Днес ще се заемем с хомогенни тригонометрични уравнения. Първо, нека разберем терминологията: какво е хомогенно тригонометрично уравнение. Той има следните характеристики:

1. трябва да съдържа няколко термина;
2. всички термини трябва да имат една и съща степен;
3. всички функции, включени в хомогенна тригонометрична идентичност, задължително трябва да имат един и същ аргумент.

Алгоритъм за решаване

Нека отделим термините

И ако всичко е ясно с първата точка, тогава си струва да говорим за втората по-подробно. Какво означава една и съща степен на термини? Нека да разгледаме първата задача:

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Първият член в това уравнение е 3cosx 3 \ cos x. Моля, имайте предвид, че тук има само една тригонометрична функция - cosx\ cos x - и не повече други тригонометрични функциине присъства тук, следователно степента на този член е 1. Същото и с втория - 5sinx 5 \ sin x - тук присъства само синус, тоест степента на този член също е равна на единица. И така, пред нас е идентичност, състояща се от два елемента, всеки от които съдържа тригонометрична функция и в същото време само един. Това е уравнение от първа степен.

Преминаваме към втория израз:

4грях2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Първият член на тази конструкция е 4грях2 х 4 ((\ sin) ^ (2)) x.

Сега можем да напишем следното решение:

грях2 x = sinx⋅sinx

((\ sin) ^ (2)) x = \ sin x \ cdot \ sin x

С други думи, първият член съдържа две тригонометрични функции, тоест степента му е две. Нека се занимаваме с втория елемент - sin2x\ грях 2x. Нека запомним тази формула - формулата за двоен ъгъл:

sin2x = 2sinx⋅cosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cdot \ cos x

И отново в получената формула имаме две тригонометрични функции - синус и косинус. По този начин експоненциалната стойност на този член също е две.

Преминаваме към третия елемент - 3. От курса по математика гимназияпомним, че всяко число може да се умножи по 1, така че пишем:

˜ 3=3⋅1

И единицата, използваща основната тригонометрична идентичност, може да бъде написана в следната форма:

1=грях2 x⋅ cos2 х

1 = ((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x

Следователно можем да пренапишем 3, както следва:

3=3(грях2 x⋅ cos2 х)=3грях2 х + 3 cos2 х

3 = 3 \ вляво (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x \ вдясно) = 3 ((\ sin) ^ (2)) x + 3 (( \ cos) ^ (2)) x

Така нашият член 3 беше разделен на два елемента, всеки от които е хомогенен и има втора степен. Синусът в първия член се среща два пъти, косинусът във втория също два пъти. По този начин 3 може да бъде представено и като член с степенен показател от две.

Третият израз е същият:

грях3 х + грях2 xcosx = 2 cos3 х

Да видим. Първият мандат е грях3 х((\ sin) ^ (3)) x е тригонометрична функция от трета степен. Вторият елемент е грях2 xcosx((\ sin) ^ (2)) x \ cos x.

грях2 ((\ sin) ^ (2)) е връзка със стойност на степен две, умножена по cosx\ cos x е първият член. Общо третият член също има стойност на мощност от три. И накрая, има още една връзка вдясно - 2cos3 х 2 ((\ cos) ^ (3)) x е елемент от трета степен. По този начин имаме пред нас еднородно тригонометрично уравнение от трета степен.

Записали сме три самоличности с различни степени. Отбележете отново втория израз. В оригиналната нотация един от членовете има аргумент 2x 2x. Принудени сме да се отървем от този аргумент, като го трансформираме според синуса на формулата за двоен ъгъл, тъй като всички функции, включени в нашата идентичност, задължително трябва да имат същия аргумент. А това е изискване за хомогенни тригонометрични уравнения.

Използваме формулата на основната тригонометрична идентичност и записваме крайното решение

Разбрахме условията, нека да преминем към решението. Независимо от експонента, решението на равенства от този тип винаги се извършва в две стъпки:

1) докажи това

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0. За това е достатъчно да си припомним формулата на основната тригонометрична идентичност (грях2 x⋅ cos2 х = 1)\ вляво (((\ sin) ^ (2)) x \ cdot ((\ cos) ^ (2)) x = 1 \ вдясно) и заместете в тази формула cosx = 0\ cos x = 0. Получаваме следния израз:

грях2 х = 1sinx = ± 1

\ начало (подравняване) & ((\ sin) ^ (2)) x = 1 \\ & \ sin x = \ pm 1 \\\ край (подравняване)

Заместване на получените стойности, т.е. вместо cosx\ cos x е нула и вместо sinx\ sin x - 1 или -1, в оригиналния израз получаваме невалидно числово равенство. Това е обосновката, че

cosx ≠ 0

2) втората стъпка следва логически от първата. Дотолкова доколкото

cosx ≠ 0

\ cos x \ ne 0, разделяме и двете си страни на конструкцията на cosнх((\ cos) ^ (n)) x, където н n е степенният показател на хомогенно тригонометрично уравнение. Какво ни дава:

\ [\ начало (масив) ((35) (l))

sinxcosx= tgxcosxcosx=1

\ начало (подравняване) & \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \\ & \ frac (\ cos x) (\ cos x) = 1 \\\ край (подравняване) \\ () \\ \ край (масив) \]

Поради това нашата тромава първоначална конструкция се свежда до уравнението н n-степен по отношение на допирателната, чието решение е лесно да се напише с помощта на променлива промяна. Това е целият алгоритъм. Нека видим как работи на практика.

Решаваме реални проблеми

Проблем номер 1

3cosx + 5sinx = 0

3 \ cos x + 5 \ sin x = 0

Вече разбрахме, че това е хомогенно тригонометрично уравнение със степенен показател равен на единица. Затова, първо, нека разберем това cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Да приемем обратното, че

cosx = 0 → sinx = ± 1

\ cos x = 0 \ to \ sin x = \ pm 1.

Замествайки получената стойност в нашия израз, получаваме:

3⋅0+5⋅(± 1) = 0± 5 = 0

\ начало (подравняване) & 3 \ cdot 0 + 5 \ cdot \ ляво (\ pm 1 \ дясно) = 0 \\ & \ pm 5 = 0 \\\ край (подравняване)

Въз основа на това можем да кажем, че cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. Разделете нашето уравнение на cosx\ cos x, защото целият ни израз има степенна стойност от единица. Получаваме:

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3 + 5tgx = 0tgx = - 3 5

\ начало (подравняване) & 3 \ наляво (\ frac (\ cos x) (\ cos x) \ надясно) +5 \ наляво (\ frac (\ sin x) (\ cos x) \ вдясно) = 0 \\ & 3 + 5tgx = 0 \\ & tgx = - \ frac (3) (5) \\\ край (подравняване)

Това не е таблична стойност, така че отговорът ще включва arctgx arctgx:

x = arctg (−3 5 ) + π n, n∈Z

x = arctg \ left (- \ frac (3) (5) \ right) + \ text () \! \! \ pi \! \! \ text () n, n \ in Z

Дотолкова доколкото arctg arctg arctg е странна функция, можем да извадим "минус" от аргумента и да го поставим преди arctg. Получаваме окончателния отговор:

x = −arctg 3 5 + π n, n∈Z

x = -arctg \ frac (3) (5) + \ текст () \! \! \ pi \! \! \ текст () n, n \ in Z

Проблем номер 2

4грях2 x + sin2x − 3 = 0

4 ((\ sin) ^ (2)) x + \ sin 2x-3 = 0

Както си спомняте, преди да започнете да го решавате, трябва да направите някои трансформации. Извършваме трансформации:

4грях2 x + 2sinxcosx − 3 (грях2 х + cos2 х)=0 4грях2 x + 2sinxcosx − 3 грях2 x − 3 cos2 х = 0грях2 x + 2sinxcosx − 3 cos2 х = 0

\ начало (подравняване) & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 \ вляво (((\ sin) ^ (2)) x + ((\ cos) ^ ( 2 )) x \ вдясно) = 0 \\ & 4 ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ sin) ^ (2)) x-3 ((\ cos ) ^ (2)) x = 0 \\ & ((\ sin) ^ (2)) x + 2 \ sin x \ cos x-3 ((\ cos) ^ (2)) x = 0 \\\ край (подравняване)

Получихме структура, състояща се от три елемента. В първия мандат виждаме грях2 ((\ sin) ^ (2)), тоест експоненциалната му стойност е две. Във втория мандат виждаме sinx\ sin x и cosx\ cos x - отново има две функции, те се умножават, така че общата мощност отново е две. В третата връзка виждаме cos2 х((\ cos) ^ (2)) x - подобно на първата стойност.

Нека докажем това cosx = 0\ cos x = 0 не е решение на тази конструкция. За да направите това, приемете обратното:

\ [\ начало (масив) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \\ pm 1 \\ 1 + 2 \ cdot \ вляво (\ pm 1 \ вдясно) \ cdot 0-3 \ cdot 0 = 0 \\ 1 + 0-0 = 0 \ \ 1 = 0 \\\ край (масив) \]

Доказахме това cosx = 0\ cos x = 0 не може да бъде решение. Преминаваме към втората стъпка - разделяме целия си израз на cos2 х((\ cos) ^ (2)) x. Защо на квадрат? Тъй като степента на това хомогенно уравнение е две:

грях2 хcos2 х+2sinxcosxcos2 х−3=0 T ж2 x + 2tgx − 3 = 0

\ начало (подравняване) & \ frac (((\ sin) ^ (2)) x) (((\ cos) ^ (2)) x) +2 \ frac (\ sin x \ cos x) (((\ cos) ^ (2)) x) -3 = 0 \\ & t ((g) ^ (2)) x + 2tgx-3 = 0 \\\ край (подравняване)

Възможно ли е да се реши този израз с помощта на дискриминанта? Сигурен. Но предлагам да запомним теоремата, обратна теорема Vieta и получаваме, че този полином може да бъде представен под формата на два прости полинома, а именно:

(tgx + 3) (tgx − 1) = 0tgx = −3 → x = −arctg3 + π n, n∈Ztgx = 1 → x = π 4 + π k, k∈Z

\ begin (подравняване) & \ left (tgx + 3 \ right) \ left (tgx-1 \ right) = 0 \\ & tgx = -3 \ to x = -arctg3 + \ text () \! \! \ pi \ ! \! \ text () n, n \ in Z \\ & tgx = 1 \ to x = \ frac (\ text () \! \! \ pi \! \! \ text ()) (4) + \ текст () \! \! \ pi \! \! \ текст () k, k \ в Z \\\ край (подравняване)

Много студенти питат дали си струва да се пишат отделни коефициенти за всяка група решения на идентичности или да не се притесняват и да пишат един и същ навсякъде. Лично аз смятам, че е по-добре и по-надеждно да използвате различни букви, така че в случай, че влезете в сериозен технически университет с допълнителни тестове по математика, оценителите да не намерят грешка в отговора.

Проблем номер 3

грях3 х + грях2 xcosx = 2 cos3 х

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x = 2 ((\ cos) ^ (3)) x

Вече знаем, че това е хомогенно тригонометрично уравнение от трета степен, не са необходими специални формули и всичко, което се изисква от нас, е да прехвърлим члена 2cos3 х 2 ((\ cos) ^ (3)) x вляво. Пренаписваме:

грях3 х + грях2 xcosx − 2 cos3 х = 0

((\ sin) ^ (3)) x + ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x-2 ((\ cos) ^ (3)) x = 0

Виждаме, че всеки елемент съдържа три тригонометрични функции, така че това уравнение има стойност на степен, равна на три. Ние го решаваме. Преди всичко трябва да докажем това cosx = 0\ cos x = 0 не е корен:

\ [\ начало (масив) ((35) (l))

\ cos x = 0 \\\ sin x = \ pm 1 \\\ край (масив) \]

Нека включим тези числа в нашата оригинална конструкция:

(± 1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ± 1 + 0−0 = 0± 1 = 0

\ начало (подравняване) & ((\ вляво (\ pm 1 \ вдясно)) ^ (3)) + 1 \ cdot 0-2 \ cdot 0 = 0 \\ & \ pm 1 + 0-0 = 0 \\ & \ pm 1 = 0 \\\ край (подравняване)

следователно, cosx = 0\ cos x = 0 не е решение. Доказахме това cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0. След като доказахме това, разделяме нашето първоначално уравнение на cos3 х((\ cos) ^ (3)) x. Защо кубичен? Защото току-що доказахме, че нашето първоначално уравнение е от трета степен:

грях3 хcos3 х+грях2 xcosxcos3 х−2=0 T ж3 x + t ж2 x − 2 = 0

\ begin (подравняване) & \ frac (((\ sin) ^ (3)) x) (((\ cos) ^ (3)) x) + \ frac ((\ sin) ^ (2)) x \ cos x) (((\ cos) ^ (3)) x) -2 = 0 \\ & t ((g) ^ (3)) x + t ((g) ^ (2)) x-2 = 0 \\\ край (подравняване)

Нека представим нова променлива:

tgx = t

Пренаписваме конструкцията:

T3 +T2 −2=0

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = 0

Пред нас кубично уравнение... Как да го реша? Първоначално, когато току-що компилирах този видео урок, планирах предварително да говоря за разлагането на полиноми и други техники. Но в в такъв случайвсичко е много по-просто. Вижте, нашата намалена идентичност с термина с най-висока степен е 1. Освен това всички коефициенти са цели числа. Това означава, че можем да използваме следствието от теоремата на Безут, която гласи, че всички корени са делители на числото -2, тоест на свободния член.

Възниква въпросът: какво е делението на -2. Тъй като 2 е просто число, няма толкова много опции. Това могат да бъдат следните числа: 1; 2; -1; -2. Отрицателните корени отпадат незабавно. Защо? Тъй като и двете са по-големи от 0 по модул, следователно, T3 ((t) ^ (3)) ще бъде по-голямо по модул от T2 ((t) ^ (2)). И тъй като кубът е нечетна функция, следователно числото в куба ще бъде отрицателно и T2 ((t) ^ (2)) - положителен, и цялата тази конструкция, за t = −1 t = -1 и t = −2 t = -2, няма да бъде повече от 0. Извадете -2 от него и ще получите число, което със сигурност е по-малко от 0. Остават само 1 и 2. Нека заместим всяко от тези числа:

˜ t = 1 → 1 + 1−2 = 0 → 0 = 0

˜t = 1 \ към \ текст () 1 + 1-2 = 0 \ до 0 = 0

Получихме правилното числово равенство. следователно, t = 1 t = 1 е корен.

t = 2 → 8 + 4−2 = 0 → 10 ≠ 0

t = 2 \ до 8 + 4-2 = 0 \ до 10 \ ne 0

t = 2 t = 2 не е корен.

Според следствието и същата теорема на Безут, всеки полином, чийто корен е х0 ((x) _ (0)), представляват във формата:

Q (x) = (x = х0 ) P (x)

Q (x) = (x = ((x) _ (0))) P (x)

В нашия случай в ролята х x е променливата T t и в ролята х0 ((x) _ (0)) - корен равен на 1. Получаваме:

T3 +T2 −2 = (t − 1) ⋅P (t)

((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2 = (t-1) \ cdot P (t)

Как да намерим полином П (T) P \ ляво (t \ дясно)? Очевидно трябва да направите следното:

P (t) = T3 +T2 −2 t − 1

P (t) = \ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) - 2) (t-1)

Ние заместваме:

T3 +T2 + 0⋅t − 2t − 1=T2 + 2t + 2

\ frac (((t) ^ (3)) + ((t) ^ (2)) + 0 \ cdot t-2) (t-1) = ((t) ^ (2)) + 2t + 2

И така, нашето оригинално полиномно разделяне без остатък. По този начин можем да пренапишем нашето първоначално равенство като:

(t − 1) ( T2 + 2t + 2) = 0

(t-1) (((t) ^ (2)) + 2t + 2) = 0

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Вече разгледахме първия фактор. Нека да разгледаме втория:

T2 + 2t + 2 = 0

((t) ^ (2)) + 2t + 2 = 0

Опитните студенти вероятно вече са разбрали това този дизайнняма корени, но все пак нека изчислим дискриминанта.

D = 4−4⋅2 = 4−8 = −4

D = 4-4 \ cdot 2 = 4-8 = -4

Дискриминантът е по-малък от 0, следователно изразът няма корени. Като цяло огромната конструкция е сведена до обичайното равенство:

\ [\ начало (масив) ((35) (l))

t = \ текст () 1 \\ tgx = \ текст () 1 \\ x = \ frac (\ текст () \! \! \ pi \! \! \ текст ()) (4) + \ текст () \! \! \ pi \! \! \ текст () k, k \ в Z \\\ край (масив) \]

В заключение бих искал да добавя няколко коментара относно последната задача:

1. дали условието винаги ще бъде изпълнено cosx ≠ 0\ cos x \ ne 0 и струва ли си да проверяваме изобщо. Разбира се, не винаги. В случаите, когато cosx = 0\ cos x = 0 е решението на нашето равенство, трябва да го извадите от скобите и тогава в скобите ще остане пълноценно хомогенно уравнение.
2. какво е деленето на полином на полином. Всъщност повечето училища не изучават това и когато учениците видят такава структура за първи път, те изпитват лек шок. Но всъщност е просто и приятно посрещане, което значително улеснява решаването на уравненията по-високи степени... Разбира се, на него ще бъде посветен отделен видеоурок, който ще публикувам в близко бъдеще.

Ключови точки

Хомогенните тригонометрични уравнения са любима тема за всички видове контролни работи... Решават се много просто - достатъчно е да практикувате веднъж. За да стане ясно за какво говорим, ще въведем ново определение.

Хомогенно тригонометрично уравнение е това, в което всеки ненулев член се състои от същия брой тригонометрични фактори. Може да са синуси, косинуси или техни комбинации - методът на решение винаги е един и същ.

Степента на хомогенно тригонометрично уравнение е броят на тригонометричните фактори, включени в ненулеви термини. Примери:

sinx + 15 cos x = 0

\ sin x + 15 \ текст (cos) x = 0 - идентичност на 1-ва степен;

2 sin2x + 5sinxcosx − 8cos2x = 0

2 \ текст (sin) 2x + 5 \ sin xcosx-8 \ cos 2x = 0 - 2-ра степен;

sin3x + 2sinxcos2x = 0

\ sin 3x + 2 \ sin x \ cos 2x = 0 - 3-та степен;

sinx + cosx = 1

\ sin x + \ cos x = 1 - и това уравнение не е хомогенно, тъй като вдясно има едно - ненулев член, в който няма тригонометрични фактори;

sin2x + 2sinx − 3 = 0

\ sin 2x + 2 \ sin x-3 = 0 също е нехомогенно уравнение. елемент sin2x\ sin 2x - втора степен (тъй като можете да представлявате

sin2x = 2sinxcosx

\ sin 2x = 2 \ sin x \ cos x), 2sinx 2 \ sin x е първият, а членът 3 обикновено е нула, тъй като в него няма синуси или косинуси.

Обща схема на решение

Схемата за решение винаги е една и съща:

Нека се преструваме cosx = 0\ cos x = 0. Тогава sinx = ± 1\ sin x = \ pm 1 - това следва от основната идентичност. Заместител sinx\ sin x и cosx\ cos x към оригиналния израз и ако резултатът е безсмислен (например изразът 5=0 5 = 0), преминете към втората точка;

Разделяме всичко на степента на косинуса: cosx, cos2x, cos3x ... - зависи от стойността на степента на уравнението. Получаваме обичайното равенство с допирателни, което се решава успешно след замяна на tgx = t.

tgx = tНамерените корени ще бъдат отговорът на оригиналния израз.

Тема на урока: "Хомогенни тригонометрични уравнения"

(10 клас)

Цел: въвеждат понятието хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степени; формулира и изработва алгоритъм за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степени; обучават учениците да решават хомогенни тригонометрични уравнения от I и II степени; развиват способността за идентифициране на модели, обобщаване; стимулират интереса към темата, развиват чувство за солидарност и здравословна конкуренция.

Тип урок: урок за формиране на нови знания.

Форма на провеждане: работа в групи.

Оборудване: компютър, мултимедийна инсталация

По време на занятията

Организиране на времето

Поздравете учениците, мобилизирайте вниманието.

В урока рейтинговата система за оценяване на знанията (учителят обяснява системата за оценяване на знанията, попълвайки листа за оценка от независим експерт, избран от учителя измежду учениците). Урокът е придружен от презентация. .

Актуализиране на основни знания.

Домашната работа се преглежда и оценява от независим експерт и консултанти преди урока и се попълва лист с резултати.

Учителят обобщава домашното.

учител: Продължаваме да изучаваме темата "Тригонометрични уравнения". Днес в урока ще ви запознаем с друг вид тригонометрични уравнения и методи за решаването им и затова ще повторим наученото. При решаването на всички видове тригонометрични уравнения те се свеждат до решаването на най-простите тригонометрични уравнения.

Проверява се индивидуалната домашна работа, изпълнена в групи. Защита на презентация "Решения на най-простите тригонометрични уравнения"

(Работата на групата се оценява от независим експерт)

Мотивация за учене.

учител: трябва да работим върху решаването на кръстословицата. След като го решим, ще научим името на нов тип уравнения, които ще се научим да решаваме днес в урока.

Въпросите се проектират на дъската. Студентите предполагат, независимият изпитващ вписва точки в листа за оценяване на отговорилите ученици.

След като са решили кръстословицата, момчетата ще прочетат думата „хомогенна“.

Усвояване на нови знания.

учител: Темата на урока е „Хомогенни тригонометрични уравнения“.

Нека запишем темата на урока в тетрадка. Еднородните тригонометрични уравнения са от първа и втора степен.

Нека запишем определението на хомогенно уравнение от първа степен. Използвам пример, за да покажа решението на този вид уравнение, вие съставяте алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

Уравнение на формата а sinx + б cosx = 0 се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

Помислете за решението на уравнението, когато коефициентите аи vразличен от 0.

пример: sinx + cosx = 0

Р Разделяйки двете страни на уравнението член по член на cosx, получаваме

Внимание! Възможно е да се дели на 0 само ако този израз никъде не се превръща в 0. Нека анализираме. Ако косинусът е 0, тогава синусът ще бъде равен на 0, като се има предвид, че коефициентите са различни от 0, но знаем, че синусът и косинусът изчезват в различни точки. Следователно тази операция може да се извърши при решаване на този тип уравнение.

Алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен: разделяне на двете страни на уравнението на cosx, cosx 0

Уравнение на формата а sin mx +б cos mx = 0се нарича също хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен и разделянето на двете страни на уравнението по косинус mх също се решава.

Уравнение на формата а грях 2 х +б sinx cosx +° С cos2x = 0наречен хомогенен тригонометрично уравнениевтора специалност.

Пример : грях 2 x + 2sinx cosx - 3cos 2 х = 0

Коефициентът a е различен от 0 и следователно, подобно на предишното уравнение, cosx не е равен на 0 и следователно можете да използвате метода за разделяне на двете страни на уравнението на cos 2 x.

Получаваме tg 2 x + 2tgx - 3 = 0

Решаваме, като въвеждаме нова променлива нека tgx = a, след което получаваме уравнението

a 2 + 2a - 3 = 0

D = 4 - 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Обратно към подмяната

Отговор:

Ако коефициентът a = 0, тогава уравнението ще приеме формата 2sinx cosx - 3cos2x = 0, който решаваме, като поставим общия фактор cosx извън скобите. Ако коефициентът c = 0, тогава уравнението ще приеме формата sin2x + 2sinx cosx = 0, като изнесе общия фактор sinx извън скобите. Алгоритъм за решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен:

Вижте дали уравнението съдържа члена asin2 x.

Ако терминът asin2 x се съдържа в уравнението (т.е. a 0), тогава уравнението се решава чрез разделяне на двете страни на уравнението на cos2x и след това въвеждане на нова променлива.

Ако терминът asin2 x не се съдържа в уравнението (т.е. a = 0), тогава уравнението се решава по метода на факторизация: cosx се изважда от скобите. По същия начин се решават хомогенни уравнения от вида a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0

Алгоритъмът за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения е написан в учебника на страница 102.

Физическо възпитание

Формиране на умения за решаване на хомогенни тригонометрични уравнения

Отваряне на проблемни книги стр. 53

1-ва и 2-ра групи решават No 361-в

3-та и 4-та група решават No 363-в

Показват решението на дъската, обясняват, допълват. Независим експерт оценява.

Решение на примери от задачник No 361-v
sinx - 3cosx = 0
разделяме двете страни на уравнението на cosx 0, получаваме

бр.363-в
sin2x + sinxcosx - 2cos2x = 0
разделим двете страни на уравнението на cos2x, получаваме tg2x + tgx - 2 = 0

решаваме чрез въвеждане на нова променлива
нека tgx = a, тогава получаваме уравнението
a2 + a - 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
обратно към подмяната

Самостоятелна работа.

Решете уравненията.

2 cosx - 2 = 0

2cos2x - 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx - 2 cos2x = 0

Накрая самостоятелна работасмяна работи и взаимна проверка. Верните отговори се проектират на дъската.

След това дават под наем независим експерт.

Решение за самостоятелна работа

Обобщаване на урока.

Какви тригонометрични уравнения срещнахме в урока?

Алгоритъм за решаване на тригонометрични уравнения от първа и втора степен.

Домашна задача: § Прочетете 20.3. No 361 (d), 363 (b), допълнителна трудност No 380 (a).

кръстословица.

Ако въведете правилните думи, ще получите името на един от видовете тригонометрични уравнения.

Стойността на променлива, която прави уравнението вярно? (корен)

Ъгъл единица? (радиан)

Числен фактор в продукт? (коефициент)

Клон от математиката, който изучава тригонометрични функции? (тригонометрия)

Какъв математически модел е необходим за въвеждане на тригонометрични функции? (кръг)

Коя тригонометрична функция е четна? (косинус)

Как се нарича правилно равенство? (самоличност)

Равенство с променлива? (уравнението)

Уравнения със същите корени? (Еквивалентен)

Набор от корени на уравнение ? (Решение)

Документ за оценка

№
n \ n

Фамилия, име на учителя

Домашна работа

Презентация

Когнитивна дейност
проучване

Решаване на уравнения

Себе си
Работете

Домашна работа - 12 точки (3 уравнения 4 x 3 = 12 бяха присвоени на къщата)

Презентация - 1 точка

Дейност на учениците - 1 отговор - 1 точка (максимум 4 точки)

Решаване на уравнения 1 точка

Самостоятелна работа - 4 точки

Оценка към групата:

“5” - 22 точки или повече
“4” - 18 - 21 точки
“3” - 12 - 17 точки

Спри се! Нека все пак се опитаме да разберем тази тромава формула.

На първо място трябва да бъде първата променлива до степен с определен коефициент. В нашия случай е така

В нашия случай е така. Както разбрахме, това означава, че тук степента при първата променлива се сближава. И втората променлива от първа степен е на мястото си. Коефициент.

имаме го.

Първата променлива е по мощност, а втората е на квадрат, с коефициент. Това е последният член в уравнението.

Както можете да видите, нашето уравнение отговаря на определението на формула.

Нека разгледаме втората (вербална) част от определението.

Имаме две неизвестни и. Тук се сближава.

Помислете за всички условия. В тях сумата от степените на неизвестните трябва да е еднаква.

Сборът от градусите е.

Сборът от степените е равен на (за и за).

Сборът от градусите е.

Както виждате, всичко пасва!

Сега нека се упражняваме в дефинирането хомогенни уравнения.

Определете кое от уравненията е хомогенно:

Хомогенни уравнения - номерирани уравнения:

Нека разгледаме уравнението отделно.

Ако разделим всеки член чрез разширяване на всеки член, получаваме

И това уравнение напълно попада под определението за хомогенни уравнения.

Как се решават хомогенни уравнения?

Пример 2.

Разделете уравнението на.

По условие y не може да бъде равно на нас. Следователно можем безопасно да разделим на

Чрез замяната получаваме проста квадратно уравнение:

Тъй като това е намалено квадратно уравнение, ние използваме теоремата на Vieta:

След като направихме обратното заместване, получаваме отговора

Отговор:

Пример 3.

Разделете уравнението на (по условие).

Отговор:

Пример 4.

Намерете ако.

Тук не е нужно да разделяте, а да умножавате. Нека умножим цялото уравнение по:

Нека направим замяната и да решим квадратното уравнение:

След като направихме обратната подмяна, получаваме отговора:

Отговор:

Решаване на хомогенни тригонометрични уравнения.

Решаването на хомогенни тригонометрични уравнения не се различава от описаните по-горе решения. Само тук, наред с други неща, трябва да знаете малко тригонометрия. И да можете да решавате тригонометрични уравнения (за това можете да прочетете раздела).

Нека разгледаме такива уравнения с примери.

Пример 5.

Решете уравнението.

Виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни, и сумата от техните мощности във всеки член е равна.

Такива хомогенни уравнения не са трудни за решаване, но преди да разделите уравненията на, разгледайте случая, когато

В този случай уравнението ще приеме формата:, тогава. Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, тъй като според основната тригонометрична идентичност. Следователно можем спокойно да го разделим:

Тъй като уравнението е редуцирано, то по теоремата на Виета:

Отговор:

Пример 6.

Решете уравнението.

Както в примера, трябва да разделите уравнението на. Помислете за случая, когато:

Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни едновременно, тъй като според основната тригонометрична идентичност. Ето защо.

Нека направим заместването и решим квадратното уравнение:

Нека направим обратната замяна и да намерим и:

Отговор:

Решаване на хомогенни експоненциални уравнения.

Хомогенните уравнения се решават по същия начин като разгледаните по-горе. Ако сте забравили как да решавате експоненциални уравнения, вижте съответния раздел ()!

Нека разгледаме няколко примера.

Пример 7.

Решете уравнението

Нека си представим как:

Виждаме типично хомогенно уравнение с две променливи и сума от степени. Разделете уравнението на:

Както можете да видите, извършвайки заместването, получаваме редуцираното квадратно уравнение (в този случай няма нужда да се страхувате от деление на нула - то винаги е строго по-голямо от нула):

По теоремата на Виета:

Отговор: .

Пример 8.

Решете уравнението

Нека си представим как:

Разделете уравнението на:

Нека направим замяната и да решим квадратното уравнение:

Коренът не отговаря на условието. Нека направим обратна замяна и да намерим:

Отговор:

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Първо, използвайки един проблем като пример, нека ви напомня какво представляват хомогенните уравнения и какво е решението на хомогенните уравнения.

Реши задачата:

Намерете ако.

Тук можете да забележите едно любопитно нещо: ако разделите всеки термин на, получаваме:

Тоест, сега няма отделни и, - сега променливата в уравнението е необходимата стойност... И това е обикновено квадратно уравнение, което може лесно да бъде решено с помощта на теоремата на Виета: произведението на корените е равно, а сборът е числата и.

Отговор:

Уравнения на формата

наречен хомогенен. Тоест, това е уравнение с две неизвестни, всеки член от които има еднакъв сбор от степените на тези неизвестни. Например в примера по-горе тази сума е. Решаването на хомогенни уравнения се извършва чрез разделяне на една от неизвестните до тази степен:

И последващата подмяна на променливи:. Така получаваме уравнение на степен с едно неизвестно:

Най-често ще се сблъскаме с уравнения от втора степен (тоест квадратни) и сме в състояние да ги решим:

Обърнете внимание, че разделянето (и умножаването) на цялото уравнение по променлива е възможно само ако сме убедени, че тази променлива не може да бъде нула! Например, ако ни помолят да намерим, ние веднага разбираме това, тъй като е невъзможно да се разделим. В случаите, когато това не е толкова очевидно, е необходимо да се провери отделно случая, когато тази променлива е равна на нула. Например:

Решете уравнението.

Решение:

Тук виждаме типично хомогенно уравнение: и са неизвестни, и сумата от техните степени във всеки член е равна.

Но преди да разделим на и да получим квадратно уравнение за, трябва да разгледаме случая, когато. В този случай уравнението ще приеме формата:, следователно,. Но синусът и косинусът не могат да бъдат равни на нула едновременно, тъй като според основната тригонометрична идентичност:. Следователно можем спокойно да го разделим:

Надяваме се, че това решение е напълно ясно? Ако не, прочетете раздела. Ако не е ясно откъде идва, трябва да се върнете още по-рано - в раздела.

Решете сами:

1. Намерете ако.
2. Намерете ако.
3. Решете уравнението.

Тук ще напиша накратко директно решението на хомогенни уравнения:

Решения:

Отговор: .

И тук не трябва да разделяме, а да умножаваме:

Отговор:

Ако все още не сте правили тригонометрични уравнения, можете да пропуснете този пример.

Тъй като тук трябва да разделим на, нека първо се уверим, че не е равно на нула:

Това е невъзможно.

Отговор: .

ХОМОГЕННИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Решението на всички хомогенни уравнения се свежда до делене на една от неизвестните по степен и по-нататък чрез промяна на променливите.

алгоритъм:

С този видео урок учениците ще могат да изследват темата за хомогенните тригонометрични уравнения.

Нека дадем определения:

1) хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен изглежда като sin x + b cos x = 0;

2) хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен изглежда като sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.

Разгледайте уравнението a sin x + b cos x = 0. Ако a е равно на нула, тогава уравнението ще изглежда като b cos x = 0; ако b е нула, тогава уравнението ще изглежда като sin x = 0. Това са уравненията, които нарекохме най-прости и решени по-рано в предишните теми.

Сега нека разгледаме опцията, когато a и b не са равни на нула. Чрез разделяне на частите на уравнението на косинус x и извършване на трансформацията. Получаваме a tg x + b = 0, тогава tg x ще бъде равно на - b / a.

От горното следва, че уравнението a sin mx + b cos mx = 0 е хомогенно тригонометрично уравнение от степен I. За да се реши уравнението, частите му се разделят на cos mx.

Нека разгледаме пример 1. Решете 7 sin (x / 2) - 5 cos (x / 2) = 0. Първо, разделете частите на уравнението на косинус (x / 2). Знаейки, че синусът, разделен на косинус, е тангенсът, получаваме 7 tg (x / 2) - 5 = 0. Преобразувайки израза, откриваме, че стойността на тангенса (x / 2) е 5/7. Решението на това уравнение има формата х = arctan a + πn, в нашия случай х = 2 arctan (5/7) + 2πn.

Разгледайте уравнението a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

1) с равно на нула, уравнението ще изглежда като b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразувайки, получаваме израза cos x (b sin x + c cos x) = 0 и пристъпваме към решаването на две уравнения. След разделяне на частите на уравнението на косинус x, получаваме b tg x + c = 0, което означава tg x = - c / b. Знаейки, че x = arctan a + πn, тогава решението в този случай ще бъде x = arctan (- c / b) + πn.

2) ако a не е равно на нула, тогава, като разделим частите на уравнението на косинус на квадрат, получаваме уравнение, съдържащо допирателната, която ще бъде квадратна. Това уравнение може да бъде решено чрез въвеждане на нова променлива.

3) за с равно на нула, уравнението ще приеме формата a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Това уравнение може да бъде решено, като се извади синусът x от скобата.

1. вижте дали има грях 2 x в уравнението;

2. ако членът a sin 2 x се съдържа в уравнението, тогава уравнението може да бъде решено чрез разделяне на двете части на косинуса на квадрат и след това въвеждане на нова променлива.

3. ако в уравнението не се съдържа sin 2 x, тогава уравнението може да бъде решено, като се извади cosx от скоби.

Нека разгледаме пример 2. Нека извадим косинуса от скоби и ще получим две уравнения. Коренът на първото уравнение е x = π / 2 + πn. За да решим второто уравнение, разделяме частите на това уравнение на косинус x, като преобразуваме получаваме x = π / 3 + πn. Отговор: x = π / 2 + πn и x = π / 3 + πn.

Нека решим пример 3, уравнението от вида 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и намерим неговите корени, които принадлежат на отсечката от - π до π. Защото това уравнение е нехомогенно, необходимо е да го приведем до хомогенна форма. Използвайки формулата sin 2 x + cos 2 x = 1, получаваме уравнението sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделяйки всички части на уравнението на cos 2 x, получаваме tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0 Използвайки въвеждането на новата променлива z = tg 2x, решаваме уравнението, чийто корен ще бъде z = 1. Тогава tg 2x = 1, откъдето следва, че x = π / 8 + ( πn) / 2. Защото според условието на задачата, трябва да намерите корените, които принадлежат на отсечката от - π до π, решението ще има формата - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ТЕКСТ КОД:

Хомогенни тригонометрични уравнения

Днес ще анализираме как се решават "Хомогенните тригонометрични уравнения". Това са уравнения от специален вид.

Нека се запознаем с определението.

Уравнение на формата и sin x +бcosх = 0 (и синусът x плюс косинус x е равен на нула) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен;

уравнение на формата и sin 2 x +бгрях хcosх+ сcos 2 х= 0 (и синус квадрат х плюс е синус х косинус х плюс se косинус на квадрат х е равно на нула) се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен.

Ако а = 0, тогава уравнението приема формата бcosх = 0.

Ако б = 0 , тогава получаваме и sin x = 0.

Тези уравнения са елементарни тригонометрични и ние разгледахме тяхното решение в предишните ни теми

Обмислислучай, когато и двата коефициента не са равни на нула. Разделете двете страни на уравнението агряхх+ бcosх = 0 срок от cosх.

Можем да направим това, тъй като косинусът x е различен от нула. В крайна сметка, ако cosх = 0 , след това уравнението агряхх+ бcosх = 0 ще приеме формата агряхх = 0 , а≠ 0, следователно гряхх = 0 ... Което е невъзможно, защото според основната тригонометрична идентичност грях 2 х +cos 2 х=1 .

Разделяне на двете страни на уравнението агряхх+ бcosх = 0 срок от cosх, получаваме: + = 0

Нека извършим трансформациите:

1. Тъй като = tg x, тогава =a tg x

2 отрязани от cosх, тогава

Така получаваме следния израз a tg x + b = 0.

Нека извършим трансформацията:

1. преместете b в дясната страна на израза с противоположен знак

a tg x = - b

2. Отървете се от множителя и разделяне на двете страни на уравнението на a

tg x = -.

Заключение: Уравнение на формата и грехамх +бcosmx = 0 (и синусът em x плюс be косинус em x е равен на нула) се нарича също хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен. За да го решите, разделете и двете части на cosmx.

ПРИМЕР 1. Решете уравнението 7 sin - 5 cos = 0 (седем синус x по два минус пет косинус x по два е равно на нула)

Решение. Разделете двете страни на члена на уравнението на cos, получаваме

1. = 7 tg (тъй като съотношението на синус към косинус е допирателна, тогава седем синус x на две, разделено на косинус x на две, е равно на 7 тангенс x по две)

2. -5 = -5 (при намаляване на cos)

Ето как получихме уравнението

7tg - 5 = 0, Преобразуваме израза, преместваме минус пет от дясната страна, променяйки знака.

Доведохме уравнението до вида tg t = a, където t =, a =. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност а и тези решения имат формата

x = arctan a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще има вида:

Arctg + πn, намерете x

x = 2 арктан + 2πn.

Отговор: x = 2 arctan + 2πn.

Преминаваме към хомогенното тригонометрично уравнение от втора степен

аsin 2 x + b sin x cos x +сcos 2 x = 0.

Нека разгледаме няколко случая.

I. Ако а = 0, тогава уравнението приема формата бгряххcosх+ сcos 2 х= 0.

При решаване на дтогава уравненията използват метода на факторизация. Извеждам cosхв скоби и вземете: cosх(бгряхх+ сcosх)= 0 ... Където cosх= 0 или

b sin x +сcos x = 0.И ние вече знаем как да решим тези уравнения.

Разделяме двете страни на члена на уравнението на cosx, получаваме

1 (тъй като отношението на синус към косинус е тангенс).

Така получаваме уравнението: б tg x + c = 0

Доведохме уравнението до вида tg t = a, където t = x, a =. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност аи тези решения имат формата

x = arctan a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще бъде:

x = арктан + πn,.

II. Ако а ≠ 0, тогава разделяме двете страни на члена на уравнението по член на cos 2 х.

(Аргументирайки по същия начин, както в случая на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, косинусът x не може да изчезне).

III. Ако c = 0, тогава уравнението приема формата агрях 2 х+ бгряххcosх= 0. Това уравнение се решава по метода на факторизация (изваждаме гряххизвън скоби).

Следователно при решаването на уравнението агрях 2 х+ бгряххcosх+ сcos 2 х= 0 можете да действате според алгоритъма:

ПРИМЕР 2. Решете уравнението sinxcosx - cos 2 x = 0 (синус x по косинус x минус корен от три пъти косинус на квадрат x е нула).

Решение. Фактор (поставете cosx извън скобата). Получаваме

cos x (sin x - cos x) = 0, т.е. cos x = 0 или sin x - cos x = 0.

Отговор: x = + πn, x = + πn.

ПРИМЕР 3. Решете уравнението 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 (три синусоида на два x минус двойното произведение на синуса на две x и косинуса на две x плюс три косинуса на квадрат от две x) и намерете неговите корени, принадлежащи на интервала (- π; π).

Решение. Това уравнение не е хомогенно, така че нека направим някои трансформации. Заменете числото 2 от дясната страна на уравнението с произведението 2 1

Тъй като според основното тригонометрично тъждество sin 2 x + cos 2 x = 1, тогава

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = отваряйки скобите получаваме: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1 = 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Така че уравнението 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x + 3cos 2 2x = 2 ще приеме формата:

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + 3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x = 0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x + cos 2 2x = 0.

Получава се хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен. Нека приложим метода на деление по член по cos 2 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.

Нека представим нова променлива z = tg2x.

Имаме z 2 - 2 z + 1 = 0. Това е квадратно уравнение. Забелязвайки от лявата страна на формулата за намалено умножение - квадрата на разликата (), получаваме (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Да се ​​върнем към обратната промяна:

Доведохме уравнението до вида tg t = a, където t = 2x, a = 1. И тъй като това уравнение има решение за всяка стойност аи тези решения имат формата

x = arctan x a + πn, тогава решението на нашето уравнение ще бъде:

2x = arctg1 + πn,

x = +, (x е равно на сумата от pi по осем и pi en по две).

Остава да намерим такива стойности на x, които се съдържат в интервала

(- π; π), т.е. удовлетворяват двойното неравенство - π х π. Защото

x = +, след това - π + π. Разделете всички части на това неравенство на π и умножете по 8, получаваме

преместете 1 надясно и наляво, като промените знака на минус едно

разделено на четири получаваме,

за удобство изберете цели части на дроби

-

Това неравенство се удовлетворява от следното цяло число n: -2, -1, 0, 1

Последната подробност как се решават задачи C1 от изпита по математика е решение на хомогенни тригонометрични уравнения.Ще ви кажем как да ги решите в този последен урок.

Какви са тези уравнения? Нека ги напишем в общи линии.

$$ a \ sin x + b \ cos x = 0, $$

където `a` и` b` са някои константи. Това уравнение се нарича хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен.

Хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен

За да решите такова уравнение, трябва да го разделите на `\ cos x`. След това ще приеме формата

$$ \ нова команда (\ tg) (\ mathop (\ mathrm (tg))) a \ tg x + b = 0. $$

Отговорът на такова уравнение лесно се записва в термините на арктангенса.

Забележете, че `\ cos x ≠ 0`. За да сме сигурни в това, заместваме нула в уравнението вместо косинус и получаваме, че синусът също трябва да е равен на нула. Те обаче не могат да бъдат равни на нула едновременно, което означава, че косинусът не е нула.

Някои от задачите на тазгодишния реален изпит бяха сведени до хомогенно тригонометрично уравнение. Следвайте връзката към. Ще вземем малко опростена версия на проблема.

Първи пример. Решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен

$$ \ sin x + \ cos x = 0. $$

Разделете на `\ cos x`.

$$ \ tg x + 1 = 0, $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

Отново подобна задача беше на Единния държавен изпит :) разбира се, все още трябва да изберете корените, но това също не трябва да създава особени затруднения.

Нека сега да преминем към следващия тип уравнение.

Хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен

Като цяло изглежда така:

$$ a \ sin ^ 2 x + b \ sin x \ cos x + c \ cos ^ 2 x = 0, $$

където `a, b, c` са някои константи.

Такива уравнения се решават чрез разделяне на `\ cos ^ 2 x` (което отново не е равно на нула). Нека да вземем пример веднага.

Втори пример. Решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен

$$ \ sin ^ 2 x - 2 \ sin x \, \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = 0. $$

Разделете на `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x - 2 \ tg x -3 = 0. $$

Заменете `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 - 2t -3 = 0, $$

$$ t_1 = 3, \ t_2 = -1. $$

Обратна подмяна

$$ \ tg x = 3, \ текст (или) \ tg x = -1, $$

$$ x = \ arctan (3) + \ pi k, \ text (или) x = - \ frac (\ pi) (4) + \ pi k. $$

Отговорът е получен.

Трети пример. Решаване на хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2. $$

Всичко би било наред, но това уравнение не е хомогенно - пречи ни "-2" от дясната страна. Какво да правя? Нека използваме основната тригонометрична идентичност и да запишем `-2` с нея.

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x = -2 (\ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x ), $$

$$ - \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - 3 \ cos ^ 2 x + 2 \ sin ^ 2 x + 2 \ cos ^ 2 x = 0, $$

$$ \ sin ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ sin x \ cos x - \ cos ^ 2 x = 0. $$

Разделете на `\ cos ^ 2 x`.

$$ (\ tg) ^ 2 x + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) \ tg x - 1 = 0, $$

Замяна `t = \ tg x`.

$$ t ^ 2 + \ frac (2 \ sqrt (2)) (3) t - 1 = 0, $$

$$ t_1 = \ frac (\ sqrt (3)) (3), \ t_2 = - \ sqrt (3). $$

След като извършихме обратната подмяна, получаваме:

$$ \ tg x = \ frac (\ sqrt (3)) (3) \ текст (или) \ tg x = - \ sqrt (3). $$

$$ x = - \ frac (\ pi) (3) + \ pi k, \ x = \ frac (\ pi) (6) + \ pi k. $$

Това е последният пример в този урок.

Както обикновено, нека ви напомня: обучението е нашето всичко. Колкото и брилянтен да е човек, без обучение уменията няма да се развият. На изпита това е изпълнено с вълнение, грешки и загубено време (продължете този списък сами). Не забравяйте да го направите!

Тренировъчни задачи

Решете уравненията:

• `10 ^ (\ sin x) = 2 ^ (\ sin x) \ cdot 5 ^ (- \ cos x)`. Това е задача от истинската USE 2013. Познаването на свойствата на градусите не е отменено, но ако сте забравили, шпионирайте;
• `\ sqrt (3) \ sin x + \ sin ^ 2 \ frac (x) (2) = \ cos ^ 2 \ frac (x) (2)`. Формулата от урок 7 ще ви бъде полезна.
• `\ sqrt (3) \ sin 2x + 3 \ cos 2x = 0`.

Това е всичко. И както обикновено, накрая: задаваме въпроси в коментарите, харесваме, гледаме видеоклипове, учим се да решаваме изпита.