За определяне на площта на триъгълник могат да се използват различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използван е да се умножи височината по дължината на основата и след това да се раздели резултатът на два. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник, използвайки различни формули.

Отделно ще разгледаме методи за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълник - правоъгълен, равнобедрен и равностранен. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални начини за намиране на площта на триъгълник

В формулите по-долу се използват специални символи. Ще дешифрираме всеки от тях:

• a, b, c - дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжност, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на кръга, който може да бъде описан около него;
• α - стойността на ъгъла, образуван от страните b и c;
• β е ъгълът между a и c;
• γ - стойността на ъгъла, образуван от страни a и b;
• h - височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъла α до страната a;
• p - половината от сумата на страните a, b и c.

Логично е защо е възможно да се намери площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен до паралелограм, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на изтеглената към него височина. Диагоналът разделя този конвенционален успоредник на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S \u003d ½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълника се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула логично произлиза от предишната. Ако изпуснем височината от ъгъл β до страна b, тогава, според свойствата на правоъгълен триъгълник, когато умножаваме дължината на страна a по синуса на ъгъл γ, получаваме височината на триъгълника, т.е. з.

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатия кръг.

S \u003d a b s / 4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да бъде намерена чрез разделяне на произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на окръжността, описана около нея.

Тези формули са универсални, тъй като дават възможност да се определи площта на всеки триъгълник (универсален, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Области от триъгълници със специфични свойства

Как да намеря площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейните височини. Ако a и b са крака, а c се превърне в хипотенуза, тогава намираме областта, както следва:

Как да намерим района равнобедрен триъгълник? Той има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно, нейната площ може да се определи чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъла γ.

Как да намерим площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a на квадратния корен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по квадратния корен от 3 и да разделите на 4.

От противоположния връх) и разделете полученото произведение на две. Във формата това изглежда така:

S \u003d ½ * a * h,

където:
S е площта на триъгълника,
a е дължината на страната му,
h - височина, понижена на тази страна.

Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в една и съща единица. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в "" съответните единици.

Пример.
От едната страна на универсален триъгълник с дължина 20 cm се спуска перпендикуляр от противоположния връх с дължина 10 cm.
Изисква се площта на триъгълника.
Решение.
S \u003d ½ * 20 * 10 \u003d 100 (cm²).

Ако знаете дължините на всякакви две страни на многостранен триъгълник и ъгъла между тях, тогава използвайте формулата:

S \u003d ½ * a * b * sinγ,

където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях.

На практика, например, когато се измерват парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнително изграждане и измерване на ъгли.

Ако знаете дължините на трите страни на многостранен триъгълник, използвайте формулата на Херон:

S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - дължините на страните на триъгълника,
p - полупериметър: p \u003d (a + b + c) / 2.

Ако освен дължините на всички страни е известен и радиусът на вписаната окръжност, използвайте следната компактна формула:

където: r - радиус на вписаната окръжност (p - полупериметър).

За да изчислите площта на многостранен триъгълник на описания кръг и дължината на страните му, използвайте формулата:

където: R е радиусът на описаната окръжност.

Ако знаете дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип са достатъчни два - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата:

S \u003d (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

където α е стойността на ъгъла, противоположен на страна a;
β, γ са стойностите на другите два ъгъла на триъгълника.

Нуждата от намиране различни елементи, включително площ триъгълник, се появи много векове преди нашата ера сред учените астрономи Древна Гърция. Квадрат триъгълник може да се изчисли различни начиниизползвайки различни формули. Методът на изчисление зависи от това кои елементи триъгълник познати.

Инструкции

Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и ъгъла, образуван от тях ?, Тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S \u003d (bcsin?) / 2.

Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и не образувания от тях ъгъл ?, Тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва:
Намери ъгъла? \u003d bsin? / a, след това според таблицата определяме самия ъгъл.
Намерете ъгъла?,? \u003d 180 ° -? -?.
Намираме самата зона S \u003d (absin?) / 2.

Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)), където p е полупериметър p \u003d (a + b + c) / 2

Ако от състоянието на проблема знаем височината триъгълник h и страната, до която е понижена тази височина, след това площта триъгълник ABC по формулата:
S \u003d ah (a) / 2 \u003d bh (b) / 2 \u003d ch (c) / 2.

Ако знаем стойностите на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описани около даденото триъгълник R, тогава площта на това триъгълник ABC се определя по формулата:
S \u003d abc / 4R.
Ако са известни три страни a, b, c и радиусът на вписаното, тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата:
S \u003d pr, където p е полупериметър, p \u003d (a + b + c) / 2.

Ако ABC е равностранен, тогава площта се намира по формулата:
S \u003d (a ^ 2v3) / 4.
Ако триъгълник ABC е равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S \u003d (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, където c - триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен, тогава площта се определя по формулата:
S \u003d ab / 2, където a и b са крака триъгълник.
Ако триъгълник ABC е правоъгълен равнобедрен, тогава площта се определя по формулата:
S \u003d c ^ 2/4 \u003d a ^ 2/2, където c е хипотенузата триъгълник, a \u003d b - крак.

Подобни видеа

Източници:

• как да се измери площта на триъгълник

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако знаете ъгъла

Познаването само на един параметър (стойност на ъгъла) не е достатъчно, за да се намери площта тре квадрат ... Ако има някакви допълнителни размери, тогава може да се избере една от формулите за определяне на площта, в която стойността на ъгъла също се използва като една от известните променливи. Някои от най-често използваните формули са изброени по-долу.

Инструкции

Ако в допълнение към стойността на ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , тогава са известни и дължините на тези страни (A и B) квадрат Фигурата (S) може да се определи като половината от произведението на дължините на страните от синуса на този известен ъгъл: S \u003d \u003d × A × B × sin (γ).

Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи

По-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълник които са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, тук са обяснения за използването или обосновка на тяхната правилност. Също така, отделна фигура показва съответствията буквени обозначения във формули и графични символи в чертежа.

Забележка ... Ако триъгълникът има специални свойства (равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:

• „Формули за площта на равностранен триъгълник“

Формули на площ за триъгълник

Обяснение на формулите:
a, b, c - дължините на страните на триъгълника, чиято площ искаме да намерим
r - радиус на окръжност, вписана в триъгълник
R - радиусът на окръжност, описана около триъгълник
з - височината на триъгълника, спусната встрани
стр - половин периметър на триъгълник, 1/2 сумата от страните му (периметър)
α - ъгълът, противоположен на страна а на триъгълника
β - ъгълът, противоположен на страна b на триъгълника
γ - ъгълът, противоположен на страната c на триъгълника
з а, з б , з ° С - височината на триъгълника, спусната встрани a, b, c

Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че когато решавате реален проблем в геометрията, ще бъде визуално по-лесно да заместите правилните стойности на правилните места във формулата.

• Площта на триъгълника е половината от произведението на височината на триъгълника на дължината на страната, до която е спусната тази височина (Формула 1). Коректността на тази формула може да се разбере логично. Височината, спусната до основата, ще раздели произволен триъгълник на два правоъгълни. Ако завършим всеки от тях до правоъгълник с размери b и h, тогава очевидно площта на тези триъгълници ще бъде равна на точно половината от площта на правоъгълника (Sпр \u003d bh)
• Площта на триъгълника е половината от произведението на двете му страни по синуса на ъгъла между тях (Формула 2) (вижте пример за решаване на проблем с помощта на тази формула по-долу). Въпреки факта, че изглежда за разлика от предишния, той лесно може да се трансформира в него. Ако намалим височината от ъгъл B до страна b, се оказва, че произведението на страна a на синуса на ъгъл γ от свойствата на синуса в правоъгълен триъгълник е равно на височината на триъгълника, който сме нарисували, което ще ни даде предишната формула
• Може да се намери площта на произволен триъгълник през съставполовината от радиуса на вписаната окръжност със сумата от дължините на всичките й страни (Формула 3), с други думи, трябва да умножите половината периметър на триъгълника по радиуса на вписаната окръжност (това е по-лесно за запомняне)
• Площта на произволен триъгълник може да бъде намерена чрез разделяне на произведението на всичките му страни на 4 радиуса на описаната окръжност около него (Формула 4)
• Формула 5 представлява намиране на площта на триъгълник през дължините на неговите страни и неговия полупериметър (половината от сумата на всичките му страни)
• Формула на чаплата (6) е представяне на същата формула, без да се използва концепцията за полупериметър, само през дължините на страните
• Площта на произволен триъгълник е равна на произведението на квадрата на страната на триъгълника и синусите на ъглите, съседни на тази страна, разделени на двойния синус на ъгъла, противоположен на тази страна (Формула 7)
• Площта на произволен триъгълник може да се намери като произведение на два квадрата от окръжност, описани около него от синусите на всеки от ъглите му. (Формула 8)
• Ако дължината на едната страна и големината на двата съседни ъгъла са известни, тогава площта на триъгълника може да бъде намерена като квадрат на тази страна, разделена на двойната сума на котангенсите на тези ъгли (Формула 9)
• Ако е известна само дължината на всяка от височините на триъгълника (Формула 10), тогава площта на такъв триъгълник е обратно пропорционална на дължините на тези височини, както е съгласно формулата на Херон
• Формула 11 ви позволява да изчислявате площ на триъгълник по координатите на върховете му, които са дадени като стойности (x; y) за всеки от върховете. Моля, обърнете внимание, че получената стойност трябва да бъде взета по модул, тъй като координатите на отделни (или дори всички) върхове могат да бъдат в диапазона на отрицателните стойности

Забележка... Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите проблем в геометрията, който не е подобен на който не е тук, пишете за него във форума. В решения, вместо " корен квадратен"може да се използва функцията sqrt (), при която sqrt е символ на корен в квадрат, а радикалният израз е посочен в скоби. Понякога за прости радикални изрази символът √

Задача. Намерете площта по двете страни и ъгъла между тях

Страните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълник.

Решение.

За да разрешим този проблем, използваме формула номер две от теоретичната част на урока.
Площта на триъгълника може да бъде намерена през дължините на двете страни и синуса на ъгъла между тях и ще бъде равна на
S \u003d 1/2 ab sin γ

Тъй като разполагаме с всички необходими данни за решението (съгласно формулата), просто трябва да заместим стойностите от проблемното състояние във формулата:
S \u003d 1/2 * 5 * 6 * грех 60

В таблицата на стойностите тригонометрични функции намерете и заменете в израза синусовата стойност от 60 градуса. Тя ще бъде равна на корена от три на две.
S \u003d 15 √3 / 2

Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3 / 2)

Задача. Намерете площта на равностранен триъгълник

Намерете площта на равностранен триъгълник със страна 3 cm.

Решение.

Площта на триъгълника може да бъде намерена с помощта на формулата на Херон:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Тъй като a \u003d b \u003d c, формулата за площта на равностранен триъгълник ще приеме формата:

S \u003d √3 / 4 * a 2

S \u003d √3 / 4 * 3 2

Отговор: 9 √3 / 4.

Задача. Промяна на площта при промяна на дължината на страните

Колко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат с 4 пъти?

Решение.

Тъй като размерите на страните на триъгълника са неизвестни за нас, тогава за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни на произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса за задачата, намираме площта на този триъгълник и след това намираме площта на триъгълник, чиито страни са четири пъти по-големи. Съотношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговор на проблема.

По-долу е дадено текстово обяснение на решението на проблема на стъпки. В самия край обаче същото това решение е представено в по-лесна за четене графична форма. Заинтересованите могат веднага да пуснат решението.

За да разрешим това, използваме формулата на Херон (виж по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(вижте първия ред на фигурата по-долу)

Дължините на страните на произволен триъгълник се дават от променливите a, b, c.
Ако страните се увеличат с 4 пъти, тогава площта на новия триъгълник c ще бъде:

S 2 \u003d 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(вижте втория ред на снимката по-долу)

Както можете да видите, 4 е често срещан фактор, който може да бъде изваден от скобите от четирите израза чрез общи правила математика.
Тогава

S 2 \u003d 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третия ред на фигурата
S 2 \u003d 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - четвърти ред

Квадратният корен е перфектно извлечен от числото 256, така че го изваждаме изпод корена
S 2 \u003d 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 \u003d 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(вижте петия ред на фигурата по-долу)

За да отговорим на въпроса, поставен в проблема, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на оригинала.
Определете съотношенията на площта, като изразите се разделят един на друг и се намали получената фракция.

Инструкции

Страни и ъглите се считат за основни елементи и... Триъгълникът е напълно дефиниран от някой от следните основни елементи: или от три страни, или от една страна и два ъгъла, или от две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдефинирани от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно, за да се задоволят неравенствата, наречени неравенства триъгълник:
a + b\u003e c,
a + c\u003e b,
b + c\u003e a.

За строителство триъгълник от три страни a, b, c е необходимо от точка C на отсечката CB \u003d a как да нарисувате кръг с радиус b с компас. След това по същия начин нарисувайте кръг от точка В с радиус, равен на страна c. Тяхната точка на пресичане A е третият връх на желаното триъгълник ABC, където AB \u003d c, CB \u003d a, CA \u003d b - страни триъгълник... Проблемът е, ако страните a, b, c удовлетворяват неравенствата триъгълник посочени в стъпка 1.

Площта S, изградена по този начин триъгълник ABC с известни страни a, b, c, се изчислява по формулата на Херон:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
където a, b, c - страни триъгълник, p е полупериметър.
p \u003d (a + b + c) / 2

Ако триъгълникът е равностранен, тоест всичките му страни са равни (a \u003d b \u003d c). триъгълник изчислява се по формулата:
S \u003d (a ^ 2 v3) / 4

Ако триъгълникът е правоъгълен, т.е. единият му ъгъл е 90 °, а страните, които го образуват, са крака, третата страна е хипотенуза. IN в такъв случай квадрат се равнява на произведението на краката, разделено на две.
S \u003d ab / 2

Да намеря квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формулата в зависимост от това кои данни са вече известни.

Ще имаш нужда

• познаване на формули за намиране на площта на триъгълник

Инструкции

Ако знаете величината на една от страните и величината на височината, понижена до тази страна от противоположния ъгъл, тогава можете да намерите площта по следния начин: S \u003d a * h / 2, където S е площта на Триъгълник, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страна a.

Известно е за определяне на площта на триъгълник, ако трите му страни са известни. Това е формулата на Херон. За да се опрости записването му, се въвежда междинна стойност - полупериметър: p \u003d (a + b + c) / 2, където a, b, c -. Тогава формулата на Херон е както следва: S \u003d (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ степенуване.

Да предположим, че познавате едната страна на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S \u003d a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страна a, а α и γ са ъглите, съседни на страната.

Подобни видеа

Забележка

Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Херон.

Източници:

Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник от три страни

Намирането на площта на триъгълника е една от най-често срещаните задачи в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълник е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи и равностраните триъгълници е достатъчно да се знаят дължините на съответно две и една страна.

Ще имаш нужда

• странични дължини на триъгълници, формула на Херон, косинусова теорема

Инструкции

Формулата на Херон за площта на триъгълник е както следва: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ако нарисуваме полупериметъра p, ще получим: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Можете също така да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, като приложите теоремата за косинусите.

По теоремата за косинусите AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Използвайки въведените обозначения, те също могат да бъдат под формата: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Следователно, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Площта на триъгълник също се намира по формулата S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 през две страни и ъгъла между тях. Синусът на ъгъл ABC може да бъде изразен чрез него, като се използва основната тригонометрична идентичност: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Заместване на синуса във формулата за площта и записването му надолу, можете да стигнете до формулата за площта на триъгълник ABC.

Подобни видеа

За ремонтни работи понякога е необходимо да се измери квадрат стени. Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате рулетка или сантиметрова лента. Измерванията трябва да се извършват след стени бяха подравнени.

Ще имаш нужда

• -рулетка;
• -мехур.

Инструкции

Да броим квадрат стени, трябва да знаете точната височина на таваните, както и да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър, поставете го върху основата. Обикновено сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте максимална дължина... В този момент маркирайте с молив, запишете получения резултат и извършете по-нататъшното измерване по същия начин, започвайки от последната точка на измерване.

Стандартни тавани в типично - 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно реалната височина е малко по-ниска от посочената. Ако изчислите квадрат за ремонтни дейности, тогава малък запас няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все пак трябва да знаете реална височина - вземете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължината, но се изисква стълба.

Умножете получените показатели - това е квадрат Вашият стени... Вярно е, с бояджийски работи или за което трябва да извадите квадрат врата и отвори за прозорци... За целта поставете сантиметър по отвора. Ако идва за вратата, която впоследствие ще смените, след това прекарайте с премахнатата каса на вратакато се има предвид само квадрат директно самото отваряне. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на неговата рамка. След квадрат прозорецът и вратата се изчисляват, извадете резултата от общата получена площ на стаята.

Моля, обърнете внимание, че измерванията на дължината и ширината на помещението се извършват заедно, така че е по-лесно да фиксирате сантиметър или лента и съответно да получите по-точен резултат. Извършете едно и също измерване няколко пъти, за да сте сигурни, че цифрите са точни.

Подобни видеа

Намирането на обема на триъгълник е наистина нетривиална задача. Въпросът е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. той лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но нека не се отказваме! Може да се направи следното предположение - обемът на двумерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника.

Ще имаш нужда

• лист хартия, молив, владетел, калкулатор

Инструкции

Начертайте върху лист хартия с помощта на линийка и молив. Внимателно разглеждайки триъгълника, можете да се уверите, че той наистина го няма, тъй като е нарисуван на равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна a, другата страна b и третата страна c. Обозначете върховете на триъгълника с буквите "A", "B" и "C".

Измерете двете страни на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляра към измерената страна от противоположния връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява в страната "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете измерването.

Може да ви е трудно да възстановите точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като добавите получените дължини на страните и разделите тяхната сума наполовина. Имайки на разположение стойността на половината периметър, можете да използвате формулата на Херон. За да направите това, трябва да извлечете квадратния корен от следното: p (p-a) (p-b) (p-c).

Получихте необходимата стойност площ на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерен свят. Ако си представим, че нашият оригинален триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведение на дължината на нейната основа на площта на триъгълника, който сме получили.

Забележка

Колкото по-точни са изчисленията, толкова по-внимателно измервате.

Източници:

• Всичко на всичко калкулатор - портал за референтни стойности
• обем на триъгълник през 2019г

Три точки, които уникално определят триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхното положение спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всички параметри на това плоска фигура, включително ограничени от периметъра му квадрат... Това може да стане по няколко начина.

Инструкции

Използвайте формулата на Херон, за да изчислите площта триъгълник... Той използва размерите на трите страни на формата, така че започнете изчислението с. Дължината на всяка страна трябва да бъде равна на корена на сумата от квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси... Ако обозначим координатите A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) и C (X₃, Y₃, Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени като: AB \u003d √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). Тъй като това е половината от сумата на дължините на всички страни: Р \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

В интернет има над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник.Много от тях се използват при задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Съществуват обаче редица сложни примери, при които съгласно спецификацията са известни само едната страна и ъглите на триъгълника или радиусът на описаната или вписаната окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите по-долу ще решат 95 процента от проблемите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждане на формули за обща площ.
Помислете за триъгълника, показан на фигурата по-долу

На фигурата и по-нататък във формулите са въведени класическите обозначения на всички нейни характеристики
a, b, c - страни на триъгълника,
R е радиусът на описаната окръжност,
r - радиус на вписаната окръжност,
h [b], h [a], h [c] - височини, изтеглени в съответствие със страните a, b, c.
алфа, бета, хама - ъгли близо до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника на височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се запише като

По този начин, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери района.
Между другото, от тази формула можете да изведете една полезна връзка между височините

2. Като се има предвид, че височината на триъгълника през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това от първата формула на площ следва същия тип втора

Разгледайте внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като в работата има две страни и ъгъл между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както е на фигурата по-горе), тогава получаваме две страни a, b а ъгълът е свързан с третияС (хама).

3. За ъглите на триъгълника, отношението

Ограничението ви позволява да приложите следните формули за площта на триъгълник в изчисленията

Примери за тази зависимост са изключително редки, но трябва да помните, че има такава формула.

4. Ако страничните и два съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата на площта по отношение на страната и котангенса на съседните ъгли е както следва

Пренареждайки индексите, можете да получите зависимости за други страни.

6. Формулата за площ, дадена по-долу, се използва при задачи, когато върховете на триъгълник са определени на равнина с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминанта, взета по модул.

7. Формула на чаплата използва се в примери с известни триъгълни страни.
Първо намерете половината периметър на триъгълника

И тогава площта се определя по формулата

или

Често се използва в кода на калкулатора.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, тогава площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли на калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "едно две".

9. Следващите формули използват известни радиуси вписани и описани.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълника са известни или неговият периметър, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примерите, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следващата формула определя площта на триъгълника по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Площ на правоъгълен триъгълник с крака a и b е равно на половината от техния продукт

Формула за равностранен (правилен) триъгълник=

\u003d една четвърт от произведението на квадрата на страната и корена на триплета.