Формулата по-долу ще бъде определението градуса с естествен показател (a е основата на степента и повтарящият се фактор, а n е степента, която показва колко пъти се повтаря факторът):

Този израз означава, че степента на числото a с естествен показател n е произведение на n фактори, докато всеки от факторите е равен на a.

17 ^ 5 \u003d 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \\ cdot 17 \u003d 1 \\, 419 \\, 857

17 - основата на степента,

5 - експонента,

1419857 е стойността на степента.

Експонентата нула е 1, при условие че a \\ neq 0:

a ^ 0 \u003d 1.

Например: 2 ^ 0 \u003d 1

Когато трябва да напишете голямо число, обикновено се използва степента 10.

Например един от най-старите динозаври на Земята е живял преди около 280 милиона години. Възрастта му е написана по следния начин: 2.8 \\ cdot 10 ^ 8.

Всяко число, по-голямо от 10, може да бъде записано като \\ cdot 10 ^ n, при условие че 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют стандартен номер.

Примери за такива числа: 6978 \u003d 6,978 \\ cdot 10 ^ 3, 569000 \u003d 5,69 \\ cdot 10 ^ 5.

Можете да кажете както "а в n-та степен", така и "n-та степен на числото a" и "a в степен n".

4 ^ 5 - "четири до степен 5" или "4 до пета степен" или можете да кажете "петата степен на числото 4"

IN този пример 4 - основа на степента, 5 - степен.

Нека сега дадем пример с дроби и отрицателни числа. За да се избегне объркване, обичайно е в скоби да се пишат бази, различни от естествените числа:

(7,38)^2 , \\ ляво (\\ frac 12 \\ дясно) ^ 7, (-1) ^ 4 и т.н.

Също така забележете разликата:

(-5) ^ 6 - означава степента на отрицателно число −5 с естествен степен 6.

5 ^ 6 - съвпада с обратното число 5 ^ 6.

Свойства на природните експоненти

Основното свойство на степента

a ^ n \\ cdot a ^ k \u003d a ^ (n + k)

Основата остава същата, но се добавят експонентите.

Например: 2 ^ 3 \\ cdot 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3 + 2) \u003d 2 ^ 5

Собственост на частни степени със същите основи

a ^ n: a ^ k \u003d a ^ (n-k), ако n\u003e k.

Експонентите се изваждат и основата остава същата.

Това ограничение n\u003e k е въведено, за да не надхвърля естествените експоненти. Всъщност за n\u003e k степента a ^ (n-k) ще бъде естествено число, в противен случай или ще бъде отрицателно число (k< n ), либо нулем (k-n ).

Например: 2 ^ 3: 2 ^ 2 \u003d 2 ^ (3-2) \u003d 2 ^ 1

Свойство на степенуване

(a ^ n) ^ k \u003d a ^ (nk)

Основата остава същата, само експонентите се умножават.

Например: (2 ^ 3) ^ 6 \u003d 2 ^ (3 \\ cdot 6) \u003d 2 ^ (18)

Свойството да се издига до мощта на продукта

Всеки фактор се повишава до степен n.

a ^ n \\ cdot b ^ n \u003d (ab) ^ n

Например: 2 ^ 3 \\ cdot 3 ^ 3 \u003d (2 \\ cdot 3) ^ 3 \u003d 6 ^ 3

Свойство на степенуване

\\ frac (a ^ n) (b ^ n) \u003d \\ ляво (\\ frac (a) (b) \\ дясно) ^ n, b \\ neq 0

И числителят, и знаменателят на дроб се повишават в степен. \\ ляво (\\ frac (2) (5) \\ дясно) ^ 3 \u003d \\ frac (2 ^ 3) (5 ^ 3) \u003d \\ frac (8) (125)

В рамките на този материал ще анализираме каква е степента на числото. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какви са градусите с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примери за задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Първо, ние формулираме основна дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Нека изясним предварително, че засега ще вземем реално число като основа (обозначим го с буквата а), а като индикатор - естествено число (обозначим го с буквата n).

Определение 1

Степента на числото a с естествен показател n е произведение на n-тия брой фактори, всеки от които е равен на числото a. Степента е написана по следния начин: a n, и под формата на формула, нейният състав може да бъде представен по следния начин:

Например, ако степента е 1, а основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1... Като се има предвид, че a е стойността на множителя, а 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 \u003d a.

Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за писане на голям брой равни фактори. И така, въвеждане на формуляра 8 8 8 8 може да се намали до 8 4 ... По приблизително същия начин едно парче ни помага да избягваме писането голям брой условия (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 4); ние вече анализирахме това в статията, посветена на умножението на естествените числа.

Как да прочета правилно записа на степента? Общоприетата опция е "a до степен n". Или можете да кажете "n-та степен на" или "n-та степен". Ако, да речем, примерът съдържа записа 8 12 , можем да прочетем „8 до 12-та степен“, „8 до 12-та степен“ или „12-та степен до 8-ма“.

Втората и третата степен на числото имат своите добре установени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадратът на числото 7“. По същия начин третата степен се чете по следния начин: 5 3 Е "куб с номер 5" или "5 в куб". Възможно е обаче да се използва и стандартната формулировка „във втора / трета степен“, това няма да е грешка.

Пример 1

Нека разгледаме пример за степен с естествен показател: за 5 7 пет ще бъде основата, а седем - индикаторът.

Базата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата е фракцията 4, 32, а степента е девет. Обърнете внимание на скобите: такъв запис се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа.

Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 и − 2 3 ... Първият от тях означава отрицателно число минус две, издигнато до степен с естествен експонентен три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на мощността 2 3 .

Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на степента на числото - a ^ n (където a е основата, а n е степента). Тоест 4 ^ 9 е същото като 4 9 ... Ако n е многоцифрено число, то се затваря в скоби. Например 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Но ние ще използваме обозначението a nкато по-често срещани.

Лесно е да се досетите как да изчислите стойността на градуса с естествен показател от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти брой пъти. Повече за това писахме в друга статия.

Понятието степен е противоположно на друго математическо понятие - коренът на число. Ако знаем стойността на степента и степента, можем да изчислим нейната основа. Степента има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблемите, които сме обсъждали в отделен материал.

В експонентите могат да устоят не само естествени числа, но като цяло всякакви целочислени стойности, включително отрицателни и нули, тъй като те също принадлежат към множеството от цели числа.

Определение 2

Степента на число с положително цяло число може да се покаже като формула: .

Освен това n е всяко положително цяло число.

Нека да се занимаем с понятието нулева степен. За целта използваме подход, който отчита свойството на коефициента за градуси с равни бази. Той е формулиран по следния начин:

Определение 3

Равенство a m: a n \u003d a m - n ще бъде вярно при условията: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 .

Последното условие е важно, тъй като избягва делението на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0

Но в същото време a n: a n \u003d 1 е коефициентът равни числа a n и а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица.

Такова доказателство обаче не се отнася за нула до нула степен. За това се нуждаем от друго свойство на градусите - свойството на произведения от градуси с еднакви основи. Изглежда така: a m a n \u003d a m + n .

Ако имаме n, равно на 0, тогава a m a 0 \u003d a m (това равенство също ни доказва, че a 0 \u003d 1). Но ако a е и нула, нашето равенство приема формата 0 m 0 0 \u003d 0 m, Това ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква точно е стойността на степента 0 0 , тоест тя може да бъде равна на произволно число и това няма да повлияе на верността на равенството. Следователно обозначението е 0 0 няма специално значение и няма да му го приписваме.

При желание е лесно да се провери това a 0 \u003d 1 се сближава със свойството степен (a m) n \u003d a m n при условие, че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица.

Пример 2

Нека разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, и стойността 0 0 неопределено.

След нулевата степен остава да разберем каква е отрицателната степен. За целта ни трябва същото свойство на произведението на градуси с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n \u003d a m + n.

Нека въведем условието: m \u003d - n, тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Оказва се, че a n и a - n имаме взаимно обратни числа.

В резултат на това е цяло число отрицателна степен не е нищо друго освен дроб 1 a n.

Тази формулировка потвърждава, че за степен с целочислен отрицателен експонентен коефициент всички същите свойства са валидни като степен с естествен експонентен показател (при условие, че основата не е нула).

Пример 3

Степента на a с отрицателно цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n. По този начин a - n \u003d 1 a n при условието a ≠ 0 и n - всяко естествено число.

Нека илюстрираме нашата мисъл с конкретни примери:

Пример 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко казано ясно в една формула:

Определение 4

Степента на числото a с естествен показател z е: az \u003d az, e с l и z - цяло число положително 1, z \u003d 0 и a ≠ 0, (за и z \u003d 0 и a \u003d 0, получаваме 0 0, стойностите на степенуването са 0 0, а не ОПРЕДЕЛЕНИЯ) 1 az, ако и z е цяло число и a ≠ 0 (ако z е цяло число и a \u003d 0 дава 0 z, его z n в n e n n d e d e n t)

Кои са рационалните степенни степени

Разгледахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Можете обаче да увеличите число до степен, когато в степента му има дробно число. Това се нарича степен c рационален показател... В този подраздел ще докажем, че той има същите свойства като другите степени.

Кои са рационалните числа? Комплектът им включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробна степенна степен m / n, където n е естествено число и m е цяло число.

Имаме някаква степен с дробна експонента a m n. За да бъде изпълнено свойството степен на степен, трябва да е вярно равенството a m n n \u003d a m n n \u003d a m.

Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n \u003d a m, можем да приемем условието a m n \u003d a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a.

Горните свойства на степен с цяло число експонента ще бъдат правилни при условие, че m n \u003d a m n.

Основното заключение от нашите разсъждения е следното: степента на някакво число a с дробна степенна степен m / n е n-тият корен от числото a към степента на m. Това е вярно, ако за дадените стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен.

1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: вземете a, което за положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а за отрицателни стойности строго по-малко (тъй като за m ≤ 0 получаваме 0 м, но тази степен не е определена). В този случай дефиницията на степен с частичен показател ще изглежда така:

Степента с дробна степенна степен m / n за някакво положително число a е n-тият корен от повдигнато до степен m. Под формата на формула това може да бъде представено по следния начин:

За степен с нулева основа тази позиция също е подходяща, но само ако нейният експонентен показател е положително число.

Градус с базова нула и частично положителен m / n показател може да бъде изразен като

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 при условие на положително цяло число m и естествено n.

С отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието, че a е по-голямо или равно на нула, тогава отпаднахме някои случаи.

Изразът a m n понякога има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. И така, записите (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 са правилни, при които основата е отрицателна.

2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни експоненти. Тогава трябва да въведем още едно условие: степента a, в степента на която има отменяема обикновена фракция, се счита за степента на a, в степента на която има съответната неприводима част. По-късно ще обясним защо се нуждаем от това състояние и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m k n k, тогава можем да го намалим до m m и да опростим изчисленията.

Ако n е нечетно и m е положително, a е всяко неотрицателно число, тогава m n има смисъл. Условието за неотрицателно а е необходимо, тъй като не се извлича четен корен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде отрицателна или нулева, тъй като нечетен корен може да бъде извлечен от всяко реално число.

Нека комбинираме всички данни по-горе дефиниция в един запис:

Тук m / n означава неприводима дроб, m е всяко цяло число и n е всяко естествено число.

Определение 5

За всяка обикновена отменяема фракция m · k n · k, степента може да бъде заменена с m n.

Степента на число с неприводим дробен показател m / n - може да бъде изразена като m n в следните случаи: - за всяко реално a, цели числа положителни стойности m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19.

За всяко ненулево реално a, отрицателно цяло число m и нечетно n, например 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7

За всяко неотрицателно a, положително цяло число m и четно n, например 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18.

За всяко положително а, цяло число отрицателно m и четно n, например 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,.

За други стойности дробният експонент не е дефиниран. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Сега нека обясним важността на споменатото по-горе условие: защо да заменим фракцията с отменяем експонент с дроб с неприводима. Ако не направихме това, щяхме да получим такива ситуации, да речем, 6/10 \u003d 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, но - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 и (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1.

Дефиницията на степента с дробна степенна степен, която дадохме първата, е по-удобна за използване на практика от втората, така че ще продължим да я използваме.

Определение 6

По този начин степента на положителното число a с дробна степенна степен m / n се определя като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. В случай на отрицателно а обозначението a m n е безсмислено. Мощност на нула за положителни дробни експоненти м / н се дефинира като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, за отрицателни дробни експоненти не определяме степента на нула.

В заключенията отбелязваме, че всеки дробен индикатор може да бъде записан както във формата смесен номери като десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

При изчисляване е по-добре да замените степента обща фракция и след това използвайте дефиницията за дробен експонент. За примерите по-горе получаваме:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Какво представляват градусите с ирационален и валиден показател

Кои са реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да определим степени с рационални и ирационални показатели. По-горе вече споменахме рационалните. Нека да се справим с ирационалните показатели стъпка по стъпка.

Пример 5

Да предположим, че имаме ирационално число a и поредица от неговите десетични приближения a 0, a 1, a 2 ,. ... ... ... Да вземем например стойността a \u003d 1.67175331. ... ... тогава

a 0 \u003d 1,6, a 1 \u003d 1,67, a 2 \u003d 1,671 ,. ... ... , a 0 \u003d 1,67, a 1 \u003d 1,6717, a 2 \u003d 1,671753 ,. ... ...

Можем да свържем последователност от апроксимации с поредица от степени a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... ... Ако си спомняте какво казахме по-рано за повишаване на числата до рационална степен, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени.

Вземете например a \u003d 3, тогава a a 0 \u003d 31,67, a a 1 \u003d 31,6717, a a 2 \u003d 31,671753 ,. ... ... и т.н.

Последователността на градусите може да бъде намалена до число, което ще бъде стойността на градуса с основа a и ирационален показател a. В резултат на това: степен с ирационален показател като 3 1, 67175331. ... може да се намали до числото 6, 27.

Определение 7

Степента на положителното число a с ирационален показател a се записва като a. Стойността му е границата на последователността a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , където a 0, a 1, a 2 ,. ... ... са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степента с нулева база може да се определи и за положителни ирационални показатели, докато 0 a \u003d 0 So, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. А за отрицателните това не може да се направи, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единица, вдигната до произволна ирационална степен, остава едно, например, и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъде равно на 1.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter

Видео урок 2: Естествен клас и неговите свойства

Лекция:

Степен с естествен показател

Под степен някакъв номер "и" с някакъв индикатор "н" разбират произведението на число "и" от само себе си "н" време.

Когато говорим за степен с естествен експонент, това означава, че числото "н" трябва да е цяло, а не отрицателно.

и - основата на степента, която показва кое число трябва да бъде умножено по себе си,

н - експонента - казва колко пъти основата трябва да бъде умножена по себе си.

Например:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

В този случай основата на степента означава числото "8", степента е числото "4", а стойността на степента означава числото "4096".

Най-голямата и най-често срещана грешка при изчисляване на степен е умножаването на експонента по основа - НЕ Е ИСТИНСКО!

Кога идва за степента с естествен експонент, това означава, че само степента (н) трябва да е естествено число.

Като основа можете да вземете всякакви числа с цифров ред.

Например,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Математическото действие, което се извършва върху основата и степента, се нарича степенуване.

Събирането / изваждането е математическото действие на първия етап, умножението / делението е действието на втория етап, повишаването на степен е математическо действие на третия етап, тоест едно от най-високите.

Тази йерархия математически действия определя реда в изчислението. Ако това действие се случи в задачи сред предходните две, то се извършва първо.

Например:

15 + 6 *2 2 = 39

В този пример първо трябва да вдигнете 2 в степен, т.е.

след това умножете резултата по 6, т.е.

Степен с естествен експонент се използва не само за конкретни изчисления, но и за удобството при записване на големи числа. В този случай концепцията все още се използва "стандартен номер"... Тази нотация предполага умножаването на някакво число от 1 до 9 по степен на мощност, равна на 10 с някакъв експонентен показател.

например, за да запишете радиуса на Земята в стандартна форма, използвайте следната нотация:

6400000 m \u003d 6,4 * 10 6 m,

а масата на Земята например се записва по следния начин:

Степенни свойства

За удобство при решаване на примери със степени трябва да знаете основните им свойства:

1. Ако трябва да умножите две градуси, които имат еднакви основи, тогава основата трябва да остане непроменена и да се добавят индикаторите.

a n * a m \u003d a n + m

Например:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Ако е необходимо да се разделят две градуси, които имат еднакви основи, тогава в този случай основата трябва да остане непроменена и индикаторите да бъдат извадени. Моля, обърнете внимание, че за операции с степени с естествен експонент степента на дивидента трябва да бъде по-голяма от степента на делителя. В противен случай коефициентът на това действие ще бъде число с отрицателна степен.

a n / a m \u003d a n-m

Например,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Ако е необходимо да се повиши една степен на друга, основата на резултата остава същото число и експонентите се умножават.

(a n) m \u003d a n * m

Например,

4. Ако до някаква степен е необходимо да се вдигне работата произволни числа, тогава можете да използвате някакъв закон за разпределение, при който получаваме произведението от различни основания в еднаква степен.

(a * b) m \u003d a m * b m

Например,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Подобно свойство може да се използва за разделяне на властите, с други думи, за издигане на обикновен двойник до степен.

(a / b) m \u003d a m / b м

6. Всяко число, което е повдигнато до степен, равна на единица, е равно на първоначалното число.

a 1 \u003d a

Например,

7. Когато повдигате произволно число до степен с степен нула, резултатът от това изчисление винаги ще бъде един.

a 0 \u003d 1

например,

Първо ниво

Степента и нейните свойства. Изчерпателно ръководство (2019)

Защо са необходими степени? Къде ще ви бъдат полезни? Защо трябва да отделите време, за да ги изучите?

За да научите всичко за степените, за какво са предназначени, как да използвате знанията си ежедневието прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешен преминаване на OGE или Единния държавен изпит и за постъпване в университета на мечтите ви.

Хайде ... (Хайде!)

Важна забележка! Ако вместо формули видите глупости, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL + F5 (за Windows) или Cmd + R (за Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е същото математическа операциякато събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език в много прости примери... Обърни внимание. Примерите са основни, но обясняват важни неща.

Нека започнем с добавяне.

Няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: ние сме осем. Всяка има две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Един и същ пример за кола може да се напише по различен начин :. Математиците са хитри и мързеливи хора. Първо забелязват някои модели, а след това измислят начин бързо да ги „преброят“. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаха еднакъв брой бутилки с кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение... Можете, разбира се, да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още едно, по-красиво:

Какво друго хитри трикове мързеливи математици измислили сметките? Правилно - издигане на число до степен.

Повишаване на число до степен

Ако трябва да умножите числото само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да издигнете това число до петата степен. Например, . Математиците помнят, че две до петата степен е. И те решават такива проблеми в главите си - по-бързо, по-лесно и без грешки.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е подчертано в таблицата на степента на числата... Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втората степен квадрат числа, а третият - куб? Какво означава? Силно добър въпрос... Сега ще имате както квадратчета, така и кубчета.

Пример за живот №1

Нека започнем с квадрат или втората степен на число.

Представете си басейн с квадратни метри по метър. Басейнът е във вашата селска къща. Горещо е и много искам да плувам. Но ... басейн без дъно! Необходимо е да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки са ви необходими? За да определите това, трябва да знаете площта на дъното на басейна.

Можете просто да преброите, като пъхнете пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър на метър. Ако имате плочка метър по метър, ще ви трябват парчета. Лесно е ... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката по-скоро ще бъде см по см. И тогава ще бъдете измъчвани от „преброяване на пръста“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножавайки по, получавате плочки ().

Забелязали ли сте, че сме умножили един и същ номер по себе си, за да определим площта на дъното на басейна? Какво означава? След като едно и също число се умножи, можем да използваме техниката "степенуване". (Разбира се, когато имате само две числа, все още ги умножавате или ги повишавате до степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването до степен е много по-лесно и има и по-малко грешки в изчисленията. За изпит, това е много важно).
Така че тридесет във втората степен ще бъде (). Или можете да кажете, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратно, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот # 2

Ето задача за вас, пребройте колко квадратчета са на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото ... От едната страна на клетките, а от другата също. За да преброите техния брой, трябва да умножите осем по осем или ... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да оградите осем. Ще получите клетки. () Така?

Пример от реалния живот № 3

Сега кубът или третата степен на числото. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода трябва да налеете в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Обемите и течностите, между другото, се измерват в кубични метри... Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размер на метър и дълбочина метър и се опитайте да изчислите колко кубчета на метър по метър ще влязат във вашия басейн.

Посочете пръста си и бройте! Едно, две, три, четири ... двадесет и две, двадесет и три ... Колко се оказа? Не сте загубени? Трудно ли е да се брои с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи, затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите дължината, ширината и височината му помежду си. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета ... По-лесно, нали?

А сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако и това са опростили. Те сведоха всичко до едно действие. Те забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава само по себе си ... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръст, те правят с едно действие: три в куб е равно. Написано е така :.

Остава само запомнете таблицата на градусите... Освен ако, разбира се, не сте толкова мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да грешите, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедя най-накрая, че градусите са измислени от безделници и хитри хора, за да решават своите житейски проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример за живот № 4

Имате милион рубли. В началото на всяка година печелите още милион от всеки милион. Тоест всеки милион в началото на всяка година се удвоява. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръст“, значи сте много трудолюбив човек и .. глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, през първата година - два пъти по две ... през втората година - случилото се беше още две, през третата година ... Спри! Забелязахте, че числото се умножава само по себе си веднъж. Значи две до петата степен са милион! А сега си представете, че имате състезание и тези милиони ще бъдат получени от този, който изчислява по-бързо ... Заслужава ли си да запомните градусите на числата, какво мислите?

Пример от реалния живот № 5

Имате милион. В началото на всяка година печелите още два на всеки милион. Страхотно, нали? На всеки милион тройки. Колко пари ще имате след години? Нека преброим. Първата година - умножете по, след това резултата по друга ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три пъти се умножава само по себе си. Така че четвъртата степен е равна на милион. Просто трябва да запомните, че три до четвъртата степен е или.

Сега знаете, че като повишите число до степен, ще улесните значително живота си. Нека да разгледаме какво можете да правите със степени и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия ... за да не се объркате

И така, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е експонента? Много е просто - това е числото, което е „в горната част“ на степента на числото. Не научно, но разбираемо и лесно за запомняне ...

Е, в същото време това такава степен степен? Още по-просто е числото, което е отдолу, в основата.

Ето чертеж, за да сте сигурни.

Е, вътре общ изглед, за да обобщим и запомним по-добре ... Степен с основа "" и степенна степен "" се чете като "в степен" и се записва по следния начин:

Степен на число с натурален експонент

Вероятно вече се досещате: защото степента е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са тези числа, които се използват при броене при изброяване на обекти: едно, две, три ... Когато броим обекти, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Също така не казваме „една трета“ или „нула точка пет десети“. Това не са естествени числа. Какви числа смятате, че са?

Цифрите като "минус пет", "минус шест", "минус седем" се отнасят цели числа. По принцип целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус), и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните ("минус") числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате рубли на телефона си, това означава, че дължите рубли на оператора.

Всяка дроб е рационално число. Как мислите, че са възникнали? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци откриха, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, безкрайно десетична... Например, ако разделите обиколката на кръг на диаметъра му, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме понятието степен, чийто степен е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число в първата степен е равно на себе си:
2. Да квадрат на число означава да го умножите по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение. Увеличаването на число до естествена степен означава умножаване на броя по себе си по пъти:
.

Мощни свойства

Откъде идват тези имоти? Сега ще ви покажа.

Да видим: какво е и ?

По дефиниция:

Колко са факторите общо?

Това е много просто: добавихме умножители към множителите и сумата е множители.

Но по дефиниция това е степента на число с степен, т.е., както се изисква за доказване.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример: Опростете израза.

Решение: Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължително трябва да имат същите бази!
Затова комбинираме градусите с основата, но остава отделен фактор:

само за произведението от градуси!

В никакъв случай не можете да напишете това.

2. това е -та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степента:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „поставяне на индикатор в скоби“. Но никога не трябва да правите това общо:

Нека си припомним съкратените формули за умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Степен с отрицателна основа

До този момент ние само обсъждахме каква трябва да бъде степента.

Но каква трябва да е основата?

В градуси с естествен показател основата може да бъде произволно число... Всъщност можем да умножаваме всякакви числа помежду си, били те положителни, отрицателни или дори.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степен на положителни и отрицателни числа?

Например дали числото ще бъде положително или отрицателно? И? ? С първата всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим помежду си, резултатът ще бъде положителен.

Но отрицателното е малко по-интересно. В крайна сметка си спомняме просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по, това работи.

Решете сами кой знак ще имат следните изрази:

Успяхте ли?

Ето отговорите: Надявам се, че в първите четири примера всичко е ясно? Ние просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен ако основата не е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова лесно!

6 примера за обучение

Разбор на решението 6 примера

Освен осмата степен, какво виждаме тук? Припомняме програмата от 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Нека разгледаме отблизо знаменателя. Прилича много на един от множителите в числителя, но какво не е наред? Грешен ред на условията. Ако трябваше да бъдат отменени, правилото можеше да се приложи.

Но как да го направя? Оказва се много лесно: тук ни помага еднаква степен на знаменателя.

Условията са магически обърнати. Това "явление" е приложимо за всеки израз в четна степен: ние можем свободно да променяме знаците в скоби.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се \u200b\u200bвърнем на примера:

И отново формулата:

Цял ние наричаме естествените числа срещу тях (т.е. взети със знака "") и числото.

положително цяло число, но той не се различава от естествения, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека разгледаме някои нови случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число в нулевата степен е равно на едно:

Както винаги, нека си зададем въпроса: защо е така?

Помислете за някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото, каквото беше -. И кое число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така. Означава.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число в нулевата степен е равно на едно.

Но има изключения от много от правилата. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна, тя трябва да е равна на всяка степен - колкото и да умножавате сами, пак ще получите нула, това е ясно. Но от друга страна, както всяко число в нулевата степен, то трябва да е равно. И така, кое от това е вярно? Математиците решиха да не се включват и отказаха да вдигнат нула до нула. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да я повишим до нулева степен.

Да вървим по-нататък. В допълнение към естествените числа и числа, отрицателните числа принадлежат към цели числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим същото като последния път: умножаваме някакво нормално число по същата отрицателна степен:

Оттук вече е лесно да изразите това, което търсите:

Сега ще разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число в отрицателната степен е обратно на същото число в положителната степен. Но в същото време основата не може да бъде нула: (защото не можете да разделите на).

Нека обобщим:

I. Израз, който не е посочен в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число до нулевата степен е равно на едно :.

III. Число, което не е равно на нула, е в отрицателна степен, обратна на същото число в положителна степен :.

Задачи за независимо решение:

Е, и, както обикновено, примери за независимо решение:

Анализ на задачи за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са ужасни, но на изпита трябва да си готов за всичко! Решете тези примери или анализирайте тяхното решение, ако не сте могли да ги разрешите и ще научите как лесно да се справите с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме кръга от числа, „подходящи“ като степен.

Сега помислете рационални числа. Какви числа се наричат \u200b\u200bрационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа, освен това.

За да разберете какво е Дробна степен, помислете за фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението в степен:

Сега нека си припомним правилото за "Степен до степен":

Кое число трябва да се повиши до степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на тия корен.

Нека ви напомня: коренът на степента на числото () е число, което, когато се повиши до степен, е равно на.

Тоест, коренът на степента е обратната операция на степенуването :.

Оказва се, че. Очевидно това специален случай може да се разшири :.

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът се получава лесно, като се използва правилото за степен до степен:

Но може ли основата да е произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Запомнете правилото: всяко число, повишено до четна степен, е положително число. Тоест, не можете да извлечете корени на четна степен от отрицателни числа!

И това означава, че такива числа не могат да бъдат повишени до дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Ами изражението?

Но тук възниква проблемът.

Числото може да бъде представено като други, отменяеми дроби, например или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са само два различни записа с един и същ брой.

Или друг пример: веднъж, тогава можете да пишете. Но ако запишем индикатора по различен начин и отново получим неприятност: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, ние разглеждаме само положителен радикс с дробна степен.

Така че, ако:

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за преобразуване на вкоренени изрази, например:

5 примера за обучение

Анализ на 5 примера за обучение

А сега най-трудната част. Сега ще анализираме ирационална оценка.

Всички правила и свойства на градусите тук са абсолютно същите като за степен с рационален показател, с изключение на

Всъщност по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучавахме степени с естествен, цялостен и рационален показател, всеки път си съставяхме един вид „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например, естествен експонент е число, умножено по себе си няколко пъти;

...нулево число на мощността - това е, като че ли число, умножено само по себе си веднъж, т.е. все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число дори не се е появило - следователно, резултатът е само един вид "празно число ", а именно номера;

...цяло число отрицателен експонент - все едно определено " обратен процес”, Тоест броят не е умножен по себе си, а е разделен.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за такива трудности, ще имате възможност да разберете тези нови понятия в института.

КЪДЕ СМЕ СИГУРНИ ДА ОТИДЕТЕ! (ако научите как да решавате такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решения:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен до степен:

Сега погледнете индикатора. Напомня ли ви за нещо? Припомняме формулата за съкратено умножение, разликата в квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Довеждаме фракциите в експоненти до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Нека вземем например:

Отговор: 16

3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степента

Степента е израз на формата :, където:

• — база на степента;
• - експонента.

Степен с естествен показател (n \u003d 1, 2, 3, ...)

Увеличаването на число до естествена степен n означава умножаване на броя по себе си по пъти:

Цяла степен (0, ± 1, ± 2, ...)

Ако степента е цяло положително номер:

Ерекция до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, до която и да е степен - това, а от друга - произволно число до та степен - това.

Ако степента е цяло отрицателно номер:

(защото не можете да разделите на).

Още веднъж за нули: изразът е недефиниран в случай. Ако тогава.

Примери:

Рационална оценка

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Мощни свойства

За да улесним решаването на проблеми, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

По дефиниция:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степента на число с степен, т.е.

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило задължителнотрябва да имат същите бази. Затова комбинираме градусите с основата, но остава отделен фактор:

Друга важна бележка: това правило е - само за произведението от градуси!

В никакъв случай не трябва да пиша това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степента:

Нека да пренаредим това парче по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си веднъж, тоест, според дефиницията, това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „поставяне на индикатор в скоби“. Но никога не трябва да правите това общо :!

Нека си припомним съкратените формули за умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Степен с отрицателна основа.

До този момент обсъждахме само как трябва да бъде индикатор степен. Но каква трябва да е основата? В градуси с естествен индикатор основата може да бъде произволно число .

Всъщност можем да умножаваме всякакви числа помежду си, били те положителни, отрицателни или дори. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат степен на положителни и отрицателни числа?

Например дали числото ще бъде положително или отрицателно? И? ?

С първата всичко е ясно: колкото и положителни числа да умножим помежду си, резултатът ще бъде положителен.

Но отрицателното е малко по-интересно. В крайна сметка си спомняме просто правило от 6-ти клас: „минус по минус дава плюс“. Това е, или. Но ако умножим по (), получаваме -.

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Възможно е да се формулират такива прости правила:

1. дори степен, - номер положителен.
2. Отрицателно число, повишено до странно степен, - номер отрицателен.
3. Положително число до всяка степен е положително число.
4. Нула на всяка мощност е равна на нула.

Сами решете кой знак ще имат следните изрази:

Успяхте ли? Ето отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера се надявам всичко да е ясно? Ние просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: няма значение на какво е равна основата - степента е четна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен ако основата не е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомните това, става ясно, че и следователно основата по-малко от нула... Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме определението за градуси и ги разделяме един на друг, разделяме ги по двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Изчислете стойностите на изразите:

Решения :

Освен осмата степен, какво виждаме тук? Припомняме програмата от 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Нека разгледаме отблизо знаменателя. Прилича много на един от множителите в числителя, но какво не е наред? Грешен ред на условията. Ако бяха разменени, можеше да се приложи правило 3. Но как може да се направи това? Оказва се много лесно: тук ни помага еднаква степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва следното:

Условията са магически обърнати. Това "явление" е приложимо за всеки израз в еднаква степен: ние можем свободно да променяме знаците в скоби. Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!Не може да бъде заменен с промяна само на един недостатък, който не ни харесва!

Да се \u200b\u200bвърнем на примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим понятието степен и опростим:

Сега нека отворим скобите. Колко писма ще има? пъти по умножители - как изглежда? Това не е нищо повече от дефиниция на операция умножение: имаше само умножители. Тоест, по дефиниция е степента на число с експонента:

Пример:

Нерационална оценка

В допълнение към информацията за градусите за междинното ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на градусите тук са абсолютно същите като за степен с рационален показател, с изключение - все пак по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (че е, ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучавахме степени с естествен, цялостен и рационален показател, всеки път си съставяхме един вид „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например, естествен експонент е число, умножено по себе си няколко пъти; число до нулева степен е, като че ли, число, умножено по себе си веднъж, тоест все още не е започнало да се умножава, което означава, че самото число все още не се е появило - следователно, резултатът е само вид „празен номер“, а именно номерът; степен с целочислено отрицателно степенно показател е сякаш е имало някакъв "обратен процес", тоест броят не е умножен по себе си, а е разделен.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (както е трудно да си представим 4-измерно пространство). По-скоро това е чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят понятието за степен до цялото пространство от числа.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за такива трудности, ще имате възможност да разберете тези нови понятия в института.

И така, какво правим, ако видим ирационален показател степен? С всички сили се опитваме да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

Отговори:

1. Запомнете разликата във формулата на квадратите. Отговор:.
2. Ние привеждаме дроби в една и съща форма: или двата знака след десетичната запетая, или и двете обикновени. Получаваме например :.
3. Нищо особено, ние прилагаме обичайните свойства на градусите:

РЕЗЮМЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степен се нарича израз на формата :, където:

Цяла степен

степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Рационална оценка

степен, чийто експонент е отрицателни и дробни числа.

Нерационална оценка

степен, чийто експонент е безкрайна десетична дроб или корен.

Мощни свойства

Характеристики на градусите.

• Отрицателно число, повишено до дори степен, - номер положителен.
• Отрицателно число, повишено до странно степен, - номер отрицателен.
• Положително число до всяка степен е положително число.
• Нулата е равна на всяка степен.
• Всяко число до нулева степен е равно на.

СЕГА ВАШАТА ДУМА ...

Как ви харесва статията? Запишете в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит със свойствата на степента.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех с изпитите!