престорим на това λ разделя а 1 и а 2, тогава λ разделя м 1 а 2 и λ разделя а 1 −м 1 а 2 =а 3 (Изложение 2 на статията "Делимост на числата. Знак за делимост"). Оттук следва, че всеки общ делител а 1 и а 2 е често срещан фактор а 2 и а 3. Обратното също е вярно, ако λ общ делител а 2 и а 3, тогава м 1 а 2 и а 1 =м 1 а 2 +а 3 също са разделени на λ ... Оттук и общият делител а 2 и а 3 също е общ делител а 1 и а 2. Защото а 3 <а 2 ≤а 1, тогава можем да кажем, че решението на проблема за намиране на общия делител на числата а 1 и а 2 се свежда до по-простия проблем за намиране на общия делител на числата а 2 и а 3 .

Ако а 3 ≠ 0, тогава можем да разделим а 2 нататък а 3. Тогава

,

където м 1 и а 4 някои цели числа, ( а 4 остатък а 2 нататък а 3 (а 4 <а 3)). Чрез подобни разсъждения стигаме до извода, че общите делители на числата а 3 и а 4 са същите като обикновените делители а 2 и а 3, а също и с общи фактори а 1 и а 2. Защото а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... числата непрекъснато намаляват и тъй като между тях има краен брой цели числа а 2 и 0, след това на някаква стъпка н, остатък от разделението а n на а n + 1 ще бъде равно на нула ( а n + 2 \u003d 0).

.

Всеки общ делител λ числа а 1 и а 2 също е делител на числата а 2 и а 3 , а 3 и а 4 , .... а n и а n + 1. И обратното също е вярно, общи делители на числата а n и а n + 1 също са делители на числата а n - 1 и а н, ...., а 2 и а 3 , а 1 и а 2. Но общият делител на числата а n и а n + 1 е числото а n + 1, защото а n и а n + 1 се делят на а n + 1 (не забравяйте това а n + 2 \u003d 0). Следователно а n + 1 също е делител на числата а 1 и а 2 .

Имайте предвид, че номерът а n + 1 е най-големият делител на числата а n и а n + 1, тъй като най-големият делител а n + 1 е себе си а n + 1. Ако а n + 1 може да бъде представено като произведение на цели числа, тогава тези числа също са общи делители на числата а 1 и а 2. Брой а n + 1 се извикват най-големият общ фактор числа а 1 и а 2 .

Числа а 1 и а 2 могат да бъдат както положителни, така и отрицателни числа. Ако едно от числата е нула, тогава най-големият общ делител на тези числа ще бъде равен на абсолютната стойност на другото число. Най-големият общ делител на нулеви числа е неопределен.

Горният алгоритъм се извиква алгоритъм на Евклидза да се намери най-големият общ делител на две цели числа.

Пример за намиране на най-големия общ делител на две числа

Намерете най-големия общ множител на две числа 630 и 434.

• Стъпка 1. Разделете числото 630 на 434. Остатъкът е 196.
• Стъпка 2. Разделете числото 434 на 196. Остатъкът е 42.
• Стъпка 3. Разделете 196 на 42. Остатъкът е 28.
• Стъпка 4. Разделете 42 на 28. Остатъкът е 14.
• Стъпка 5. Разделете числото 28 на 14. Остатъкът е 0.

В стъпка 5 остатъкът от делението е 0. Следователно най-големият общ делител на 630 и 434 е 14. Имайте предвид, че 2 и 7 са също делители на 630 и 434.

Взаимно прости числа

Определение 1. Нека най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 е равно на едно. След това се извикват тези числа взаимно прости числакоито нямат общ делител.

Теорема 1. Ако а 1 и а 2 съвместни числа и λ някакво число, след това всеки общ делител на числата λa 1 и а 2 също е общ делител на числата λ и а 2 .

Доказателства. Помислете за алгоритъма на Евклид за намиране на най-големия общ делител на числата а 1 и а 2 (виж по-горе).

.

От условията на теоремата следва, че най-големият общ делител на числата а 1 и а 2 и следователно а n и а n + 1 е 1. Тоест, а n + 1 \u003d 1.

Умножаваме всички тези равенства по λ тогава

.

Нека общият делител а 1 λ и а 2 е δ ... Тогава δ е фактор в а 1 λ , м 1 а 2 λ и в а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ (виж "Делимост на числата", изявление 2). Освен това δ е фактор в а 2 λ и м 2 а 3 λ , и следователно е фактор за а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Като разсъждаваме по този начин, ние сме убедени, че δ е фактор в а n - 1 λ и м n - 1 а н λ , и следователно в а n - 1 λ −м n - 1 а н λ =а n + 1 λ ... Защото а n + 1 \u003d 1, тогава δ е фактор в λ ... Оттук и числото δ е общ делител на числата λ и а 2 .

Помислете за специални случаи на теорема 1.

Последствие 1. Нека бъде а и ° С прости числа относителни б... След това техният продукт ак е просто число спрямо б.

Наистина ли. От теорема 1 ак и б имат същите общи фактори като ° С и б... Но цифрите ° С и б взаимно прости, т.е. имат уникален общ делител 1. Тогава ак и б имат и уникален общ делител 1. Следователно ак и б взаимно прости.

Последствие 2. Нека бъде а и б съвместни числа и нека б разделя ак... Тогава б разделя и к.

Наистина ли. От условието на изявлението ак и б имат общ делител б... По теорема 1, б трябва да е общ фактор б и к... Следователно б разделя к.

Следствие 1 може да бъде обобщено.

Последствие 3. 1. Оставете числата а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m просто спрямо число б... Тогава а 1 а 2 , а 1 а 2 а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 а m, произведението на тези числа е просто по отношение на числото б.

2. Нека имаме два реда числа

така, че всяко число в първия ред да е просто спрямо всяко число във втория ред. След това продукта

Необходимо е да се намерят числа, които се делят на всяко от тези числа.

Ако числото се дели на а 1, тогава има формата sa 1, където с произволно число. Ако q е най-големият общ делител на числата а 1 и а 2, тогава

където с 1 е някакво цяло число. Тогава

е най-малко често срещаните кратни а 1 и а 2 .

а 1 и а 2 coprime, тогава най-малкото често кратно на числата а 1 и а 2:

Намерете най-малкото общо кратно на тези числа.

От горното следва, че всяко кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 трябва да е кратно на числата ε и а 3 и обратно. Нека най-малкото общо кратно на числата ε и а 3 е ε един. Освен това, кратно на числа а 1 , а 2 , а 3 , а 4 трябва да е кратно на числата ε 1 и а четири. Нека най-малкото общо кратно на числата ε 1 и а 4 там ε 2. Така открихме, че всички кратни на числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m съвпадат с кратни на някакво определено число ε n, което се нарича най-малкото общо кратно на дадените числа.

В специалния случай, когато числата а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m са съвместни, тогава най-малкото общо кратно на числата а 1 , а 2, както е показано по-горе, има формата (3). Освен това, тъй като а 3 главни по отношение на числата а 1 , а 2, тогава а 3 първо число а един · а 2 (Следствие 1). Най-малко често кратно на числа а 1 ,а 2 ,а 3 е числото а един · а 2 а 3. Аргументирайки по подобен начин, стигаме до следните твърдения.

Изявление 1. Най-малко често кратно на съвместни числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m е равно на техния продукт а един · а 2 а 3 а м.

Изявление 2. Всяко число, което се дели на всяко от съвместните числа а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m също се дели на техния продукт а един · а 2 а 3 а м.

Как да намерим LCM (най-малко честото множество)

Най-малкото общо кратно на две цели числа е най-малкото от всички цели числа, което се дели равномерно на двете дадени числа.

Метод 1... Можете да намерите LCM от своя страна за всяко от дадените числа, като напишете във възходящ ред всички числа, които се получават, като ги умножите по 1, 2, 3, 4 и т.н.

Пример за числа 6 и 9.
Умножаваме числото 6 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 6, 12, 18 , 24, 30
Умножаваме числото 9 последователно по 1, 2, 3, 4, 5.
Получаваме: 9, 18 , 27, 36, 45
Както можете да видите, LCM за числа 6 и 9 ще бъде 18.

Този метод е удобен, когато и двете числа са малки и се умножават лесно по последователност от цели числа. Има обаче моменти, когато трябва да намерите LCM за двуцифрени или трицифрени числа, както и когато оригиналните числа са три или дори повече.

Метод 2... Можете да намерите LCM, като разширите оригиналните числа в прости множители.
След разширяването е необходимо да се зачеркнат същите числа от получената поредица от прости фактори. Останалите числа от първото число ще бъдат фактор за второто, а останалите числа от второто ще бъдат фактор за първото.

Примерза числото 75 и 60.
Най-малкото често кратно на 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратните на тези числа в един ред. За целта разширяваме 75 и 60 в основни фактори:
75 = 3 * 5 * 5, а
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Както можете да видите, фактори 3 и 5 се намират и в двата реда. Психически ги „зачеркваме“.
Нека запишем останалите фактори, включени в разлагането на всяко от тези числа. При разширяване на числото 75 ни остава числото 5, а при разлагане на числото 60 имаме 2 * 2
И така, за да определим LCM за числа 75 и 60, трябва да умножим останалите числа от разлагането на 75 (това е 5) по 60 и числата, останали от разлагането на числото 60 (това е 2 * 2) умножете по 75. Тоест за по-лесно разбиране казваме, че умножаваме „на кръст“.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
По този начин намерихме LCM за числата 60 и 75. Това е числото 300.

Пример... Определете LCM за числа 12, 16, 24
В този случай нашите действия ще бъдат малко по-сложни. Но първо, както винаги, ние разлагаме всички числа в основни фактори
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
За да определим правилно LCM, ние избираме най-малкото от всички числа (това е числото 12) и последователно преминаваме през неговите фактори, като ги зачертаваме, ако поне една от останалите серии от числа има същия, все още не е зачеркнат фактор.

Етап 1 . Виждаме, че 2 * 2 се среща във всички редове от числа. Зачеркваме ги.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Стъпка 2. При простите множители на числото 12 остава само числото 3. Но то присъства в простите множители на числото 24. Зачертайте числото 3 от двата реда, докато за числото 16 не се предполага действие.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Както можете да видите, при разширяване на числото 12, ние "зачеркнахме" всички числа. Това означава, че констатацията на NOC е завършена. Остава само да се изчисли стойността му.
За числото 12 вземаме останалите множители на числото 16 (най-близкото във възходящ ред)
12 * 2 * 2 = 48
Това е NOC

Както можете да видите, в този случай намирането на LCM беше малко по-трудно, но когато трябва да го намерите за три или повече числа, този метод ви позволява да го направите по-бързо. И двата метода за намиране на LCM са правилни.

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Извикват се числата, с които числото се дели равномерно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) делители... Делител на естествено число а е естествено число, което разделя дадено число а без остатък. Извиква се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи фактори. Това са числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общ делител на две дадени числа а и б е числото, с което и двете дадени числа се делят без остатък аи б.

Общо множествено множество числа е число, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 са и техните общи кратни. Сред всички j кратни кратни винаги има най-малката, в този случай тя е 90. Това число се нарича най-малкиятчесто кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е определено.

Най-малко често срещано множество (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са съвместни числа, тогава:

Най-малко често кратно на две цели числа ми н е делител на всички други общи кратни ми н... Освен това множеството от общи кратни m, n съвпада с множеството кратни за LCM ( m, n).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции за числата.

Така, Функция Чебишев ... И:

Това следва от дефиницията и свойствата на функцията на Ландау g (n).

Какво следва от закона за разпределение на прости числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

LCM ( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека бъде известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

където p 1, ..., p k - различни прости числа и d 1, ..., d k и e 1, ..., e k - неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число липсва в разширяването).

След това LCM ( а,б) се изчислява по формулата:

С други думи, разширяването на LCM съдържа всички основни фактори, които се появяват в поне едно от разширенията на числата а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да бъде сведено до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

Правило. За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- да разложи числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение във факторите на желания продукт (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете факторите от разширяването на други числа, които не се срещат в първото число или са в то по-малко пъти;

- полученото произведение на прости фактори ще бъде LCM на дадените числа.

Всяко две или повече естествени числа имат своите LCM. Ако числата не са кратни един на друг или нямат същите фактори в разширяването, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Главните множители на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с коефициент 3 (числа 21), полученото произведение (84) ще бъде най-малкото число, което се дели на 21 и 28.

Първичните фактори на най-голямото число 30 бяха допълнени с коефициент 5 от 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-големия номер 30 и е разделен на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкият продукт (150, 250, 300 ...), който е кратен на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че тяхната LCM е равна на произведението на дадените числа.

Правилото... За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа помежду си.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представете всяко число като произведение на неговите основни фактори, например:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степента на всички основни фактори:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички главни делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-високата степен на всеки от тях, намерена във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези градуси.

Пример ... Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости фактори и ги умножаваме:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.