Има 8 примера за факторизиране на полиноми. Те включват примери с решаване на квадратни и биквадратични уравнения, примери с рефлексивни полиноми и примери с намиране на целочислени корени на полиноми от трета и четвърта степен.

1. Примери за решаване на квадратно уравнение

Пример 1.1

х 4 + x 3 - 6 x 2.

Решение

Извадете х 2 извън скобите:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
Корените на уравнението:
, .

.

Отговор

Пример 1.2

Фактор на полином от трета степен:
х 3 + 6 x 2 + 9 x.

Решение

Преместване на x от скобите:
.
Ние решаваме квадратно уравнение х 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
Неговият дискриминант:.
Тъй като дискриминантът е нула, корените на уравнението са кратни :;
.

От това получаваме факторизацията на полинома:
.

Отговор

Пример 1.3

Фактор на полином от пета степен:
х 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Решение

Извадете х 3 извън скобите:
.
Решаване на квадратното уравнение x 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
Неговият дискриминант:.
Тъй като дискриминант по-малко от нула, тогава корените на уравнението са сложни :;
, .

Факторизацията на полином е:
.

Ако се интересуваме от факторизиране с реални коефициенти, тогава:
.

Отговор

Примери за факторинг на полиноми, използващи формули

Примери с биквадратични полиноми

Пример 2.1

Фактор на биквадратичен полином:
х 4 + x 2 - 20.

Решение

Нека приложим формулите:
а 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
а 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b).

;
.

Отговор

Пример 2.2

Фактор на полином, който се свежда до биквадратичен:
х 8 + x 4 + 1.

Решение

Нека приложим формулите:
а 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
а 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b):

;

;
.

Отговор

Пример 2.3 с връщаем полином

Фактор на връщащия полином:
.

Решение

Рефлексивният полином има нечетна степен. Следователно, той има корен x \u003d - 1 ... Разделяме полинома на x - (-1) \u003d x + 1... В резултат получаваме:
.
Правим заместването:
, ;
;


;
.

Отговор

Примери за факторинг на полиноми с целочислени корени

Пример 3.1

Фактор на полином:
.

Решение

Да предположим уравнението

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 \u003d 60.

И така, открихме три корена:
х 1 = 1 , х 2 = 2 , х 3 = 3 .
Тъй като оригиналният полином е от трета степен, той има най-много три корена. Тъй като открихме три корена, те са прости. Тогава
.

Отговор

Пример 3.2

Фактор на полином:
.

Решение

Да предположим уравнението

има поне един цял корен. Тогава е делител на числото 2 (термин без х). Тоест целият корен може да бъде едно от числата:
-2, -1, 1, 2 .
Ние заместваме тези стойности на свой ред:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 \u003d 54 .
Ако приемем, че това уравнение има цяло число корен, то то е делител на числото 2 (термин без х). Тоест целият корен може да бъде едно от числата:
1, 2, -1, -2 .
Заместете x \u003d -1 :
.

И така, намерихме друг корен x 2 = -1 ... Би било възможно, както в предишния случай, да разделим полинома на, но ние ще групираме членовете:
.

Тъй като уравнението x 2 + 2 = 0 няма реални корени, тогава факторизацията на полинома има формата.

Намерете сумата и произведението на корените на квадратното уравнение. Използвайки формули (59.8) за корените на приведеното уравнение, получаваме

(първото равенство е очевидно, второто се получава след просто изчисление, което читателят ще извърши самостоятелно; удобно е да се използва формулата за произведението на сумата от две числа от тяхната разлика).

Доказва се следното.

Теорема на Виета. Сумата от корените на намаленото квадратно уравнение е равна на втория коефициент с противоположен знак, а техният продукт е равен на свободния срок.

В случай на нередуцирано квадратно уравнение, изразите от формула (60.1) трябва да бъдат заменени във формули (60.1), за да получат формата

Пример 1. Направете квадратно уравнение по корените му:

Решение, а) Откриваме, че уравнението има формата

Пример 2. Намерете сумата на квадратите на корените на уравнение, без да решавате самото уравнение.

Решение. Сумата и произведението на корените са известни. Представяме сумата от квадратите на корените във формата

и вземете

Лесно е да получите формулата от формулите на Vieta

изразяващ правилото за разлагане на квадратен трином.

Всъщност, ние пишем формули (60.2) във формата

Сега имаме

което се изискваше да бъде получено.

Горното извеждане на формулите на Vieta е познато на читателя от курс по алгебра в гимназията. Може да се направи и друго заключение, като се използва теоремата на Безут и се раздели полиномът (точки 51, 52).

Нека тогава корените на уравнението бъдат основно правило (52.2) триномиалът от лявата страна на уравнението е факторизиран:

Разширявайки скобите от дясната страна на тази идентичност, получаваме

и сравняването на коефициентите при същите градуси ще ни даде формулите на Vieta (60.1).

Предимството на това заключение е, че то може да се приложи към уравненията по-високи градуси за да се получат изрази за коефициентите на уравнението по отношение на неговите корени (без да се намират самите корени!). Например, ако корените на намаленото кубично уравнение

по същество, според равенството (52.2), намираме

(в нашия случай, разширявайки скобите от дясната страна на равенството и събирайки коефициентите на различни степени, получаваме

Светът е потопен в огромен брой числа. Всички изчисления се правят с тяхна помощ.

Хората научават числа, за да не си падат по измама в по-късния живот. Необходимо е огромно време, за да се образоваш и да изчислиш собствения си бюджет.

Математиката е точна наука, която играе голяма роля в живота. В училище децата изучават числа, а след това и действия върху тях.

Действията върху числата са напълно различни: умножение, разширяване, събиране и други. Освен прости формули, при изучаването на математиката се използват и по-сложни действия. Има огромен брой формули, по които могат да бъдат разпознати всякакви стойности.

В училище, веднага щом се появи алгебра, към живота на ученика се добавят формули за опростяване. Има уравнения, когато има две неизвестни числа, но намерете по прост начин няма да работи. Тричлен е връзка на три монома, използвайки прост метод на изваждане и събиране. Триномът се решава с помощта на теоремата на Виета и дискриминанта.

Формула за разлагане на квадратен трином

Има две правилни и прости решения пример:

• дискриминанта;
• теорема на Виета.

Квадратният трином има неизвестен квадрат и число без квадрат. Първият вариант използва формулата на Vieta за решаване на проблема. Това е проста формулаако номерата, които стоят пред неизвестното, ще бъдат минимална стойност.

За други уравнения, където числото е пред неизвестното, уравнението трябва да бъде решено чрез дискриминанта. Това е по-сложно решение, но дискриминантът се използва много по-често от теоремата на Vieta.

Първоначално, за да намерите всички променливи на уравнението необходимо е да се повиши примера до 0. Решението на примера може да се провери и да се разбере дали номерата са коригирани правилно.

Дискриминанта

1. Необходимо е уравнението да се приравни на 0.

2. Всяко число преди x ще се нарича числа a, b, c. Тъй като няма число пред първия квадрат x, то се равнява на 1.

3. Сега решението на уравнението започва чрез дискриминанта:

4. Сега намерихме дискриминанта и намерихме две х. Разликата е, че в единия случай b ще бъде предшестван от плюс, а в другия - минус:

5. Според решението две числа се оказаха -2 и -1. Заместник по първоначалното уравнение:

6. Този пример има две правилни опции... Ако и двете решения са верни, тогава всяко от тях е вярно.

По-сложните уравнения също се решават чрез дискриминанта. Но ако стойността на самия дискриминант е по-малка от 0, тогава примерът е грешен. Дискриминантът винаги е в корена при търсене и отрицателната стойност не може да бъде в корена.

Теорема на Виета

Използва се за решаване на светлинни проблеми, когато няма число пред първото х, т.е.а \u003d 1. Ако опцията съвпада, изчислението се извършва с помощта на теоремата на Vieta.

За решаване на всеки тричлен необходимо е да се повиши уравнението до 0. Първите стъпки за дискриминанта и теоремата на Виета не се различават.

2. Сега започват разликите между двата метода. Теоремата на Vieta използва не само „сухо“ изчисление, но и логика и интуиция. Всяко число има своя собствена буква a, b, c. Теоремата използва сумата и произведението на две числа.

Помня! Числото b винаги се добавя с противоположния знак и числото c остава непроменено!

Заместване на стойностите на данните в примера , получаваме:

3. Използвайки метода на логиката, ние заместваме най-подходящите числа. Нека разгледаме всички решения:

1. Числата са 1 и 2. Когато го добавите, получавате 3, но ако умножите, не получавате 4. Не се побира.
2. Стойността е 2 и -2. Когато се умножи, ще бъде -4, но когато се добави, ще бъде 0. Не е подходящо.
3. Числата са 4 и -1. Тъй като при умножението има отрицателна стойност, това означава, че едно от числата ще бъде с минус. Когато се събира и умножава е подходящо. Правилен вариант.

4. Остава само да проверите, разширявате числата и да видите коректността на избраната опция.

5. Благодарение на онлайн проверката разбрахме, че -1 не отговаря на условието на примера, което означава, че е грешно решение.

Когато добавяте отрицателна стойност в примера, трябва да поставите числото в скоби.

В математиката винаги ще има прости задачи и сложни. Самата наука включва разнообразни проблеми, теореми и формули. Ако разбирате и прилагате правилно знанията, тогава всички трудности с изчисленията ще бъдат незначителни.

Математиката не се нуждае от постоянно запомняне. Трябва да се научите да разбирате решението и да научите няколко формули. Постепенно, според логическите изводи, е възможно да се решат подобни проблеми, уравнения. Подобна наука може да изглежда много трудна на пръв поглед, но ако те се потопят в света на числата и проблемите, тогава възгледът ще се промени драстично в по-добрата страна.

Технически специалности винаги остават най-търсените в света. Сега в света съвременни технологии, математиката се превърна в незаменим атрибут на всяка област. Човек винаги трябва да помни за полезни свойства математика.

Разлагане на тричлен с помощта на скоба

В допълнение към решаването по обичайните начини има и друг - разширяване в скоби. Използвайте формулата на Vieta.

1. Приравнете уравнението на 0.

брадва 2 + bx + c= 0

2. Корените на уравнението остават същите, но вместо нула сега използват формулите за разширяване в скоби.

брадва 2 + bx + c \u003d a ( х - х 1) ( х - х 2)

2 х 2 – 4 х – 6 = 2 ( х + 1) ( х – 3)

4. Решение x \u003d -1, x \u003d 3

Факторирането на квадратни триноми се отнася до училищни задачи, с които всеки рано или късно ще се сблъска. Как го правиш? Каква е формулата на факторизация за квадратно триномие? Нека да разберем стъпка по стъпка, като използваме примери.

Обща формула

Факторизацията на квадратни триноми се извършва чрез решаване на квадратно уравнение. Това е прост проблем, който може да бъде решен по няколко метода - чрез намиране на дискриминанта, използвайки теоремата на Виета, има и графичен начин за решаването му. Първите двама се преподават в гимназията.

Общата формула изглежда така:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

Алгоритъм за изпълнение на задачата

За да разлагате на квадрат триноми, трябва да знаете теоремата на Wit, да имате под ръка програма за решаване, да можете да намерите решение графично или да търсите корените на уравнение от втора степен чрез дискриминантната формула. Ако е даден квадратен трином и той трябва да бъде факторизиран, алгоритъмът на действията е както следва:

1) Задайте първоначалния израз на нула, за да получите уравнението.

2) Олово подобни термини (ако е необходимо).

3) Намерете корени от всеки по познат начин... Графичният метод се използва най-добре, ако предварително се знае, че корените са цели и малки числа. Трябва да се помни, че броят на корените е равен на максималната степен на уравнението, тоест квадратното уравнение има два корена.

4) Заместваща стойност х в израз (1).

5) Напишете факторизацията на квадратни триноми.

Примери за

Практиката ви позволява най-накрая да разберете как се изпълнява тази задача. Илюстрирайте факторизацията на квадратен трином чрез примери:

необходимо е да се разшири изразът:

Нека прибегнем до нашия алгоритъм:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) подобни срокове са намалени

3) трудно е да се намерят корените за този пример, използвайки формулата на Vieta, затова е по-добре да се използва изразът за дискриминанта:

D \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12,69) 2

4) Заместете корените, които открихме в основната формула за разлагане:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) Тогава отговорът ще бъде следният:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

Нека проверим дали решенията, открити от дискриминанта, съответстват на формулите на Vieta:

14,845 . 2,155=32

За тези корени се прилага теоремата на Vieta, те са намерени правилно, което означава, че факторизацията, която получихме, също е вярна.

По същия начин разширяваме 12x 2 + 7x-6.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

В предишния случай решенията бяха нецели, а реални числа, които лесно се намират с калкулатор пред вас. Сега разгледайте по-сложен пример, в който корените са сложни: фактор x 2 + 4x + 9. Според формулата на Vieta корените не могат да бъдат намерени и дискриминантът е отрицателен. Корените ще бъдат в сложната равнина.

D \u003d -20

Въз основа на това получаваме интересуващите ни корени -4 + 2i * 5 1/2 и -4-2i * 5 1/2, защото (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

Получаваме необходимото разлагане, като заместваме корените в общата формула.

Друг пример: трябва да вземете предвид израза 23x 2 -14x + 7.

Имаме уравнението 23x 2 -14x + 7 =0

D \u003d -448

Следователно корените са 14 + 21,166i и 14-21,166i. Отговорът ще бъде:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21,166i )*(х- 14 + 21.166i ).

Нека дадем пример, който може да бъде решен без помощта на дискриминанта.

Да предположим, че трябва да разширите квадратното уравнение x 2 -32x + 255. Очевидно е, че може да се реши с дискриминант, но в този случай е по-бързо да се вдигнат корените.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

Означава x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).