За определяне на площта на триъгълник могат да се използват различни формули. От всички методи най-лесният и най-често използван е да се умножи височината по дължината на основата и след това да се раздели резултатът на два. Този метод обаче далеч не е единственият. По-долу можете да прочетете как да намерите площта на триъгълник, използвайки различни формули.

Отделно ще разгледаме методи за изчисляване на площта на конкретни видове триъгълник - правоъгълен, равнобедрен и равностранен. Придружаваме всяка формула с кратко обяснение, което ще ви помогне да разберете нейната същност.

Универсални начини за намиране на площта на триъгълник

В формулите по-долу се използват специални символи. Ще дешифрираме всеки от тях:

• a, b, c - дължините на трите страни на фигурата, която разглеждаме;
• r е радиусът на окръжност, която може да бъде вписана в нашия триъгълник;
• R е радиусът на кръга, който може да бъде описан около него;
• α - стойността на ъгъла, образуван от страните b и c;
• β е ъгълът между a и c;
• γ - стойността на ъгъла, образуван от страни a и b;
• h - височината на нашия триъгълник, спусната от ъгъла α до страната a;
• p - половината от сумата на страните a, b и c.

Логично е защо е възможно да се намери площта на триъгълник по този начин. Триъгълникът може лесно да бъде завършен до успоредник, в който едната страна на триъгълника ще действа като диагонал. Площта на успоредник се намира чрез умножаване на дължината на една от страните му по стойността на изтеглената към него височина. Диагоналът разделя този конвенционален успоредник на 2 еднакви триъгълника. Следователно е съвсем очевидно, че площта на нашия оригинален триъгълник трябва да бъде равна на половината от площта на този спомагателен успоредник.

S \u003d ½ a b sin γ

Според тази формула площта на триъгълника се намира чрез умножаване на дължините на двете му страни, тоест a и b, по синуса на ъгъла, образуван от тях. Тази формула логично произлиза от предишната. Ако намалим височината от ъгъла β до страната b, тогава според свойствата правоъгълен триъгълник, когато умножаваме дължината на страна a по синуса на ъгъла γ, получаваме височината на триъгълника, т.е. h.

Площта на въпросната фигура се намира чрез умножаване на половината радиус на окръжността, която може да бъде вписана в нея, по нейния периметър. С други думи, намираме произведението на полупериметъра и радиуса на споменатия кръг.

S \u003d a b s / 4R

Според тази формула стойността, от която се нуждаем, може да бъде намерена чрез разделяне на произведението на страните на фигурата на 4 радиуса на окръжността, описана около нея.

Тези формули са универсални, тъй като дават възможност да се определи площта на всеки триъгълник (универсален, равнобедрен, равностранен, правоъгълен). Това може да стане с помощта на по-сложни изчисления, на които няма да се спираме подробно.

Области от триъгълници със специфични свойства

Как да намеря площта на правоъгълен триъгълник? Особеността на тази фигура е, че двете й страни са едновременно нейните височини. Ако a и b са крака, а c се превърне в хипотенуза, тогава намираме областта, както следва:

Как да намерим площта на равнобедрен триъгълник? Той има две страни с дължина a и една страна с дължина b. Следователно, нейната площ може да се определи чрез разделяне на 2 на произведението на квадрата на страната a на синуса на ъгъла γ.

Как да намерим площта на равностранен триъгълник? В него дължината на всички страни е равна на a, а големината на всички ъгли е α. Височината му е равна на половината от произведението на дължината на страна a на квадратния корен от 3. За да намерите площта на правилен триъгълник, трябва да умножите квадрата на страна a по квадратния корен от 3 и да разделите на 4.

Квадратна концепция

Концепцията за площта на която и да е геометрична фигура, по-специално триъгълник, ще бъде свързана с такава фигура като квадрат. За единичната площ на която и да е геометрична фигура ще вземем площта на квадрат, чиято страна е равна на единица. За пълнота припомнете две основни свойства на концепцията за области геометрични фигури.

Собственост 1:Ако геометричните фигури са равни, тогава стойностите на техните площи също са равни.

Свойство 2: Всяка форма може да бъде разделена на няколко фигури. Освен това площта на първоначалната фигура е равна на сумата от стойностите на площите на всички съставни фигури.

Нека разгледаме един пример.

Пример 1

Очевидно една от страните на триъгълника е диагоналът правоъгълник , в която едната страна има дължина $ 5 $ (тъй като има $ 5 $ клетки), а другата е $ 6 $ (тъй като $ 6 $ клетки). Следователно площта на този триъгълник ще бъде равна на половината от такъв правоъгълник. Площта на правоъгълника е

Тогава площта на триъгълника е

Отговор: $ 15 $.

След това ще разгледаме няколко метода за намиране на областите на триъгълниците, а именно използване на височината и основата, като се използва формули на чапла и площта на равностранен триъгълник.

Как да намерим площта на триъгълник по височина и основа

Теорема 1

Площта на триъгълник може да се намери като половината от произведението на дължината на една страна от височината, изтеглена към тази страна.

Математически изглежда така

$ S \u003d \\ frac (1) (2) αh $

където $ a $ е дължината на страната, $ h $ е височината, изтеглена към нея.

Доказателства.

Да разгледаме триъгълник $ ABC $ с $ AC \u003d α $. Височината $ BH $ е изтеглена от тази страна, която е равна на $ h $. Нека го завършим до квадрата $ AXYC $, както е показано на фигура 2.

Площта на правоъгълника $ AXBH $ е $ h \\ cdot AH $, а площта на правоъгълника $ HBYC $ е $ h \\ cdot HC $. Тогава

$ S_ABH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot AH $, $ S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC $

Следователно необходимата площ на триъгълника по свойство 2 е равна на

$ S \u003d S_ABH + S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot AH + \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot (AH + HC) \u003d \\ frac (1) (2) αh $

Теоремата е доказана.

Пример 2

Намерете площта на триъгълника на фигурата по-долу, ако клетката има площ, равна на една

Основата на този триъгълник е $ 9 $ (тъй като $ 9 $ е $ 9 $ клетки). Височината също е $ 9. Тогава по теорема 1 получаваме

$ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 9 \\ cdot 9 \u003d 40,5 $

Отговор: $ 40,5.

Формула на чаплата

Теорема 2

Ако ни бъдат дадени три страни на триъгълник $ α $, $ β $ и $ γ $, тогава неговата площ може да се намери, както следва

$ S \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

тук $ ρ $ означава полупериметъра на този триъгълник.

Доказателства.

Помислете за следната фигура:

По теоремата на Питагор, от триъгълника $ ABH $ получаваме

От триъгълника $ CBH $, според питагорейската теорема, имаме

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

От тези две отношения получаваме равенството

$ γ ^ 2-x ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x \u003d \\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 \u003d γ ^ 2 - (\\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Тъй като $ ρ \u003d \\ frac (α + β + γ) (2) $, тогава $ α + β + γ \u003d 2ρ $, следователно

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h \u003d \\ sqrt (\\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h \u003d \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

По теорема 1 получаваме

$ S \u003d \\ frac (1) (2) βh \u003d \\ frac (β) (2) \\ cdot \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Как можеш да си спомниш от училищна програма в геометрията триъгълник е фигура, образувана от три сегмента, свързани с три точки, които не лежат на една права линия. Триъгълникът образува три ъгъла, откъдето идва и името на фигурата. Определението може да е различно. Триъгълник може да се нарече и многоъгълник с три ъгъла, отговорът също е верен. Триъгълниците се разделят на броя на равни страни и на ъглите на фигурите. Така че такива триъгълници се разграничават като равнобедрени, равностранни и многостранни, както и правоъгълни, съответно остри и тъпоъгълни.

Има много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Изберете как да намерите площта на триъгълник, т.е. коя формула да използвате, само вие. Но си струва да се отбележат само някои от обозначенията, които се използват в много формули за изчисляване на площта на триъгълник. Така че запомнете:

S е площта на триъгълника,

a, b, c са страните на триъгълника,

h е височината на триъгълника,

R е радиусът на описаната окръжност,

p е полупериметър.

Ето някои основни обозначения, които могат да ви бъдат полезни, ако напълно сте забравили своя курс по геометрия. По-долу ще бъдат дадени най-разбираемите и не сложни опции за изчисляване на неизвестната и загадъчна площ на триъгълник. Това не е трудно и ще бъде полезно както за вас вкъщи, така и за помощ на децата ви. Нека си спомним как да изчислим площта на триъгълник толкова лесно, колкото черупките от круши:

В нашия случай площта на триъгълника е: S \u003d ½ * 2,2 см. * 2,5 см. \u003d 2,75 кв. См. Не забравяйте, че площта се измерва в квадратни сантиметри (cm2).

Правоъгълен триъгълник и неговата площ.

Правоъгълен триъгълник е триъгълник с един ъгъл, равен на 90 градуса (оттук се нарича десен). Прав ъгъл се образува от две перпендикулярни линии (в случай на триъгълник - два перпендикулярни сегмента). В правоъгълен триъгълник може да има само един прав ъгъл, защото сумата от всички ъгли на всеки един триъгълник е 180 градуса. Оказва се, че другите 2 ъгъла трябва да споделят останалите 90 градуса, например 70 и 20, 45 и 45 и т.н. И така, помните основното, остава да разберете как да намерите площта на правоъгълен триъгълник. Нека си представим, че имаме такъв правоъгълен триъгълник и трябва да намерим неговата площ S.

1. Най-лесният начин за определяне на площта на правоъгълен триъгълник се изчислява по следната формула:

В нашия случай площта на правоъгълен триъгълник е: S \u003d 2,5 см * 3 см / 2 \u003d 3,75 кв. См.

По принцип вече не е необходимо да се съгласува площта на триъгълника по други начини, тъй като във всекидневието, само този ще ви бъде полезен и ще помогне. Но има и опции за измерване на площта на триъгълник чрез остри ъгли.

2. За други методи на изчисление трябва да имате таблица на косинуси, синуси и допирателни. Преценете сами, ето няколко опции за изчисляване на площите на правоъгълен триъгълник, които все още можете да използвате:

Решихме да използваме първата формула и с малки петна (нарисувахме в тетрадка и използвахме старата линийка и транспортир), но получихме правилното изчисление:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Получихме следните резултати 3.6 \u003d 3.7, но като вземем предвид изместването на клетките, можем да простим този нюанс.

Равнобедрен триъгълник и неговата площ.

Ако сте изправени пред задачата да изчислите формулата за равнобедрен триъгълник, тогава най-лесният начин е да използвате основния и тъй като той се счита за класическата формула за площта на триъгълника.

Но първо, преди да намерим площта на равнобедрен триъгълник, ще разберем за какъв вид фигура става дума. Равнобедрен триъгълник е триъгълник с две страни с еднаква дължина. Тези две страни се наричат \u200b\u200bстранични страни, третата страна се нарича основа. Не бъркайте равнобедрен триъгълник с равностранен, т.е. правилен триъгълник с всичките три страни равни. В такъв триъгълник няма особени тенденции към ъглите, по-точно към техния размер. Въпреки това, ъглите в основата в равнобедрен триъгълник са равни, но различни от ъгъла между равни страни. И така, вие вече знаете първата и основната формула, остава да разберете какви други формули за определяне на площта на равнобедрен триъгълник са известни:

Триъгълникът е една от най-често срещаните геометрични фигури, с които се запознаваме вече начално училище... Всеки ученик е изправен пред въпроса как да намери площта на триъгълник в уроците по геометрия. И така, какви характеристики на намиране на площта на дадена фигура могат да бъдат разграничени? В тази статия ще разгледаме основните формули, необходими за изпълнението на такава задача, както и ще анализираме видовете триъгълници.

Видове триъгълници

Можете да намерите площта на триъгълник абсолютно различни начинизащото повече от един вид фигура, съдържаща три ъгъла, е подчертана в геометрията. Тези видове включват:

• Тъпа.
• Равностранен (правилен).
• Правоъгълен триъгълник.
• Равнобедрен.

Нека разгледаме по-отблизо всеки от тях съществуващи видове триъгълници.

Тази геометрична форма се счита за най-често срещаната при решаването на геометрични задачи. Когато се наложи да нарисувате произволен триъгълник, тази опция идва на помощ.

В триъгълника с остър ъгъл, както подсказва името, всички ъгли са остри и достигат до 180 °.

Такъв триъгълник също е много често срещан, но е малко по-рядък от остър ъгъл. Например, когато решавате триъгълници (тоест знаете няколко от страните и ъглите му и трябва да намерите останалите елементи), понякога трябва да определите дали ъгълът е тъп или не. Косинусът е отрицателно число.

Един от ъглите надвишава 90 °, така че останалите два ъгъла могат да приемат малки стойности (например 15 ° или дори 3 °).

За да намерите площта на триъгълник от този тип, трябва да знаете някои от нюансите, за които ще говорим по-нататък.

Правилни и равнобедрени триъгълници

Правилен многоъгълник е фигура, която включва n ъгли, в които всички страни и ъгли са равни. Това е правилен триъгълник. Тъй като сумата от всички ъгли на триъгълника е 180 °, всеки от трите ъгъла е 60 °.

Правилен триъгълник, поради свойството си, се нарича още равностранна фигура.

Също така си струва да се отбележи, че само един кръг може да бъде вписан в правилен триъгълник и само един кръг може да бъде описан около него, а техните центрове са разположени в една точка.

В допълнение към равностранен тип можете да различите и равнобедрен триъгълник, малко по-различен от него. В такъв триъгълник две страни и два ъгъла са равни помежду си, а третата страна (към която те се присъединяват равни ъгли) е основата.

Фигурата показва равнобедрен триъгълник DEF, ъглите D и F на които са равни, а DF е основата.

Правоъгълен триъгълник

Правоъгълният триъгълник е наречен така, защото един от ъглите му е прав, тоест е равен на 90 °. Останалите два ъгъла се добавят до 90 °.

Повечето голяма страна от такъв триъгълник, разположен срещу ъгъл от 90 ° е хипотенузата, докато другите две страни от него са крака. За този тип триъгълници е приложима питагоровата теорема:

Сборът от квадратите на дължините на краката е равен на квадрата на дължината на хипотенузата.

Фигурата показва правоъгълен триъгълник BAC с хипотенуза AC и катети AB и BC.

За да намерите площта на триъгълник с прав ъгъл, трябва да знаете числови стойности краката му.

Нека да преминем към формулите за намиране на площта на тази фигура.

Основни формули за намиране на площта

В геометрията могат да се разграничат две формули, които са подходящи за намиране на площта на повечето видове триъгълници, а именно за остроъгълен, тъп, правилен и равнобедрен триъгълник. Нека анализираме всеки от тях.

Встрани и на височина

Тази формула е универсална за намиране на площта на фигурата, която разглеждаме. За да направите това, достатъчно е да знаете дължината на страната и дължината на височината, изтеглена към нея. Самата формула (половината от произведението на основата и височината) изглежда така:

където A е страната на дадения триъгълник, а H е височината на триъгълника.

Например, за да намерите площта на остроъгълен триъгълник ACB, умножете неговата страна AB по височината CD и разделете получената стойност на две.

Въпреки това, не винаги е лесно да се намери площта на триъгълник по този начин. Например, за да използвате тази формула за тъп триъгълник, е необходимо да продължите едната му страна и едва след това да изчертаете височината до нея.

На практика тази формула се използва по-често от други.

От две страни и ъгъл

Тази формула, както и предишната, е подходяща за повечето триъгълници и по своето значение е следствие от формулата за намиране на площта от страната и височината на триъгълника. Тоест, разглежданата формула може лесно да бъде извлечена от предишната. Формулировката му изглежда така:

S \u003d ½ * sinO * A * B,

където A и B са страните на триъгълника, а O е ъгълът между страните A и B.

Спомнете си, че синусът на ъгъл може да се види в специална таблица, кръстена на изключителния съветски математик В. М. Брадис.

Сега да преминем към други формули, които са подходящи само за изключителни видове триъгълници.

Площ на правоъгълен триъгълник

В допълнение към универсалната формула, която включва необходимостта от изчертаване на височината в триъгълник, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, може да бъде намерена от краката му.

И така, площта на триъгълник, съдържащ прав ъгъл, е половината от произведението на краката му, или:

където a и b са краката на правоъгълен триъгълник.

Правилен триъгълник

Тази гледна точка геометричните фигури се различават по това, че площта му може да бъде намерена при посочената стойност само на една от страните му (тъй като всички страни на правилния триъгълник са равни). Така че, изправени пред проблема "намерете площта на триъгълник, когато страните са равни", трябва да използвате следната формула:

S \u003d A 2 * √3 / 4,

където A е страната на равностранен триъгълник.

Формула на чаплата

Последният вариант за намиране на площта на триъгълник е формулата на Херон. За да го използвате, трябва да знаете дължините на трите страни на фигурата. Формулата на Херон изглежда така:

S \u003d √p (p - a) (p - b) (p - c),

където a, b и c са страните на този триъгълник.

Понякога се задава проблемът: „площта на правилен триъгълник - намерете дължината на неговата страна“. IN в такъв случай трябва да използвате формулата, която вече ни е известна, за намиране на площта на правилен триъгълник и да изведете стойността на страната (или нейния квадрат) от нея:

A 2 \u003d 4S / √3.

Изпитни задачи

В проблемите на GIA по математика има много формули. Освен това често е необходимо да се намери площта на триъгълник върху карирана хартия.

В този случай е най-удобно да нарисувате височината до една от страните на фигурата, да определите дължината й по клетките и да използвате универсалната формула, за да намерите площта:

Така че, след като проучите формулите, представени в статията, няма да имате проблеми с намирането на площта на триъгълник от всякакъв вид.