Темата "Множество числа" се изучава в 5 клас средно училище. Целта му е да подобри писмените и устните умения за математически изчисления. В този урок се въвеждат нови понятия - "множествени числа" и "делители", отработва се техниката за намиране на делители и кратни на естествено число, способността за намиране на LCM по различни начини.

Тази тема е много важна. Знанията за него могат да бъдат приложени при решаване на примери с дроби. За това трябва да намерите общ знаменателчрез изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM).

Кратното на A е цяло число, което се дели на A без остатък.

Всяко естествено число има безкраен брой кратни на него. Смята се за най-малкото. Множество не може да бъде по-малко от самото число.

Необходимо е да се докаже, че числото 125 е кратно на числото 5. За да направите това, трябва да разделите първото число на второто. Ако 125 се дели на 5 без остатък, тогава отговорът е да.

Този метод е приложим за малки числа.

При изчисляване на LCM има специални случаи.

1. Ако трябва да намерите общо кратно за 2 числа (например 80 и 20), където едно от тях (80) се дели без остатък на другото (20), то това число (80) е най-малкото кратно на тези две числа.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ако две нямат общ делител, тогава можем да кажем, че тяхното LCM е произведение на тези две числа.

LCM (6, 7) = 42.

Помислете за последния пример. 6 и 7 по отношение на 42 са делители. Те делят кратно без остатък.

В този пример 6 и 7 са делители на двойки. Техният продукт е равен на най-кратното число (42).

Числото се нарича просто, ако се дели само на себе си или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Останалите се наричат ​​композитни.

В друг пример трябва да определите дали 9 е делител по отношение на 42.

42:9=4 (остатък 6)

Отговор: 9 не е делител на 42, защото отговорът има остатък.

Делителят се различава от кратното по това, че делителят е числото, на което се делят естествените числа, а самото кратно се дели на това число.

най-големият общ делителчисла аи б, умножено по най-малкото им кратно, ще даде произведението на самите числа аи б.

А именно: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Общите кратни за по-сложните числа се намират по следния начин.

Например, намерете LCM за 168, 180, 3024.

Ние разлагаме тези числа на прости множители, записваме ги като продукт на степени:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.

Признаци за делимост на естествени числа.

Извикват се числа, делими на 2 без остатъкдори .

Наричат ​​се числа, които не се делят равномерно на 2странно .

Знак за делимост на 2

Ако записът на естествено число завършва с четна цифра, тогава това число се дели на 2 без остатък, а ако записът на число завършва с нечетна цифра, тогава това число не се дели на 2 без остатък.

Например числата 60 , 30 8 , 8 4 се делят без остатък на 2, а числата 51 , 8 5 , 16 7 не се делят на 2 без остатък.

Знак за делимост на 3

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то числото също се дели на 3; Ако сборът от цифрите на едно число не се дели на 3, то числото не се дели на 3.

Например, нека разберем дали числото 2772825 се дели на 3. За да направите това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - се дели на 3 И така, числото 2772825 се дели на 3.

Знак за делимост на 5

Ако записът на естествено число завършва с 0 или 5, то това число се дели без остатък на 5. Ако записът на число завършва с различна цифра, то числото не може да се раздели на 5 без остатък.

Например числа 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 се делят без остатък на 5, а числата са 17 , 37 8 , 9 1 не споделяйте.

Знак за делимост на 9

Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 9, то числото също се дели на 9; Ако сборът от цифрите на дадено число не се дели на 9, то числото не се дели на 9.

Например, нека разберем дали числото 5402070 се дели на 9. За да направите това, изчисляваме сумата от цифрите на това число: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не се дели на 9. Това означава, че числото 5402070 не се дели на 9.

Знак за делимост на 10

Ако записът на естествено число завършва с цифрата 0, тогава това число се дели без остатък на 10. Ако записът на естествено число завършва с друга цифра, тогава то не се дели на 10 без остатък.

Например числата 40 , 17 0 , 1409 0 се делят без остатък на 10, а числата са 17 , 9 3 , 1430 7 - не споделяйте.

Правилото за намиране на най-големия общ делител (gcd).

За да намерите най-големия общ делител на няколко естествени числа, трябва:

2) от факторите, включени в разширяването на едно от тези числа, зачеркнете тези, които не са включени в разширението на други числа;

3) намерете произведението на останалите фактори.

Пример. Да намерим GCD (48;36). Нека използваме правилото.

1. Разлагаме числата 48 и 36 на прости множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. От факторите, включени в разширението на числото 48, изтриваме тези, които не са включени в разширението на числото 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Има фактори 2, 2 и 3.

3. Умножете останалите фактори и получете 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36.

GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Правилото за намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

За да намерите най-малкото общо кратно на няколко естествени числа, трябва:

1) да ги разложи на прости множители;

2) напишете коефициентите, включени в разширението на едно от числата;

3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;

4) намерете произведението на получените фактори.

Пример.Нека намерим LCM (75;60). Нека използваме правилото.

1. Разлагаме числата 75 и 60 на прости множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Запишете факторите, включени в разширението на числото 75: 3, 5, 5.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавете към тях липсващите фактори от разлагането на числото 60, т.е. 2, 2.

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Намерете произведението на получените фактори

NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Нека започнем да изучаваме най-малкото общо кратно на две или повече числа. В раздела ще дадем определение на термина, ще разгледаме теорема, която установява връзка между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител и ще дадем примери за решаване на задачи.

Общи кратни - определение, примери

В тази тема ще се интересуваме само от общи кратни на цели числа, различни от нула.

Определение 1

Общо кратно на цели числае цяло число, което е кратно на всички дадени числа. Всъщност това е всяко цяло число, което може да бъде разделено на всяко от дадените числа.

Определението за общи кратни се отнася до две, три или повече цели числа.

Пример 1

Според дефиницията, дадена по-горе за числото 12, общите кратни са 3 и 2. Също така числото 12 ще бъде общо кратно на числата 2, 3 и 4. Числата 12 и -12 са общи кратни на числата ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.

В същото време общото кратно за числата 2 и 3 ще бъдат числата 12 , 6 , − 24 , 72 , 468 , − 100 010 004 и редица други.

Ако вземем числа, които се делят на първото число от двойка и не се делят на второто, тогава такива числа няма да бъдат общи кратни. Така че за числата 2 и 3 числата 16 , − 27 , 5009 , 27001 няма да бъдат общи кратни.

0 е общо кратно на всеки набор от различни от нула цели числа.

Ако си припомним свойството на делимост по отношение на противоположни числа, тогава се оказва, че някакво цяло число k ще бъде общо кратно на тези числа по същия начин като числото - k . Това означава, че общите делители могат да бъдат както положителни, така и отрицателни.

Възможно ли е да се намери LCM за всички числа?

Общото кратно може да се намери за всякакви цели числа.

Пример 2

Да предположим, че ни е дадено кцели числа a 1 , a 2 , … , a k. Числото, което получаваме по време на умножението на числата a 1 a 2 ... a kспоред свойството на делимост, то ще бъде разделено на всеки от факторите, които са били включени в оригиналния продукт. Това означава, че произведението на числата a 1 , a 2 , … , a kе най-малкото общо кратно на тези числа.

Колко общи кратни могат да имат тези цели числа?

Група цели числа може да има голям брой общи кратни. Всъщност броят им е безкраен.

Пример 3

Да предположим, че имаме някакво число k. Тогава произведението на числата k · z , където z е цяло число, ще бъде общо кратно на числата k и z . Като се има предвид, че броят на числата е безкраен, тогава броят на общите кратни е безкраен.

Най-малко общо множество (LCM) – определение, символ и примери

Припомнете си концепцията за най-малкото число от даден комплектчисла, които обсъждахме в раздела Сравнение на цели числа. Имайки предвид тази концепция, формулираме определението за най-малкото общо кратно, което има най-голямо практическо значение сред всички общи кратни.

Определение 2

Най-малко общо кратно на дадени цели числае най-малкото положително общо кратно на тези числа.

Най-малкото общо кратно съществува за произволен брой дадени числа. Съкращението NOK е най-често използваното за обозначаване на понятие в справочната литература. Съкращение за най-малко общо множество за числа a 1 , a 2 , … , a kще изглежда като LCM (a 1, a 2, …, a k).

Пример 4

Най-малкото общо кратно на 6 и 7 е 42. Тези. LCM(6, 7) = 42. Най-малкото общо кратно на четири числа - 2, 12, 15 и 3 ще бъде равно на 60. Съкращението ще бъде LCM (- 2 , 12 , 15 , 3) ​​= 60 .

Не за всички групи от дадени числа най-малкото общо кратно е очевидно. Често трябва да се изчислява.

Връзка между NOC и NOD

Най-малкото общо кратно и най-големият общ делител са свързани. Връзката между понятията се установява от теоремата.

Теорема 1

Най-малкото общо кратно на две положителни числа a и b е равно на произведението на числата a и b, разделено на най-големия общ делител на числата a и b, тоест LCM (a, b) = a b: GCD (a , б) .

Доказателство 1

Да предположим, че имаме някакво число M, което е кратно на числа a и b. Ако числото M се дели на a , има и някакво цяло число z , при което равенството M = a k. Според определението за делимост, ако M също се дели на б, така че след това а кразделена на б.

Ако въведем нова нотация за gcd (a , b) като д, тогава можем да използваме равенствата a = a 1 dи b = b 1 · d . В този случай и двете равенства ще бъдат взаимно прости числа.

Вече установихме по-горе а кразделена на б. Сега това условие може да се запише по следния начин:
a 1 d kразделена на б 1 г, което е еквивалентно на условието а 1 кразделена на б 1според свойствата на делимост.

Според свойството на относително прости числа, ако а 1и б 1са взаимно прости числа, а 1не се дели на б 1въпреки факта, че а 1 кразделена на б 1, тогава б 1трябва да споделя к.

В този случай би било уместно да се приеме, че има номер т, за което k = b 1 t, и тъй като b1=b:d, тогава k = b: d t.

Сега вместо кпоставени в равенство M = a kизразяване на формата б: г т. Това ни позволява да стигнем до равенство M = a b: d t. В t=1можем да получим най-малкото положително общо кратно на a и b , равни а б: г, при условие че числата a и b положителен.

Така че ние доказахме, че LCM (a, b) = a b: GCD (а, б).

Установяването на връзка между LCM и GCD ви позволява да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител на две или повече дадени числа.

Определение 3

Теоремата има две важни следствия:

• кратните на най-малкото общо кратно на две числа са същите като общите кратни на тези две числа;
• най-малкото общо кратно на взаимно простото число положителни числа a и b е равно на тяхното произведение.

Не е трудно да се обосноват тези два факта. Всяко общо кратно на M числа a и b се дефинира от равенството M = LCM (a, b) t за някакво цяло число t. Тъй като a и b са взаимно прости, тогава gcd (a, b) = 1, следователно LCM (a, b) = a b: gcd (a, b) = a b: 1 = a b.

Най-малкото общо кратно на три или повече числа

За да намерите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва последователно да намерите LCM на две числа.

Теорема 2

Нека се преструваме a 1 , a 2 , … , a kса някои положителни числа. За изчисляване на LCM м ктези числа трябва да изчислим последователно m2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = НОК(m 2 , a 3) , … , m k = НОК(m k - 1, a k) .

Доказателство 2

Първото следствие от първата теорема, обсъждана в тази тема, ще ни помогне да докажем правилността на втората теорема. Разсъжденията се изграждат по следния алгоритъм:

• общи кратни на числата а 1и а 2съвпадат с кратни на техния LCM, всъщност те съвпадат с кратни на числото m2;
• общи кратни на числата а 1, а 2и а 3 m2и а 3 м 3;
• общи кратни на числата a 1 , a 2 , … , a kсъвпадат с общи кратни на числата m k - 1и а к, следователно, съвпадат с кратни на числото м к;
• поради факта, че най-малкото положително кратно на числото м ке самото число м к, след това най-малкото общо кратно на числата a 1 , a 2 , … , a kе м к.

И така, доказахме теоремата.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно на две или друг брой числа.

Калкулатор за намиране на GCD и NOC

Намерете GCD и NOC

Намерени GCD и NOC: 6433

Как да използвате калкулатора

• Въведете числа в полето за въвеждане
• В случай на въвеждане на неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
• натиснете бутона "Намерете GCD и NOC"

Как да въвеждате числа

• Числата се въвеждат разделени с интервали, точки или запетаи
• Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на gcd и lcm на дълги числа няма да е трудно

Какво е NOD и NOK?

Най-голям общ делителот няколко числа е най-голямото естествено число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ делител се съкращава като GCD.
Най-малко общо кратномножество числа е най-малкото число, което се дели на всяко от изходните числа без остатък. Най-малкото общо кратно е съкратено като НОК.

Как да проверите дали едно число се дели на друго число без остатък?

За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои свойства на делимост на числата. След това, като ги комбинирате, може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.

Някои признаци за делимост на числата

1. Знак за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е равно на 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава, че се дели на 2.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 2.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото се дели на две.

2. Знак за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от цифрите му се дели на 3. По този начин, за да определите дали едно число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сумата от цифрите се оказа много голяма, можете да повторите същия процес отново.
пример:определете дали числото 34938 се дели на 3.
решение:броим сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.

3. Знак за делимост на число на 5
Числото се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 5.
решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.

4. Знак за делимост на число на 9
Този знак е много подобен на знака за делимост на три: числото се дели на 9, когато сборът от цифрите му се дели на 9.
пример:определи дали числото 34938 се дели на 9.
решение:изчисляваме сбора от цифрите: 3+4+9+3+8 = 27. 27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.

Как да намерите GCD и LCM на две числа

Как да намерите GCD на две числа

Повечето по прост начинизчисляването на най-големия общ делител на две числа е да се намерят всички възможни делители на тези числа и да се избере най-големият от тях.

Помислете за този метод, като използвате примера за намиране на GCD(28, 36) :

1. Разлагаме на множители и двете числа: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Намираме общи фактори, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
3. Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 2 2 \u003d 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.

Как да намерите LCM на две числа

Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да се намери GCD на тези числа. Нека просто го разгледаме.

За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:

1. Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) вече е известно, че е 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Намиране на GCD и LCM за множество числа

Най-големият общ делител може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се намерят за най-големия общ делител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите множители първични факторитези числа. Също така, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Подобно отношение важи и за най-малкото общо кратно на числата: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

пример:намерете GCD и LCM за числа 12, 32 и 36.

1. Първо, нека разложим числата на множители: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Нека намерим общи фактори: 1, 2 и 2.
3. Техният продукт ще даде gcd: 1 2 2 = 4
4. Сега нека намерим LCM: за това първо намираме LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. За да намерите LCM и на трите числа, трябва да намерите GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Нека продължим дискусията за най-малкото общо кратно, която започнахме в раздела LCM - Най-малко общо множество, определение, примери. В тази тема ще разгледаме начини за намиране на LCM за три или повече числа, ще анализираме въпроса как да намерим LCM на отрицателно число.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Изчисляване на най-малкото общо кратно (LCM) чрез gcd

Вече установихме връзката между най-малкото общо кратно и най-големия общ делител. Сега нека се научим как да дефинираме LCM чрез GCD. Първо, нека да разберем как да направим това за положителни числа.

Определение 1

Можете да намерите най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител, като използвате формулата LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Пример 1

Необходимо е да се намери LCM на числата 126 и 70.

Решение

Да вземем a = 126 , b = 70 . Заменете стойностите във формулата за изчисляване на най-малкото общо кратно чрез най-големия общ делител LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Намира GCD на числата 70 и 126. За това ни е необходим алгоритъмът на Евклид: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , следователно gcd (126 , 70) = 14 .

Нека изчислим LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Отговор: LCM (126, 70) = 630.

Пример 2

Намерете ноктите на числата 68 и 34.

Решение

GCD в този случайНамирането му е лесно, тъй като 68 се дели на 34. Изчислете най-малкото общо кратно, като използвате формулата: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Отговор: LCM(68, 34) = 68.

В този пример използвахме правилото за намиране на най-малкото общо кратно на положителни цели числа a и b: ако първото число се дели на второто, тогава LCM на тези числа ще бъде равно на първото число.

Намиране на LCM чрез разлагане на числата в прости фактори

Сега нека разгледаме начин за намиране на LCM, който се основава на разлагането на числата в прости множители.

Определение 2

За да намерим най-малкото общо кратно, трябва да изпълним няколко прости стъпки:

• съставяме произведението на всички прости множители на числата, за които трябва да намерим LCM;
• изключваме всички основни фактори от получените продукти;
• произведението, получено след елиминиране на общите прости множители, ще бъде равно на LCM на дадените числа.

Този начин за намиране на най-малкото общо кратно се основава на равенството LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) . Ако погледнете формулата, става ясно: произведението на числата a и b е равно на произведението на всички фактори, които участват в разширяването на тези две числа. В този случай GCD на две числа е равна на произведението на всички прости множители, които присъстват едновременно във факторизацията на тези две числа.

Пример 3

Имаме две числа 75 и 210. Можем да ги разделим по следния начин: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Ако направите произведението на всички фактори на двете оригинални числа, получавате: 2 3 3 5 5 5 7.

Ако изключим факторите, общи за числата 3 и 5, получаваме произведение от следния вид: 2 3 5 5 7 = 1050. Този продукт ще бъде нашият LCM за числата 75 и 210.

Пример 4

Намерете LCM на числата 441 и 700 , разлагайки двете числа на прости множители.

Решение

Нека намерим всички прости множители на числата, дадени в условието:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Получаваме две вериги от числа: 441 = 3 3 7 7 и 700 = 2 2 5 5 7 .

Произведението на всички фактори, участвали в разширяването на тези числа, ще изглежда така: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нека намерим общите фактори. Това число е 7. Изключваме го от общия продукт: 2 2 3 3 5 5 7 7. Оказва се, че НОК (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Отговор: LCM (441, 700) = 44 100 .

Нека дадем още една формулировка на метода за намиране на LCM чрез разлагане на числата на прости множители.

Определение 3

Преди това изключихме от общия брой фактори, общи за двете числа. Сега ще го направим по различен начин:

• Нека разложим двете числа на прости множители:
• добавете към произведението на простите множители на първото число липсващите множители на второто число;
• получаваме произведението, което ще бъде желаният LCM от две числа.

Пример 5

Нека се върнем към числата 75 и 210 , за които вече потърсихме LCM в един от предишните примери. Нека ги разделим на прости фактори: 75 = 3 5 5и 210 = 2 3 5 7. Към произведението на фактори 3 , 5 и 5 номер 75 добавете липсващите фактори 2 и 7 числа 210 . Получаваме: 2 3 5 5 7 .Това е LCM на числата 75 и 210.

Пример 6

Необходимо е да се изчисли LCM на числата 84 и 648.

Решение

Нека разложим числата от условието на прости множители: 84 = 2 2 3 7и 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Добавете към произведението на факторите 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 липсващи множители 2 , 3 , 3 и
3 числа 648 . Получаваме продукта 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Това е най-малкото общо кратно на 84 и 648.

Отговор: LCM (84, 648) = 4536.

Намиране на LCM от три или повече числа

Независимо с колко числа имаме работа, алгоритъмът на нашите действия винаги ще бъде един и същ: последователно ще намерим LCM от две числа. Има теорема за този случай.

Теорема 1

Да предположим, че имаме цели числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК м кот тези числа се намира при последователно изчисление m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Сега нека разгледаме как теоремата може да се приложи към конкретни проблеми.

Пример 7

Трябва да изчислите най-малкото общо кратно на четирите числа 140 , 9 , 54 и 250 .

Решение

Нека представим обозначението: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Нека започнем с изчисляването на m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Нека използваме алгоритъма на Евклид, за да изчислим GCD на числата 140 и 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Получаваме: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Следователно m 2 = 1 260 .

Сега нека изчислим по същия алгоритъм m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . В хода на изчисленията получаваме m 3 = 3 780.

Остава да изчислим m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) . Действаме по същия алгоритъм. Получаваме m 4 \u003d 94 500.

LCM на четирите числа от примерното условие е 94500.

Отговор: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Както можете да видите, изчисленията са прости, но доста трудоемки. За да спестите време, можете да отидете по другия път.

Определение 4

Предлагаме ви следния алгоритъм на действия:

• разлагам всички числа на прости множители;
• към произведението на факторите от първото число добавете липсващите фактори от произведението на второто число;
• към продукта, получен на предишния етап, добавяме липсващите фактори на третото число и т.н.;
• полученият продукт ще бъде най-малкото общо кратно на всички числа от условието.

Пример 8

Необходимо е да се намери LCM на пет числа 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Решение

Нека разложим всичките пет числа на прости множители: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . прости числа, което е числото 7 , не може да бъде разложено на прости фактори. Такива числа съвпадат с тяхното разлагане на прости множители.

Сега да вземем произведението на простите множители 2, 2, 3 и 7 на числото 84 и да добавим към тях липсващите множители на второто число. Разложихме числото 6 на 2 и 3. Тези фактори вече са в произведението на първото число. Затова ги пропускаме.

Продължаваме да събираме липсващите множители. Обръщаме се към числото 48, от произведението на простите множители на което вземаме 2 и 2. След това добавяме прост фактор 7 от четвъртото число и множители 11 и 13 от петото. Получаваме: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Това е най-малкото общо кратно на петте оригинални числа.

Отговор: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Намиране на най-малкото общо множество отрицателни числа

За да намерите най-малкото общо кратно отрицателни числа, тези числа трябва първо да бъдат заменени с числа с противоположен знак, и след това извършете изчисления съгласно горните алгоритми.

Пример 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) и LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Такива действия са допустими поради факта, че ако е прието, че аи − а- противоположни числа
след това множеството кратни асъвпада с множеството кратни на число − а.

Пример 10

Необходимо е да се изчисли LCM на отрицателните числа − 145 и − 45 .

Решение

Нека променим числата − 145 и − 45 към техните противоположни числа 145 и 45 . Сега, използвайки алгоритъма, изчисляваме LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , като предварително сме определили GCD с помощта на алгоритъма на Евклид.

Получаваме, че LCM на числа − 145 и − 45 се равнява 1 305 .

Отговор: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter