"Величието на човека е в способността му да мисли."
Блез Паскал.

Цели на урока:

1) Образователни- да запознаят учениците с хомогенни уравнения, да обмислят методи за тяхното решаване, да допринесат за формирането на умения за решаване на предварително изучени видове тригонометрични уравнения.

2) Развиващи се- да развиват творческата активност на учениците, тяхната познавателна дейност, логическото мислене, паметта, способността да работят в проблемна ситуация, да постигат способността правилно, последователно, рационално да изразяват мислите си, да разширяват хоризонтите на учениците и да повишават ниво на тяхната математическа култура.

3) Образователни- да се стимулира желанието за самоусъвършенстване, упорита работа, да се формира способност за правилно и точно извършване на математически бележки, да се насърчи активността, да се насърчи интересът към математиката.

Тип на урока:комбинирани.

Оборудване:

1. Перфокарти за шест ученици.
2. Карти за самостоятелна и индивидуална работа на учениците.
3. Стойки "Решаване на тригонометрични уравнения", "Числова единична окръжност".
4. Електрифицирани тригонометрични таблици.
5. Презентация на урока (Приложение 1).

По време на часовете

1. Организационен етап (2 минути)

Взаимен поздрав; проверка на готовността на учениците за урока ( работно място, външен вид); организация на вниманието.

Учителят информира учениците за темата на урока, целите (слайд 2)и обяснява, че по време на урока ще се използват раздаваните материали по бюрата.

2. Преглед на теоретичния материал (15 минути)

Задачи с перфокарта(6 души) . Работно време с перфокарти - 10 мин (Приложение 2)

Решавайки задачите, учениците ще научат къде се използват тригонометрични изчисления. Получават се следните отговори: триангулация (техника за измерване на разстояния до близки звезди в астрономията), акустика, ултразвук, томография, геодезия, криптография.

(слайд 5)

Фронтална анкета.

1. Какви уравнения се наричат ​​тригонометрични?
2. Какви тригонометрични уравнения познавате?
3. Какви уравнения се наричат ​​най -простите тригонометрични уравнения?
4. Какви уравнения се наричат ​​квадратни тригонометрични уравнения?
5. Формулирайте дефиницията на аркусинуса на числото a.
6. Формулирайте дефиницията на обратния косинус на числото a.
7. Формулирайте дефиницията на арктангенса на числото a.
8. Формулирайте дефиницията на дъговата котангента на числото a.

Игра "Познай думата за шифър"

Веднъж Блез Паскал каза, че математиката е толкова сериозна наука, че не бива да пропускате възможност да я направите малко по -забавна. Затова предлагам да играем. След като решите примерите, определете последователността от числа, от които е съставена думата за шифроване. На латински тази дума означава „синус“. (слайд 3)

2) дъга tg (-√3)

4) tg (дъга cos (1/2))

5) tg (дъга ctg √3)

Отговор: "Огънете"

Игра с отсъстващ математик»

Задачите за устна работа се проектират на екрана:

Проверете дали уравненията са решени правилно.(верният отговор се появява на слайда след отговора на ученика). (слайд 4)

Проверка на домашната работа.

Учителят установява правилността и осъзнаването на домашното от всички ученици; идентифицира пропуските в знанията; подобрява знанията, уменията и способностите на учениците в областта на решаването на най -простите тригонометрични уравнения.

1 уравнение. Ученикът коментира решението на уравнението, чиито редове се появяват на слайда в реда на коментара.) (слайд 6)

√3tg2x = 1;

tg2x = 1 / √3;

2x = arctan 1 / √3 + πn, n ∈З.

2x = π / 6 + πn, n ∈З.

x = π / 12 + π / 2 н, н ∈Z.

2 уравнение. Решение снаписани от учениците на дъската.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Актуализиране на нови знания (3 минути)

Учениците по искане на учителя си припомнят начини за решаване на тригонометрични уравнения. Те избират онези уравнения, които вече знаят как да решават, назовават начина за решаване на уравнението и резултата . Отговорите се появяват на слайда. (слайд 7) .

Въвеждаме нова променлива:

# 1. 2sin 2 x - 7sinx + 3 = 0.

Нека sinx = t, тогава:

2t 2 - 7t + 3 = 0.

Факторизация:

№2. 3sinx cos4x - cos4x = 0;

cos4x (3sinx - 1) = 0;

cos4x = 0 или 3 sinx - 1 = 0; ...

No3. 2 sinx - 3 cosx = 0,

№4. 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Учител:Все още не можете да решите последните два типа уравнения. И двамата са от един и същи вид. Те не могат да бъдат сведени до уравнение за функциите sinx или cosx. Са наречени хомогенни тригонометрични уравнения.Но само първото - хомогенно уравнениена първа степен, а втората е хомогенно уравнение на втора степен. Днес в урока ще се запознаете с такива уравнения и ще научите как да ги решавате.

4. Обясняване на новия материал (25 минути)

Учителят дава на учениците дефиниции на хомогенни тригонометрични уравнения, въвежда начини за тяхното решаване.

Определение.Уравнение от формата sinx + b cosx = 0, където a ≠ 0, b ≠ 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.(слайд 8)

Пример за такова уравнение е уравнение # 3. Нека изпишем обща формауравнение и го анализирайте.

и sinx + b cosx = 0.

Ако cosx = 0, тогава sinx = 0.

- Може ли да се развие подобна ситуация?

- Не. Получихме противоречие с основната тригонометрична идентичност.

Следователно, cosx ≠ 0. Нека разделим по член на cosx:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a- най -простото тригонометрично уравнение.

Изход:Хомогенна тригонометрични уравненияпърва степен се решават чрез разделяне на двете страни на уравнението на cosx (sinx).

Например: 2 sinx - 3 cosx = 0,

Защото cosx ≠ 0, тогава

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) + πn, n ∈Z.

Определение.Уравнение от формата sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, където a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 се нарича тригонометрично уравнение от втора степен. (слайд 8)

Пример за такова уравнение е уравнение # 4. Нека запишем общата форма на уравнението и да го анализираме.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Ако cosx = 0, тогава sinx = 0.

Отново имаме противоречие с основната тригонометрична идентичност.

Следователно, cosx ≠ 0. Нека разделим по член на cos 2 x:

и tg 2 x + b tgx + c = 0 е уравнение, което се свежда до квадрат.

Заключение: Захомогенни тригонометрични уравнения от втора степен се решават чрез разделяне на двете страни на уравнението на cos 2 x (sin 2 x).

Например: 3 sin 2 x - 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Защото cos 2 x ≠ 0, тогава

3tg 2 x - 4 tgx + 1 = 0 (Поканете ученика да отиде до дъската и да попълни уравнението сам).

Замяна: tgx = y. 3y 2 - 4 y + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 или y 2 = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctg1 + πn, n ∈Z.

x = π / 4 + πn, n ∈Z.

5. Етап на проверка на разбирането на учениците от новия материал (1 мин.)

Изберете излишното уравнение:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x - 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx - cosx = 0.

(слайд 9)

6. Закрепване на новия материал (24 минути).

Учениците, заедно с респондентите на дъската, решават уравнения по нов материал... Задачите са написани на слайд под формата на таблица. При решаване на уравнение се отваря съответната част от картината на слайда. В резултат на изпълнението на 4 уравнения пред учениците се отваря портрет на математик, който оказа значително влияние върху развитието на тригонометрията. (учениците ще разпознаят портрета на Франсоа Виета - велик математик, който има голям принос в тригонометрията, открива свойството на корените на редуцираното квадратно уравнение и се занимава с криптография) ... (слайд 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Защото cosx ≠ 0, тогава

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1 / √3;

x = arctan (–1 / √3) + πn, n ∈Z.

x = –π / 6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x - 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Защото cos 2 x ≠ 0, тогава tg 2 x - 10 tgx + 21 = 0

Замяна: tgx = y.

y 2 - 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 или y 2 = 3

tgx = 7 или tgx = 3

x = arctg7 + πn, n ∈Z

x = arctg3 + πn, n ∈Z

3) sin 2 2x - 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Защото cos 2 2x ≠ 0, след това 3tg 2 2x - 6tg2x +5 = 0

Замяна: tg2x = y.

3y 2 - 6y + 5 = 0

D = 36 - 20 = 16

y 1 = 5 или y 2 = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

2x = arctg5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctg5 + π / 2 n, n ∈Z

2х = arctg1 + πn, n ∈Z

х = π / 8 + π / 2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin (π-x) cos (2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx - sin 2 x - cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx - cos 2 x = 0.

Защото cos 2 x ≠ 0, тогава 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Замяна: tg x = y.

5y 2 + 4y - 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 или y 2 = –1

tg x = 1/5 или tg x = –1

x = arctg1 / 5 + πn, n ∈Z

х = arctan (–1) + πn, n ∈Z

х = –π / 4 + πn, n ∈Z

Допълнително (на картата):

Решете уравнението и, като изберете една от четирите предложени, отгатнете името на математика, който е извел формулите за намаляване:

2sin 2 x - 3 sinx cosx - 5cos 2 x = 0.

Опции за отговор:

х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π / 2 + πn, n ∈Z - П. Чебишев

х = arctan 12.5 + 2πn, n ∈Z х = –3π / 4 + πn, n ∈Z - Евклид

х = arctan 5 + πn, n ∈Z х = –π / 3 + πn, n ∈Z - София Ковалевская

х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π / 4 + πn, n ∈Z - Леонард Ойлер

Правилен отговор: Леонард Ойлер.

7. Диференцирана самостоятелна работа (8 минути)

Великият математик и философ преди повече от 2500 години предложи начин за развитие на мисловните способности. „Мисленето започва с изненада“, каза той. Днес се убедихме в правилността на тези думи. След като завършите самостоятелна работа по 2 варианта, ще можете да покажете как сте усвоили материала и да разберете името на този математик. За самостоятелна работаизползвайте подадените материали на бюрата си. Можете да изберете едно от трите предложени уравнения. Но не забравяйте, че решаването на уравнението, съответстващо на жълто, можете да получите само "3", като решите уравнението, съответстващо на зелено - "4", червено - "5". (Приложение 3)

Каквото и ниво на трудност да изберат учениците, след това правилното решениена уравнението, първата версия получава думата „ARIST“, втората - „HOTEL“. На слайда получавате думата: „ARIST-HOTEL“. (слайд 11)

Листовки с независима работа се предоставят за проверка. (Приложение 4)

8. Записване на домашна работа (1 мин.)

D / z: §7.17. Създайте и разрешете 2 хомогенни уравнения от първа степен и 1 хомогенно уравнение от втора степен (използвайки теоремата на Виета за съставяне). (слайд 12)

9. Обобщаване на урока, присвояване на оценки (2 минути)

Учителят отново обръща внимание на онези типове уравнения и онези теоретични факти, които бяха припомнени в урока, говори за необходимостта да ги научите.

Учениците отговарят на въпроси:

1. Какви тригонометрични уравнения сме срещали?
2. Как се решават тези уравнения?

Учителят отбелязва най -много успешна работав урока на отделни ученици, дава оценки.

Нелинейни уравнения в две неизвестни

Определение 1. Нека A е някакво набор от двойки числа (х; y). Казват, че на множеството А е дадено числова функция z на две променливи x и y, ако е посочено правило, според което всяка двойка числа от множеството А е свързана с определено число.

Често определянето на числова функция z в две променливи x и y е често означаватТака:

където е (х , y) - всяка функция, различна от функция

е (х , y) = ax + by + c ,

където a, b, c са дадени числа.

Определение 3. Чрез решаване на уравнение (2)обадете се на чифт числа ( х; y), за която формулата (2) е истинско равенство.

Пример 1. Решете уравнението

Тъй като квадратът на всяко число е неотрицателен, от формула (4) следва, че неизвестните x и y отговарят на системата от уравнения

чието решение е чифт числа (6; 3).

Отговор: (6; 3)

Пример 2. Решете уравнението

Следователно решението на уравнение (6) е безкраен брой двойки числамил

(1 + y ; y) ,

където y е произволно число.

линейна

Определение 4. Чрез решаване на системата от уравнения

обадете се на чифт числа ( х; y), когато се замести във всяко от уравненията на тази система, се получава правилното равенство.

Системите от две уравнения, едното от които е линейно, имат формата

g(х , y)

Пример 4. Решете система от уравнения

Решение . Нека изразим неизвестното y от първото уравнение на система (7) чрез неизвестното x и заместваме получения резултат във второто уравнение на системата:

Решаване на уравнението

х 1 = - 1 , х 2 = 9 .

Следователно,

y 1 = 8 - х 1 = 9 ,
y 2 = 8 - х 2 = - 1 .

Системи от две уравнения, едното от които е хомогенно

Системите от две уравнения, едното от които е хомогенно, имат формата

където a, b, c са дадени числа и g(х , y) Е функция от две променливи x и y.

Пример 6. Решете система от уравнения

Решение . Решете хомогенното уравнение

3х 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3х 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

като го разглеждаме като квадратно уравнение за неизвестното x:

.

В случая, когато х = - 5y, от второто уравнение на система (11) получаваме уравнението

5y 2 = - 20 ,

която няма корени.

В случая, когато

от второто уравнение на система (11) получаваме уравнението

,

вкоренени от числа y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Намирайки съответната стойност x за всяка от тези y стойности, получаваме две решения на системата: ( - 2; 3), (2; - 3).

Отговор: ( - 2; 3), (2; - 3)

Примери за решаване на системи от уравнения от друг тип

Пример 8. Решаване на системата от уравнения (MIPT)

Решение . Въвеждаме нови неизвестни u и v, които се изразяват чрез x и y чрез формулите:

За да пренапишем системата (12) като нови неизвестни, първо изразяваме неизвестните x и y чрез u и v. От система (13) следва, че

Нека решим линейната система (14), като изключим променливата x от второто уравнение на тази система. За тази цел извършваме следните трансформации над система (14):

• първото уравнение на системата ще остане непроменено;
• извадете първото уравнение от второто уравнение и заменете второто уравнение на системата с получената разлика.

В резултат на това система (14) се трансформира в еквивалентна система

от които откриваме

Използвайки формули (13) и (15), пренаписваме оригиналната система (12) във формата

За система (16) първото уравнение е линейно, така че можем да изразим от него непознатото u чрез неизвестното v и да заменим този израз във второто уравнение на системата.

Днес ще се заемем с хомогенни тригонометрични уравнения. Първо, нека разберем терминологията: какво е хомогенно тригонометрично уравнение. Той има следните характеристики:

1. трябва да има няколко термина;
2. всички термини трябва да имат еднаква степен;
3. всички функции, включени в хомогенна тригонометрична идентичност, задължително трябва да имат един и същ аргумент.

Алгоритъм за решаване

Нека да отделим условията

И ако всичко е ясно с първата точка, тогава си струва да поговорим за втората по -подробно. Какво означава същата степен на термини? Нека да разгледаме първата задача:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Първият член в това уравнение е 3cosx 3 \ cos х. Моля, обърнете внимание, че тук има само една тригонометрична функция - cosx\ cos x - и никакво друго тригонометрични функциитук не присъства, така че степента на този термин е 1. Същото с втория - 5sinx 5 \ sin x - тук присъства само синус, тоест степента на този член също е равна на единица. И така, пред нас е идентичност, състояща се от два елемента, всеки от които съдържа тригонометрична функция и в същото време само един. Това е уравнение от първа степен.

Преминаваме към втория израз:

4грях2 x + sin2x - 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Първият член на тази конструкция е 4грях2 х 4 ((\ sin) ^ (2)) x.

Вече можем да напишем следното решение:

грях2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

С други думи, първият член съдържа две тригонометрични функции, тоест степента му е две. Нека се заемем с втория елемент - sin2x\ sin 2x. Нека си припомним тази формула - формулата с двоен ъгъл:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

И отново в получената формула имаме две тригонометрични функции - синус и косинус. По този начин експоненциалната стойност на този термин също е две.

Преминаваме към третия елемент - 3. От курса по математика в гимназията помним, че всяко число може да се умножи по 1, затова пишем:

˜ 3=3⋅1

Единицата, използваща основната тригонометрична идентичност, може да бъде записана в следната форма:

1=грях2 x⋅ cos2 х

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Следователно можем да пренапишем 3, както следва:

3=3(грях2 x⋅ cos2 х)=3грях2 x + 3 cos2 х

3 = 3 \ наляво (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ надясно) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Така нашият термин 3 беше разделен на два елемента, всеки от които е хомогенен и има втора степен. Синусът в първия член се среща два пъти, косинусът във втория също два пъти. По този начин 3 може да бъде представено и като термин с степен на степен два.

Третият израз е същият:

грях3 x + грях2 xcosx = 2 cos3 х

Да видим. Първият термин е грях3 х((\ sin) ^ (3)) x е тригонометрична функция от трета степен. Вторият елемент е грях2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

грях2 ((\ sin) ^ (2)) е връзка със стойност на мощност две, умножена по cosx\ cos x е първият член. Общо третият термин също има стойност на мощност три. И накрая, има още една връзка вдясно - 2cos3 х 2 ((\ cos) ^ (3)) x е елемент от трета степен. По този начин имаме пред себе си хомогенно тригонометрично уравнение от трета степен.

Записали сме три идентичности с различна степен. Забележете отново втория израз. В първоначалната нотация един от членовете има аргумент 2x 2x. Ние сме принудени да се отървем от този аргумент, като го преобразуваме съгласно формулата с двойно ъглов синус, защото всички функции, включени в нашата идентичност, задължително трябва да имат един и същ аргумент. И това е изискване за хомогенни тригонометрични уравнения.

Използваме формулата на основната тригонометрична идентичност и записваме крайното решение

Разбрахме условията, нека преминем към решението. Независимо от степента на мощност, решението на равенства от този тип винаги се извършва в две стъпки:

1) докажете това

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. За това е достатъчно да си припомним формулата на основната тригонометрична идентичност (грях2 x⋅ cos2 x = 1)\ left (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ right) и заменете в тази формула cosx = 0\ cos x = 0. Получаваме следния израз:

грях2 x = 1sinx = ± 1

\ start (подравняване) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ край (подравняване)

Подмяна на получените стойности, т.е. вместо cosx\ cos x е нула и вместо sinx\ sin x - 1 или -1, в първоначалния израз получаваме невалидно числово равенство. Това е обосновката, която

cosx ≠ 0

2) втората стъпка следва логически от първата. Дотолкова доколкото

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, разделяме двете страни на конструкцията на cosнх((\ cos) ^ (n)) x, където н n е самата степенна степен на хомогенно тригонометрично уравнение. Какво ни дава:

\ [\ begin (масив) ((35) (l))

sinxcosx= tgxcosxcosx=1

\ begin (align) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ край (подравняване) \\ () \\ \ end (масив) \]

Поради това нашата тромава първоначална конструкция се свежда до уравнението н n-степен по отношение на допирателната, решението на която е лесно да се запише с променливо заместване. Това е целият алгоритъм. Нека да видим как работи на практика.

Решаваме реални проблеми

Проблем номер 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Вече установихме, че това е хомогенно тригонометрично уравнение с степен на степен, равна на единица. Ето защо, първо, нека разберем това cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Да приемем обратното, че

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1.

Замествайки получената стойност в нашия израз, получаваме:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ start (подравняване) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ наляво (\ pm 1 \ надясно) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ край (подравняване)

Въз основа на това можем да кажем, че cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Разделяме нашето уравнение на cosx\ cos x, защото целият ни израз има степен на единица. Получаваме:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ begin (align) & 3 \ left (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ right) +5 \ left (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ right) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ край (подравняване)

Това не е таблична стойност, така че отговорът ще включва arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ вляво (- \ frac (3) (5) \ вдясно) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Дотолкова доколкото arctg arctg arctg е нечетна функция, можем да извадим "минуса" от аргумента и да го поставим пред arctg. Получаваме окончателния отговор:

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Проблем номер 2

4грях2 x + sin2x - 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Както си спомняте, преди да започнете да го решавате, трябва да направите някои трансформации. Извършваме трансформации:

4грях2 x + 2sinxcosx - 3 (грях2 x + cos2 х)=0 4грях2 x + 2sinxcosx - 3 грях2 x - 3 cos2 x = 0грях2 x + 2sinxcosx - 3 cos2 x = 0

\ begin (подравняване) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ вляво (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2)) x \ вдясно) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ край (подравняване)

Имаме структура, състояща се от три елемента. В първия мандат виждаме грях2 ((\ sin) ^ (2)), тоест стойността на мощността му е две. Във втория мандат, виждаме sinx\ sin x и cosx\ cos x - отново има две функции, те се умножават, така че общата мощност отново е две. В третата връзка виждаме cos2 х((\ cos) ^ (2)) x - същото като първата стойност.

Нека докажем това cosx = 0\ cos x = 0 не е решение на тази конструкция. За да направите това, приемете обратното:

\ [\ begin (масив) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ наляво (\ pm 1 \ надясно) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ край (масив) \]

Доказали сме това cosx = 0\ cos x = 0 не може да бъде решение. Преминаваме към втората стъпка - разделяме целия си израз на cos2 х((\ cos) ^ (2)) x. Защо на квадрат? Тъй като показателят на това хомогенно уравнение е два:

грях2 хcos2 х+2sinxcosxcos2 х−3=0 T g2 x + 2tgx - 3 = 0

\ begin (подравняване) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx -3 = 0 \\\ край (подравняване)

Възможно ли е да се реши този израз с помощта на дискриминанта? Сигурен. Но предлагам да си припомним теоремата, обратна теорема Vieta и получаваме, че този полином може да бъде представен под формата на два прости полинома, а именно:

(tgx + 3) (tgx - 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (align) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx -1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ край (подравняване)

Много студенти питат дали си струва да се пишат отделни коефициенти за всяка група от решения на идентичности или да не се притесняват и да пишат един и същ навсякъде. Лично аз смятам, че е по -добре и по -надеждно да се използват различни букви, така че в случай, че влезете в сериозен технически университет с допълнителни тестове по математика, оценителите да не намират грешки в отговора.

Проблем номер 3

грях3 x + грях2 xcosx = 2 cos3 х

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Вече знаем, че това е хомогенно тригонометрично уравнение от трета степен, не са необходими специални формули и всичко, което се изисква от нас, е да прехвърлим члена 2cos3 х 2 ((\ cos) ^ (3)) x вляво. Пренаписваме:

грях3 x + грях2 xcosx - 2 cos3 x = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Виждаме, че всеки елемент съдържа три тригонометрични функции, така че това уравнение има степен на степен, равна на три. Ние го решаваме. Първо, трябва да докажем това cosx = 0\ cos x = 0 не е корен:

\ [\ begin (масив) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ край (масив) \]

Нека включим тези числа в нашата оригинална конструкция:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ begin (align) & ((\ left (\ pm 1 \ right)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ край (подравняване)

Следователно, cosx = 0\ cos x = 0 не е решение. Доказали сме това cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. След като доказахме това, разделяме първоначалното си уравнение на cos3 х((\ cos) ^ (3)) x. Защо на куб? Тъй като току -що доказахме, че първоначалното ни уравнение е трета степен:

грях3 хcos3 х+грях2 xcosxcos3 х−2=0 T g3 x + t g2 x - 2 = 0

\ begin (подравняване) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac (((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x -2 = 0 \\\ край (подравняване)

Нека въведем нова променлива:

tgx = t

Пренаписваме конструкцията:

T3 +T2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Пред нас кубично уравнение... Как да го решим? Първоначално, когато само съставях този видеоурок, планирах предварително да говоря за факторинг полиноми и други техники. Но в този случай всичко е много по -просто. Вижте, нашата намалена идентичност, с термина с най -висока степен, е 1. Освен това всички коефициенти са цели числа. И това означава, че можем да използваме следствието от теоремата на Безоут, което гласи, че всички корени са делители на числото -2, тоест свободния член.

Възниква въпросът: какво е разделението на -2. Тъй като 2 е просто число, няма толкова много опции. Това могат да бъдат следните числа: 1; 2; -1; -2. Отрицателните корени отпадат веднага. Защо? Тъй като и двата модула са по -големи от 0 по модул, следователно, T3 ((t) ^ (3)) ще бъде по -голям по модул от T2 ((t) ^ (2)). И тъй като кубът е нечетна функция, следователно числото в куба ще бъде отрицателно и T2 ((t) ^ (2)) - положително, и цялата тази конструкция, за t = −1 t = -1 и t = −2 t = -2, ще бъде не повече от 0. Извадете -2 от него и получете число, което със сигурност е по -малко от 0. Остават само 1 и 2. Нека заменим всяко от тези числа:

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ към \ text () 1 + 1-2 = 0 \ до 0 = 0

Получихме правилното числово равенство. Следователно, t = 1 t = 1 е корен.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ до 8 + 4-2 = 0 \ до 10 \ ne 0

t = 2 t = 2 не е корен.

Според следствието и същата теорема на Безоут всеки полином, чийто корен е х0 ((x) _ (0)), представляват под формата:

Q (x) = (x = х0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

В нашия случай в ролята х x е променлива T t, и в ролята х0 ((x) _ (0)) - корен, равен на 1. Получаваме:

T3 +T2 −2 = (t - 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t -1) \ cdot P (t)

Как да намерим полином P (T) P \ наляво (t \ надясно)? Очевидно е, че трябва да направите следното:

P (t) = T3 +T2 −2 t - 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t -1)

Заместник:

T3 +T2 + 0⋅t - 2t - 1=T2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

И така, нашият първоначален полином се разделя без остатък. По този начин можем да пренапишем първоначалното си равенство като:

(t - 1) ( T2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. Вече разгледахме първия фактор. Нека да разгледаме второто:

T2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Опитните студенти вероятно вече са разбрали това този дизайнняма корени, но нека все пак изчислим дискриминанта.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Дискриминантът е по -малък от 0, следователно изразът няма корени. Като цяло огромната конструкция е сведена до обичайното равенство:

\ [\ begin (масив) ((35) (l))

t = \ text () 1 \\ tgx = \ text () 1 \\ x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () k, k \ in Z \\\ край (масив) \]

В заключение бих искал да добавя няколко коментара към последната задача:

1. дали условието винаги ще бъде изпълнено cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0 и струва ли си изобщо да се проверява. Разбира се, не винаги. В случаите, когато cosx = 0\ cos x = 0 е решението на нашето равенство, трябва да го извадите от скобите и тогава в скобите ще остане пълноценно хомогенно уравнение.
2. какво е разделянето на полином на полином. Всъщност повечето училища не изучават това и когато учениците за първи път видят такава структура, те изпитват лек шок. Но всъщност е просто и приятно посрещане, което значително улеснява решаването на уравненията по -високи степени... Разбира се, на него ще бъде посветен отделен видеоурок, който ще публикувам в близко бъдеще.

Ключови точки

Хомогенните тригонометрични уравнения са любима тема за всички видове контролни работи... Те се решават много просто - достатъчно е да практикувате веднъж. За да стане ясно за какво говорим, ще въведем ново определение.

Еднородно тригонометрично уравнение е това, при което всеки ненулев член се състои от същия брой тригонометрични фактори. Това могат да бъдат синуси, косинуси или техните комбинации - методът на решение винаги е един и същ.

Степента на хомогенно тригонометрично уравнение е броят на тригонометричните фактори, включени в ненулеви термини. Примери:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ text (cos) x = 0 - идентичност от 1 -ва степен;

2 sin2x + 5sinxcosx - 8cos2x = 0

2 \ text (sin) 2x + 5 \ sin xcosx -8 \ cos 2x = 0 - 2 -ра степен;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3 -та степен;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - и това уравнение не е хомогенно, тъй като вдясно има такова - ненулев член, в който няма тригонометрични фактори;

sin2x + 2sinx - 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 също е нехомогенно уравнение. Елемент sin2x\ sin 2x - втора степен (тъй като можете да представлявате

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x е първото и терминът 3 обикновено е нула, тъй като в него няма синуси или косинуси.

Обща схема на решение

Схемата на решение винаги е една и съща:

Нека се преструваме на това cosx = 0\ cos x = 0. Тогава sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - това следва от основната идентичност. Заместител sinx\ sin x и cosx\ cos x към оригиналния израз и ако резултатът е глупост (например изразът 5=0 5 = 0), преминете към втората точка;

Разделяме всичко по силата на косинуса: cosx, cos2x, cos3x ... - зависи от степента на степента на уравнението. Получаваме обичайното равенство с допирателни, което успешно се решава след замяна на tgx = t.

tgx = t Намерените корени ще бъдат отговорът на оригиналния израз.

В тази статия ще разгледаме начин за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

Хомогенните тригонометрични уравнения имат същата структура като хомогенните уравнения от всеки друг вид. Нека ви напомня начин за решаване на хомогенни уравнения от втора степен:

Помислете за хомогенни уравнения на формата

Отличителни черти на хомогенните уравнения:

а) всички мономи имат еднаква степен,

б) свободният срок е нула,

в) уравнението съдържа степени с две различни основи.

Хомогенните уравнения се решават с помощта на подобен алгоритъм.

За да решите уравнение от този тип, разделете двете страни на уравнението с (може да бъде разделено на или от)

Внимание! Когато разделяте дясната и лявата страна на уравнението с израз, съдържащ неизвестното, можете да загубите корени. Следователно е необходимо да се провери дали корените на израза, с който разделяме двете страни на уравнението, не са корените на първоначалното уравнение.

Ако е така, тогава изписваме този корен, за да не го забравим по -късно и след това разделяме с този израз.

Като цяло, на първо място, когато решавате всяко уравнение, от дясната страна на което има нула, трябва да се опитате да разширите лява странауравнения на мултипликатора по достъпен начин... И след това приравнете всеки фактор към нула. В този случай определено няма да загубим корените си.

Така че, внимателно разделете лявата страна на уравнението на термин по термин. Получаваме:

Намалете числителя и знаменателя на втората и третата дроб:

Нека въведем заместител:

Получаваме квадратно уравнение:

Нека решим квадратното уравнение, да намерим стойностите и след това да се върнем към първоначалното неизвестно.

Когато решавате хомогенни тригонометрични уравнения, трябва да имате предвид няколко важни неща:

1. Прихващането може да се трансформира в квадрата на синуса и косинуса, като се използва основната тригонометрична идентичност:

2. Синусът и косинусът на двоен аргумент са мономи от втора степен - синусът на двоен аргумент може лесно да се преобразува в произведението на синус и косинус, а косинусът на двоен аргумент - в квадрата на синус или косинус:

Нека разгледаме няколко примера за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

1. Нека решим уравнението:

то класически примерхомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: степента на всеки едночлен е равна на единица, свободният член е нула.

Преди да разделите двете страни на уравнението с, трябва да проверите дали корените на уравнението не са корените на първоначалното уравнение. Проверете: if, then title = "(! LANG: sin (x) 0">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Разделете двете страни на уравнението на.

Получаваме:

, където

, където

Отговор: , където

2. Нека решим уравнението:

Това е пример за хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Помним, че ако можем да разложим лявата страна на уравнението, тогава е препоръчително да го направим. В това уравнение можем да извадим скобите. Хайде да го направим:

Решение на първото уравнение :, където

Второто уравнение е хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го разрешим, разделяме двете страни на уравнението на. Получаваме:

Отговор: къде,

3. Нека решим уравнението:

За да направите това уравнение "хомогенно", трансформирайте го в продукт и представете числото 3 като сума от квадратите на синуса и косинуса:

Преместете всички термини наляво, разгънете скобите и дайте подобни термини. Получаваме:

Факторизирайте лявата страна и задайте всеки фактор равен на нула:

Отговор: къде,

4. Нека решим уравнението:

Виждаме какво можем да извадим от скобите. Хайде да го направим:

Нека приравним всеки фактор към нула:

Решение на първото уравнение:

Второто уравнение на популацията е класическото хомогенно уравнение от втора степен. Корените на уравнението не са корените на първоначалното уравнение, затова разделяме двете страни на уравнението с:

Решение на първото уравнение:

Решение на второто уравнение.

Тема на урока: „Хомогенни тригонометрични уравнения“

(10 клас)

Цел: въведе концепцията за хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степен; да формулира и изработи алгоритъм за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степен; научете учениците да решават хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степен; развиват способността да идентифицират модели, да обобщават; стимулират интереса към темата, развиват чувство за солидарност и здравословна конкуренция.

Тип на урока: урок за формиране на нови знания.

Форма на изпълнение: работа в групи.

Оборудване: компютър, мултимедийна инсталация

По време на часовете

Организиране на времето

Поздравете учениците, мобилизирайте вниманието.

В урока системата за оценяване на оценката на знанията (учителят обяснява системата за оценка на знанията, попълвайки листа за оценка от независим експерт, избран от учителя измежду учениците). Урокът е придружен от презентация. .

Актуализиране на основните знания.

Домашната работа се преглежда и оценява от независим експерт и консултанти преди урока и се попълва протокол.

Учителят обобщава домашното.

Учител: Продължаваме да изучаваме темата „Тригонометрични уравнения“. Днес в урока ще ви опознаем с друг тип тригонометрични уравнения и методи за тяхното решаване и затова ще повторим наученото. При решаване на всички видове тригонометрични уравнения те се свеждат до решаване на най -простите тригонометрични уравнения.

Проверява се индивидуалната домашна работа, изпълнена в групи. Защита на презентацията "Решения на най -простите тригонометрични уравнения"

(Работата на групата се оценява от независим експерт)

Мотивация за учене.

Учител: трябва да работим върху решаването на кръстословицата. След като го решихме, ще научим името на нов тип уравнения, които ще се научим да решаваме днес в урока.

Въпросите се проектират върху дъската. Учениците се досещат, че независимият изпитващ вписва точки в листа за оценка за отговарящите ученици.

След като решат кръстословицата, момчетата ще прочетат думата „хомогенна“.

Усвояване на нови знания.

Учител: Темата на урока е „Хомогенни тригонометрични уравнения“.

Нека запишем темата на урока в тетрадка. Хомогенните тригонометрични уравнения са от първа и втора степен.

Нека запишем определението за хомогенно уравнение от първа степен. Използвайки пример, показвам решението на този вид уравнение, съставяте алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

Уравнение на формата а sinx + б cosx = 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

Помислете за решението на уравнението, когато коефициентите аи vразличен от 0.

Пример: sinx + cosx = 0

R Разделяйки двете страни на уравнението термин по термин от cosx, получаваме

Внимание! Възможно е да се раздели на 0 само ако този израз никъде не се обърне на 0. Нека анализираме. Ако косинусът е 0, тогава синусът ще бъде равен на 0, като се има предвид, че коефициентите са различни от 0, но знаем, че синусът и косинусът изчезват в различни точки. Следователно тази операция може да се извърши при решаване на този тип уравнения.

Алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: разделяне на двете страни на уравнението на cosx, cosx 0

Уравнение на формата а sin mx +б cos mx = 0се нарича също хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен и разделянето на двете страни на уравнението от косинуса mх също е решено.

Уравнение на формата а грях 2 x +б sinx cosx +° С cos2x = 0наречено хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

Пример : грях 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 x = 0

Коефициентът a е различен от 0 и следователно, подобно на предишното уравнение, cosx не е равен на 0 и следователно можете да използвате метода за разделяне на двете страни на уравнението на cos 2 x.

Получаваме tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Решаваме чрез въвеждане на нова променлива let tgx = a, след което получаваме уравнението

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Обратно към подмяната

Отговор:

Ако коефициентът a = 0, тогава уравнението ще приеме формата 2sinx cosx - 3cos2x = 0, като вземе общия фактор cosx извън скобите. Ако коефициентът c = 0, тогава уравнението ще приеме формата sin2x + 2sinx cosx = 0, като вземе общия фактор sinx извън скобите. Алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен:

Вижте дали уравнението съдържа термина asin2 x.

Ако терминът asin2 x се съдържа в уравнението (т.е. a 0), тогава уравнението се решава чрез разделяне на двете страни на уравнението с cos2x и след това се въвежда нова променлива.

Ако терминът asin2 x не се съдържа в уравнението (т.е. a = 0), тогава уравнението се решава чрез метода на факторизация: cosx се изважда от скобите. Хомогенните уравнения от вида sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 се решават по същия начин

Алгоритъмът за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения е написан в учебника на страница 102.

Физическо възпитание

Формиране на умения за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения

Отваряне на книги с проблеми 53

1-ва и 2-ра групи решават No 361-v

3-та и 4-та групи решават No 363-v

Те показват решението на дъската, обясняват, допълват. Независим експерт оценява.

Решение на примери от проблемната книга № 361-v
sinx - 3cosx = 0
разделяме двете страни на уравнението на cosx 0, получаваме

No 363-v
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
разделим двете страни на уравнението на cos2x, получаваме tg2x + tgx - 2 = 0

решаваме чрез въвеждане на нова променлива
нека tanx = a, тогава получаваме уравнението
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
обратно към подмяна

Независима работа.

Решете уравненията.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

В края на независимата работа работата и взаимната проверка се променят. Правилните отговори се проектират върху дъската.

След това наемат независим експерт.

Решение за самостоятелна работа

Обобщаване на урока.

Какви тригонометрични уравнения срещнахме в урока?

Алгоритъм за решаване на тригонометрични уравнения от първа и втора степен.

Домашно задание: § Прочетете 20.3. № 361 (г), 363 (б), допълнителна трудност № 380 (а).

Кръстословица.

Ако въведете правилните думи, получавате името на един от типовете тригонометрични уравнения.

Стойността на променлива, която прави уравнението вярно? (Корен)

Ъглова единица? (Радиан)

Числен фактор в продукт? (Коефициент)

Клон на математиката, който изучава тригонометрични функции? (Тригонометрия)

Какъв математически модел е необходим за въвеждане на тригонометрични функции? (Кръг)

Коя от тригонометричните функции е четна? (Косинус)

Как се нарича правилно равенство? (Идентичност)

Равенство с променлива? (Уравнението)

Уравнения със същите корени? (Еквивалентен)

Множеството корени на уравнението ? (Решение)

Документ за оценка

№
n \ n

Фамилия, име на учителя

Домашна работа

Презентация

Познавателна дейност
проучване

Решаване на уравнения

Аз
Работа

Домашна работа - 12 точки (3 уравнения 4 x 3 = 12 са зададени на къщата)

Презентация - 1 точка

Ученическа дейност - 1 отговор - 1 точка (максимум 4 точки)

Решаване на уравнения 1 точка

Самостоятелна работа - 4 точки

Оценка на групата:

„5“ - 22 точки или повече
„4“ - 18 - 21 точки
„3“ - 12 - 17 точки