Раздели на сайта
Избор на редакторите:
- Какво означава увеличаването на mrot
- Пет най-полезни права на пациента по задължителна здравноосигурителна полица независимо дали избирам поликлиника
- Правила за разпределяне на дял от недвижим имот на деца при закупуването му за майчински капитал
- Плащания за майчинство след раждане
- Имам ли право да избирам лекар и болница?
- Посоката на капитала за майчинство за закупуване на жилище
- Колко се дава за първото дете?
- Всичко за получаване и изразходване на средства за майчинство
- Инструкции стъпка по стъпка за създаване на домашен офис
- Който има право да получи капитал за майката
Реклама
Площ на триъгълник в три ъгъла. Как да намерим площта на триъгълник |
Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачиПо-долу са формули за намиране на площта на произволен триъгълник които са подходящи за намиране на площта на всеки триъгълник, независимо от неговите свойства, ъгли или размери. Формулите са представени под формата на картина, тук са обяснения за използването или обосновка на тяхната правилност. Също така, на отделна фигура са посочени съответствията буквени обозначения във формули и графични символи в чертежа. Забележка ... Ако триъгълникът има специални свойства (равнобедрен, правоъгълен, равностранен), можете да използвате формулите, дадени по-долу, както и допълнителни специални формули, които са валидни само за триъгълници с тези свойства:
Формули на площ за триъгълникОбяснение на формулите: Моля, обърнете внимание, че дадените обозначения съответстват на фигурата по-горе, така че когато решавате реален проблем в геометрията, ще бъде по-лесно визуално да замествате правилните стойности на правилните места на формулата.
Забележка... Следват примери за решаване на геометрични задачи за намиране на площта на триъгълник. Ако трябва да решите проблем в геометрията, който не е подобен на който не е тук, пишете за него във форума. В решения, вместо символа " корен квадратен"може да се използва функцията sqrt (), при която sqrt е символ на корен в квадрат, а радикалният израз е посочен в скоби. Понякога за прости радикални изрази символът √ Задача. Намерете площта по двете страни и ъгъла между тяхСтраните на триъгълника са 5 и 6 см. Ъгълът между тях е 60 градуса. Намерете площта на триъгълник. Решение. За да разрешим този проблем, използваме формула номер две от теоретичната част на урока. Тъй като разполагаме с всички необходими данни за решението (съгласно формулата), просто трябва да заместим стойностите от условието на задачата във формулата: В таблицата на стойностите тригонометрични функции намерете и заменете в израза синусовата стойност от 60 градуса. Тя ще бъде равна на корена от три на две. Отговор: 7,5 √3 (в зависимост от изискванията на учителя, вероятно можете да оставите 15 √3 / 2) Задача. Намерете площта на равностранен триъгълникНамерете площта на равностранен триъгълник със страна 3 cm. Решение. Площта на триъгълника може да бъде намерена с помощта на формулата на Херон: S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) Тъй като a \u003d b \u003d c, формулата за площта на равностранен триъгълник ще приеме формата: S \u003d √3 / 4 * a 2 S \u003d √3 / 4 * 3 2 Отговор: 9 √3 / 4. Задача. Промяна на площта при промяна на дължината на странитеКолко пъти ще се увеличи площта на триъгълника, ако страните се увеличат с 4 пъти? Решение. Тъй като не знаем размерите на страните на триъгълника, за решаване на задачата ще приемем, че дължините на страните са съответно равни произволни числа a, b, c. След това, за да отговорим на въпроса за задачата, намираме площта на този триъгълник и след това намираме площта на триъгълник, чиито страни са четири пъти по-големи. Съотношението на площите на тези триъгълници ще ни даде отговор на проблема. По-долу е дадено текстово обяснение на решението на проблема на стъпки. В самия край обаче същото това решение е представено в по-лесна за четене графична форма. Заинтересованите могат веднага да пуснат решението. За да разрешим това, използваме формулата на Херон (виж по-горе в теоретичната част на урока). Изглежда така: S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) Дължините на страните на произволен триъгълник се дават от променливите a, b, c. S 2 \u003d 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c)) Както можете да видите, 4 е често срещан фактор, който може да бъде изваден от скобите от четирите израза чрез общи правила математика. S 2 \u003d 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - на третия ред на фигурата Квадратният корен е перфектно извлечен от числото 256, така че го изваждаме изпод корена За да отговорим на въпроса, поставен в проблема, просто трябва да разделим площта на получения триъгълник на площта на оригинала. Инструкции Страни и ъглите се считат за основни елементи и... Триъгълникът е напълно дефиниран от всеки от следните основни елементи: или от три страни, или от едната страна и два ъгъла, или от две страни и ъгъл между тях. За съществуване триъгълникдефинирани от три страни a, b, c, е необходимо и достатъчно, за да се задоволят неравенствата, наречени неравенства триъгълник: За строителство триъгълник от три страни a, b, c е необходимо от точка C на отсечката CB \u003d a как да нарисувате кръг с радиус b с компас. След това по същия начин нарисувайте кръг от точка В с радиус, равен на страна c. Тяхната точка на пресичане A е третият връх на желаното триъгълник ABC, където AB \u003d c, CB \u003d a, CA \u003d b - страни триъгълник... Проблемът е дали страните a, b, c отговарят на неравенствата триъгълник посочени в стъпка 1. Площта S, изградена по този начин триъгълник ABC с известни партии a, b, c, се изчислява по формулата на Херон: Ако триъгълникът е равностранен, тоест всичките му страни са равни (a \u003d b \u003d c). триъгълник изчислява се по формулата: Ако триъгълникът е правоъгълен, т.е. единият му ъгъл е 90 °, а страните, които го образуват, са крака, третата страна е хипотенуза. IN в такъв случай квадрат е равно на произведението на краката, разделено на две. Да намеря квадрат триъгълник, можете да използвате една от многото формули. Изберете формулата в зависимост от това кои данни са вече известни. Ще имаш нужда
Инструкции Ако знаете величината на една от страните и величината на височината, понижена до тази страна от противоположния ъгъл, тогава можете да намерите площта по следния начин: S \u003d a * h / 2, където S е площта на Триъгълник, a е една от страните на триъгълника, а h - височина, към страна a. Известно е за определяне на площта на триъгълник, ако трите му страни са известни. Това е формулата на Херон. За да се опрости записването му, се въвежда междинна стойност - полупериметър: p \u003d (a + b + c) / 2, където a, b, c -. Тогава формулата на Херон е както следва: S \u003d (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ степенуване. Да предположим, че познавате едната страна на триъгълник и три ъгъла. Тогава е лесно да се намери площта на триъгълника: S \u003d a²sinα sinγ / (2sinβ), където β е ъгълът, противоположен на страна a, а α и γ са ъглите, съседни на страната. Подобни видеа
Забележка Най-общата формула, която е подходяща за всички случаи, е формулата на Херон. Източници: Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник от три страниНамирането на площта на триъгълника е една от най-често срещаните задачи в училищната планиметрия. Познаването на трите страни на триъгълник е достатъчно, за да се определи площта на всеки триъгълник. В специални случаи и равностраните триъгълници е достатъчно да се знаят дължините на съответно две и една страна. Ще имаш нужда
Инструкции Формулата на Херон за площта на триъгълник е както следва: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Ако нарисуваме полупериметъра p, ще получим: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4. Можете също така да извлечете формула за площта на триъгълник от съображения, например, прилагайки косинусовата теорема. По теоремата за косинусите AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Използвайки въведените обозначения, те също могат да бъдат под формата: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Следователно, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c) Площта на триъгълник също се намира по формулата S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 през две страни и ъгъла между тях. Синусът на ъгъл ABC може да бъде изразен чрез него, като се използва основната тригонометрична идентичност: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Заместване на синуса във формулата за площта и записването му надолу, можете да стигнете до формулата за площта на триъгълник ABC. Подобни видеа
За ремонтни работи понякога е необходимо да се измери квадрат стени. Това улеснява изчисляването на необходимото количество боя или тапет. За измервания е най-добре да използвате рулетка или сантиметрова лента. Измерванията трябва да се извършват след стени бяха подравнени. Ще имаш нужда
Инструкции Да броим квадрат стени, трябва да знаете точната височина на таваните, както и да измерите дължината по пода. Това се прави по следния начин: вземете сантиметър, поставете го върху основата. Обикновено сантиметър не е достатъчен за цялата дължина, така че го закрепете в ъгъла, след което го развийте максимална дължина... В този момент маркирайте с молив, запишете получения резултат и извършете по-нататъшното измерване по същия начин, започвайки от последната точка на измерване. Стандартни тавани в типично - 2 метра 80 сантиметра, 3 метра и 3 метра 20 сантиметра, в зависимост от къщата. Ако къщата е построена преди 50-те години, тогава най-вероятно реалната височина е малко по-ниска от посочената. Ако изчислите квадрат за ремонтни дейности, тогава малък запас няма да навреди - помислете въз основа на стандарта. Ако все пак трябва да знаете реална височина - вземете измервания. Принципът е подобен на измерването на дължината, но се изисква стълба. Умножете получените показатели - това е квадрат Вашият стени... Вярно е, с бояджийски работи или за което трябва да извадите квадрат врата и отвори за прозорци... За целта поставете сантиметър по отвора. Ако идва за вратата, която впоследствие ще смените, след това прекарайте с премахнатата каса на вратакато се има предвид само квадрат директно самото отваряне. Площта на прозореца се изчислява по периметъра на неговата рамка. След квадрат прозорецът и вратата се изчисляват, извадете резултата от общата получена площ на стаята. Моля, обърнете внимание, че измерванията на дължината и ширината на помещението се извършват заедно, така че е по-лесно да фиксирате сантиметър или лента и съответно да получите по-точен резултат. Извършете едно и също измерване няколко пъти, за да се уверите, че получените цифри са точни. Подобни видеа
Намирането на обема на триъгълник наистина е нетривиална задача. Въпросът е, че триъгълникът е двуизмерна фигура, т.е. той лежи изцяло в една равнина, което означава, че просто няма обем. Разбира се, не можете да намерите нещо, което не съществува. Но нека не се отказваме! Може да се направи следното предположение - обемът на двумерна фигура е нейната площ. Ще търсим площта на триъгълника. Ще имаш нужда
Инструкции Начертайте върху лист хартия с помощта на линийка и молив. Внимателно разглеждайки триъгълника, можете да се уверите, че той наистина го няма, тъй като е нарисуван на равнина. Обозначете страните на триъгълника: нека едната страна е страна, другата страна b и третата страна c. Обозначете върховете на триъгълника с A, B и C. Измерете двете страни на триъгълника с линийка и запишете резултата. След това възстановете перпендикуляра към измерената страна от противоположния връх, такъв перпендикуляр ще бъде височината на триъгълника. В случая, показан на фигурата, перпендикулярът "h" се възстановява в страната "c" от върха "A". Измерете получената височина с линийка и запишете измерването. Може да ви е трудно да реконструирате точния перпендикуляр. В този случай трябва да използвате различна формула. Измерете всички страни на триъгълника с линийка. След това изчислете полупериметъра на триъгълника "p", като добавите получените дължини на страните и разделите тяхната сума наполовина. Имайки на разположение стойността на половината периметър, можете да използвате формулата на Херон. За да направите това, трябва да извлечете квадратния корен от следното: p (p-a) (p-b) (p-c). Получихте необходимата стойност площ на триъгълника. Проблемът с намирането на обема на триъгълник не е решен, но както беше споменато по-горе, обемът не е. Можете да намерите обем, който по същество е триъгълник в триизмерен свят. Ако си представим, че оригиналният ни триъгълник се е превърнал в триизмерна пирамида, тогава обемът на такава пирамида ще бъде произведение на дължината на нейната основа на площта на триъгълника, който сме получили. Забележка Колкото по-точни са изчисленията, толкова по-внимателно измервате. Източници:
Три точки, които уникално определят триъгълник в декартовата координатна система, са неговите върхове. Познавайки тяхното положение спрямо всяка от координатните оси, можете да изчислите всички параметри на това плоска фигура, включително ограничени от периметъра му квадрат... Това може да стане по няколко начина. Инструкции Използвайте формулата на Херон, за да изчислите площта триъгълник... Той използва размерите на трите страни на формата, така че започнете изчислението с. Дължината на всяка страна трябва да бъде равна на корена на сумата от квадратите на дължините на нейните проекции върху координатни оси... Ако обозначим координатите A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) и C (X₃, Y₃, Z₃), дължините на техните страни могат да бъдат изразени като: AB \u003d √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²). За да опростите изчисленията, въведете спомагателна променлива - полупериметър (P). Тъй като това е половината от сумата на дължините на всички страни: Р \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²). В интернет има над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник.Много от тях се използват при задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Съществуват обаче редица сложни примери, при които според спецификацията са известни само едната страна и ъглите на триъгълник или радиусът на описаната или вписаната окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула. Формулите по-долу ще решат 95 процента от проблемите, в които трябва да намерите площта на триъгълник. На фигурата и по-нататък във формулите са въведени класическите обозначения на всички нейни характеристики Основни формули за площта на триъгълник1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника на височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се запише като По този начин, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери района. 2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълника през съседната страна се изразява чрез зависимостта След това от първата формула на площ следва същия тип втора Разгледайте внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като в работата има две страни и ъгъл между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както е на фигурата по-горе), тогава получаваме две страни a, b а ъгълът е свързан с третияС (хама). 3. За ъглите на триъгълник е валидна следната връзка: Ограничението ви позволява да приложите следните формули за площта на триъгълник в изчисленията Примери за тази зависимост са изключително редки, но трябва да помните, че има такава формула. 4. Ако страничните и два съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата 5. Формулата на площта по отношение на страната и котангенса на съседните ъгли е както следва Пренареждайки индексите, можете да получите зависимости за други страни. 6. Формулата за площ, дадена по-долу, се използва при задачи, когато върховете на триъгълник са определени на равнина с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминанта, взета по модул. 7. Формула на чаплата използва се в примери с известни триъгълни страни. И тогава площта се определя по формулата Често се използва в кода на калкулатора. 8. Ако всички височини на триъгълника са известни, тогава площта се определя по формулата Трудно е да се изчисли на калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "едно две". 9. Следващите формули използват известни радиуси вписани и описани. 10. В примерите, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата 11. Следващата формула определя площта на триъгълника по отношение на страната и ъглите на триъгълника. И накрая - специални случаи: Формула за равностранен (правилен) триъгълник= От противоположния връх) и разделете полученото произведение на две. Във формата това изглежда така: S \u003d ½ * a * h, където: Дължината и височината на страната трябва да бъдат представени в една и съща единица. В този случай площта на триъгълника ще бъде получена в "" съответните единици. Пример. Ако знаете дължините на всякакви две страни на многостранен триъгълник и ъгъла между тях, тогава използвайте формулата: S \u003d ½ * a * b * sinγ, където: a, b са дължините на две произволни страни, а γ е ъгълът между тях. На практика, например, когато се измерват парцели, използването на горните формули понякога е трудно, тъй като изисква допълнителни конструкции и измервания на ъгли. Ако знаете дължините на трите страни на многостранен триъгълник, използвайте формулата на Херон: S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)), a, b, c - дължините на страните на триъгълника, Ако освен дължините на всички страни е известен и радиусът на вписаната окръжност, използвайте следната компактна формула: където: r - радиус на вписаната окръжност (p - полупериметър). За да изчислите площта на многостранен триъгълник на описания кръг и дължината на страните му, използвайте формулата: където: R е радиусът на описаната окръжност. Ако знаете дължината на една от страните на триъгълника и три ъгъла (по принцип са достатъчни два - стойността на третия се изчислява от равенството на сумата от трите ъгъла на триъгълника - 180º), тогава използвайте формулата: S \u003d (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα, където α е стойността на ъгъла, противоположен на страна a; Нуждата от намиране различни елементи, включително площ триъгълник, се появи много векове преди нашата ера сред учените астрономи Древна Гърция. Квадрат триъгълник може да се изчисли различни начиниизползвайки различни формули. Методът на изчисление зависи от това кои елементи триъгълник познати. Инструкции Ако от условието знаем стойностите на двете страни b, c и ъгъла, образуван от тях ?, Тогава площта триъгълник ABC се намира по формулата: Ако от условието знаем стойностите на двете страни a, b и не образувания от тях ъгъл ?, Тогава площта триъгълник ABC се намира, както следва: Ако от условието знаем стойностите само на три страни триъгълник a, b и c, след това площта триъгълник ABC се намира по формулата: Ако от състоянието на проблема знаем височината триъгълник h и страната, до която е понижена тази височина, след това площта триъгълник ABC по формулата: Ако знаем стойностите на страните триъгълник a, b, c и радиуса, описани около даденото триъгълник R, тогава площта на това триъгълник ABC се определя по формулата: Ако ABC е равностранен, тогава площта се намира по формулата: Подобни видеа
Източници:
Съвет 3: Как да намерите площта на триъгълник, ако знаете ъгълаПознаването само на един параметър (стойност на ъгъла) не е достатъчно, за да се намери площта тре квадрат ... Ако има някакви допълнителни размери, тогава една от формулите може да бъде избрана за определяне на площта, в която стойността на ъгъла също се използва като една от известните променливи. Някои от най-често използваните формули са изброени по-долу. Инструкции Ако в допълнение към ъгъла (γ), образуван от двете страни тре квадрат , тогава са известни и дължините на тези страни (A и B) квадрат (S) на фигурата може да се определи като половината от произведението на дължините на страните и синуса на този известен ъгъл: S \u003d ½ × A × B × sin (γ). |
Популярен:
Определяне на споделената нишка на плата |
Ново
- Проект "домашен начин за почистване на боровинки"
- Как да наблюдаваме планетата Марс с любителски телескоп
- Какви точки получава един завършил и как да ги брои
- Калорийност на сиренето, състав, bju, полезни свойства и противопоказания
- Проект "домашен начин за почистване на боровинки"
- Домашна торта с маково семе: най-добрите рецепти
- Как да отмъстите на човек, който ви е обидил, съсипва живота на врага
- Как да готвим вкусно замразени зеленчуци, без да отделяме много време и усилия
- Как се изчислява преминаващият резултат
- Нова енциклопедия на философията - Структурна психоанализа на Жак Лакан от Жак Лакан