Раздели на сайта
Избор на редакторите:
- Определяне на споделената нишка на плата
- Препоръки за закупуване на собствена топка за боулинг
- Слоена салата от домати и краставици
- Крем за комбинирана кожа
- Крем от сметана и заквасена сметана
- Няколко прости съвета как да минимизирате играта
- Проект "Домашен начин за белене на боровинки"
- Как да наблюдаваме планетата Марс с любителски телескоп
- Какви точки получава един завършил и как да ги брои
- Калорийност на сиренето, състав, bju, полезни свойства и противопоказания
Реклама
|
В тази статия ще разберем какво е степен на... Тук ще дадем определения за степента на число, като същевременно разгледаме по-отблизо всички възможни експоненти, като започнем с естествен експонент и завършим с ирационален. В материала ще намерите много примери за степени, обхващащи всички възникващи тънкости. Навигация по страници. Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на числоДа започнем с. Гледайки напред, казваме, че определението за степента на число a с естествен експонентен n е дадено за a, което ще наречем базова степен, и n, което ще наречем експонента... Също така имайте предвид, че степента с естествен експонент се определя чрез продукта, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате представа за умножението на числата. Определение.
Степен на число a с естествен експонентен n е израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактори, всеки от които е равен на a, т.е. Веднага трябва да се каже за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на запис a n е следният: "a в степента на n". В някои случаи са приемливи и следните опции: "a към n-та степен" и "n-та степен на число a". Например, да вземем степента на 8 12, която е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесетата степен на осем“. Втората степен на число, както и третата степен на число, имат свои собствени имена. Извиква се втората степен на число квадратно числонапример 7 2 гласи „седем на квадрат“ или „квадрат от числото седем“. Извиква се третата степен на число числа на кубнапример 5 3 може да се чете като "куб пет" или да се каже "куб с номер 5". Време е да водим примери за степени с естествени показатели... Нека започнем с мощността на 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4.32 е основата и естествено число 9 - степенна степен (4.32) 9. Обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е записана в скоби: за да се избегне объркване, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели Имайте предвид, че има обозначение за степента на числото a с степен n на формата a ^ n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава степента се взема в скоби. Например 4 ^ 9 е друга нотация за степента на 4 9. И ето още няколко примера за писане на градуси с помощта на символа "^": 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). По-нататък ще използваме основно обозначението за степента на формата a n. Една от задачите, обратна на повишаването до степен с естествен експонент, е проблемът за намиране на основата на степента от известна стойност на степента и известна степен. Тази задача води до. Известно е, че множеството рационални числа се състои от цели числа и дробни числа и всяко дробно число могат да бъдат представени като положителни или отрицателни обща фракция... Дефинирахме степента с цяло число в предишния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степента с рационален показател, необходимо е да се даде значение на степента на число a с дробна степенна степен m / n, където m е цяло число и n е естествено число. Хайде да го направим. Помислете за степен с частичен експонент на формата. За да е валидно свойството степен на степен, равенството Лесно е да се провери, че за всички свойства на степен с целочислена степен (това се прави в раздела за свойствата на степен с рационален показател). Горните разсъждения ни позволяват да направим следното. изход: ако за дадените m, n и a изразът има смисъл, тогава степента на числото a с дробния показател m / n е n-тият корен от a към степента на m. Това твърдение ни доближава много близо до определянето на степента с дробна степенна степен. Остава само да се опише за кои m, n и a изразът има смисъл. Има два основни подхода в зависимост от ограниченията на m, n и a. Най-лесният начин е да ограничите a, като приемете a≥0 за положително m и a\u003e 0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на дробна степенна степен. Определение. Степента на положително число a с дробна степенна степен m / n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-тият корен от числото a в степен m, т.е. Дробната мощност от нула също се определя с единственото условие, че индикаторът трябва да бъде положителен. Определение.
Мощност на нула с положителен дробен показател m / n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като Трябва да се отбележи, че при такава дефиниция на степен с дробна степенна степен има един нюанс: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведем условието a≥0. Например има смисъл да пишете Друг подход за определяне на степента с дробна степен m / n е да се разглеждат отделно нечетните и четни експоненти на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е, се счита за степента на числото a, показател на което е съответната неприводима фракция (значението на това условие ще бъде обяснено по-долу). Тоест, ако m / n е неприводима фракция, тогава за всяко естествено число k степента по-рано се заменя с. За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл), за отрицателно m числото a също трябва да е ненулево (в противен случай ще има деление на нула ). И за нечетно n и положително m, числото a може да бъде всяко (нечетен корен се дефинира за всяко реално число), а за отрицателно m, числото a трябва да е ненулево (така че да няма деление на нула). Горните разсъждения ни водят до такава дефиниция на дробна степен. Определение. Нека m / n е неприводима дроб, m цяло число и n естествено число. За всяка отменяема фракция степента се заменя с. Степента на число с неприводим дробен показател m / n е за  Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател преди това се заменя със степен с неприводима степен. Ако просто дефинирахме степента като и не направихме резервация относно неприводимостта на фракцията m / n, тогава щяхме да се сблъскаме със ситуации, подобни на следните: тъй като 6/10 \u003d 3/5, тогава трябва да има равенството След като се определи степента на числото, логично е да се говори свойства на степента... В тази статия ще дадем основните свойства на степента на числото, като същевременно се докосваме до всички възможни експоненти. Тук ще дадем доказателства за всички свойства на степента и също така ще покажем как тези свойства се прилагат при решаване на примери. Навигация по страници. Свойства на природните експонентиПо дефиниция на степен с естествен експонент степента a n е произведение на n фактори, всеки от които е равен на a. Въз основа на тази дефиниция, както и използване реални умножителни свойства, може да се получи и обоснове следното естествени качества:
Веднага обърнете внимание, че всички записани равенства са идентични при спазване на посочените условия, а дясната и лявата им част могат да се разменят. Например основното свойство на фракцията a m a n \u003d a m + n за опростяване на изразите често се използва като m + n \u003d a m a n. Сега нека разгледаме всеки от тях в детайли. Нека започнем със свойството на произведение от две степени с еднакви основи, което се нарича основното свойство на степента: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n, равенството a m · a n \u003d a m + n е вярно. Нека докажем основното свойство на степента. По дефиниция на степен с естествен експонент произведението на градуси със същите основи на формата a m · a n може да бъде записано като произведение. Поради свойствата на умножението, полученият израз може да бъде записан като Нека дадем пример, който потвърждава основното свойство на степента. Вземете градуси с еднакви основи 2 и естествени степени 2 и 3, според основното свойство на степента, можем да запишем равенството 2 2 · 2 3 \u003d 2 2 + 3 \u003d 2 5. Нека проверим неговата валидност, за която изчисляваме стойностите на изразите 2 2 · 2 3 и 2 5. Разширяване, имаме 2 2 2 3 \u003d (2 2) (2 2 2) \u003d 4 8 \u003d 32 и 2 5 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 32, тъй като се получават равни стойности, равенството 2 2 · 2 3 \u003d 2 5 е вярно и това потвърждава основното свойство на степента. Основното свойство на степента, основано на свойствата на умножението, може да бъде обобщено на произведението от три или повече степени със същите бази и естествени експоненти. Така че за произволно число k естествени числа n 1, n 2, ..., n k, равенството a n 1 a n 2… a n k \u003d a n 1 + n 2 +… + n k. Например, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 \u003d (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 . Можете да преминете към следващото свойство на градуси с естествен експонент - свойство на частни степени със същите основи: за всяко ненулево реално число a и произволни естествени числа m и n, отговарящи на условието m\u003e n, е вярно равенството a m: a n \u003d a m - n. Преди да дадем доказателство за това свойство, нека обсъдим значението на допълнителните условия във формулировката. Условието a ≠ 0 е необходимо, за да се избегне делението на нула, тъй като 0 n \u003d 0 и когато се запознахме с делението, се съгласихме, че не може да се дели на нула. Въведено е условието m\u003e n, за да не излизаме извън естествените показатели. Всъщност за m\u003e n степента a m - n е естествено число, в противен случай ще бъде или нула (което се случва за m - n), или отрицателно число (което се случва, когато m Доказателства. Основното свойство на фракцията ни позволява да запишем равенството a m - n a n \u003d a (m - n) + n \u003d a m... От полученото равенство a m - n · a n \u003d a m и от него следва, че a m - n е коефициент на степени a m и a n. Това доказа свойството на частните степени със същите основи. Нека дадем пример. Вземете две градуси с еднакви бази π и естествени показатели 5 и 2, разглежданото свойство на степента съответства на равенството π 5: π 2 \u003d π 5−3 \u003d π 3. Сега помислете свойство на степента на продукта: естествената степен n на произведението на произволни две реални числа a и b е равна на произведението на степента на a n и b n, т.е. (a b) n \u003d a n b n. В действителност, по дефиниция на степен с естествен експонент, имаме Нека дадем пример: Това свойство се отнася за степента на произведението на три или повече фактора. Тоест, свойството на естествената степен n на произведението на k фактори се записва като (a 1 a 2 ... a k) n \u003d a 1 n a 2 n ... a k n. За по-голяма яснота ще покажем това свойство чрез пример. За произведението на три фактора в степен 7 имаме. Следващият имот е частна собственост в натура: коефициентът на реалните числа a и b, b ≠ 0 в естествената степен n е равен на коефициента на степента на a n и b n, т.е. (a: b) n \u003d a n: b n. Доказателството може да се извърши с помощта на предишното свойство. Така (a: b) n b n \u003d ((a: b) b) n \u003d a n, а от равенството (a: b) n · b n \u003d a n следва, че (a: b) n е коефициентът на разделяне на a n на b n. Нека напишем това свойство, като използваме примера на конкретни числа: Сега нека гласуваме степенуване свойство: за всяко реално число a и всякакви естествени числа m и n, степента на m до степен n е равна на степента на числото a с степен m m, т.е. (a m) n \u003d a m n. Например (5 2) 3 \u003d 5 2 3 \u003d 5 6. Доказателството за свойството степен на степен е следната верига от равенства: Разглежданото свойство може да бъде разширено до степен до степен до степен и т.н. Например, за всякакви естествени числа p, q, r и s, равенството Остава да се спрем на свойствата на сравняването на градусите с естествените експоненти. Нека започнем с доказване на свойството да сравняваме нула и степен с естествен експонентен показател. Първо, нека докажем, че a n\u003e 0 за всяко a\u003e 0. Продуктът на две положителни числа е положително число, което следва от дефиницията за умножение. Този факт и свойствата на умножението ни позволяват да твърдим, че резултатът от умножаването на произволен брой положителни числа също ще бъде положително число. А степента на число a с естествен показател n, по дефиниция, е произведение на n фактори, всеки от които е равен на a. Тези аргументи ни позволяват да твърдим, че за всяка положителна основа a степента a n е положително число. По силата на доказаното свойство 3 5\u003e 0, (0,00201) 2\u003e 0 и Съвсем очевидно е, че за всяко естествено n при a \u003d 0 степента на a n е нула. Всъщност 0 n \u003d 0 · 0 ·… · 0 \u003d 0. Например 0 3 \u003d 0 и 0 762 \u003d 0. Преминаваме към отрицателни основи на степента. Нека започнем със случая, когато степенният показател е четно число, обозначете го като 2 · m, където m е естествено число. Тогава И накрая, когато основата на степента a е отрицателна и степента е нечетно число 2 m - 1, тогава Обръщаме се към свойството да сравняваме градусите с едни и същи естествени показатели, което има следната формулировка: от две степени с еднакви естествени показатели n е по-малко от тази, чиято основа е по-малка, а по-голяма е тази, чиято основа е по-голяма . Нека го докажем. Неравенство a n свойства на неравенствата доказаното неравенство на формата a n . Остава да се докаже последното от изброените свойства на градусите с естествени показатели. Нека го формулираме. От две степени с естествени показатели и едни и същи положителни бази, по-малки от една, по-голяма е степента, чийто показател е по-малък; а от две степени с естествени показатели и едни и същи основи, по-голяма от една, толкова по-голяма е степента, чийто показател е по-голям. Преминаваме към доказателството за това свойство. Нека докажем, че при m\u003e n и 0 Остава да се докаже втората част от имота. Нека докажем, че a m\u003e a n важи за m\u003e n и a\u003e 1. Разликата a m - a n след поставяне на n извън скобите приема формата a n · (a m - n −1). Този продукт е положителен, тъй като за a\u003e 1 степента на an е положително число, а разликата am - n −1 е положително число, тъй като m - n\u003e 0 поради първоначалното условие, а за a\u003e 1, степента на am - n е по-голяма от една ... Следователно a m - a n\u003e 0 и a m\u003e a n, както се изисква. Това свойство се илюстрира от неравенството 3 7\u003e 3 2. Свойства на градусите с цели числа експонентиТъй като положителните цели числа са естествени числа, всички свойства на градусите с положителни цели експоненти точно съвпадат със свойствата на градусите с естествени експоненти, изброени и доказани в предишния раздел. Степента с отрицателна степенна степен, както и степен с нулев показател, определихме така, че всички свойства на градусите с естествени показатели, изразени с равенства, да останат верни. Следователно всички тези свойства са валидни както за нулеви експоненти, така и за отрицателни експоненти, докато, разбира се, основите на експонентите са ненулеви. Така че, за всякакви реални и ненулеви числа a и b, както и всички числа m и n, следните са верни свойства на степента с цели числа експоненти:
При a \u003d 0 градусите a m и a n имат смисъл само когато и m, и n са положителни цели числа, тоест естествени числа. По този начин току-що описаните свойства са валидни и за случаите, когато a \u003d 0, а числата m и n са положителни цели числа. Не е трудно да се докаже всяко от тези свойства, за това е достатъчно да се използват дефинициите на степента с естествени и цели експоненти, както и свойствата на действията с реални числа. Като пример, нека докажем, че свойството степен на степен има както положителни цели числа, така и неположителни цели числа. За да направите това, е необходимо да покажете, че ако p е нула или естествено число и q е нула или естествено число, тогава равенствата (ap) q \u003d ap q, (a - p) q \u003d a (−p) q, (ap) −q \u003d ap (−q) и (a −p) −q \u003d a (−p) (−q)... Хайде да го направим. За положителни p и q равенството (a p) q \u003d a p q беше доказано в предишния раздел. Ако p \u003d 0, тогава имаме (a 0) q \u003d 1 q \u003d 1 и a 0 q \u003d a 0 \u003d 1, откъдето (a 0) q \u003d a 0 q. По същия начин, ако q \u003d 0, тогава (a p) 0 \u003d 1 и a p · 0 \u003d a 0 \u003d 1, откъдето (a p) 0 \u003d a p · 0. Ако и двете p \u003d 0 и q \u003d 0, тогава (a 0) 0 \u003d 1 0 \u003d 1 и a 0 0 \u003d a 0 \u003d 1, откъдето (a 0) 0 \u003d a 0 0. Сега нека докажем, че (a - p) q \u003d a (- p) q. По дефиниция на степен с цяло число отрицателен експонент, тогава По същия начин И По същия принцип може да се докажат всички останали свойства на степен с цяло число степен, записани под формата на равенства. В предпоследното от написаните свойства си струва да се спрем на доказателството за неравенството a - n\u003e b - n, което е валидно за всяко отрицателно цяло число −n и всяко положително a и b, за което условието a ... Тъй като по условие а 0. Продуктът a n · b n е също положителен като произведение на положителни числа a n и b n. Тогава получената дроб е положителна като част от положителните числа b n - a n и a n · b n. Следователно, откъде a - n\u003e b - n, както се изисква. Последното свойство на градусите с целочислени експоненти се доказва по същия начин, както аналогичното свойство на градусите с естествени експоненти. Свойства на градусите с рационални показателиОпределихме степен с частичен показател, като разширихме свойствата на степен с цял експонент към нея. С други думи, дробните експоненти имат същите свойства като целочислените експоненти. А именно:  Доказателството за свойствата на градусите с дробни показатели се основава на дефиницията на степен с частичен показател, на и на свойствата на степен с цяло число експонента. Ето доказателствата. По дефиниция на степен с дробна степенна степен, а след това Второто свойство на градусите с дробни показатели се доказва по абсолютно същия начин: Останалите равенства се доказват от подобни принципи: Преминаваме към доказателството на следното свойство. Нека докажем, че за всякакви положителни a и b, a b стр. Записваме рационалното число p като m / n, където m е цяло число, а n е естествено число. Условията стр<0 и p>0 в този случай условията m<0 и m>0 съответно. За m\u003e 0 и a По същия начин, за m<0 имеем a m >b m, откъдето, тоест и a p\u003e b p. Остава да се докаже последното от изброените свойства. Нека докажем, че за рационални числа p и q, p\u003e q за 0 Свойства на градусите с ирационални показателиОт това как е определена степен с ирационален показател, можем да заключим, че тя притежава всички свойства на градусите с рационален показател. Така че за всяко a\u003e 0, b\u003e 0 и ирационални числа p и q следното е вярно свойства на градусите с ирационални показатели:
Следователно можем да заключим, че градусите с всякакви реални показатели p и q за a\u003e 0 имат същите свойства. Списък на литературата.
ЧАСТ II. ГЛАВА 6 Понятието за степен с ирационален показателНека a е някакво положително число, а a - ирационално. 384 Понятието за степен с ирационален показател . . сега се оказва, че разликата в последователностите (4) и (3) се сближава В рамките на този материал ще анализираме каква е степента на числото. В допълнение към основните дефиниции ще формулираме какви са градусите с естествени, цели, рационални и ирационални показатели. Както винаги, всички концепции ще бъдат илюстрирани с примери за задачи. Yandex.RTB R-A-339285-1 Първо, ние формулираме основна дефиниция на степен с естествен показател. За да направим това, трябва да запомним основните правила за умножение. Нека изясним предварително, че засега ще вземем реално число като основа (обозначим го с буквата а), а като индикатор - естествено число (обозначим го с буквата n). Определение 1 Степента на число a с естествен експонентен n е произведение на n-ти брой фактори, всеки от които е равен на числото a. Степента е написана по следния начин: a n, и под формата на формула, нейният състав може да бъде представен по следния начин: Например, ако степента е 1, а основата е a, тогава първата степен на a се записва като а 1... Като се има предвид, че a е стойността на множителя, а 1 е броят на факторите, можем да заключим, че a 1 \u003d a. Като цяло можем да кажем, че степента е удобна форма за писане на голям брой равни фактори. И така, въвеждане на формуляра 8 8 8 8 може да се намали до 8 4 ... Приблизително по същия начин продуктът ни помага да избягваме писането на голям брой термини (8 + 8 + 8 + 8 \u003d 8 · 4); ние вече анализирахме това в статията, посветена на умножението на естествените числа. Как може човек да прочете правилно записа на степента? Общоприетата опция е "a до степен n". Или можете да кажете "n-та степен на" или "n-та степен". Ако, да речем, примерът съдържа записа 8 12 , можем да прочетем "8 до 12-та степен", "8 до 12-та степен" или "12-та степен на 8-ма". Втората и третата степен на числото имат своите добре установени имена: квадрат и куб. Ако видим втората степен, например числото 7 (7 2), тогава можем да кажем „7 на квадрат“ или „квадратът на числото 7“. По същия начин третата степен се чете по следния начин: 5 3 Е "куб с номер 5" или "5 в куб". Възможно е обаче да се използва и стандартната формулировка „във втора / трета степен“, това няма да е грешка. Пример 1 Нека анализираме пример за степен с естествен показател: за 5 7 пет ще бъде основата, а седем - индикаторът. Базата не трябва да е цяло число: за степента (4 , 32) 9 основата е фракцията 4, 32, а степента е девет. Обърнете внимание на скобите: такъв запис се прави за всички степени, чиито основи се различават от естествените числа. Например: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3. За какво са скобите? Те помагат да се избегнат грешки в изчисленията. Да кажем, че имаме два записа: (− 2) 3 и − 2 3 ... Първият от тях означава отрицателно число минус две, издигнато до степен с естествен експонентен три; второто е числото, съответстващо на противоположната стойност на степента 2 3 . Понякога в книгите можете да намерите малко по-различен правопис на степента на числото - a ^ n (където a е основата, а n е степента). Тоест 4 ^ 9 е същото като 4 9 ... Ако n е многоцифрено число, то се затваря в скоби. Например 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Но ние ще използваме обозначението a nкато по-често срещани. Лесно е да се досетите как да изчислите стойността на градуса с естествен показател от нейната дефиниция: просто трябва да умножите n-ти брой пъти. Повече за това писахме в друга статия. Концепцията за степен е противоположна на друга математическа концепция - коренът на число. Ако знаем стойността на степента и степента, можем да изчислим нейната основа. Степента има някои специфични свойства, които са полезни за решаване на проблеми, които сме обсъждали в отделен материал. В експонентите могат да устоят не само естествени числа, но като цяло всякакви целочислени стойности, включително отрицателни и нули, защото те също принадлежат към множеството от цели числа. Определение 2 Степента на число с положително цяло число степен може да се покаже като формула: Освен това n е всяко положително цяло число. Нека да се занимаем с понятието нулева степен. За целта използваме подход, който отчита свойството на коефициента за градуси с равни бази. Той е формулиран по следния начин: Определение 3 Равенство a m: a n \u003d a m - n ще бъде вярно при условията: m и n са естествени числа, m< n , a ≠ 0 . Последното условие е важно, тъй като избягва делението на нула. Ако стойностите на m и n са равни, тогава получаваме следния резултат: a n: a n \u003d a n - n \u003d a 0 Но в същото време a n: a n \u003d 1 е фактор на равни числа a n и а. Оказва се, че нулевата степен на всяко ненулево число е равна на единица. Такова доказателство обаче не се отнася за нула до нула степен. За това се нуждаем от друго свойство на градусите - свойството на произведения от градуси с еднакви основи. Изглежда така: a m a n \u003d a m + n . Ако имаме n, равно на 0, тогава a m a 0 \u003d a m (това равенство също ни доказва, че a 0 \u003d 1). Но ако a е също равно на нула, нашето равенство приема формата 0 m 0 0 \u003d 0 m, Това ще е вярно за всяка естествена стойност на n и няма значение каква точно е стойността на степента 0 0 , тоест тя може да бъде равна на произволно число и това няма да повлияе на верността на равенството. Следователно, обозначение на формата 0 0 няма специално значение и няма да му го приписваме. При желание е лесно да се провери това a 0 \u003d 1 се сближава със свойството степен (a m) n \u003d a m n при условие, че основата на степента не е нула. По този начин степента на всяко ненулево число с нулев показател е равна на единица. Пример 2 Нека разгледаме пример с конкретни числа: И така, 5 0 - мерна единица, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 \u003d 1, и стойността 0 0 неопределено. След нулевата степен остава да разберем каква е отрицателната степен. За целта ни трябва същото свойство на произведението на градуси с равни основи, което вече използвахме по-горе: a m · a n \u003d a m + n. Нека въведем условието: m \u003d - n, тогава a не трябва да е равно на нула. Следва, че a - n a n \u003d a - n + n \u003d a 0 \u003d 1... Оказва се, че a n и a - n имаме взаимно обратни числа. В резултат a към цяло число отрицателна степен не е нищо друго, освен дроб 1 a n. Тази формулировка потвърждава, че за степен с целочислен отрицателен експонентен коефициент всички същите свойства са валидни като степен с естествен експонентен показател (при условие, че основата не е нула). Пример 3 Степента на a с отрицателно цяло число n може да бъде представена като дроб 1 a n. По този начин a - n \u003d 1 a n при условието a ≠ 0 и n е всяко естествено число. Нека илюстрираме нашата мисъл с конкретни примери: Пример 4 3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1 В последната част на параграфа ще се опитаме да изобразим всичко казано ясно в една формула: Определение 4 Степента на числото a с естествен показател z е: az \u003d az, e с l и z - цяло число положително 1, z \u003d 0 и a ≠ 0, (за и z \u003d 0 и a \u003d 0, получаваме 0 0, стойностите на степенуването са 0 0, а не ОПРЕДЕЛЕНИЯ) 1 az, ако и z е цяло число и a ≠ 0 (ако z е цяло число и a \u003d 0 дава 0 z, его z в n в n e n d e d e n t) Кои са рационалните степенни степениАнализирахме случаите, когато експонентата съдържа цяло число. Можете обаче да увеличите число до степен, когато в степента му има дробно число. Това се нарича рационална степенна степен. В този подраздел ще докажем, че той има същите свойства като другите степени. Кои са рационалните числа? Техният набор включва както цели, така и дробни числа, докато дробните числа могат да бъдат представени като обикновени дроби (както положителни, така и отрицателни). Нека формулираме дефиницията на степента на число a с дробна степенна степен m / n, където n е естествено число и m е цяло число. Имаме някаква степен с дробна експонента a m n. За да бъде удовлетворено свойството степен до степен, трябва да е вярно равенството a m n n \u003d a m n · n \u003d a m. Като се има предвид дефиницията на n-тия корен и че a m n n \u003d a m, можем да приемем условието a m n \u003d a m n, ако a m n има смисъл за дадените стойности на m, n и a. Горните свойства на степен с цяло число степенна ще бъдат верни, ако a m n \u003d a m n. Основното заключение от нашите разсъждения е следното: степента на някакво число a с дробна степенна степен m / n е n-тият корен от числото a към степента на m. Това е вярно, ако за дадените стойности на m, n и a изразът a m n остава смислен. 1. Можем да ограничим стойността на основата на степента: вземете a, което при положителни стойности на m ще бъде по-голямо или равно на 0, а при отрицателни стойности строго по-малко (тъй като при m ≤ 0 получаваме 0 м, но тази степен не е определена). В този случай дефиницията на степен с дробен експонент ще изглежда така: Степента с дробна степенна степен m / n за някакво положително число a е n-тият корен от повдигнато до степен m. Под формата на формула това може да бъде представено по следния начин: За степен с нулева основа тази позиция също е подходяща, но само ако нейният степен е положително число. Градус с базова нула и дробно положителен показател m / n може да се изрази като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0 при условие на положително цяло число m и естествено n. С отрицателно съотношение m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет. Нека отбележим една точка. Тъй като въведохме условието, че a е по-голямо или равно на нула, тогава отпаднахме някои случаи. Изразът a m n понякога има смисъл за някои отрицателни стойности на a и някои m. И така, правилните записи са (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, в които основата е отрицателна. 2. Вторият подход е да се разгледа отделно коренът a m n с четни и нечетни експоненти. Тогава трябва да въведем още едно условие: степента на a, в степента на която има отменяема обикновена фракция, се счита за мощност на a, в степента на която има съответната неприводима част. По-късно ще обясним защо се нуждаем от това състояние и защо е толкова важно. По този начин, ако имаме запис a m k n k, тогава можем да го намалим до m m и да опростим изчисленията. Ако n е нечетно и m е положително, a е всяко неотрицателно число, тогава m n има смисъл. Условието за неотрицателно а е необходимо, тъй като не се извлича четен корен от отрицателно число. Ако стойността на m е положителна, тогава a може да бъде отрицателна или нулева, тъй като нечетен корен може да бъде извлечен от всяко реално число. Нека комбинираме всички данни по-горе дефиниция в един запис: Тук m / n означава неприводима дроб, m е всяко цяло число и n е всяко естествено число. Определение 5 За всяка обикновена отменяема фракция m · k n · k, степента може да бъде заменена с m n. Степента на число a с неприводим дробен показател m / n - може да бъде изразена като m n в следните случаи: - за всяко реално a, положителни цели числа m и нечетни естествени стойности n. Пример: 2 5 3 \u003d 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 \u003d 0 5 19. За всяко ненулево реално a, отрицателно цяло число m и нечетно n, например 2 - 5 3 \u003d 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 \u003d (- 5, 1) - 2 7 За всяко неотрицателно a, положително цяло число m и четно n, например 2 1 4 \u003d 2 1 4, (5, 1) 3 2 \u003d (5, 1) 3, 0 7 18 \u003d 0 7 18. За всяко положително а, цяло число отрицателно m и четно n, например 2 - 1 4 \u003d 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 \u003d (5, 1) - 3 ,. За други стойности дробният експонент не е дефиниран. Примери за такива степени: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5. Сега нека да обясним важността на условието, споменато по-горе: защо да заменим фракцията с отменяем експонент с дроб с неприводима. Ако не бяхме направили това, тогава щяхме да имаме такива ситуации, да речем, 6/10 \u003d 3/5. Тогава трябва да е вярно (- 1) 6 10 \u003d - 1 3 5, но - 1 6 10 \u003d (- 1) 6 10 \u003d 1 10 \u003d 1 10 10 \u003d 1 и (- 1) 3 5 \u003d (- 1 ) 3 5 \u003d - 1 5 \u003d - 1 5 5 \u003d - 1. Дефиницията на степента с дробна степенна степен, която дадохме първата, е по-удобна за използване на практика от втората, така че ще продължим да я използваме. Определение 6 По този начин степента на положителното число a с дробна степенна степен m / n се определя като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0. В случай на отрицателно а обозначението a m n е безсмислено. Мощност на нула за положителни дробни експоненти м / н се дефинира като 0 m n \u003d 0 m n \u003d 0, за отрицателни дробни експоненти не определяме степента на нула. В заключенията отбелязваме, че можете да напишете всеки дробен индикатор както като смесено число, така и като десетична дроб: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7. При изчисляване е по-добре да замените степента с обикновена дроб и след това да използвате дефиницията на степен с дробна степен. За примерите по-горе получаваме: 5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7 Какво представляват градусите с ирационален и валиден показателКои са реалните числа? Техният набор включва както рационални, така и ирационални числа. Следователно, за да разберем какво е степен с реален показател, трябва да определим степени с рационални и ирационални показатели. По-горе вече споменахме рационалните. Нека да се справим с ирационалните показатели стъпка по стъпка. Пример 5 Да предположим, че имаме ирационално число a и поредица от неговите десетични приближения a 0, a 1, a 2 ,. ... ... ... Да вземем например стойността a \u003d 1.67175331. ... ... тогава a 0 \u003d 1,6, a 1 \u003d 1,67, a 2 \u003d 1,671 ,. ... ... , a 0 \u003d 1,67, a 1 \u003d 1,6717, a 2 \u003d 1,671753 ,. ... ... Можем да асоциираме последователност от апроксимации с поредица от степени a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... ... Ако си припомним казаното по-рано за повишаване на числата до рационална степен, тогава можем сами да изчислим стойностите на тези степени. Вземете например a \u003d 3, тогава a a 0 \u003d 31,67, a a 1 \u003d 31,6717, a a 2 \u003d 31,671753 ,. ... ... и т.н. Последователността на градусите може да бъде намалена до число, което ще бъде стойността на степента с основа a и ирационален показател a. В резултат на това: степен с ирационален показател като 3 1, 67175331. ... може да се намали до числото 6, 27. Определение 7 Степента на положителното число a с ирационален показател a се записва като a a. Стойността му е границата на последователността a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , където a 0, a 1, a 2 ,. ... ... са последователни десетични приближения на ирационалното число a. Степента с нулева база може да се определи и за положителни ирационални показатели, докато 0 a \u003d 0 So, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. А за отрицателните това не може да се направи, тъй като например стойността 0 - 5, 0 - 2 π не е дефинирана. Единица, издигната до каквато и да е ирационална мощност, остава единица например и 1 2, 1 5 в 2 и 1 - 5 ще бъдат равни на 1. Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter Степен с рационален показател, неговите свойства. Израз a n е дефиниран за всички a и n, с изключение на случая a \u003d 0 за n≤0. Нека си припомним свойствата на такива степени. A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a ≠ 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (b ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a ≠ 0). (a p) q \u003d a pq
(1)
Степен с ирационален показател. Нерационално числоможе да се представи катограницата на последователността от рационални числа:
.
Нека бъде. Тогава има степени с рационален експонентен показател. Може да се покаже, че последователността на тези степени е конвергентна. Извиква се границата на тази последователност степен с обосновка и ирационален показател: . Фиксираме положително число а и присвояваме на всяко число... По този начин получаваме числовата функция f (x) \u003d a х дефиниран на множеството Q от рационални числа и притежаващ изброените преди това свойства За a \u003d 1 функцията f (x) \u003d a х е постоянна от 1 х \u003d 1 за всеки рационален x.
;
.
Кога а > 0, а = 1, функцията е дефинирана y \u003d a х различни от постоянни. Тази функция се нарича експоненциална функцияс основатаа.
у\u003d a
х в а> 1:
Графики на експоненциална функция с основа 0< а < 1 и а \u003e 1 са показани на фигурата. Основни свойства на експоненциалната функция у\u003d a х в 0< а < 1:
|
, техните бази не са естествени числа, така че те са написани в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата между записите във формуляра (-2) 3 и -2 -2. Изразът (-2) 3 е степента на -2 с естествен степен 3, а изразът -2 (може да бъде записан като - (2 3)) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .
... Ако вземем предвид полученото равенство и как сме го определили, тогава е логично да приемем, при условие че за дадени m, n и a изразът има смисъл.
.
или, и дадената по-горе дефиниция ни принуждава да кажем, че градуси с дробна степен на степен на формата 
нямат смисъл, тъй като основата не трябва да бъде отрицателна.
но 
, и .
, а този продукт е степента на числото a с естествен показател m + n, т.е. m + n. Това допълва доказателството.
... Последният продукт, базиран на свойствата на умножението, може да бъде пренаписан като 
, което е равно на a n · b n.
.
.
.
... За по-голяма яснота ето пример с конкретни числа: 
.
... За всеки от произведенията от формата a · a е равно на произведението на абсолютните стойности на числата a и a, следователно, е положително число. Следователно продуктът 
а степента a 2 m. Ето някои примери: (−6) 4\u003e 0, (−2,2) 12\u003e 0 и.
... Всички продукти a · a са положителни числа, произведението на тези положителни числа също е положително и умножаването му по останалото отрицателно число a води до отрицателно число. Поради това свойство (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
... По свойството на коефициента на властта имаме 
... Тъй като 1 p \u003d 1 · 1 ·… · 1 \u003d 1 и, тогава. Последният израз по дефиниция е степен на формата a - (p q), която поради правилата за умножение може да бъде записана като (−p) q.
.
.
... Свойствата на аритметичния корен ни позволяват да запишем следните равенства. Освен това, използвайки свойството на степен с целочислен експонентен коефициент, получаваме, откъдето, по дефиницията на степен с дробна степенна степен, имаме 
, а степента на получената степен може да се преобразува, както следва: Това допълва доказателството.
и 
... И дефиницията на степента с рационален показател ви позволява да преминете към неравенства и, съответно. Следователно правим окончателното заключение: за p\u003e q и 0 
.
и следователно,
| Прочети: |
|---|
Ново
- Име Дария: произход и значение
- Празник Иван Купала: традиции, обичаи, церемонии, конспирации, ритуали
- Лунният хороскоп на подстригванията за януари
- Любовни обвързвания по снимка - правила, методи
- Какво е черна реторика?
- Любовен хороскоп за зодия Водолей за септември Хороскоп точен за септември на годината Водолей
- Затъмнение на 11 август по кое време
- Церемонии и ритуали за Въздвижение на Господния кръст (27 септември)
- Робеспиер е логически интуитивен интроверт (LII)
- Молитва за късмет в работата и късмет
