В това видео ще анализираме целия комплект линейни уравнения, които се решават по същия алгоритъм – затова се наричат ​​най-прости.

За начало нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое е най-простото от тях?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и само в първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Разгънете скоби, ако има такива;
2. Преместете термините, съдържащи променлива, от едната страна на знака за равенство, а термините без променлива към другата;
3. Водя подобни терминиотляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $ x $.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези манипулации коефициентът при променливата $ x $ се оказва нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $ 0 \ cdot x = 8 $, т.е. има нула отляво и ненулево число отдясно. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини наведнъж, поради които подобна ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно - уравнението е сведено до конструкцията $ 0 \ cdot x = 0 $. Съвсем логично е, че колкото и $ x $ да заместим, пак ще се окаже "нула равна на нула", т.е. правилно числово равенство.

Сега нека видим как работи всичко на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, съдържащо точно една променлива и то стига само до първа степен.

Такива конструкции се решават по приблизително същия начин:

1. На първо място, трябва да разширите скобите, ако има такива (както в последния ни пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая вземете променливата, т.е. всичко, което е свързано с променлива - термините, в които се съдържа - трябва да се прехвърли в една посока, а всичко, което е останало без нея, трябва да се прехвърли в другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да разделите на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено грешки се правят или при разширяване на скоби, или при изчисляване на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва едно линейно уравнение изобщо да няма решения или решението да е цялата числова права, т.е. произволно число. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ние ще започнем, както вече разбрахте, от самото прости задачи.

Схема за решаване на най-простите линейни уравнения

Като начало, нека още веднъж напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разширете скобите, ако има такива.
2. Ние секретираме променливите, т.е. всичко, което съдържа "x", се прехвърля на едната страна, а без "x" - на другата.
3. Представяме подобни термини.
4. Разделяме всичко на коефициента при "x".

Разбира се, тази схема не винаги работи, в нея има определени тънкости и трикове и сега ще ги опознаем.

Решаване на реални примери за прости линейни уравнения

Проблем номер 1

В първата стъпка от нас се изисква да разширим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да вземем променливите. Забележка: идвасамо за отделни термини. Нека напишем:

Представяме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено. Следователно преминаваме към четвъртата стъпка: разделете на коефициент:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Така че получихме отговора.

Проблем номер 2

В този проблем можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека продължим по алгоритъма, т.е. ние секретираме променливите:

Ето подобни:

На какви корени се изпълнява. Отговор: за всякакви. Следователно можем да запишем, че $ x $ е произволно число.

Проблем номер 3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\ [\ ляво (6-x \ дясно) + \ ляво (12 + x \ дясно) - \ ляво (3-2x \ дясно) = 15 \]

Има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, а просто стоят пред тях различни знаци... Нека ги отворим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Да преброим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Освен твърде прости задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори и да има корени, може да има нула сред тях - няма нищо лошо в това.

Нулата е същото число като останалите, не трябва да го дискриминирате по никакъв начин или да приемате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга характеристика е свързана с разширяването на скоби. Моля, обърнете внимание: когато има "минус" пред тях, тогава го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположно... И тогава можем да го отворим с помощта на стандартни алгоритми: получаваме това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирането на този прост факт ще ви позволи да избегнете глупави и болезнени грешки в гимназията, когато подобни действия се приемат за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към по-сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Въпреки това, не бива да се страхувате от това, защото ако според намерението на автора решаваме линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, непременно ще бъдат отменени.

Пример №1

Очевидно първата стъпка е разширяването на скобите. Нека го направим много внимателно:

Сега за поверителност:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Ето подобни:

Очевидно това уравнение няма решения, така че ще запишем в отговора, както следва:

\ [\ varnothing \]

или без корени.

Пример №2

Следваме същите стъпки. Първа стъпка:

Преместете всичко с променливата наляво и без нея надясно:

Ето подобни:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че ще го запишем по следния начин:

\ [\ varnothing \],

или няма корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. Използвайки тези два израза като пример, ние още веднъж се уверихме, че дори и в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или един, или нито един, или безкрайно много корени. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да насоча вниманието ви към друг факт: как да работите със скоби и как да ги отворите, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да разкриете, трябва да умножите всичко по "X". Забележка: умножава се всеки отделен термин... Вътре има два члена - съответно два члена и умножено.

И едва след като се извършат тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации, можете да разширите скобите от гледна точка на факта, че след него има знак минус. Да, да: само сега, когато трансформациите са завършени, си спомняме, че пред скобите има знак минус, което означава, че всичко, което слиза надолу, просто сменя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният "минус" също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Не случайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност от елементарни трансформации, където невъзможността за ясно и компетентно извършване на прости действия води до факта, че гимназистите идват при мен и отново се научават да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден и ще усъвършенствате тези умения до автоматизма. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще напишете всичко на един ред. Но докато само учите, трябва да напишете всяко действие поотделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, вече е трудно да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Проблем номер 1

\ [\ ляво (7x + 1 \ дясно) \ ляво (3x-1 \ дясно) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Нека умножим всички елементи в първата част:

Нека направим усамотението:

Ето подобни:

Извършваме последната стъпка:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване на коефициентите с квадратична функция те взаимно се анихилират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Проблем номер 2

\ [\ ляво (1-4x \ дясно) \ ляво (1-3x \ дясно) = 6x \ ляво (2x-1 \ дясно) \]

Нека направим първата стъпка спретнато: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо трябва да има четири нови термина след трансформациите:

Сега нека внимателно извършим умножението във всеки член:

Нека преместим термините с "x" наляво, а без - надясно:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Ето подобни термини:

За пореден път получихме окончателния отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: щом започнем да умножаваме скобите, в които има повече, отколкото е член, това се прави според следното правило: вземаме първия член от първия и умножете с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по същия начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат получаваме четири термина.

Алгебрична сума

С последния пример бих искал да напомня на учениците какво представлява алгебрична сума... В класическата математика под $1-7 $ имаме предвид прост дизайн: извадете седем от едно. В алгебрата имаме предвид следното: към числото "едно" добавяме друго число, а именно "минус седем". По това алгебричната сума се различава от обичайната аритметична.

След като извършвате всички трансформации, всяко събиране и умножение, започвате да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата при работа с полиноми и уравнения.

В заключение, нека разгледаме още няколко примера, които ще бъдат дори по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги разрешим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За да разрешим подобни проблеми, ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. Разширете скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете по фактор.

Уви, този отличен алгоритъм, при цялата си ефективност, се оказва не съвсем подходящ, когато сме изправени пред дроби. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да се работи в този случай? Всичко е много просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се направи както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. По този начин алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дроби.
2. Разширете скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете по фактор.

Какво означава „да се отървете от дроби“? И защо това може да се направи както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде в знаменателя е просто число. Следователно, ако умножим двете страни на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дробите.

Пример №1

\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\ [\ frac (\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ надясно) \ cdot 4\]

Обърнете внимание: всичко се умножава по "четири" веднъж, т.е. само защото имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по четири. Нека запишем:

\ [\ ляво (2x + 1 \ дясно) \ ляво (2x-3 \ дясно) = \ ляво (((x) ^ (2)) - 1 \ дясно) \ cdot 4 \]

Сега да отворим:

Правим изолирането на променливата:

Ние извършваме намаляване на подобни термини:

\ [- 4x = -1 \ вляво | : \ ляво (-4 \ дясно) \ дясно. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Получихме окончателното решение, преминете към второто уравнение.

Пример №2

\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Тук извършваме всички същите действия:

\ [\ frac (\ ляво (1-x \ дясно) \ ляво (1 + 5x \ дясно) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Проблемът е решен.

Всъщност това е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са както следва:

• Познайте алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде се появите квадратични функциите вероятно ще намалеят в хода на по-нататъшни трансформации.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова права е корен и изобщо няма корени.

Надявам се този урок да ви помогне да овладеете една проста, но много важна тема за по-нататъшното разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете примерите, представени там. Очаквайте ви още много интересни неща!

Онлайн услугата за решаване на уравнения ще ви помогне да решите всяко уравнение. Използвайки нашия сайт, вие не само ще получите отговор на уравнението, но и ще видите подробно решение, тоест стъпка по стъпка показване на процеса на получаване на резултата. Нашата услуга ще бъде полезна за гимназисти общообразователни училищаи техните родители. Учениците ще могат да се подготвят за тестове, изпити, да проверяват знанията си, а родителите - да контролират решаването на математически уравнения от децата си. Умението за решаване на уравнения е задължително изискване за учениците. Услугата ще ви помогне да се самообучавате и да подобрите знанията си по математически уравнения. С него можете да решите всяко уравнение: квадратно, кубично, ирационално, тригонометрично и т.н. онлайн услугаи е безценен, защото освен верния отговор, получавате подробно решение на всяко уравнение. Ползите от решаването на уравнения онлайн. Можете да решите всяко уравнение онлайн на нашия уебсайт абсолютно безплатно. Услугата е напълно автоматична, не е нужно да инсталирате нищо на компютъра си, просто трябва да въведете данните и програмата ще ви даде решение. Всякакви изчисления или печатни грешки са изключени. Много лесно е да решите всяко уравнение онлайн с нас, така че не забравяйте да използвате нашия сайт за решаване на всякакъв вид уравнения. Трябва само да въведете данните и изчислението ще бъде направено за няколко секунди. Програмата работи самостоятелно, без човешко участие и получавате точен и подробен отговор. Решаване на уравнението в общ изглед... В такова уравнение променливите коефициенти и желаните корени са свързани. Най-високата мощност на променливата определя реда на такова уравнение. Въз основа на това, за уравненията използвайте различни методии теореми за намиране на решения. Решаването на уравнения от този тип означава намиране на желаните корени в общ вид. Нашата услуга ви позволява да решавате дори най-сложното алгебрично уравнение онлайн. Можете да получите както общото решение на уравнението, така и конкретното за тези, които сте посочили. числови стойностикоефициенти. За да решите алгебрично уравнение на сайта, е достатъчно правилно да попълните само две полета: лявата и дясната част на даденото уравнение. Алгебричните уравнения с променливи коефициенти имат безкраен брой решения и след задаване на определени условия се избират конкретни от набора от решения. Квадратно уравнение. Квадратното уравнение има формата ax ^ 2 + bx + c = 0 за a> 0. Решаването на уравнения с квадратна форма предполага намиране на стойностите на x, при които е изпълнено равенството ax ^ 2 + bx + c = 0. За това стойността на дискриминанта се намира по формулата D = b ^ 2-4ac. Ако дискриминантът по-малко от нула, то уравнението няма реални корени (корените се намират от полето на комплексните числа), ако е равно на нула, тогава уравнението има един реален корен и ако дискриминантът е по-голям от нула, тогава уравнението има два реални корена , които се намират по формулата: D = -b + - sqrt / 2a. За да решите квадратно уравнение онлайн, просто трябва да въведете коефициентите на такова уравнение (цели числа, дроби или десетични стойности). Ако в уравнението има знаци за изваждане, трябва да поставите минус пред съответните членове на уравнението. Можете също да решите квадратното уравнение онлайн в зависимост от параметъра, тоест променливите в коефициентите на уравнението. Тази задача се справя перфектно от нашата онлайн услуга за намиране общи решения... Линейни уравнения. Има четири основни метода, използвани на практика за решаване на линейни уравнения (или системи от уравнения). Нека опишем всеки метод подробно. Метод на заместване. Решаването на уравнения чрез заместване изисква изразяване на една променлива чрез другите. След това изразът се замества с други уравнения на системата. Оттук и името на метода на решението, тоест вместо променлива, неговият израз се замества с останалите променливи. На практика методът изисква сложни изчисления, макар и лесни за разбиране, така че решаването на подобно уравнение онлайн ще спести време и ще направи изчисленията по-лесни. Просто трябва да посочите броя на неизвестните в уравнението и да попълните данните от линейни уравнения, след което услугата ще направи изчислението. Метод на Гаус. Методът се основава на най-простите системни трансформации, за да се стигне до еквивалентна триъгълна система. От него се определят едно по едно неизвестните. На практика се изисква такова уравнение да се реши онлайн с Подробно описание, благодарение на което ще имате добра представа за метода на Гаус за решаване на системи от линейни уравнения. Запишете системата от линейни уравнения в правилния формат и вземете предвид броя на неизвестните, за да решите точно системата. Метод на Крамер. Този метод се използва за решаване на системи от уравнения в случаите, когато системата единствено решение... Основното нещо математическо действиетук е изчисляването на детерминантите на матрицата. Решаването на уравнения по метода на Крамер се извършва онлайн, получавате резултата незабавно с пълно и подробно описание. Достатъчно е просто да попълните системата с коефициенти и да изберете броя на неизвестните променливи. Матричен метод. Този метод се състои в събиране на коефициентите за неизвестни в матрица A, неизвестни в колона X и свободни членове в колона B. Така системата от линейни уравнения се свежда до матрично уравнение от вида AxX = B. Това уравнение има уникално решение само ако детерминантата на матрицата A е различна от нула, в противен случай системата няма решения или има безкраен брой решения. Решаването на уравнения по матричния метод се състои в намиране обратна матрицаА.

Използването на уравнения е широко разпространено в нашия живот. Те се използват в много изчисления, строителство на сгради и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава приложението им само се е увеличило. Степенните или експоненциалните уравнения са уравнения, в които променливите са в степени, а основата е число. Например:

Решението на експоненциалното уравнение по-скоро се свежда до 2 прости действия:

1. Необходимо е да се провери дали основите на уравнението отдясно и отляво са еднакви. Ако основанията не са еднакви, търсим варианти за решаване на този пример.

2. След като основите станат еднакви, приравняваме степените и решаваме полученото ново уравнение.

Да кажем, че е дадено експоненциално уравнение в следната форма:

Струва си да започнете решението на това уравнение с анализа на основата. Основите са различни - 2 и 4, а за решението трябва да сме еднакви, така че преобразуваме 4 по следната формула - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Добавете към оригиналното уравнение:

Извадете скобите \

Ние изразяваме \

Тъй като градусите са еднакви, ние ги изхвърляме:

Отговор: \

Къде можете да решите експоненциалното уравнение с онлайн решител?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https: // сайт. Безплатен онлайн решаващ ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за броени секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете вашите данни в Solver. Можете също да гледате видео инструкция и да научите как да решавате уравнението на нашия уебсайт. И ако все още имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, ние винаги се радваме да ви помогнем.

Онлайн калкулатор за намиране на корени кубично уравнение... Въвеждате коефициентите на кубично уравнение и получавате решението.

Изисквания за браузъра: Изисква се поддръжка на javascript 1.8.1.

Калкулатор за корен на кубично уравнение

Описание на онлайн калкулатора

Калкулаторът изчислява корените на кубичното уравнение:
(1) .
За да намерите корените на това уравнение, въведете стойностите на коефициентите A, B, C, D в полетата на формуляра и щракнете върху бутона „Изчисляване на корените“. След това резултатите от изчисленията ще се появят по-долу. Ако коефициентите са въведени неправилно, полето за въвеждане се маркира в червено и корените не се изчисляват. Коригирайте маркираната стойност и натиснете отново бутона "Изчисляване на корените".

Правила за въвеждане на номера

За да въведете число, въведете следното в полето за въвеждане:
-6,626e-34
Това е разделителят на целите и дробните части на числото е точката.
След това се въвежда редът на номера латинска буква д.

Метод на изчисление

Нека имаме кубично уравнение:
.
Нека го разделим на:
(1) ,
където , , . Нека направим замяната:
.
Получаваме непълно уравнение:
(4) ,
където
(5) ; .
Изчисляваме детерминанта:
.

Ако, тогава изчисляваме корените по формулата на Кардано:
(6) , ,
където
(7) ; .

Когато корените са валидни. Изчисляваме ги по формулата на Vieta:
(9) ;
(10) ;
(11) ,
където
(12) ; .

Решение на експоненциални уравнения. Примери.

Внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които са "много равномерни ...")

Какво експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което са неизвестните (x) и изразите с тях индикаторинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 x 2 x = 8 x + 3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само числа... V индикаториградуси (по-горе) - голямо разнообразие от изрази с x. Ако изведнъж в уравнението се появи x някъде, различно от индикатор, например:

това вече ще бъде уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаване. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се справим с чрез решаване на експоненциалните уравненияв най-чистата си форма.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги са ясно решени. Но има определени видовеекспоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Ще разгледаме тези видове.

Решение на най-простите експоненциални уравнения.

Нека започнем с нещо много основно. Например:

Дори и без каквито и да било теории, от проста селекция става ясно, че x = 2. Няма повече, нали!? Няма други хвърлини стойности. Сега нека да разгледаме записа на решението на това хитро експоненциално уравнение:

какво направихме? Ние всъщност просто изхвърлихме едни и същи бази (тройки). Изхвърлиха го напълно. И това, което радва, уцели целта!

Наистина, ако експоненциалното уравнение отляво и отдясно съдържа същоточисла във всякакви степени, тези числа могат да бъдат премахнати и степените да бъдат приравнени. Математиката позволява. Остава да се реши много по-просто уравнение. Страхотно, нали?)

Все пак нека си го припомним иронично: можете да премахнете базите само когато базовите номера отляво и отдясно са в страхотна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x + 1 = 2 3, или

двойки не могат да бъдат премахнати!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от лоши експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Това са времената! - ти каза. "Кой ще даде такъв примитивен на тестове и изпити!?"

трябва да се съглася. Никой няма да даде. Но сега знаете накъде да се стремите, когато решавате объркващи примери. Необходимо е да го приведете във формата, когато едно и също базово число е отляво - отдясно. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класиката на математиката. Вземаме оригиналния пример и го трансформираме в желания. НАСум. По правилата на математиката, разбира се.

Нека разгледаме примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги сведем до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Решаване на прости експоненциални уравнения. Примери.

При решаването на експоненциални уравнения основните правила са: действия с степени.Без познаване на тези действия нищо няма да работи.

Към действията с степени трябва да се добавят лично наблюдение и изобретателност. Имаме ли нужда от еднакви основни числа? Така че ние ги търсим в примера в изрична или криптирана форма.

Да видим как се прави това на практика?

Нека ни дадем пример:

2 2x - 8x + 1 = 0

Първият остър поглед е към основания.Те... Те са различни! Две и осем. Но е твърде рано да се обезкуражаваме. Време е да си спомним това

Две и осем са роднини по степен.) Напълно възможно е да се запише:

8 x + 1 = (2 3) x + 1

Ако си припомните формулата от действия с правомощия:

(a n) m = a nm,

като цяло се получава страхотно:

8 x + 1 = (2 3) x + 1 = 2 3 (x + 1)

Оригиналният пример сега изглежда така:

2 2x - 2 3 (x + 1) = 0

Прехвърляме 2 3 (x + 1)вдясно (никой не е отменил елементарните действия на математиката!), получаваме:

2 2x = 2 3 (x + 1)

Това е практически всичко. Отстраняваме основите:

Решаваме това чудовище и получаваме

Това е правилният отговор.

В този пример познаването на силите на две ни помогна. ние идентифициранив осмицата е криптирана двойка. Тази техника (криптиране на общи основания под различни числа) е много популярна техника в експоненциалните уравнения! И в логаритми също. Човек трябва да може да разпознава в числата степените на другите числа. Това е изключително важно за решаването на експоненциални уравнения.

Факт е, че вдигането на произволно число на всяка степен не е проблем. Умножете, дори на лист хартия, и това е всичко. Например всеки може да вдигне 3 на пета степен. 243 ще работи, ако знаете таблицата за умножение.) Но в експоненциалните уравнения много по-често е необходимо да не се повишава на степен, а напротив ... какво число до каква степенсе крие зад числото 243 или, да речем, 343 ... Никой калкулатор няма да ви помогне тук.

Трябва да знаете силите на някои числа от поглед, да ... Да се ​​упражняваме?

Определете какви степени и какви числа са числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Отговори (в безпорядък, естествено!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ако се вгледате внимателно, можете да видите странен факт... Има значително повече отговори, отколкото задачи! Е, случва се... Например, 2 6, 4 3, 8 2 са всички 64.

Да предположим, че сте взели под внимание информацията за запознаване с числата.) Нека ви напомня, че за решаване на експоненциални уравнения използваме цялотоналичност математически познания... Включително и тези от младши-средни класове. Не отидохте веднага в гимназията, нали?)

Например, когато решавате експоненциални уравнения, често помага да се постави общият фактор извън скобите (здравей, 7-ми клас!). Да видим пример:

3 2x + 4 -11 9 x = 210

И пак на пръв поглед – при основите! Основите на степените са различни... Три и девет. И ние искаме те да бъдат същите. Е, в този случай желанието е напълно осъществимо!) Защото::

9 x = (3 2) x = 3 2x

Следвайте същите правила за работа с степени:

3 2x + 4 = 3 2x 3 4

Това е страхотно, можете да напишете:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Доведохме примера до същите основания. И така, какво следва!? Тройки не трябва да се изхвърлят... Безизходица?

Въобще не. Запомнете най-универсалното и мощно правило за вземане на решения от всичкиматематически задачи:

Ако не знаете какво е необходимо, направете каквото можете!

Гледаш, всичко ще се оформи).

Какво има в това експоненциално уравнение могаправя? Да, от лявата страна директно се иска скоби! Общият коефициент 3 2x ясно загатва за това. Нека опитаме и тогава ще видим:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Примерът става все по-добър и по-добър!

Не забравяйте, че за да премахнем основанията, се нуждаем от чиста степен, без никакви коефициенти. Числото 70 ни пречи. И така, разделяме двете страни на уравнението на 70, получаваме:

Опа! Всичко се получи!

Това е окончателният отговор.

Случва се обаче да се получи рулиране на същите основания, но не и тяхното премахване. Това се случва в експоненциални уравнения от друг тип. Нека овладеем този тип.

Промяна на променлива при решаване на експоненциални уравнения. Примери.

Нека решим уравнението:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Първо, както обикновено. Преминаване към една основа. Към двойката.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Получаваме уравнението:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

И тук ще замръзнем. Предишните техники няма да работят, колкото и готини да са. Ще трябва да се измъкнем от арсенала на друг мощен и гъвкав начин. Нарича се променлива замяна.

Същността на метода е изненадващо проста. Вместо една сложна икона (в нашия случай - 2 x), пишем друга, по-проста (например - t). Такава привидно безсмислена замяна води до невероятни резултати!) Просто всичко става ясно и разбираемо!

Така че нека

Тогава 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Заменете всички степени с x в нашето уравнение с t:

Е, разсъмва ли се?) Квадратни уравненияоще не сте забравили? Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:

Тук основното е да не спираме, както се случва ... Това все още не е отговорът, имаме нужда от X, а не от t. Връщаме се към Xs, т.е. правим връщане подмяна. Първо за t 1:

Това е,

Намерен е един корен. Търсим втория, от t 2:

Хм... Ляво 2 x, дясно 1 ... Проблем? Въобще не! Достатъчно е да си спомним (от действия с правомощия, да...) че е такъв всякаквиномер до нула степен. Всеки. Ние ще доставим необходимото. Трябва ни двойка. означава:

Сега това е всичко. Имаме 2 корена:

Това е отговорът.

В решаване на експоненциални уравненияпонякога завършваме с някакво неловко изражение. Тип:

От седем, две до основна степен не става. Те не са роднини... Как да бъда тук? Някой може да се обърка ... Но човекът, който прочете на този сайт темата "Какво е логаритъм?" , само се усмихва пестеливо и записва твърда ръканапълно правилен отговор:

Не може да има такъв отговор в задачи "Б" на изпита. Там се изисква конкретен номер. Но в задачи "C" - лесно.

Този урок предоставя примери за решаване на най-често срещаните експоненциални уравнения. Нека подчертаем основното.

Практически съвети:

1. На първо място, ние разглеждаме основиградуси. Обмисляме дали е възможно да ги направим същото.Опитваме се да направим това чрез активно използване действия с степени.Не забравяйте, че числата без x също могат да бъдат преобразувани в степени!

2. Опитваме се да сведем експоненциалното уравнение до вида, когато лявото и дясното са същоточисла в произволна степен. Ние използваме действия с степении факторизация.Това, което може да се брои в числа - ние броим.

3. Ако вторият съвет не работи, се опитваме да приложим променлива замяна. Крайният резултат е уравнение, което може лесно да бъде решено. Най-често е квадратна. Или дробно, което също се свежда до квадрат.

4. За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете степените на някои числа „на очи“.

Както обикновено, в края на урока ви се иска да решите малко.) Сами. От просто към сложно.

Решете експоненциални уравнения:

По-трудно:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Намерете произведението на корените:

2 3-x + 2 x = 9

Се случи?

Е, тогава най-сложният пример (решен обаче в ума...):

7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 = -3

Какво по-интересно? Тогава ето ви лош пример. Доста привлечен от повишена трудност. Ще намекна, че в този пример се спестява изобретателността и най-универсалното правило за решаване на всички математически задачи.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Един пример е по-прост, за почивка):

9 2 x - 4 3 x = 0

И за десерт. Намерете сумата от корените на уравнението:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Да да! Това е смесено уравнение! Което не разгледахме в този урок. И че трябва да се имат предвид, те трябва да бъдат решени!) Този урок е напълно достатъчен за решаване на уравнението. Е, разбиране е нужно... И седми клас да ти помогне (това е намек!).

Отговори (в безпорядък, разделени с точка и запетая):

1; 2; 3; 4; няма решения; 2; -2; -5; 4; 0

Всичко наред ли е? Глоба.

Има проблем? Няма проблем! В специален раздел 555 всички тези експоненциални уравнения се решават с подробни обяснения. Какво, защо и защо. И, разбира се, има допълнителна ценна информация за работата с всякакви експоненциални уравнения. Не само тези.)

Един последен забавен въпрос за обмисляне. В този урок работихме с експоненциални уравнения. Защо не казах и дума за ОДЗ тук?В уравненията това е много важно нещо, между другото ...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.