Паралелограм е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Също така, успоредникът има свойства като противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни, сумата от всички ъгли е 360 градуса.

Ще имаш нужда

• Познания по геометрия.

Инструкции

1. Представете си, че е даден един от ъглите на паралелограма и равен на А. Намерете стойностите на останалите 3. По свойството паралелограм противоположните ъгли са равни. Така че ъгълът, лежащ срещуположно на дадения, е равен на дадения и стойността му е равна на А.

2. Намерете останалите два ъгъла. Тъй като сумата от всички ъгли в успоредник е 360 градуса, а противоположните ъгли са равни помежду си, се оказва, че ъгълът, принадлежащ на една и съща страна с дадената, е (360 - 2A) / 2. Е, или след реформата, получаваме 180 - А. По този начин в паралелограма два ъгъла са равни на A, а другите два ъгъла са равни на 180 - A.

Забележка!
Стойността на един ъгъл не може да надвишава 180 градуса. Получените ъгли могат лесно да бъдат проверени. За да направите това, съберете ги и ако общата сума е 360, всичко се изчислява правилно.

Полезен съвет
Правоъгълникът и ромбът са частен случай на успоредник, поради което всички свойства и методи за изчисляване на ъгли са приложими за тях.

Задача 1... Един от ъглите на успоредника е 65 °. Намерете останалите ъгли на успоредника.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 ° като противоположни ъгли на успоредника.

∠А + ∠В \u003d 180 ° като ъгли, съседни на едната страна на успоредник.

∠В \u003d 180 ° - ∠А \u003d 180 ° - 65 ° \u003d 115 °.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 ° като противоположни ъгли на успоредник.

Отговор: ∠А \u003d ∠С \u003d 65 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 115 °.

Цел 2. Сумата от двата ъгъла на успоредник е 220 °. Намерете ъглите на успоредник.

Тъй като успоредникът има 2 равни остри ъгъла и 2 равни тъпи ъгли, ние получаваме сумата от два тъп ъгъла, т.е. ∠В + ∠D \u003d 220 °. Тогава ∠В \u003d ∠D \u003d 220 ° : 2 \u003d 110 °.

∠А + ∠В \u003d 180 ° като ъгли, съседни на едната страна на успоредника, следователно ∠А \u003d 180 ° - ∠В \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. Тогава ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °.

Отговор: ∠А \u003d ∠С \u003d 70 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 110 °.

Цел 3. Един от ъглите на успоредника е 3 пъти по-голям от другия. Намерете ъглите на успоредник.

Нека ∠A \u003d x. Тогава ∠B \u003d 3x. Знаейки, че сумата от ъглите на успоредник, съседен на едната му страна, е 180 °, ще съставим уравнение.

x \u003d 180 : 4;

Получаваме: ∠A \u003d x \u003d 45 ° и ∠B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

Противоположните ъгли на успоредника са равни, следователно,

∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

Отговор: ∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

Задача 4. Докажете, че ако четириъгълник има две страни, успоредни и равни, тогава този четириъгълник е успоредник.

Доказателства.

Нека нарисуваме диагонал BD и да разгледаме Δ ADB и Δ CBD.

AD \u003d BC по условие. Страната на BD е често срещана. ∠1 \u003d ∠2 като вътрешни пресичащи се линии с успоредни (по условие) линии AD и BC и секунда BD. Следователно, Δ ADB \u003d Δ CBD от двете страни и ъгълът между тях (1-ви знак за равенство на триъгълниците). При равни триъгълници съответните ъгли са равни, така че ∠3 \u003d ∠4. И тези ъгли са вътрешни напречно при прави линии AB и CD и секунда BD. Това предполага паралелизъм на линии AB и CD. По този начин в даден четириъгълник ABCD противоположните страни са двойно успоредни, следователно по дефиниция ABCD е успоредник, което трябваше да докажем.

Цел 5. Двете страни на успоредника са свързани като 2 : 5, а периметърът е 3,5 м. Намерете страните на успоредника.

∙ (AB + AD).

Нека означим една част с x. тогава AB \u003d 2x, AD \u003d 5x метра. Знаейки, че периметърът на успоредника е 3,5 м, съставяме уравнението:

2 ∙ (2x + 5x) \u003d 3,5;

2 ∙ 7x \u003d 3,5;

x \u003d 3,5 : 14;

Едната част е 0,25 м. Тогава AB \u003d 2 ∙ 0,25 \u003d 0,5 m; AD \u003d 5 ∙ 0,25 \u003d 1,25 m.

Проверка.

Паралелограм периметър P ABCD \u003d 2 ∙ (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 \u003d 3,5 (m).

Тъй като противоположните страни на успоредника са равни, тогава CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Отговор: CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Както в евклидовата геометрия, точка и права линия са основните елементи на теорията на равнините, така че паралелограмът е една от ключовите фигури на изпъкналите четириъгълници. От него, като нишки от топка, изтичат понятията "правоъгълник", "квадрат", "ромб" и други геометрични величини.

Във връзка с

Определяне на паралелограм

Изпъкнал четириъгълник, състоящ се от отсечки от линии, всяка двойка от които е успоредна, е известна в геометрията като успоредник.

Как изглежда класическият паралелограм, изобразява четириъгълник ABCD. Страните се наричат \u200b\u200bоснови (AB, BC, CD и AD), перпендикулярът, изтеглен от всеки връх към страната, противоположна на този връх, е височината (BE и BF), линиите AC и BD са диагонали.

Внимание! Квадратът, ромбът и правоъгълникът са специални случаи на паралелограма.

Страни и ъгли: характеристики на съотношението

Основни свойства, като цяло, предварително дефинирани от самото обозначение, те се доказват от теоремата. Тези характеристики са както следва:

1. Противоположните страни са еднакви по двойки.
2. Ъглите, разположени един срещу друг, са равни по двойки.

Доказателство: Помислете за ∆ABC и ∆ADC, които се получават чрез разделяне на четириъгълника ABCD на линията AC. ∠BCA \u003d ∠CAD и ∠BAC \u003d ∠ACD, тъй като AC е общ за тях ( вертикални ъгли за BC || AD и AB || CD, съответно). От това следва: ∆ABC \u003d ∆ADC (вторият знак за равенство на триъгълниците).

Сегментите AB и BC в ∆ABC съответстват по двойки на линиите CD и AD в ∆ADC, което означава тяхната идентичност: AB \u003d CD, BC \u003d AD. Така че ∠B съответства на ∠D и те са равни. Тъй като ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD, ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD, които също са двойно еднакви, тогава ∠A \u003d ∠C. Имотът е доказан.

Характеристики на диагоналите на фигурата

Основната характеристикатези успоредни линии: точката на пресичане ги разделя наполовина.

Доказателство: Нека m. E е пресечната точка на диагоналите AC и BD на фигурата ABCD. Те образуват два съизмерими триъгълника - ∆ABE и ∆CDE.

AB \u003d CD, тъй като те са противоположни. Според редовете и secant, ∠ABE \u003d ∠CDE и ∠BAE \u003d ∠DCE.

Според втория критерий за равенство ∆ABE \u003d ∆CDE. Това означава, че елементите ∆ABE и ∆CDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE и в същото време те са пропорционални части на AC и BD. Имотът е доказан.

Характеристики на съседните ъгли

Съседните страни имат ъгъл от 180 °тъй като те лежат от една и съща страна на успоредни линии и секунда. За четириъгълник ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

Бисектрисни свойства:

1. спуснати на една страна са перпендикулярни;
2. противоположните върхове имат успоредни бисектриси;
3. триъгълникът, получен чрез изчертаване на бисектрисата, ще бъде равнобедрен.

Определяне на характерните черти на успоредник по теоремата

Характеристиките на тази фигура произтичат от нейната основна теорема, която гласи следното: четириъгълник се счита за успоредникв случай, че диагоналите му се пресичат и тази точка ги разделя на равни сегменти.

Доказателство: нека в точка E се пресичат линиите AC и BD на четириъгълника ABCD. Тъй като ∠AED \u003d ∠BEC и AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, тогава ∆AED \u003d ∆BEC (по първия знак за равенство на триъгълници). Тоест, ∠EAD \u003d ∠ECB. Те са и вътрешните ъгли на напречното сечение AC за линии AD и BC. По този начин, по дефиниция на паралелизъм - AD || Пр.н.е. Показва се подобно свойство на редове BC и CD. Теоремата е доказана.

Изчисляване на площта на дадена форма

Площта на тази фигура се намира по няколко метода,един от най-простите: умножаване на височината и основата, към която е изтеглена.

Доказателство: изчертайте перпендикуляри BE и CF от върховете B и C. ∆ABE и ∆DCF са равни, тъй като AB \u003d CD и BE \u003d CF. ABCD е равен по размер на правоъгълника EBCF, тъй като те също се състоят от съизмерими фигури: S ABE и S EBCD, както и S DCF и S EBCD. От това следва, че площта на това геометрична форма се намира по същия начин като правоъгълника:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

За да определим общата формула за площта на успоредник, обозначаваме височината като hbа страната е б... Съответно:

Други начини за намиране на област

Изчисления на площ през страните на успоредника и ъгълакойто те формират е вторият известен метод.

,

Спр-ma - площ;

a и b са нейните страни

α е ъгълът между отсечките a и b.

Този метод на практика се основава на първия, но в случай че е неизвестен. винаги реже правоъгълен триъгълник, параметрите на които се намират чрез тригонометрични идентичности, т.е. Преобразувайки релацията, получаваме. В уравнението на първия метод заменете височината с този продукт и получете доказателство за валидността на тази формула.

Чрез паралелограмните диагонали и ъгъла, които те създават при пресичане, можете също да намерите района.

Доказателство: AC и BD се пресичат, за да образуват четири триъгълника: ABE, BEC, CDE и AED. Сумата им е равна на площта на този четириъгълник.

Площта на всеки от тях ∆ може да бъде намерена чрез израза, където a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. Тъй като тогава в изчисленията се използва единична синусова стойност. Т.е. Тъй като AE + CE \u003d AC \u003d d 1 и BE + DE \u003d BD \u003d d 2, формулата за площ се свежда до:

.

Приложения във векторна алгебра

Характеристиките на съставните части на този четириъгълник са намерили приложение във векторната алгебра, а именно добавянето на два вектора. Правилото за паралелограм гласи, че ако дадените вектори и не collinear, тогава тяхната сума ще бъде равна на диагонала на тази фигура, чиито основи съответстват на тези вектори.

Доказателство: от произволно избрано начало - т.е. - изграждаме вектори и. След това изграждаме паралелограм OACB, където сегментите OA и OB са страни. По този начин ОС лежи върху вектор или сума.

Формули за изчисляване на паралелограмни параметри

Идентичността се дава при следните условия:

1. a и b, α - страни и ъгъл между тях;
2. d 1 и d 2, γ - диагонали и в точката на тяхното пресичане;
3. h a и h b - височини, спуснати в страни a и b;

Параметър	Формула
Намиране на страните
по диагоналите и косинуса на ъгъла между тях
по диагонал и отстрани
през височината и срещуположния връх
Намиране на дължината на диагоналите
по страните и размера на върховете между тях

Успоредникът е четириъгълник, в който противоположните страни са двойно успоредни.

Паралелограмът има всички свойства на четириъгълниците, но освен това има и свои отличителни черти... Познавайки ги, можем лесно да намерим двете страни и ъгли на успоредник.

Паралелограмни свойства

1. Сумата от ъглите във всеки паралелограм, както във всеки четириъгълник, е 360 °.
2. Средните линии на успоредник и неговите диагонали се пресичат в една точка и са разделени от него наполовина. Тази точка обикновено се нарича център на симетрия на успоредника.
3. Противоположните страни на успоредник винаги са равни.
4. Също така тази фигура винаги има противоположни ъгли.
5. Сумата от ъглите, които са съседни на двете страни на успоредника, винаги е 180 °.
6. Сумата от квадратите на диагоналите на успоредник е равна на два пъти сумата от квадратите на двете му съседни страни. Това се изразява с формулата:
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), където d 1 и d 2 са диагонали, a и b са съседни страни.
7. Косинусът на тъп ъгъл винаги е по-малък от нула.

Как да намерим ъглите на даден паралелограм, прилагайки тези свойства на практика? И какви други формули могат да ни помогнат с това? Помислете за специфичните задачи, които изискват: намерете ъглите на паралелограма.

Намиране на ъглите на успоредник

Случай 1. Мярката на тъп ъгъл е известна; изисква се да се намери остър ъгъл.

Пример: В паралелограм ABCD ъгъл A е 120 °. Намерете мярката на останалите ъгли.

Решение: Използвайки свойство 5, можем да намерим мярката на ъгъла B, съседен на ъгъла, даден в задачата. Тя ще бъде равна на:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

Сега, използвайки свойство # 4, определяме, че двата останали ъгъла C и D са противоположни на ъглите, които вече сме намерили. Ъгъл C е противоположен на ъгъл A, ъгъл D е противоположен на ъгъл B. Следователно те са равни на тях по двойки.

• Отговор: B \u003d 60 °, C \u003d 120 °, D \u003d 60 °

Случай 2. Дължините на страните и диагоналите са известни

В този случай трябва да използваме теоремата за косинусите.

Първо можем да изчислим косинуса на необходимия ъгъл, използвайки формулата, а след това, като използваме специална таблица, да намерим на какво е равен самият ъгъл.

За остър ъгъл формулата е:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), където
• a е необходимият остър ъгъл,
• A и B - страни на успоредник,
• d - по-малък диагонал

За тъп ъгъл формулата се променя леко:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), където
• ß е тъп ъгъл,
• A и B - страни,
• D - голям диагонал

Пример: трябва да намерите острия ъгъл на успоредник, чиито страни са 6 см и 3 см, а по-малкият диагонал е 5,2 см

Заменете стойностите във формулата за намиране на острия ъгъл:

• cosa \u003d (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) \u003d 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa \u003d 1/2. От таблицата разбираме, че желаният ъгъл е 60 °.

Паралелограм е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни, т.е.лежат на успоредни линии (фиг. 1).

Теорема 1. За свойството на страните и ъглите на успоредник. В паралелограм противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сумата от ъглите, съседни на едната страна на паралелограма, е 180 °.

Доказателства. В този успоредник ABCD нарисувайте диагонал AC и вземете два триъгълника ABC и ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠ 2 \u003d ∠ 3 (пресичащи се ъгли при успоредни линии), а AC страната е често срещана. От равенството Δ ABC \u003d Δ ADC следва, че AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Сумата от ъгли, съседни на едната страна, например ъгли A и D, е равна на 180 ° като едно- едностранно с успоредни прави линии. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че успоредните линии, отрязани от успоредните, са равни.

Следствие 1. Ако две линии са успоредни, тогава всички точки на едната линия са на еднакво разстояние от другата.

Доказателства. Всъщност, нека a || b (фиг. 3).

Нека нарисуваме от две точки B и C права b перпендикуляри BA и CD до права a. Тъй като AB || CD, тогава фигурата ABCD е успоредник и следователно AB \u003d CD.

Разстоянието между две успоредни прави линии е разстоянието от произволна точка на една от правите линии до друга права линия.

С това, което е доказано, то е равно на дължината на перпендикуляра, изтеглен от някаква точка на една от успоредните линии до друга права.

Пример 1. Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е с 25 см по-голяма от другата. Намерете страните на успоредника.

Решение. По теорема 1 противоположните страни на успоредника са равни. Нека означим едната страна на успоредника с х, другата с у. След това, по условие $$ \\ left \\ (\\ begin (матрица) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ end (матрица) \\ right. $$ Решавайки тази система, получаваме x \u003d 43, y \u003d 18. И така, страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2.

Решение. Нека Фигура 4 отговаря на условието на проблема.

Обозначаваме AB с x, а BC с y. По условие периметърът на успоредника е 10 cm, т.е. 2 (x + y) \u003d 10, или x + y \u003d 5. Периметърът на триъгълника ABD е 8 cm. И тъй като AB + AD \u003d x + y \u003d 5, тогава BD \u003d 8 - 5 \u003d 3. И така, BD \u003d 3 cm.

Пример 3. Намерете ъглите на успоредник, знаейки, че единият от тях е с 50 ° по-голям от другия.

Решение. Нека Фигура 5 отговори на условието на проблема.

Нека обозначим градусната мярка на ъгъла А до х. Тогава степенна мярка ъгъл D е равен на x + 50 °.

Ъгли BAD и ADC са вътрешни едностранни с паралелни прави AB и DC и secant AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180 °, т.е.
x + x + 50 ° \u003d 180 °, или x \u003d 65 °. По този начин ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, a ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

Пример 4. Страните на успоредника са 4,5 инча и 1,2 инча. От горната част на острия ъгъл се изчертава симетрия. Какви части тя разделя голяма страна паралелограм?

Решение. Нека Фигура 6 отговори на условието на проблема.

AE е ъглополовящата на острия ъгъл на успоредника. Следователно, ∠ 1 \u003d ∠ 2.