Синусът е една от основните тригонометрични функции, чието използване не се ограничава само до една геометрия. Таблици за изчисляване на тригонометрични функции, като инженерни калкулатори, не винаги са под ръка и изчисляването на синуса понякога е необходимо за решаване на различни проблеми. Като цяло изчисляването на синуса ще ви помогне да затвърдите вашите умения за рисуване и знания за тригонометрични идентичности.

Игри с владетел и молив

Прост проблем: как да намерим синуса на ъгъл, нарисуван на хартия? За решението ще ви трябва обикновена линийка, триъгълник (или компас) и молив. Най-простият начин за изчисляване на синуса на ъгъл е чрез разделяне на далечния крак на триъгълник с прав ъгъл на дълга страна - хипотенуза. По този начин първо трябва да завършите остър ъгъл към формата на правоъгълен триъгълник, като нарисувате линия, перпендикулярна на един от лъчите на произволно разстояние от върха на ъгъла. Ще е необходимо да наблюдаваме ъгъла точно 90 °, за което се нуждаем от канцеларски триъгълник.

Използването на компас е малко по-точно, но ще отнеме повече време. На един от лъчите трябва да маркирате 2 точки на известно разстояние, да регулирате радиуса на компаса, приблизително равно на разстоянието между точките и нарисувайте полукръгове с центрове в тези точки, докато получите пресечните точки на тези линии. Чрез свързване на точките на пресичане на нашите кръгове помежду си, получаваме строг перпендикуляр на лъча на нашия ъгъл, остава само да удължим линията, докато се пресече с друг лъч.

В получения триъгълник трябва да измерите страната, противоположна на ъгъла, с линийка и дългата страна на един от лъчите. Съотношението на първото измерение към второто ще бъде необходимата стойност синус остър ъгъл.

Намерете синуса за ъгъл, по-голям от 90 °

За тъп ъгъл задачата не е много по-трудна. Необходимо е да изтеглите лъч от върха в обратна посока с помощта на линийка, за да образувате права линия с един от лъчите на интересуващия ни ъгъл. С полученото остър ъгъл трябва да продължите, както е описано по-горе, синусите на съседните ъгли, които заедно образуват разширен ъгъл от 180 °, са равни.

Изчисляване на синус от други тригонометрични функции

Също така е възможно да се изчисли синусът, ако са известни стойностите на други тригонометрични функции на ъгъла или поне дължините на страните на триъгълника. Тригонометричните идентичности ще ни помогнат в това. Нека да разгледаме често срещаните примери.

Как да намерим синуса с известен косинус на ъгъл? Първата тригонометрична идентичност, която идва от питагорейската теорема, гласи, че сумата от квадратите на синуса и косинуса на един и същ ъгъл е равна на единица.

Как да намерим синуса при известна тангенс на ъгъл? Тангенсът се получава чрез разделяне на далечния крак на близкия или чрез разделяне на синуса на косинус. По този начин синусът ще бъде произведение на косинуса и допирателната, а квадратът на синуса ще бъде квадратът на този продукт. Заместваме косинуса в квадрата с разликата между един и квадратния синус според първата тригонометрична идентичност и, използвайки прости манипулации, намаляваме уравнението до изчисляване на квадратния синус през тангенса, съответно, за да изчислите синуса, ще трябва да извлечете корена от получения резултат.

Как да намерим синуса с известен котангенс на ъгъл? Стойността на котангенса може да бъде изчислена чрез разделяне на дължината на крака близо до ъгъла на дължината на далечния крак, както и разделяне на косинуса на синуса, т.е. котангенсът е обратната функция на допирателната спрямо числото 1. За да изчислите синуса, можете да изчислите тангенсата по формулата tg α \u003d 1 / ctg α и да използвате формулата във втория вариант. Можете също така да извлечете директна формула по аналогия с допирателната, която ще изглежда така.

Как да намерим синуса от три страни на триъгълник

Има формула за намиране на дължината на неизвестната страна на всеки триъгълник, а не само правоъгълна, по две известни страни, като се използва тригонометричната функция на косинуса от противоположния ъгъл. Изглежда така.

Извиква се съотношението на противоположния крак към хипотенузата остър ъгъл на синусите правоъгълен триъгълник.

\\ sin \\ alpha \u003d \\ frac (a) (c)

Косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Извиква се съотношението на близкия крак към хипотенузата косинус на остър ъгъл правоъгълен триъгълник.

\\ cos \\ alpha \u003d \\ frac (b) (c)

Остра тангенс на правоъгълен триъгълник

Извиква се съотношението на противоположния крак към съседния крак тангенс на остър ъгъл правоъгълен триъгълник.

tg \\ alpha \u003d \\ frac (a) (b)

Котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Извиква се съотношението на съседния крак към противоположния крак остър ъглов котангенс правоъгълен триъгълник.

ctg \\ alpha \u003d \\ frac (b) (a)

Синус на произволен ъгъл

Извиква се ординатата на точката на единичната окръжност, на която отговаря ъгълът \\ alpha синус на произволен ъгъл въртене \\ алфа.

\\ sin \\ alpha \u003d y

Косинус с произволен ъгъл

Извиква се абсцисата на точката на единичната окръжност, съответстваща на ъгъла \\ алфа косинус на произволен ъгъл въртене \\ алфа.

\\ cos \\ alpha \u003d x

Доволна тангента на ъгъла

Извиква се съотношението на синуса на произволен ъгъл на въртене \\ алфа към неговия косинус тангенс на произволен ъгъл въртене \\ алфа.

tg \\ alpha \u003d y_ (A)

tg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ sin \\ alpha) (\\ cos \\ alpha)

Котангенс на произволен ъгъл

Извиква се отношението на косинуса на произволен ъгъл на въртене \\ алфа към неговия синус котангенс на произволен ъгъл въртене \\ алфа.

ctg \\ alpha \u003d x_ (A)

ctg \\ alpha \u003d \\ frac (\\ cos \\ alpha) (\\ sin \\ alpha)

Пример за намиране на произволен ъгъл

Ако \\ alpha е някакъв ъгъл AOM, където M е точка от единичната окръжност, тогава

\\ sin \\ alpha \u003d y_ (M), \\ cos \\ alpha \u003d x_ (M), tg \\ alpha \u003d \\ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \\ alpha \u003d \\ frac (x_ (M)) (y_ (M)).

Например, ако \\ ъгъл AOM \u003d - \\ frac (\\ pi) (4), тогава: ординатата на точка М е - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2), абсцисата е \\ frac (\\ sqrt (2)) (2) и затова

\\ sin \\ ляво (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ дясно) \u003d - \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

\\ cos \\ ляво (\\ frac (\\ pi) (4) \\ дясно) \u003d \\ frac (\\ sqrt (2)) (2);

tg;

ctg \\ ляво (- \\ frac (\\ pi) (4) \\ дясно) \u003d - 1.

Таблица на стойностите на синусите на косинусите на допирателните котангенти

Стойностите на основните общи ъгли са дадени в таблицата:

Един от клоновете на математиката, с който учениците се справят с най-големи трудности, е тригонометрията. Не е изненадващо: за да овладеете свободно тази област на знание, се нуждаете от пространствено мислене, способност да намирате синуси, косинуси, допирателни, котангенти по формули, опростявате изразите и можете да използвате pi в изчисленията. Освен това трябва да можете да прилагате тригонометрия при доказване на теореми, а това изисква или развита математическа памет, или способност за извеждане на сложни логически вериги.

Произход на тригонометрията

Запознаването с тази наука трябва да започне с определяне на синус, косинус и тангенс на ъгъл, но първо трябва да разберете какво прави тригонометрията като цяло.

В исторически план правоъгълните триъгълници бяха основният обект на изследване в този клон на математическата наука. Наличието на ъгъл от 90 градуса дава възможност за извършване на различни операции, които позволяват да се определят стойностите на всички параметри на въпросната фигура от две страни и един ъгъл или под два ъгъла и едната страна. В миналото хората забелязват този модел и започват активно да го използват при строителството на сгради, навигацията, в астрономията и дори в изкуството.

Първи етап

Първоначално хората говориха за връзката между ъглите и страните изключително на примера на правоъгълни триъгълници. Тогава бяха открити специални формули, които направиха възможно разширяването на границите на употреба в ежедневието от този раздел на математиката.

Изучаването на тригонометрията в училище днес започва с правоъгълни триъгълници, след което получените знания се използват от учениците по физика и решаване на абстрактни тригонометрични уравнения, работата с която започва в гимназията.

Сферична тригонометрия

По-късно, когато науката достигна следващото ниво на развитие, формулите със синус, косинус, тангенс, котангенс започнаха да се използват в сферичната геометрия, където се прилагат различни правила, а сумата от ъглите в триъгълника винаги е повече от 180 градуса. Този раздел не се изучава в училище, но е необходимо да се знае за неговото съществуване най-малкото защото земната повърхност и повърхността на която и да е друга планета е изпъкнала, което означава, че всяка повърхностна маркировка ще бъде "извита" в триизмерна пространство.

Вземете глобуса и струната. Прикрепете низа към всякакви две точки на земното кълбо, така че да е опъната. Обърнете внимание - взе формата на дъга. Сферичната геометрия, която се използва в геодезията, астрономията и други теоретични и приложни области, се занимава с такива форми.

Правоъгълен триъгълник

След като научихме малко за начините за използване на тригонометрия, нека се върнем към основната тригонометрия, за да разберем по-нататък какво са синус, косинус, тангенс, какви изчисления могат да бъдат извършени с тяхна помощ и какви формули да използваме в този случай.

Първата стъпка е да се разберат понятията, свързани с правоъгълен триъгълник. Първо, хипотенузата е страната, противоположна на ъгъла от 90 градуса. Той е най-дългият. Спомняме си, че чрез теоремата на Питагор е неговата числова стойност е равен на корена от сумата на квадратите на другите две страни.

Например, ако двете страни са съответно 3 и 4 сантиметра, дължината на хипотенузата е 5 сантиметра. Между другото, древните египтяни са знаели за това преди около четири и половина хиляди години.

Двете останали страни, които образуват прав ъгъл, се наричат \u200b\u200bкрака. Освен това трябва да се помни, че сумата от ъглите в триъгълник в правоъгълна координатна система е 180 градуса.

Определение

И накрая, с твърдото разбиране на геометричната основа, може да се обърне към дефиницията на синус, косинус и тангенс на ъгъл.

Синусът на ъгъл е съотношението на противоположния крак (т.е. страната, противоположна желания ъгъл) към хипотенузата. Косинусът на ъгъл е съотношението на съседния крак към хипотенузата.

Не забравяйте, че нито синусът, нито косинусът не могат да бъдат по-големи от един! Защо? Тъй като хипотенузата по подразбиране е най-дългата. Без значение колко дълъг е кракът, тя ще бъде по-къса от хипотенузата, което означава, че съотношението им винаги ще бъде по-малко от единица. По този начин, ако имате синус или косинус със стойност по-голяма от 1 в отговор на проблем, потърсете грешка в изчисленията или разсъжденията. Този отговор определено е грешен.

И накрая, тангенсът на ъгъла е съотношението на противоположната страна към съседната страна. Разделянето на синуса на косинуса ще даде същия резултат. Вижте: в съответствие с формулата разделяме дължината на страната на хипотенузата, след това разделяме на дължината на втората страна и умножаваме по хипотенузата. По този начин получаваме същата връзка, както при дефиницията на допирателната.

Котангенсът, съответно, е съотношението на страната, съседна на ъгъла към противоположната страна. Получаваме същия резултат чрез разделяне на единия на допирателната.

И така, разгледахме дефинициите какво са синус, косинус, тангенс и котангенс и можем да направим формулите.

Най-простите формули

В тригонометрията не можете без формули - как да намерите синус, косинус, тангенс, котангенс без тях? Но точно това се изисква при решаване на проблеми.

Първата формула, която трябва да знаете, когато започнете да изучавате тригонометрия, казва, че сумата от квадратите на синус и косинус на ъгъл е равна на единица. Тази формула е пряко следствие от питагорейската теорема, но спестява време, ако искате да знаете ъгъла, а не страната.

Много ученици не могат да си спомнят втората формула, която също е много популярна при решаването на училищни задачи: сумата от един и квадратът на допирателната на ъгъл е равна на една, разделена на квадрата на косинуса на ъгъла. Погледнете внимателно: в края на краищата това е същото твърдение, както в първата формула, само че двете страни на идентичността са разделени от квадрата на косинуса. Оказва се, че една проста математическа операция прави тригонометричната формула напълно неузнаваема. Не забравяйте: знаейки какво са синус, косинус, тангенс и котангенс, правилата за преобразуване и няколко основни формули, можете по всяко време да извлечете необходимите повече сложни формули на лист хартия.

Формули за добавяне на двоен ъгъл и аргумент

Още две формули, които трябва да научите, са свързани със стойностите на синус и косинус за сумата и разликата на ъглите. Те са показани на фигурата по-долу. Моля, обърнете внимание, че в първия случай синусът и косинусът се умножават по двата пъти, а във втория се добавя двойният продукт на синус и косинус.

Съществуват и формули, свързани с аргументи с двоен ъгъл. Те са изцяло получени от предишните - като тренировка, опитайте се да ги вземете сами, като вземете алфа ъгъла равен на ъгъла бета.

И накрая, обърнете внимание, че формулите с двоен ъгъл могат да бъдат трансформирани, за да намалят степента на синус, косинус и тангенс алфа.

Теореми

Двете основни теореми в основната тригонометрия са теоремата за синусите и теоремата за косинусите. С помощта на тези теореми можете лесно да разберете как да намерите синус, косинус и тангенс, което означава площта на фигурата и големината на всяка страна и т.н.

Теоремата за синусите гласи, че чрез разделяне на дължината на всяка страна на триъгълник на стойността на противоположния ъгъл, получаваме същото число. Освен това, това число ще бъде равно на два радиуса на описаната окръжност, тоест окръжността, съдържаща всички точки на дадения триъгълник.

Теоремата за косинусите обобщава питагорейската теорема, като я проектира върху произволни триъгълници. Оказва се, че от сумата на квадратите на двете страни се изважда произведението им, умножено по двойния косинус на ъгъла, прилежащ към тях - получената стойност ще бъде равна на квадрата на третата страна. По този начин теоремата на Питагоре се оказва частен случай на теоремата за косинусите.

Невнимателни грешки

Дори да знаете какво са синус, косинус и тангенс, лесно е да направите грешка поради разсейване на вниманието или грешка в най-простите изчисления. За да избегнем подобни грешки, нека разгледаме най-популярните.

Първо, не трябва да преобразувате обикновените дроби в десетични, докато се получи окончателният резултат - можете да оставите отговора във формата обща фракцияосвен ако в условието не е посочено друго. Подобна трансформация не може да се нарече грешка, но трябва да се помни, че на всеки етап от задачата могат да се появят нови корени, които според идеята на автора трябва да бъдат намалени. В този случай ще губите време за ненужно математически операции... Това важи особено за стойности като корен от три или две, защото те се намират в задачи на всяка стъпка. Същото важи и за закръгляването на „грозни“ числа.

Освен това имайте предвид, че теоремата за косинусите се прилага за всеки триъгълник, но не и за теоремата на Питагор! Ако по грешка забравите да извадите двойния продукт на страните, умножен по косинуса на ъгъла между тях, вие не само ще получите напълно грешен резултат, но и ще демонстрирате пълна липса на разбиране на обекта. Това е по-лошо от небрежна грешка.

Трето, не бъркайте стойностите за ъгли от 30 и 60 градуса за синуси, косинуси, допирателни, котангенти. Запомнете тези стойности, защото синусът от 30 градуса е равен на косинус от 60 и обратно. Лесно е да ги объркате, в резултат на което неизбежно ще получите грешен резултат.

Приложение

Много ученици не бързат да започнат да учат тригонометрия, защото не разбират нейното приложно значение. Какво е синус, косинус, тангенс за инженер или астроном? Това са концепции, благодарение на които можете да изчислите разстоянието до далечни звезди, да предскажете падането на метеорит, да изпратите изследователска сонда на друга планета. Без тях е невъзможно да се построи сграда, да се проектира автомобил, да се изчисли натоварването върху повърхността или траекторията на обекта. И това са само най-очевидните примери! В крайна сметка тригонометрията в една или друга форма се използва навсякъде, от музиката до медицината.

Накрая

Значи си синус, косинус, тангенс. Можете да ги използвате при изчисления и успешно да решавате училищни проблеми.

Цялата точка на тригонометрията се свежда до факта, че неизвестните параметри на триъгълника трябва да бъдат изчислени, като се използват известните параметри. Има шест от тези параметри: дължина три страни и количества три ъгъла... Цялата разлика в задачите е, че се дават различни входове.

Вече знаете как да намерите синус, косинус, тангенс въз основа на известните дължини на краката или хипотенузата. Тъй като тези термини не означават нищо повече от отношение, а коефициентът е дроб, основната цел на тригонометричния проблем е да намери корените на обикновено уравнение или система от уравнения. И тук обикновената училищна математика ще ви помогне.

Инструкции

Първият вариант е класически, като се използва хартия, транспортир и молив (или писалка). По дефиниция, синус ъгъл равна на противоположния катет на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. Тоест, за да изчислите стойността, трябва да използвате транспортира, за да изградите правоъгълен триъгълник, единият от ъглите на който е равен на синуса, от който се интересувате. След това измерете дължината на хипотенузата и противоположния крак и разделете втория на първия с желаната точност.

Вторият вариант е училището. От училище всички си спомнят „таблиците на Брадис“, съдържащи хиляди тригонометрични стойности от различни ъгли. Можете да търсите както хартиено издание, така и неговия електронен аналог във формат pdf - те са в мрежата. Намиране на таблици, намиране на стойност синус десния ъгъл няма да е трудно.

Третият вариант е оптимален. Ако имате достъп до, тогава можете да използвате стандартния калкулатор на Windows. Трябва да се превключи в разширен режим. За да направите това, в раздела "Изглед" на менюто изберете елемента "Инженеринг". Калкулаторът ще се промени, за да включва бутони за изчисляване на тригонометрични функции. Сега въведете стойност ъгълчийто синус искате да изчислите. Можете да направите това както от клавиатурата, така и като щракнете върху желаните клавиши на калкулатора с курсора на мишката. Или можете просто да поставите необходимата стойност (CTRL + C и CTRL + V). След това изберете мерните единици, в които искате да изчислите - за тригонометрични функции това могат да бъдат радиани, градуси или rad. Това се прави, като се избере една от трите стойности на превключвателя, разположени под полето за въвеждане за изчислената стойност. Сега, като натиснете бутона с надпис „грях“, получете отговора на въпроса си.

Четвъртият вариант е най-модерният. В ерата на Интернет в мрежата има мрежи, които предлагат почти всеки възникващ проблем. Онлайн калкулатори на тригонометрични функции с лесен за употреба интерфейс, по-усъвършенстван функционалност не намерете изобщо. Най-добрите от тях предлагат да се изчисляват не само стойностите на една функция, но и доста сложни изрази от няколко функции.

Функции синус и към синус принадлежат към областта на математиката, която се нарича тригонометрия, следователно самите функции се наричат \u200b\u200bтригонометрични. Според най-старата от дефинициите те изразяват величината на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник чрез съотношението на дължините на страните му. Изчисляване на стойности синуси при сегашното ниво на развитие на електронните технологии е съвсем проста задача.

Ще имаш нужда

• Windows калкулатор.

Инструкции

Използвайте за изчисляване синуси ъгъл - в повечето от тях е предвидено изчисляване на тригонометрични функции. Като се има предвид наличието на калкулатор в много мобилни телефони, някои китка и други мобилни джаджи, да не говорим за компютрите, това е може би достъпен начин изчисления синуси. Ако решите да използвате компютърен софтуерен калкулатор, потърсете връзка за стартирането му в главното меню на ОС. Ако е Windows, натиснете бутона Win, изберете "Всички програми" от менюто, отидете на подраздела "Стандарт" и кликнете върху реда "Калкулатор". За да отворите достъп до команди за изчисляване на тригонометрични функции в стартираното приложение, натиснете Alt + 2.

Ако първоначалната стойност на ъгъла, синус която искате да изчислите, се уверете, че до надписа "" в интерфейса на калкулатора

Ако ъгълът на триъгълника е известен, тогава можете да използвате специален наръчник и вижте синуса на даден ъгъл там. Ако ъгълът не е известен, но тогава можете да използвате теоремата за синусите. В конкретен случай синусът на ъгъл в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на противоположния катет към хипотенузата.

Нека дадем определение на това какво е синус.

Синусът на ъгъл (sin) в триъгълник е съотношението на противоположния крак към хипотенузата.

Така че намирането на синуса на ъгъла е доста лесно, ако има стойност за крака и хипотенузата.



За да намерите синуса на ъгъл във всеки триъгълник, трябва да използвате формулите. Тази фигура показва основните формули, които ви позволяват да изчислите синуса на ъгъл в триъгълник:



Използвайте тези формули за изчисляване.

Ако стойността на ъгъла е неизвестна, тогава така: синусът на ъгъла е равен на съотношението на дължината на страната, противоположна на разглеждания ъгъл, към диаметъра на окръжността, описана около триъгълника. Как да намерим този диаметър? Трябва да намерите центъра на ограничената окръжност. За да направите това, нарисувайте перпендикуляри през средните точки на произволни две страни на триъгълника. Точката на пресичане на тези перпендикуляри е центърът на описаната окръжност. Разстоянието от него до всеки връх на триъгълника е радиусът на описаната окръжност.

За да отговорите правилно на този въпрос, трябва да изясните синуса на ъгъла, в който триъгълник трябва да намерите. Ако този триъгълник произволен, тогава можем да направим това само до синусова теорема (вижте изчерпателния отговор на Алекс тук).

Ако трябва да намерите синуса на остър ъгъл в правоъгълна триъгълник, тогава трябва да използвате дефиницията на синуса на ъгъла (като съотношението на противоположния крак към хипотенузата). Тогава отговорът ще бъде: синус на ъгъл A = BC / AB, където BC е противоположният крак, AB е хипотенузата.



Добър ден.

Има два начина за намиране на синуса на ъгъла / ъглите на правоъгълен триъгълник:

• първият от тях е да вземете транспортир и да намерите ъгъла на триъгълника (колко градуса) и след това да използвате таблицата, за да намерите синуса на този ъгъл;
• вторият метод е да се използва формулата за намиране на синуса на ъгъла, който, както знаем, е равен на съотношението на противоположния крак към хипотенузата.

Можете да намерите синуса на ъгъл по два начина и да сравните стойностите.

Това е доста просто.

Доколкото го разбирам, задачата се свежда до факта, че не знаем ъгъла на триъгълника и трябва да го намерим.

За да намерите синуса на ъгъл и след това самия ъгъл в произволен триъгълник, трябва да знаете дължините на двете страни: страната, противоположна на желания ъгъл, и всяка друга страна, и стойността на ъгъла, противоположен до тази последна страна.

И тогава трябва да приложите теоремата за синусите.

Нека обозначим търсения (неизвестен) ъгъл като A, противоположната страна на a, другата известна страна b, известният ъгъл B.

Съгласно теоремата за синусите: a / sin (A) \u003d b / sin (B).

Следователно: sin (A) \u003d a * sin (B) / b;

A \u003d arcsina * sin (B) / b.

В случай на правоъгълен триъгълник, задачата за намиране на синуса на който и да е ъгъл се свежда до просто изчисляване на съотношението на катета, противоположен на ъгъла към хипотенузата - получената стойност ще бъде синусът. Намирането на синус на ъгъл в произволен триъгълник е по-трудно, но също така е възможно. За да направите това, трябва да знаете поне нещо от параметрите на триъгълника. Например, ако трите страни на триъгълник са известни, тогава ъглите се намират според теоремата за косинусите и след това, ако е желателно, синусът на вече намерения ъгъл се намира лесно.