Знаменателят на аритметичната дроб a / b е числото b, което показва размерите на единичните фракции, които съставляват фракцията. Знаменателят на алгебричната дроб A / B е алгебричен израз Б. За да извършвате аритметични операции с дроби, те трябва да бъдат намалени до най-ниския общ знаменател.

Ще имаш нужда

• За да работите с алгебрични дроби, когато намирате най-ниския общ знаменател, трябва да знаете методите за факториране на полиноми.

Инструкции

Помислете за намаляването до най-ниския общ знаменател на две аритметични дроби n / m и s / t, където n, m, s, t са цели числа. Ясно е, че тези две фракции могат да бъдат намалени до всеки знаменател, делим на m и t. Но те се опитват да ги доведат до най-ниския общ знаменател. Той е равен на най-малкото общо кратно на знаменателите m и t на тези дроби. Най-малкото кратно (LCM) числа е най-малкото делимо на всички дадени числа едновременно. Тези. в нашия случай е необходимо да се намери най-малкото общо кратно на числата m и t. Означава се като LCM (m, t). След това фракциите се умножават по съответните: (n / m) * (LCM (m, t) / m), (s / t) * (LCM (m, t) / t).

Нека намерим най-малко общия знаменател на три дроби: 4/5, 7/8, 11/14. Първо, нека разширим знаменателите 5, 8, 14: 5 \u003d 1 * 5, 8 \u003d 2 * 2 * 2 \u003d 2 ^ 3, 14 \u003d 2 * 7. След това изчисляваме LCM (5, 8, 14), умножаване на всички числа, включени в поне едно от разширенията. LCM (5, 8, 14) \u003d 5 * 2 ^ 3 * 7 \u003d 280. Имайте предвид, че ако при разширяването на няколко числа възникне фактор (фактор 2 при разширяването на знаменателите 8 и 14), тогава вземаме фактора в по-голяма степен (2 ^ 3 в нашия случай).

И така, сумата е получена. Той е 280 \u003d 5 * 56 \u003d 8 * 35 \u003d 14 * 20. Тук получаваме числата, по които трябва да умножим дроби със съответните знаменатели, за да ги доведем до най-ниския общ знаменател. Получаваме 4/5 \u003d 56 * (4/5) \u003d 224/280, 7/8 \u003d 35 * (7/8) \u003d 245/280, 11/14 \u003d 20 * (11/14) \u003d 220/280.

Алгебричните дроби се свеждат до най-ниския общ знаменател по аналогия с аритметичните. За по-голяма яснота разгледайте проблема като пример. Нека бъдат дадени две фракции (2 * x) / (9 * y ^ 2 + 6 * y + 1) и (x ^ 2 + 1) / (3 * y ^ 2 + 4 * y + 1). Нека разделим и двата знаменателя. Имайте предвид, че знаменателят на първата дроб е пълен квадрат: 9 * y ^ 2 + 6 * y + 1 \u003d (3 * y + 1) ^ 2. За

Но много естествени числа се делят равномерно на други естествени числа.

например:

Числото 12 се дели на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

Числото 36 се дели на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Извикват се числата, с които числото се дели равномерно (за 12 това са 1, 2, 3, 4, 6 и 12) делители... Делител на естествено число а е естествено число, което разделя дадено число а без остатък. Извиква се естествено число, което има повече от два делителя композитен .

Обърнете внимание, че числата 12 и 36 имат общи фактори. Това са числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Най-големият делител на тези числа е 12. Общ делител на две дадени числа а и б е числото, с което и двете дадени числа се делят без остатък аи б.

Общо множествено множество числа е число, което се дели на всяко от тези числа. например, числата 9, 18 и 45 имат общо кратно на 180. Но 90 и 360 са и техните общи кратни. Сред всички j кратни кратни винаги има най-малката, в този случай тя е 90. Това число се нарича най-малкиятчесто кратно (LCM).

LCM винаги е естествено число, което трябва да е по-голямо от най-голямото от числата, за които е определено.

Най-малко често срещано множество (LCM). Имоти.

Комутативност:

Асоциативност:

По-специално, ако и са съвместни числа, тогава:

Най-малко често кратно на две цели числа ми н е делител на всички други общи кратни ми н... Освен това множеството от общи кратни m, n съвпада с множеството кратни за LCM ( m, n).

Асимптотиката за може да бъде изразена чрез някои теоретични функции за числата.

Така, Функция Чебишев ... И:

Това следва от дефиницията и свойствата на функцията на Ландау g (n).

Какво следва от закона за разпределение на прости числа.

Намиране на най-малкото общо кратно (LCM).

LCM ( а, б) може да се изчисли по няколко начина:

1. Ако е известен най-големият общ делител, можете да използвате връзката му с LCM:

2. Нека бъде известно каноничното разлагане на двете числа на прости множители:

където p 1, ..., p k - различни прости числа, и d 1, ..., d k и e 1, ..., e k - неотрицателни цели числа (те могат да бъдат нули, ако съответното просто число липсва в разширяването).

След това LCM ( а,б) се изчислява по формулата:

С други думи, разширяването на LCM съдържа всички основни фактори, които се появяват в поне едно от разширенията на числата а, б, и се взема най-големият от двата показателя на този фактор.

Пример:

Изчисляването на най-малкото общо кратно на няколко числа може да бъде сведено до няколко последователни изчисления на LCM на две числа:

Правило. За да намерите LCM на поредица от числа, трябва:

- да разложи числата на прости множители;

- прехвърлете най-голямото разширение във факторите на желания продукт (произведението на факторите на най-големия брой от дадените) и след това добавете факторите от разширяването на други числа, които не се срещат в първото число или са в то по-малко пъти;

- полученото произведение на прости фактори ще бъде LCM на дадените числа.

Всяко две или повече естествени числа имат своите LCM. Ако числата не са кратни един на друг или нямат същите фактори в разширяването, тогава техният LCM е равен на произведението на тези числа.

Първичните фактори на числото 28 (2, 2, 7) бяха допълнени с коефициент 3 (число 21), полученият продукт (84) ще бъде най-малкото числокоето се дели на 21 и 28.

Първичните фактори на най-голямото число 30 бяха допълнени с коефициент 5 от 25, полученият продукт 150 е по-голям от най-големия номер 30 и е разделен на всички дадени числа без остатък. Това е възможно най-малкият продукт (150, 250, 300 ...), който е кратен на всички дадени числа.

Числата 2,3,11,37 са прости, така че тяхната LCM е равна на произведението на дадените числа.

Правилото... За да изчислите LCM на прости числа, трябва да умножите всички тези числа помежду си.

Друг вариант:

За да намерите най-малкото общо кратно (LCM) на няколко числа, трябва:

1) представете всяко число като произведение на неговите основни фактори, например:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) запишете степента на всички основни фактори:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) запишете всички главни делители (множители) на всяко от тези числа;

4) изберете най-високата степен на всеки от тях, намерена във всички разширения на тези числа;

5) умножете тези градуси.

Пример ... Намерете LCM на числата: 168, 180 и 3024.

Решение ... 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 \u003d 2 2 2 2 3 3 3 7 \u003d 2 4 3 3 7 1.

Записваме най-големите степени на всички прости фактори и ги умножаваме:

LCM \u003d 2 4 3 3 5 1 7 1 \u003d 15 120.

Повечето операции с алгебрични дроби, като събиране и изваждане, изискват предварително намаляване на тези дроби до същите знаменатели... Такива знаменатели също често се означават с фразата „ общ знаменател". В тази тема ще разгледаме дефиницията на понятията „общ знаменател на алгебрични дроби“ и „най-малък общ знаменател на алгебрични дроби (LCF)“, ще разгледаме алгоритъма за намиране на общия знаменател точка по точка и ще решим няколко проблема по темата .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общ знаменател на алгебрични дроби

Ако говорим за обикновени дроби, тогава общият знаменател е число, което се дели на някой от знаменателите на първоначалните дроби. За общи фракции 1 2 и 5 9 36 може да бъде общ знаменател, тъй като се дели на 2 и 9 без остатък.

Общият знаменател на алгебрични дроби се дефинира по подобен начин, вместо числа се използват само полиноми, тъй като те са тези в числителите и знаменателите на алгебрична дроб.

Определение 1

Общ знаменател на алгебрична дробЕ полином, който се дели на знаменателя на която и да е от фракциите.

Във връзка с особеностите на алгебричните дроби, които ще бъдат разгледани по-долу, често ще се занимаваме с общи знаменатели, представени под формата на произведение, а не под формата на стандартен полином.

Пример 1

Полиномът, написан като произведение 3 x 2 (x + 1), съответства на стандартен полином 3 x 3 + 3 x 2... Този полином може да бъде общият знаменател на алгебрични дроби 2 x, - 3 x y x 2 и y + 3 x + 1, поради факта, че се дели на х, На x 2 и нататък x + 1... Информация за делимостта на многочлените е в съответната тема на нашия ресурс.

Най-малко общ знаменател (LCN)

За дадени алгебрични дроби броят на общите знаменатели може да бъде безкраен.

Пример 2

Да вземем дроби 1 2 x и x + 1 x 2 + 3 като пример. Техният общ знаменател е 2 x (x 2 + 3)като - 2 x (x 2 + 3)като x (x 2 + 3)като 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4)като - 31 x 5 (x 2 + 3) 3и т.н.

Когато решавате проблеми, можете да улесните работата си, като използвате общ знаменател, който сред целия набор от знаменатели има най-простата форма. Този знаменател често се нарича най-ниският общ знаменател.

Определение 2

Най-малко общ знаменател на алгебрични дроби Е общият знаменател на алгебрични дроби, който има най-простата форма.

Между другото, терминът "най-нисък общ знаменател" не е общоприет, поради което е по-добре да се ограничим до термина "общ знаменател". И ето защо.

По-рано насочихме вниманието ви към фразата „знаменателят на най-много прост вид". Основното значение на тази фраза е следното: всеки друг общ знаменател на данните в условието на задачата за алгебричните дроби трябва да бъде разделен без остатък от знаменателя на най-простата форма. Освен това в продукта, който е общият знаменател на фракциите, можете да използвате различни числени коефициенти.

Пример 3

Вземете дробовете 1 2 x и x + 1 x 2 + 3. Вече разбрахме, че най-лесният начин да работим за нас ще бъде с общ знаменател на формата 2 x (x 2 + 3). Също така, общият знаменател за тези две дроби може да бъде x (x 2 + 3)който не съдържа цифров коефициент. Въпросът е кой от тези два общи знаменателя е най-ниският общ знаменател на дроби. Няма категоричен отговор, следователно е по-правилно да се говори просто за общ знаменател и да се вземе в действие опцията, с която ще бъде най-удобно да се работи. Така че, можем да използваме такива общи знаменатели като x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) или - 15 x 5 (x 2 + 3) 3които имат повече сложен изгледно може да е по-трудно да се справите с тях.

Намиране на общия знаменател на алгебрични дроби: алгоритъм на действията

Да предположим, че имаме няколко алгебрични дроби, за които трябва да намерим общ знаменател. За да разрешим този проблем, можем да използваме следния алгоритъм от действия. Първо, трябва да разделим знаменателите на първоначалните дроби. След това съставяме творба, в която последователно включваме:

• всички фактори от знаменателя на първата дроб, заедно с правомощия;
• всички фактори, присъстващи в знаменателя на втората дроб, но които не са в писмената работа или степента им не е достатъчна;
• всички липсващи фактори от знаменателя на третата дроб и т.н.

Полученият продукт ще бъде общият знаменател на алгебрични дроби.

Като умножители на произведението можем да вземем всички знаменатели на фракциите, дадени в постановката на задачата. Мултипликаторът, който получаваме в крайна сметка обаче, ще бъде далеч от NOZ по смисъл и използването му ще бъде ирационално.

Пример 4

Намерете общия знаменател на дроби 1 x 2 y, 5 x + 1 и y - 3 x 5 y.

Решение

В този случай не е нужно да отчитаме знаменателите на оригиналните дроби. Следователно ще започнем да прилагаме алгоритъма чрез съставяне на произведение.

От знаменателя на първата дроб вземаме множителя х 2 г., от знаменателя на втората дроб дроб x + 1... Получаваме работата x 2 y (x + 1).

Знаменателят на третата дроб може да ни даде множител х 5 г.обаче в работата, която сме събрали по-рано, вече има фактори x 2 и у... Затова добавяме още x 5 - 2 \u003d x 3... Получаваме работата x 2 y (x + 1) x 3които могат да се сведат до формата x 5 y (x + 1)... Това ще бъде нашата NOZ на алгебрични дроби.

Отговор: x 5 y (x + 1).

Сега ще разгледаме примери за проблеми, когато знаменателите на алгебрични дроби съдържат целочислени числови фактори. В такива случаи ние също действаме в съответствие с алгоритъма, след като преди това разложихме целочислени числови фактори на прости фактори.

Пример 5

Намерете общия знаменател на дроби 1 12 x и 1 90 x 2.

Решение

Разширявайки числата в знаменателите на фракциите в прости множители, получаваме 1 2 2 3 x и 1 2 3 2 5 x 2. Вече можем да преминем към съставяне на общ знаменател. За това от знаменателя на първата фракция вземаме произведението 2 2 3 x и добавете факторите 3, 5 и х от знаменателя на втората дроб. Получаваме 2 2 3 x 3 5 x \u003d 180 x 2... Това е нашият общ знаменател.

Отговор: 180 х 2.

Ако се вгледате внимателно в резултатите от двата анализирани примера, можете да видите, че общите знаменатели на фракциите съдържат всички фактори, присъстващи в разширенията на знаменателите, и ако определен фактор присъства в няколко знаменателя, тогава той се приема с най-големият наличен експонент. И ако знаменателите имат целочислени коефициенти, тогава в общия знаменател има числов коефициент, равен на най-малкото общо кратно на тези числови коефициенти.

Пример 6

Знаменателите на двете алгебрични дроби 1 12 x и 1 90 x 2 имат коефициент х... Във втория случай коефициентът x е на квадрат. За да съставим общ знаменател, трябва да вземем този фактор в най-голяма степен, т.е. x 2... Няма други умножители с променливи. Цели числови коефициенти на оригиналните дроби 12 и 90 , а най-рядко срещаното им кратно е 180 ... Оказва се, че търсеният общ знаменател има формата 180 х 2.

Сега можем да напишем друг алгоритъм за намиране на общия коефициент на алгебричните дроби. За това ние:

• ние разлагаме знаменателите на всички дроби на фактори;
• съставяме произведението на всички буквени фактори (ако има коефициент в няколко разширения, ние вземаме опцията с най-високата степен);
• добавете LCM на числените коефициенти на разширение към получения продукт.

Дадените алгоритми са еквивалентни, така че всеки от тях може да се използва при решаване на проблеми. Важно е да обърнете внимание на детайлите.

Има моменти, когато общите фактори в знаменателите на дроби може да не се виждат зад числовите коефициенти. Тук е препоръчително първо да се извадят числовите коефициенти при по-високите степени на променливите извън скобите във всеки от факторите в знаменателя.

Пример 7

Какъв е общият знаменател на дроби 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10.

Решение

В първия случай минус един трябва да бъде изваден от скобите. Получаваме 3 - x - 5. Умножете числителя и знаменателя по - 1, за да се отървете от минуса в знаменателя: - 3 x - 5.

Във втория случай изваждаме две от скобата. Това ни позволява да получим дроба 5 - x · y 2 2 · x - 5.

Очевидно е, че общият знаменател на тези алгебрични дроби - 3 x - 5 и 5 - x y 2 2 x - 5 е 2 (x - 5).

Отговор: 2 (x - 5).

Данните за фракциите в декларацията за проблема могат да имат дробни коефициенти. В тези случаи първо трябва да се отървете от дробните коефициенти, като умножите числителя и знаменателя по някакво число.

Пример 8

Опростете алгебрични дроби 1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 и - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 и след това определете общия им знаменател.

Решение

Нека се отървем от дробните коефициенти, като умножим числителя и знаменателя в първия случай с 14, във втория случай с 3. Получаваме:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 \u003d 7 x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 \u003d 3 - 2 3 2 3 x 2 + 4 3 \u003d - 6 2 x 2 + 4 \u003d - 6 2 x 2 + 2.

След извършените трансформации става ясно, че общият знаменател е 2 (x 2 + 2).

Отговор: 2 (x 2 + 2).

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

Кратно е число, което се дели равномерно на дадено число. Най-малкото общо кратно (LCM) на група от числа е най-малкото число, което се дели равномерно на всяко число в групата. За да намерите най-малкото общо кратно, трябва да намерите основните множители на дадените числа. LCM може да се изчисли и с помощта на редица други методи, приложими за групи от две или повече числа.

Стъпки

Поредица от кратни

Погледнете дадените числа. Описаният тук метод е най-добре да се използва, когато са дадени две числа, всяко от които е по-малко от 10. Ако числата са големи, използвайте различен метод.

• Например намерете най-малкото общо кратно на 5 и 8. Това са малки числа, така че можете да използвате този метод.

1. Кратно е число, което се дели равномерно на дадено число. В таблицата за умножение могат да бъдат намерени множество числа.

   • Например числата, кратни на 5, са: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Запишете поредица от числа, кратни на първото число. Направете това под кратните на първото число, за да сравните два реда числа.

   • Например числата, кратни на 8, са: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 и 64.

3. Намерете най-малкото число, което се появява в двата реда на кратни. Може да се наложи да напишете дълги поредици от кратни, за да намерите общ брой... Най-малкото число, което се появява в двата реда кратни, е най-малкото общо кратно.

   • Например, най-малкото число, което се появява в поредица от кратни на 5 и 8, е 40. Следователно 40 е най-малкото често кратно на 5 и 8.

   Главно факторизиране

   1. Погледнете дадените числа. Методът, описан тук, е най-добре да се използва, когато са дадени две числа, всяко от които е по-голямо от 10. Ако са дадени по-малки числа, използвайте различен метод.

      • Например намерете най-ниското общо кратно на 20 и 84. Всяко от числата е по-голямо от 10, така че можете да използвате този метод.

   2. Факторирайте първото число в прости множители. Тоест, трябва да намерите такива прости числа, при умножаването на които получавате даденото число. След като намерите основните фактори, запишете ги като равенства.

      • Например, 2 × 10 \u003d 20 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ по 10 \u003d 20) и 2 × 5 \u003d 10 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ пъти (\\ mathbf (5)) \u003d 10)... По този начин, по прости фактори числата 20 са числата 2, 2 и 5. Запишете ги като израз :.

   3. Разделете второто число на прости множители. Направете го по същия начин, както сте разделили на числото първото число, тоест намерете простите числа, които, умножени, ще дадат даденото число.

      • Например, 2 × 42 \u003d 84 (\\ displaystyle (\\ mathbf (2)) \\ по 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (\\ displaystyle (\\ mathbf (7)) \\ по 6 \u003d 42) и 3 × 2 \u003d 6 (\\ displaystyle (\\ mathbf (3)) \\ пъти (\\ mathbf (2)) \u003d 6)... По този начин основните фактори на 84 са 2, 7, 3 и 2. Запишете ги като израз :.

   4. Запишете факторите, общи за двете числа. Запишете тези фактори като операция за умножение. Докато записвате всеки фактор, зачеркнете го и в двата израза (изрази, които описват прости факторизации).

      • Например общият фактор и за двете числа е 2, така че пишете 2 × (\\ displaystyle 2 \\ пъти) и зачеркнете 2 в двата израза.
      • Общото за двете числа е друг коефициент 2, така че пишете 2 × 2 (\\ displaystyle 2 \\ по 2) и зачеркнете втория 2 и в двата израза.

   5. Добавете останалите фактори към операцията за умножение. Това са фактори, които не са зачеркнати и в двата израза, тоест фактори, които не са общи за двете числа.

      • Например в израза 20 \u003d 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 20 \u003d 2 \\ по 2 \\ по 5) и двете 2 (2) са зачеркнати, защото са общи фактори. Факторът 5 не е зачеркнат, затова напишете операцията за умножение по следния начин: 2 × 2 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ по 2 \\ по 5)
      • В израза 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (\\ displaystyle 84 \u003d 2 \\ по 7 \\ по 3 \\ по 2) също зачеркна и двете двойки (2). Факторите 7 и 3 не са зачеркнати, затова напишете операцията за умножение по следния начин: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\\ displaystyle 2 \\ по 2 \\ по 5 \\ по 7 \\ по 3).

   6. Изчислете най-малкото общо кратно. За да направите това, умножете числата в записаната операция за умножение.

      • Например, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (\\ displaystyle 2 \\ по 2 \\ по 5 \\ по 7 \\ по 3 \u003d 420)... Така че най-малкото общо кратно на 20 и 84 е 420.

   Намиране на общи делители

   1. Начертайте мрежата като за игра с тик-так. Такава решетка се състои от две успоредни линии, които се пресичат (под прав ъгъл) с другите две успоредни линии. Това ще доведе до три реда и три колони (мрежата е много подобна на знака #). Напишете първото число в първия ред и втората колона. Напишете второто число на първия ред и третата колона.

      • Например намерете най-малкото общо кратно на 18 и 30. Напишете 18 в първия ред и втората колона и напишете 30 в първия ред и третата колона.

   2. Намерете делителя, общ за двете числа. Запишете го на първия ред и първата колона. По-добре е да се търсят основни фактори, но това не е изискване.

      • Например 18 и 30 са четни числа, така че общият им фактор е 2. Така че напишете 2 в първия ред и първата колона.

   3. Разделете всяко число на първия делител. Запишете всеки коефициент под съответния номер. Съотношението е резултат от разделянето на две числа.

      • Например, 18 ÷ 2 \u003d 9 (\\ displaystyle 18 \\ div 2 \u003d 9)така че напишете 9 под 18.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (\\ displaystyle 30 \\ div 2 \u003d 15)така че напишете 15 под 30.

   4. Намерете делителя, общ за двата фактора. Ако няма такъв делител, пропуснете следващите две стъпки. В противен случай запишете делителя във втория ред и първата колона.

      • Например 9 и 15 се делят на 3, така че напишете 3 във втория ред и първата колона.

   5. Разделете всеки коефициент на втория фактор. Запишете всеки резултат от разделянето под съответния коефициент.

      • Например, 9 ÷ 3 \u003d 3 (\\ displaystyle 9 \\ div 3 \u003d 3)така че напишете 3 под 9.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (\\ displaystyle 15 \\ div 3 \u003d 5)така че напишете 5 под 15.

   6. Ако е необходимо, добавете допълнителни клетки към мрежата. Повторете описаните стъпки, докато коефициентите имат общ делител.

   7. Закръглете числата в първата колона и последния ред на мрежата. След това запишете избраните числа като операция за умножение.

      • Например числа 2 и 3 са в първата колона, а числа 3 и 5 са \u200b\u200bв последния ред, така че напишете операцията за умножение по следния начин: 2 × 3 × 3 × 5 (\\ displaystyle 2 \\ пъти 3 \\ пъти 3 \\ пъти 5).

   8. Намерете резултата от умножаването на числата. Това ще изчисли най-малкото общо кратно на двете дадени числа.

      • Например, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (\\ Displaystyle 2 \\ пъти 3 \\ пъти 3 \\ пъти 5 \u003d 90)... Така че най-рядкото кратно на 18 и 30 е 90.

   Алгоритъм на Евклид

   1. Не забравяйте терминологията, свързана с операцията по разделяне. Дивидентът е числото, което се дели. Делителят е числото, разделено на. Съотношението е резултат от разделянето на две числа. Остатъкът е броят, останал при разделяне на две числа.

      • Например в израза 15 ÷ 6 \u003d 2 (\\ displaystyle 15 \\ div 6 \u003d 2) ost. 3:
        15 е дивидент
        6 е делителят
        2 е коефициентът
        3 е остатъкът.

Най-големият общ делител

Определение 2

Ако естествено число а се дели на естествено число $ b $, тогава $ b $ се нарича делител на $ a $, а $ a $ се нарича кратно на $ b $.

Нека $ a $ и $ b $ са естествени числа. Числото $ c $ се нарича общ делител както за $ a $, така и за $ b $.

Наборът от общи делители на $ a $ и $ b $ е краен, тъй като нито един от тези делители не може да бъде по-голям от $ a $. Следователно, сред тези делители има и най-големият, който се нарича най-големият общ делител на числата $ a $ и $ b $, и обозначението се използва за означаването му:

$ Gcd \\ (a; b) \\ или \\ D \\ (a; b) $

За да намерите най-големия общ делител на две числа, трябва:

1. Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ фактор.

Пример 1

Намерете gcd на числата $ 121 $ и $ 132. $

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Изберете числа, които са включени в разлагането на тези числа

$ 242 \u003d 2 \\ cdot 11 \\ cdot 11 $

$ 132 \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ фактор.

$ Gcd \u003d 2 \\ cdot 11 \u003d 22 $

Пример 2

Намерете GCD на едночлените $ 63 и $ 81.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това:

Разложи числата на прости множители

$ 63 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

$ 81 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Избираме числа, които са включени в разлагането на тези числа

$ 63 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 7 $

$ 81 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 \\ cdot 3 $

Нека намерим произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число ще бъде желаният най-голям общ фактор.

$ Gcd \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d 9 $

Можете да намерите GCD на две числа по друг начин, като използвате набор от делители на числа.

Пример 3

Намерете GCD на числата $ 48 $ и $ 60 $.

Решение:

Намерете множеството делители на числото $ 48 $: $ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48) \\ right \\) $

Сега намираме множеството делители на числото $ 60 $: $ \\ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) \\ right \\ ) $

Нека намерим пресечната точка на тези множества: $ \\ left \\ ((\\ rm 1,2,3,4,6,12) \\ right \\) $ - този набор ще определи множеството от общи делители на числата $ 48 $ и $ 60 $. Най-големият елемент в този комплект ще има число $ 12 $. Така че най-големият общ делител на числата $ 48 и $ 60 ще бъде $ 12.

Определение на LCM

Определение 3

Общо кратно на естествени числа $ a $ и $ b $ е естествено число, което е кратно на $ a $ и $ b $.

Общите кратни на числата са числа, които се делят на оригиналните без остатък.Например, за числата $ 25 $ и $ 50, общите кратни числа са $ 50 100 150 150 и т.н.

Най-малкото общо кратно ще се нарича най-малкото общо кратно и ще се обозначава с LCM $ (a; b) $ или K $ (a; b). $

За да намерите LCM на две числа, трябва:

1. Факторни числа
2. Запишете факторите, които са част от първото число и добавете към тях факторите, които са част от второто и не влизат в първото

Пример 4

Намерете LCM на числата $ 99 $ и $ 77 $.

Ще намерим според представения алгоритъм. За това

Факторни числа

$ 99 \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 $

Изпишете факторите, включени в първата

добавете към тях факторите, които са част от втората и не влизат в първата

Намерете произведението на числата, намерени в стъпка 2. Полученото число е желаното най-малко общо кратно

$ LCM \u003d 3 \\ cdot 3 \\ cdot 11 \\ cdot 7 \u003d 693 $

Съставянето на списъци с делители на числа често отнема много време. Има начин да се намери GCD, наречен алгоритъм на Евклид.

Изявленията, на които се основава алгоритъмът на Евклид:

Ако $ a $ и $ b $ са естествени числа и $ a \\ vdots b $, тогава $ D (a; b) \u003d b $

Ако $ a $ и $ b $ са естествени числа, такива че $ b

Използвайки $ D (a; b) \u003d D (a-b; b) $, можете последователно да намалявате разглежданите числа, докато стигнем до такава двойка числа, че едното от тях се дели на другото. Тогава по-малкото от тези числа ще бъде желаният най-голям общ делител за числата $ a $ и $ b $.

Свойства на GCD и LCM

1. Всяко общо кратно на $ a $ и $ b $ се дели на K $ (a; b) $
2. Ако $ a \\ vdots b $, тогава K $ (a; b) \u003d a $

Ако K $ (a; b) \u003d k $ и $ m $ е естествено число, тогава K $ (am; bm) \u003d km $

Ако $ d $ е общ делител за $ a $ и $ b $, тогава K ($ \\ frac (a) (d); \\ frac (b) (d) $) \u003d $ \\ \\ frac (k) (d ) $

Ако $ a \\ vdots c $ и $ b \\ vdots c $, тогава $ \\ frac (ab) (c) $ е често кратно на $ a $ и $ b $

За всякакви естествени числа $ a $ и $ b $, равенството

$ D (a; b) \\ cdot К (a; b) \u003d ab $

Всеки общ делител на числата $ a $ и $ b $ е делител на числото $ D (a; b) $