Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Ключови думи:цялостен, криволинеен трапец, площ от фигури, ограничена от лилии

Оборудване: бяла дъска, компютър, мултимедиен проектор

Тип урок: урок-лекция

Цели на урока:

• образователен:формиране на култура на умствен труд, създаване на ситуация на успех за всеки ученик, формиране на положителна мотивация за учене; развийте способността да говорите и да слушате другите.
• развитие:формирането на независимост на мисленето на ученика при прилагане на знания в различни ситуации, способността да се анализират и правят изводи, развитието на логиката, развитието на способността за правилно поставяне на въпроси и намиране на отговори на тях. Подобряване на формирането на изчислителни, изчислителни умения, развиване на мисленето на учениците в хода на изпълнение на предложените задачи, развиване на алгоритмична култура.
• образователен: да формират понятия за криволинейния трапец, за интеграл, да овладеят умения за изчисляване на площите на плоски фигури.

Метод на обучение:обяснителни и илюстративни.

По време на часовете

В предишните класове научихме как да изчисляваме площите на фигури, чиито граници са начупени линии. В математиката има методи, които ви позволяват да изчислите площта на фигури, ограничени от криви. Такива фигури се наричат ​​криволинейни трапеци и тяхната площ се изчислява с помощта на антипроизводни.

Криволинеен трапец ( слайд 1)

Криволинейният трапец е фигура, ограничена от графиката на функцията, ( w.m.), прав х = аи x = bи абсцисата

Различни видове криволинейни трапеци ( слайд 2)

Обмисляме различни видовекриволинейни трапеци и имайте предвид, че една от линиите е изродена до точка, ролята на ограничаваща функция се играе от линията

Площ на криволинеен трапец (слайд 3)

Фиксирайте левия край на интервала а,и надясно хще променим, т.е. преместваме дясната стена на криволинейния трапец и получаваме променяща се фигура. Площта на променлив криволинеен трапец, ограничен от графиката на функцията, е първоизводната Еза функция f

И на сегмента [ а; b] площта на криволинейния трапец, образуван от функцията е,е равно на нарастването на първоизводната на тази функция:

Упражнение 1:

Намерете площта на криволинейния трапец, ограничен от графиката на функция: f(x) = x 2и директно y=0, x=1, x=2.

Решение: ( според алгоритъма на слайд 3)

Начертайте графика на функцията и линии

Да намерим един от антипроизводни функции f(x) = x 2 :

Самопроверка на слайдове

Интеграл

Да разгледаме криволинейния трапец, даден от функцията fна сегмента [ а; b]. Нека разделим този сегмент на няколко части. Площта на целия трапец ще бъде разделена на сумата от площите на по-малките криволинейни трапеци. ( слайд 5). Всеки такъв трапец може приблизително да се счита за правоъгълник. Сумата от площите на тези правоъгълници дава приблизителна представа за цялата площ на криволинейния трапец. По-малкият разделяме сегмента [ а; b], толкова по-точно изчисляваме площта.

Записваме тези съображения под формата на формули.

Разделете сегмента [ а; b] на n части с точки x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.Дължина к- th означават с xk = xk - xk-1. Нека да обобщим

Геометрично тази сума е площта на фигурата, защрихована на фигурата ( ш.м.)

Сумите от формата се наричат ​​интегрални суми за функцията f. (ш.м.)

Интегралните суми дават приблизителна стойност на площта. Точната стойност се получава чрез преминаване към границата. Представете си, че прецизираме разделянето на сегмента [ а; b], така че дължините на всички малки сегменти да клонят към нула. Тогава площта на съставената фигура ще се доближи до площта на криволинейния трапец. Можем да кажем, че площта на криволинейния трапец е равна на границата на интегралните суми, ск.т. (ш.м.)или интегрална, т.е.

определение:

функционален интеграл f(x)от апреди bсе нарича граница на интегралните суми

= (ш.м.)

Формула на Нютон-Лайбниц.

Не забравяйте, че границата на интегралните суми е равна на площта на криволинейния трапец, така че можем да напишем:

ск.т. = (ш.м.)

От друга страна, площта на криволинейния трапец се изчислява по формулата

S до. (ш.м.)

Сравнявайки тези формули, получаваме:

Това равенство се нарича формула на Нютон-Лайбниц.

За удобство на изчисленията формулата е написана така:

Задачи: (ск.м.)

1. Изчислете интеграла, като използвате формулата на Нютон-Лайбниц: ( проверете слайд 5)

2. Съставете интеграли според чертежа ( проверете на слайд 6)

3. Намерете площта на фигура, ограничена от линии: y \u003d x 3, y = 0, x \u003d 1, x = 2. ( Слайд 7)

Намиране на площите на равнинни фигури ( слайд 8)

Как да намерите площта на фигури, които не са криволинейни трапеци?

Нека са дадени две функции, чиито графики виждате на слайда . (ш.м.)Намерете площта на защрихованата фигура . (ш.м.). Въпросната фигура криволинеен трапец ли е? И как можете да намерите нейната площ, като използвате свойството за адитивност на площта? Помислете за два криволинейни трапеца и извадете площта на другия от площта на единия от тях ( w.m.)

Нека направим алгоритъм за намиране на областта от анимацията на слайда:

1. Парцел функции
2. Проектирайте пресечните точки на графиките върху оста x
3. Защриховайте фигурата, получена чрез кръстосване на графиките
4. Намерете криволинейни трапеци, чиято пресечна точка или обединение е дадената фигура.
5. Изчислете площта на всеки
6. Намерете разликата или сбора на площите

Устна задача: Как да получите площта на защрихована фигура (кажете с помощта на анимация, слайд 8 и 9)

Домашна работа:Разработете резюмето, № 353 (а), № 364 (а).

Библиография

1. Алгебра и началото на анализа: учебник за 9-11 клас на вечерното (сменно) училище / изд. Г.Д. Глейзър. - М: Просвещение, 1983.
2. Башмаков M.I. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клас на средното училище / Башмаков M.I. - М: Просвещение, 1991.
3. Башмаков M.I. Математика: учебник за институции нач. и ср. проф. образование / M.I. Башмаков. - М: Академия, 2010.
4. Колмогоров A.N. Алгебра и началото на анализа: учебник за 10-11 клетки. образователни институции / А. Н. Колмогоров. - М: Просвещение, 2010.
5. Островски С.Л. Как да направите презентация за урока? / S.L. Островски. – М.: Първи септември 2010 г.

Задача номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y \u003d f (x), оста O x и правите линии x \u003d a и x \u003d b. Съответно формулата за площ се записва, както следва:

Разгледайте някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача номер 1. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 +1, y = 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Решение.Нека изградим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y \u003d x 2 + 1 е парабола, чиито клони са насочени нагоре, а параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача номер 2. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е параболата на клона, която е насочена нагоре, а параболата е изместена надолу с една единица спрямо оста O y (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y \u003d x 2 - 1

Задача номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

y = 8 + 2x - x 2 и y = 2x - 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, сочещи надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, нека намерим координатите на нейния връх: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абциса на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е неговият връх.

Сега намираме точките на пресичане на параболата и правата, като решаваме системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 или x 2 - 12 \u003d 0, откъдето .

И така, точките са точките на пресичане на параболата и правата линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Нека построим права линия y = 2x - 4. Тя минава през точките (0;-4), (2; 0) на координатните оси.

За да изградите парабола, можете също да имате нейните пресечни точки с оста 0x, тоест корените на уравнението 8 + 2x - x 2 = 0 или x 2 - 2x - 8 = 0. По теоремата на Vieta това е лесно да се намерят неговите корени: x 1 = 2, x 2 = четири.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интегралспоред формулата .

По отношение на това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на въртеливо тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y \u003d f (x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача номер 4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на криволинеен трапец, ограничен от прави линии x \u003d 0 x \u003d 3 и крива y \u003d около оста O x.

Решение.Нека изградим чертеж (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Желаният обем е равен на

Задача номер 5. Да се ​​изчисли обемът на тялото, получено от въртенето на криволинейния трапец, ограничен от крива y = x 2 и прави y = 0 и y = 4 около оста O y .

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

Помислете за криволинеен трапец, ограничен от оста Ox, крива y \u003d f (x) и две прави линии: x \u003d a и x \u003d b (фиг. 85). Вземете произволна стойност на x (само не a и не b). Нека му дадем увеличение h = dx и разгледаме лента, ограничена от прави линии AB и CD, от оста Ox и от дъга BD, принадлежаща на разглежданата крива. Тази лента ще се нарича елементарна лента. Площта на елементарна лента се различава от площта на правоъгълник ACQB от криволинейния триъгълник BQD и площта на последния по-малко площправоъгълник BQDM със страни BQ = h=dx) QD=Ay и площ, равна на hAy = Ay dx. Тъй като страната h намалява, страната Du също намалява и едновременно с h клони към нула. Следователно площта на BQDM е безкрайно малка от втория ред. Площта на елементарната лента е нарастването на площта, а площта на правоъгълника ACQB, равна на AB-AC==/(x) dx> е диференциалът на площта. Следователно намираме самата площ чрез интегриране на нейния диференциал. В границите на разглежданата фигура независимата променлива l: се променя от a на b, така че търсената площ 5 ще бъде равна на 5= \f (x) dx. (I) Пример 1. Изчислете площта, ограничена от параболата y - 1 -x *, правите линии X \u003d - Fj-, x \u003d 1 и оста O * (фиг. 86). на фиг. 87. Фиг. 86. 1 Тук f(x) = 1 - l?, границите на интегриране a = - и t = 1, следователно 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Изчислете площта, ограничена от синусоидата y = sinXy, оста Ox и правата (фиг. 87). Прилагайки формула (I), получаваме L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf с оста Ox (например между началото и точката с абсцисата i). Имайте предвид, че от геометрични съображения е ясно, че тази област ще бъде два пъти повече площпредишен пример. Нека обаче направим изчисленията: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i-(- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Наистина, нашето предположение се оказа справедливо. Пример 4. Изчислете площта, ограничена от синусоидата и ^ оста Ox върху един период (фиг. 88). Предварителните преценки на ras-фигурата предполагат, че площта ще се окаже четири пъти по-голяма от пр. 2. Въпреки това, след като направим изчисленията, получаваме „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Този резултат изисква изясняване. За да изясним същността на въпроса, ние също изчисляваме площта, ограничена от същата синусоида y \u003d sin l: и оста Ox в диапазона от l до 2n. Прилагайки формула (I), получаваме Така виждаме, че тази област се оказа отрицателна. Сравнявайки я с площта, изчислена в пример 3, ние откриваме, че тяхната абсолютни стойностисъщото, но знаците са различни. Ако приложим свойство V (виж гл. XI, § 4), тогава получаваме случайно. Винаги площта под оста x, при условие че независимата променлива се променя отляво надясно, се получава чрез изчисляване с използване на отрицателни интеграли. В този курс винаги ще разглеждаме области без знак. Следователно отговорът в току-що анализирания пример ще бъде следният: търсената площ е равна на 2 + |-2| = 4. Пример 5. Нека изчислим площта на BAB, показана на фиг. 89. Тази област е ограничена от оста Ox, параболата y = - xr и правата линия y - = -x + \. Площ на криволинейния трапец Търсената област OAB се състои от две части: OAM и MAB. Тъй като точка А е пресечната точка на параболата и правата линия, ще намерим нейните координати чрез решаване на системата от уравнения 3 2 Y \u003d mx. (трябва само да намерим абсцисата на точка А). Решавайки системата, намираме l; =~. Следователно площта трябва да се изчисли на части, първо pl. OAM, а след това мн. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x графика на функцията y=x 2 +2 разположен над ос вол , Ето защо:

Отговор: С \u003d 9 квадратни единици

След като задачата е изпълнена, винаги е полезно да погледнете рисунката и да разберете дали отговорът е реален. В този случай "на око" преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, около 9 ще бъдат въведени, изглежда вярно. Съвсем ясно е, че ако имахме, да речем, отговора: 20 квадратни единици, тогава очевидно някъде е допусната грешка - 20 клетки явно не се вписват във въпросната цифра, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, значи задачата също е решена неправилно.

Какво да направите, ако се намира криволинейният трапец под ос О?

б)Изчислете площта на фигура, ограничена от линии y=-e x , х=1 и координатни оси.

Решение.

Да направим рисунка.

Ако криволинеен трапец изцяло под оста о , тогава неговата площ може да се намери по формулата:

Отговор: S=(e-1) кв. единица“ 1,72 кв. единица

внимание! Не бъркайте двата типа задачи:

1) Ако бъдете помолени да решите само определен интеграл без никакво геометрично значение, тогава той може да бъде отрицателен.

2) Ако бъдете помолени да намерите площта на фигура, като използвате определен интеграл, тогава площта винаги е положителна! Ето защо минусът се появява в току-що разгледаната формула.

На практика най-често фигурата е разположена както в горната, така и в долната полуравнина.

с)Намерете площта на равнинна фигура, ограничена от линии y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Решение.

Първо трябва да направите чертеж. Най-общо казано, когато конструираме чертеж в задачи с площи, най-много се интересуваме от пресечните точки на линиите. Намерете пресечните точки на параболата и директно Това може да стане по два начина. Първият начин е аналитичен.

Решаваме уравнението:

Така че долната граница на интеграция а=0 , горната граница на интеграция b=3 .

Възможно е да се конструират линии точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш "от само себе си". Независимо от това, аналитичният метод за намиране на границите все още понякога трябва да се използва, ако например графиката е достатъчно голяма или нишковата конструкция не разкрива границите на интегриране (те могат да бъдат дробни или ирационални).

Желаната фигура е ограничена от парабола отгоре и права линия отдолу.

На сегмента , по съответната формула:

Отговор: С \u003d 4,5 кв. единици