Първата точка е, както обикновено, arcsin(-a)=-arcsina. За да стигнем до втората точка, вървим по горния път, тоест в посока на увеличаване на ъгъла.

Този път преминаваме през н. колко отиваме? На arcsinx. Така че втората точка е n+arcsin x. Защо няма минус? Тъй като минусът в нотацията -arcsin a означава, че се движи по часовниковата стрелка и ние отидохме срещу. И в заключение добавяме 2pn към всеки край на интервала.

5) sinx>a, ако a>1.

Единичната окръжност лежи изцяло под правата y=a. Няма точка над линията. Така че няма решения.

6) sinx>-a, където a>1.

В този случай целият единичен кръг лежи изцяло над правата y=a. Следователно всяка точка удовлетворява условието sinx>a. Така че х е произволно число.

И тук x е произволно число, тъй като точките -n/2+2n са включени в решението, за разлика от строгото неравенство sinx>-1. Нищо не трябва да се изключва.

Единствената точка от окръжността, която удовлетворява това условие, е n/2. Като се вземе предвид периода на синуса, решението на това неравенство е множеството от точки x=p/2+2pn.

Например, решете неравенството sinx>-1/2:

Неравенствата са отношения от вида a › b, където a и b са изрази, съдържащи поне една променлива. Неравенствата могат да бъдат строги - ‹, › и нестроги - ≥, ≤.

Тригонометричните неравенства са изрази от вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в които F(x) се представя от една или повече тригонометрични функции .

Пример за най-простото тригонометрично неравенство е: sin x ‹ 1/2. Обичайно е подобни проблеми да се решават графично, за това са разработени два метода.

Метод 1 – Решаване на неравенства чрез начертаване на функция

За да намерите интервал, който удовлетворява условията на неравенството sin x ‹ 1/2, трябва да направите следното:

1. На координатна оспостроете синусоида y = sin x.
2. На същата ос начертайте графика на числения аргумент на неравенството, т.е. права линия, минаваща през точка ½ от ординатата OY.
3. Маркирайте пресечните точки на двете графики.
4. Засенчвайте сегмента, който е решението на примера.

Когато в израз има силни знаци, пресечните точки не са решения. Тъй като най-малкият положителен период на синусоидата е 2π, ние записваме отговора, както следва:

Ако знаците на израза не са строги, тогава интервалът на решението трябва да бъде затворен в квадратни скоби - . Отговорът на задачата може да се запише и като друго неравенство:

Метод 2 - Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичния кръг

Подобни задачи лесно се решават с помощта на тригонометричен кръг. Алгоритъмът за търсене е много прост:

1. Първо начертайте единичен кръг.
2. След това трябва да отбележите стойността на дъговата функция на аргумента от дясната страна на неравенството върху дъгата на окръжността.
3. Необходимо е да се начертае права линия, минаваща през стойността на дъговата функция, успоредна на оста x (OX).
4. След това остава само да изберете дъгата на окръжност, която е набор от решения на тригонометричното неравенство.
5. Напишете отговора в необходимата форма.

Нека анализираме стъпките на решението, като използваме като пример неравенството sin x › 1/2. Върху кръга са отбелязани точки α и β – стойностите

Точките на дъгата, разположени над α и β, са интервалът за решаване на даденото неравенство.

Ако трябва да решите пример за cos, тогава дъгата на отговорите ще бъде разположена симетрично на оста OX, а не OY. Можете да разгледате разликата между интервалите на решението за sin и cos в диаграмите по-долу в текста.

Графичните решения за тангенс и котангенс неравенства ще се различават както от синус, така и от косинус. Това се дължи на свойствата на функциите.

Арктангенсът и арккотангенсът са допирателни към тригонометричния кръг, а минималният положителен период за двете функции е π. За да използвате бързо и правилно втория метод, трябва да запомните на коя ос са нанесени стойностите на sin, cos, tg и ctg.

Допирателната допирателна върви успоредно на оста OY. Ако начертаем стойността на arctg a върху единичната окръжност, тогава втората необходима точка ще бъде разположена в диагоналната четвърт. ъгли

Те са точки на прекъсване за функцията, тъй като графиката клони към тях, но никога не ги достига.

В случая на котангенса допирателната върви успоредно на оста OX и функцията се прекъсва в точките π и 2π.

Сложни тригонометрични неравенства

Ако аргументът на функцията неравенство е представен не само от променлива, а от цял ​​израз, съдържащ неизвестно, тогава говорим за сложно неравенство. Ходът и редът на неговото решаване са малко по-различни от описаните по-горе методи. Да предположим, че трябва да намерим решение на следното неравенство:

Графичното решение предвижда изграждането на обикновена синусоида y = sin x за произволно избрани стойности на x. Нека изчислим таблица с координати за референтните точки на диаграмата:

Резултатът трябва да бъде хубава крива.

За по-лесно намиране на решение заменяме аргумента на комплексната функция

Повечето ученици не харесват тригонометричните неравенства. Но напразно. Както казваше един герой,

„Просто не знаеш как да ги приготвиш“

И така, как да „готвим“ и с какво да представим неравенство със синус, ще разберем в тази статия. ние ще решим по прост начинизползвайки единичния кръг.

И така, първо, ние се нуждаем от следния алгоритъм.

Алгоритъм за решаване на неравенства със синус:

1. поставете числото $a$ върху оста на синуса и начертайте права линия, успоредна на оста на косинус, докато се пресече с окръжността;
2. точките на пресичане на тази линия с окръжността ще бъдат попълнени, ако неравенството не е строго, и не се попълват, ако неравенството е строго;
3. областта на решението на неравенството ще бъде над линията и до окръжността, ако неравенството съдържа знака „$>$“, и под реда и до кръга, ако неравенството съдържа знака „$<$”;
4. за да намерим пресечните точки, решаваме тригонометричното уравнение $\sin(x)=a$, получаваме $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. задавайки $n=0$, намираме първата пресечна точка (тя се намира или в първия, или в четвъртия квадрант);
6. за да намерим втората точка, гледаме в коя посока преминаваме през областта до втората пресечна точка: ако е в положителна посока, тогава трябва да се вземе $n=1$, а ако в отрицателна посока, тогава $n= -1$;
7. в отговор се изписва интервалът от по-малката пресечна точка $+ 2\pi n$ до по-голямата $+ 2\pi n$.

Ограничение на алгоритъма

Важно: dтози алгоритъм не работиза неравенства от вида $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Специални случаи при решаване на неравенство със синус

Също така е важно да се отбележат следните случаи, които са много по-удобни за решаване логически без използване на горния алгоритъм.

специален случай 1. Решете неравенството:

$\sin(x) \leq 1.$

Поради факта, че обхватът тригонометрична функция$y=\sin(x)$ е най-много по модул $1$, тогава лява странанеравенства за всякакви$x$ от домейна (а домейнът на синуса е всички реални числа) не е по-голям от $1$. И следователно в отговор пишем: $x \in R$.

Последица:

$\sin(x) \geq -1.$

Специален случай 2.Решете неравенството:

$\sin(x)< 1.$

Прилагайки аргументи, подобни на специалния случай 1, получаваме, че лявата страна на неравенството е по-малка от $1$ за всички $x \in R$, с изключение на точките, които са решения на уравнението $\sin(x) = 1 $. Решавайки това уравнение, ще имаме:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

И следователно в отговор пишем: $x \in R \обратна наклонена черта \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Последица:неравенството се решава по подобен начин

$\sin(x) > -1.$

Примери за решаване на неравенства с помощта на алгоритъм.

Пример 1:Решете неравенството:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Обърнете внимание на координатата $\frac(1)(2)$ по оста на синусите.
2. Начертайте линия, успоредна на оста на косинус и минаваща през тази точка.
3. Обърнете внимание на пресечните точки. Те ще бъдат засенчени, защото неравенството не е строго.
4. Знакът за неравенство е $\geq$, което означава, че рисуваме върху областта над линията, т.е. по-малък полукръг.
5. Намерете първата пресечна точка. За да направите това, превърнете неравенството в равенство и го решете: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \ Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Освен това задаваме $n=0$ и намираме първата пресечна точка: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Намираме втората точка. Нашата област върви в положителна посока от първата точка, така че задаваме $n$ равно на $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Така решението ще приеме формата:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\вдясно], \ n \in Z.$

Пример 2:Решете неравенството:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Маркирайте координатата $- \frac(1)(2)$ върху оста на синуса и начертайте права линия, успоредна на оста на косинус и минаваща през тази точка. Обърнете внимание на пресечните точки. Те няма да бъдат засенчени, тъй като неравенството е строго. Знак за неравенство $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Задавайки допълнително $n=0$, намираме първата пресечна точка: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Нашата област върви в отрицателна посока от първата точка, така че задаваме $n$ равно на $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

И така, решението на това неравенство ще бъде интервалът:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Пример 3:Решете неравенството:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Този пример не може да бъде решен веднага с помощта на алгоритъм. Първо трябва да го преобразувате. Правим точно както бихме направили с уравнението, но не забравяйте за знака. Деленето или умножаването на отрицателно число го обръща!

И така, нека преместим всичко, което не съдържа тригонометрична функция, в дясната страна. Получаваме:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Разделете лявата и дясната страна на $-2$ (не забравяйте за знака!). Ще има:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Отново получаваме неравенство, което не можем да решим с помощта на алгоритъма. Но тук е достатъчно да направите промяна на променливата:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Получаваме тригонометрично неравенство, което може да бъде решено с помощта на алгоритъма:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Това неравенство беше решено в пример 1, така че ще заемем отговора от там:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Решението обаче все още не е приключило. Трябва да се върнем към оригиналната променлива.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Нека представим празнината като система:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

В левите части на системата има израз ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), който принадлежи на интервала. Лявата граница на интервала е отговорна за първото неравенство, а дясната за второто. Освен това скобите играят важна роля: ако скобата е квадратна, тогава неравенството ще бъде нестрого, а ако е кръгло, тогава строго. нашата задача е да получим $x$ отляво и в двете неравенства.

Нека преместим $\frac(\pi)(6)$ от лявата страна към дясната страна, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Опростявайки, ще имаме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(масив) \right.$

Умножавайки лявата и дясната страна по $4$, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Сглобявайки системата в интервал, получаваме отговора:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\вдясно], \ n \in Z.$

1. Ако аргументът е сложен (различен от х), след което го заместваме с т.

2. Изграждаме в една координатна равнина toOyфункционални графики y=разходи y=a.

3. Намираме такива две съседни пресечни точки на графики, между които се намира над линията y=a. Намерете абсцисите на тези точки.

4. Напишете двойно неравенство за аргумента т, като се има предвид косинус период ( тще бъде между намерените абсциси).

5. Направете обратно заместване (връщане към оригиналния аргумент) и изразете стойността хот двойно неравенство, ние записваме отговора като числов интервал.

Пример 1

Освен това, според алгоритъма, ние определяме тези стойности на аргумента т, при което се намира синусоидата по-горе прав. Записваме тези стойности като двойно неравенство, като вземем предвид периодичността на косинусовата функция и след това се връщаме към първоначалния аргумент х.

Пример 2

Избор на диапазон от стойности тза които синусоидата е над правата линия.

Записваме под формата на двойно неравенство стойностите т,удовлетворяване на условието. Не забравяйте, че най-малкият период на функцията y=разходравно на 2π. Обратно към променлива х, като постепенно опростява всички части на двойното неравенство.

Записваме отговора като затворен числов интервал, тъй като неравенството не е строго.

Пример 3

Ще се интересуваме от диапазона от стойности т, при което точките на синусоидата ще лежат над правата линия.

Стойности тпишем под формата на двойно неравенство, пренаписваме същите стойности за 2xи експресно х. Записваме отговора като числов интервал.

И отново формула цена>а.

Ако цена>а, (-1≤а≤1), тогава - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Прилагайте формули за решаване на тригонометрични неравенства и спестете време за тестване на изпит.

И сега формула , който трябва да използвате на изпита UNT или USE, когато решавате тригонометрично неравенство на формата цена

Ако цена , (-1≤а≤1), тогава arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Приложете тази формула, за да решите неравенствата, разгледани в тази статия, и ще получите отговора много по-бързо и без никакви графики!

Като вземем предвид периодичността на функцията синус, пишем двойно неравенство за стойностите на аргумента т, което удовлетворява последното неравенство. Нека се върнем към оригиналната променлива. Нека трансформираме полученото двойно неравенство и изразим променливата Х.Записваме отговора като интервал.

Решаваме второто неравенство:

Когато решаваме второто неравенство, трябваше да трансформираме лявата страна на това неравенство, използвайки синусовата формула на двоен аргумент, за да получим неравенство от вида: sint≥a.След това следвахме алгоритъма.

Решаваме третото неравенство:

Уважаеми абитуриенти и кандидати! Имайте предвид, че такива методи за решаване на тригонометрични неравенства като горния графичен метод и, със сигурност, знаете, методът за решаване с помощта на единичен тригонометричен кръг (тригонометричен кръг) са приложими само на първите етапи от изучаване на раздела от тригонометрията " Решение на тригонометрични уравнения и неравенства". Мисля, че ще си спомните, че първо решихте най-простите тригонометрични уравнения с помощта на графики или кръг. Сега обаче няма да ви хрумне да решавате тригонометрични уравнения по този начин. Как ги решавате? Точно така, формули. Така че тригонометричните неравенства трябва да се решават с формули, особено при тестване, когато път всяка минута. И така, решете трите неравенства от този урок, като използвате подходящата формула.

Ако sint>a, където -1≤ а≤1, тогава arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nºZ

Научете формули!

И накрая: знаете ли, че математиката е дефиниция, правила и ФОРМУЛА?!

Разбира се, че го правиш! И най-любопитните, след като проучиха тази статия и изгледаха видеоклипа, възкликнаха: „Колко дълго и трудно! Има ли формула, която ви позволява да решавате такива неравенства без никакви графики и кръгове? Да, разбира се, че има!

ЗА РЕШАВАНЕ НА НЕРАВЕНСТВА НА ИЗГЛЕДА: sint (-1≤а≤1) формулата е валидна:

- π - arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Приложете го към разгледаните примери и ще получите отговор много по-бързо!

заключение: НАУЧЕТЕ ФОРМУЛАТА, ПРИЯТЕЛИ!

Страница 1 от 1 1

В практическия урок ще повторим основните типове задачи от темата "Тригонометрия", ще анализираме допълнително задачи с повишена сложност и ще разгледаме примери за решаване на различни тригонометрични неравенства и техните системи.

Този урок ще ви помогне да се подготвите за един от видовете задачи B5, B7, C1 и C3.

Нека започнем с повторение на основните типове задачи, които разгледахме в темата Тригонометрия, и решаваме няколко нестандартни задачи.

Задача №1. Преобразувайте ъглите в радиани и градуси: a) ; б) .

а) Използвайте формулата за преобразуване на градуси в радиани

Заменете дадената стойност в него.

б) Приложете формулата за преобразуване на радиани в градуси

Нека извършим замяната .

Отговор. а) ; б) .

Задача №2. Изчислете: а) ; б) .

а) Тъй като ъгълът е далеч извън таблицата, ние го намаляваме, като изваждаме периода на синуса. Защото ъгълът е даден в радиани, тогава периодът ще се счита за .

б) В този случай ситуацията е подобна. Тъй като ъгълът е определен в градуси, тогава ще разгледаме периода на допирателната като .

Полученият ъгъл, макар и по-малък от периода, е по-голям, което означава, че вече не се отнася към основната, а към разширената част на таблицата. За да не тренираме паметта си отново чрез запомняне на разширена таблица със стойности на тригофункции, изваждаме отново периода на допирателна:

Възползвахме се от нечетността на допирателната функция.

Отговор. а) 1; б) .

Задача №3. Изчисли , ако .

Довеждаме целия израз до допирателни, като разделим числителя и знаменателя на дроба на . В същото време не можем да се страхуваме от това, т.к в този случай стойността на допирателната не би съществувала.

Задача №4. Опростете израза.

Посочените изрази се преобразуват с помощта на формули за преобразуване. Просто те са необичайно написани с градуси. Първият израз обикновено е число. Опростете всички тригофункции на свой ред:

Защото , тогава функцията се променя в кофункция, т.е. към котангенса, а ъгълът попада във втората четвърт, в която знакът на първоначалната допирателна е отрицателен.

По същите причини, както в предишния израз, функцията се променя в кофункция, т.е. към котангенса, а ъгълът попада в първата четвърт, в която началната допирателна има положителен знак.

Заместване на всичко в опростен израз:

Задача №5. Опростете израза.

Нека напишем тангенса на двойния ъгъл според съответната формула и да опростим израза:

Последната идентичност е една от универсалните формули за заместване на косинус.

Задача №6. Изчисли .

Основното нещо е да не правите стандартна грешка и да не давате отговор, че изразът е равен на . Невъзможно е да се използва основното свойство на дъговата допирателна, докато близо до нея има фактор под формата на двойка. За да се отървем от него, записваме израза според формулата за тангенса на двоен ъгъл, докато го третираме като обикновен аргумент.

Сега вече е възможно да се приложи основното свойство на дъговата допирателна, не забравяйте, че няма ограничения за числения му резултат.

Задача №7. Решете уравнението.

При решаване на дробно уравнение, което е равно на нула, винаги се посочва, че числителят е нула, а знаменателят не е, т.к. не можеш да разделиш на нула.

Първото уравнение е специален случай на най-простото уравнение, което се решава с помощта на тригонометричен кръг. Помислете сами за това решение. Второто неравенство се решава като най-простото уравнение, като се използва общата формула за корените на допирателната, но само със знака неравен.

Както виждаме, едно семейство корени изключва друго точно същото семейство корени, които не отговарят на уравнението. Тези. няма корени.

Отговор. Няма корени.

Задача №8. Решете уравнението.

Веднага отбележете, че можете да извадите общия фактор и да го направите:

Уравнението е сведено до една от стандартните форми, когато произведението на няколко фактора е равно на нула. Вече знаем, че в този случай или едното от тях е равно на нула, или другото, или третото. Записваме това като набор от уравнения:

Първите две уравнения са специални случаи на най-простите, с подобни уравнения вече сме се срещали много пъти, така че веднага ще посочим техните решения. Свеждаме третото уравнение до една функция, използвайки формулата за синус на двоен ъгъл.

Нека решим последното уравнение отделно:

Това уравнение няма корени, т.к стойността на синуса не може да надхвърли .

По този начин само първите две семейства корени са решението, те могат да бъдат комбинирани в едно, което е лесно да се покаже на тригонометричен кръг:

Това е семейство от всички половини, т.е.

Да преминем към решаването на тригонометрични неравенства. Първо, нека анализираме подхода за решаване на пример, без да използваме общи формули за решение, а с помощта на тригонометричен кръг.

Задача №9. Решете неравенството.

Начертайте спомагателна линия върху тригонометричния кръг, съответстваща на стойността на синуса, равна на , и покажете интервала от ъгли, които отговарят на неравенството.

Много е важно да разберете как точно да посочите получения ъглов интервал, т.е. какво е неговото начало и какъв е неговият край. Началото на пролуката ще бъде ъгълът, съответстващ на точката, в която ще влезем в самото начало на пролуката, ако се движим обратно на часовниковата стрелка. В нашия случай това е точката, която е отляво, т.к движейки се обратно на часовниковата стрелка и минавайки дясната точка, напротив, излизаме от необходимия ъглов интервал. Следователно правилната точка ще съответства на края на пролуката.

Сега трябва да разберем стойностите на началния и крайния ъгъл на нашата празнина от решения на неравенството. Типична грешка е веднага да се посочи, че дясната точка съответства на ъгъла , лявата и да се даде отговор. Това не е истина! Моля, обърнете внимание, че току-що посочихме интервала, съответстващ на горната част на кръга, въпреки че ни интересува долната, с други думи, смесихме началото и края на интервала от решения, от които се нуждаем.

За да започне интервалът от ъгъла на дясната точка и да завърши в ъгъла на лявата точка, първият посочен ъгъл трябва да бъде по-малък от втория. За да направим това, ще трябва да измерим ъгъла на дясната точка в отрицателната референтна посока, т.е. по часовниковата стрелка и ще бъде равно на . След това, започвайки от него в положителна посока на часовниковата стрелка, ще стигнем до дясната точка след лявата точка и ще получим стойността на ъгъла за нея. Сега началото на интервала от ъгли е по-малко от края на , и можем да напишем интервала от решения, без да вземаме предвид периода:

Като се има предвид, че такива интервали ще се повтарят безкраен брой пъти след всеки цял брой завъртания, получаваме общото решение, като се вземе предвид синусоидният период:

Поставяме кръгли скоби, защото неравенството е строго, и пробиваме точките на окръжността, които съответстват на краищата на интервала.

Сравнете отговора си с формулата за общото решение, която дадохме в лекцията.

Отговор. .

Този метод е добър за разбиране откъде идват формулите за общи решения на най-простите тригонални неравенства. Освен това е полезно за тези, които са твърде мързеливи, за да научат всички тези тромави формули. Самият метод обаче също не е лесен, изберете кой подход към решението е най-удобен за вас.

За да разрешите тригонометрични неравенства, можете също да използвате графиките на функциите, върху които е изградена спомагателната линия, подобно на метода, показан с единичния кръг. Ако се интересувате, опитайте се сами да разберете този подход към решението. По-нататък ще използваме общи формули за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

Задача №10. Решете неравенството.

Използваме общата формула за решение, като се има предвид, че неравенството не е строго:

В нашия случай получаваме:

Отговор.

Задача №11. Решете неравенството.

Използваме общата формула за решение за съответното строго неравенство:

Отговор. .

Задача №12. Решете неравенствата: а) ; б) .

При тези неравенства не трябва да бързате да използвате формули за общи решения или тригонометричен кръг, достатъчно е просто да запомните диапазона от стойности на синуса и косинуса.

а) Защото , то неравенството е безсмислено. Следователно няма решения.

б) Защото по същия начин, синусът на всеки аргумент винаги удовлетворява неравенството, посочено в условието. Следователно неравенството се удовлетворява от всички реални стойности на аргумента.

Отговор. а) няма решения; б) .

Задача 13. Решете неравенството .