Пример за обратна матрица. Обратно матрично определение за съществуване и уникалност

Раздели на сайта

Избор на редактора:

На пръв поглед може да изглежда, че е трудно, но всъщност е много просто. Всички решения се основават на проста аритметика, основното когато решите да не се бъркате със знаците "-" и "+", и да не ги губите.

А сега нека решим практическата задача с вас, като изчислим обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "A", показана на снимката по-долу:

Ние решаваме всичко точно както е посочено в плана за изчисляване на обратната матрица.

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите определителя на матрицата "A":

Обяснение:

Опростихме нашия идентификатор, използвайки основните му функции. Първо добавихме към втория и третия ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, променихме 2-ра и 3-та колона на детерминанта и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, ние извадихме общия фактор (-1) на втория ред, като по този начин отново обърнахме знака и той стана положителен. Ние също опростихме 3 реда по същия начин, както в самото начало на примера.

Получихме триъгълен детерминант, в който елементите под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 е равен на произведението на елементите на диагонала. В резултат получихме ∆ А \u003d 26, следователно, обратната матрица съществува.

A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1

A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6

A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3

A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5

A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2

A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1

A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7

3. Следващата стъпка е да съставите матрица от получените допълнения:

5. Умножаваме тази матрица по числото, обратно на детерминанта, тоест с 1/26:

6. Е, сега просто трябва да извършим проверка:

По време на проверката получихме единична матрица, следователно решението беше взето абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарна трансформация на матриците

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножение на ред с число, което не е равно на нула.

2. Добавяне към който и да е ред друг ред, умножен по число.

3. Размяна на редове с матрица.

4. Прилагайки верига от елементарни преобразувания, получаваме друга матрица.

А -1 = ?

1. (A | E) ~ (E | A -1 )

2. А -1 * A \u003d E

Обмислете това с практически пример с реални числа.

Настройка: Намерете обратната матрица.

решение:

Нека проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо пренаредихме 1-ви и 2-ри ред на матрицата, след това умножихме първия ред по (-1).

След това умножихме първия ред по (-2) и добавихме към втория ред на матрицата. След това умножихме 2 реда по 1/4.

Последният етап на преобразуването беше умножението на втория ред по 2 и добавянето на първия. В резултат на това имаме матрица за идентичност вляво, следователно обратната матрица е матрицата вдясно.

След проверка се убедихме в правилността на решението.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В заключение на тази лекция бих искал също да отделя малко време за свойствата на такава матрица.

Намиране на обратната матрица.

В тази статия ще се спрем на концепцията за обратна матрица, нейните свойства и методите за нейното намиране. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които е необходимо да се изгради обратна матрица за дадена.

Навигация на страниците.

Обратната матрица е определението.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебраични комплементи.

Свойства на обратната матрица.

Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Йордан.

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратната матрица е определението.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чийто детерминант е ненулева, тоест за не-изродени квадратни матрици.

Определение.

матрицанаречена обратната на матрицатачиято детерминанта е ненулева, ако са равни където E Матрицата на идентичността е ред п за п.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични комплементи.

Как да намерите обратната матрица за даден?

Първо, имаме нужда от концепции транспонирана матрица, минор на матрицата и алгебраичното допълнение на матричния елемент.

Определение.

незначителенк-тия на ред матрица А на ред m за п Определящата ли е матрицата на поръчката к за к, която се получава от елементите на матрицата Аразположен в избран к линии и к колони. ( к не надвишава най-малкото от числата m или п).

незначителен от (n-1) th ред, който е съставен от елементи от всички редове с изключение на -тотои всички колони с изключение на к-тиквадратна матрица А на ред п за п означават като.

С други думи, минорът се получава от квадратната матрица А на ред п за пзачеркване на елементи -тото струни и к-ти колона.

Например, запишете, маловажно втори ред, който се получава от матрицата избора на елементи от неговите втори, трети ред и първа, трета колона , Покажете и второто, което се получава от матрицата чрез изтриване на втория ред и третата колона , Илюстрираме изграждането на тези непълнолетни: и.

Определение.

Алгебраично допълнение елемент от квадратна матрица се нарича минор от (n-1) th ред, който се получава от матрицата Акато удари елементите от нея -тото струни и к-ти пъти в колоната.

Алгебраичното допълнение на даден елемент се обозначава с. По този начин .

Например за матрица има алгебрично допълнение на елемент.

Второ, две свойства на детерминанта, които разгледахме в раздела, са ни полезни. изчисляване на матрица:

Въз основа на тези свойства на детерминанта, дефиниции операции на матрично умножение по число и концепцията за обратната матрица , където е транспонираната матрица, чиито елементи са алгебрични допълнения.

матрица наистина е обратната страна на матрицата А, тъй като равенствата важат , Покажете го

Грим алгоритъм на обратна матрица използвайки равенството .

Нека анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица, като използваме пример.

Пример.

Дана матрица , Намерете обратната матрица.

Решение.

Изчисляваме детерминантата на матрицата Акато го разширите в елементите на третата колона:

Определителят е ненулев, така че матрицата А обратими.

Намерете матрицата на алгебраичните допълнения:

следователно

Нека да транспонираме матрицата от алгебрични допълнения:

Сега намерете обратната матрица като :

Проверете резултата:

равенство са удовлетворени, следователно обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратната матрица.

Концепция за обратна матрица, равенство , дефинициите на операции върху матрици и свойства на детерминанта на матрица ни позволяват да обосновеме следното свойства на обратната матрица:

Помислете за друг начин да намерите обратната матрица за квадратна матрица Ана ред п за п.

Този метод се основава на решението. п системи от линейни нееднородни алгебрични уравнения с п неизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Означете обратната матрица като Xт.е. , Тъй като по дефиницията на обратната матрица,

Приравнявайки съответните елементи в колони, получаваме п системи с линейни уравнения

Ние ги решаваме по всякакъв начин и от намерените стойности съставяме обратната матрица.

Нека анализираме този метод с помощта на пример.

Пример.

Дана матрица , Намерете обратната матрица.

Решение.

Ще приема , Равенството ни дава три системи от линейни нееднородни алгебрични уравнения:

Няма да рисуваме решение за тези системи, ако е необходимо, вижте раздела решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме, от втората - от третата -. Следователно, желаната обратна матрица има формата , Препоръчваме ви да направите проверка, за да се уверите, че резултатът е правилен.

За да обобщим.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за нейното намиране.

Пример за обратна матрица

Задача 1. Решете SLAE по метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 4

Начало на формата

Край на формата

решение, Пишем матрицата във формата: Вектор B: BT \u003d (1,2,3,4) Основен детерминант Минор за (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 Минор за (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Минор за (3) , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 Маловажно за (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Незначителна детерминанта ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3

Транспонирана матрица Алгебраично допълнение ∆ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 ∆ 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1.3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1.4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2.1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 ∆ 2.2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3.1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3.2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3.3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3.4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4.2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 ∆ 4.4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 Обратна матрица Резултат вектор X X \u003d A -1 ∙ B X T \u003d (2, -1, -0.33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0.33 x 4 \u003d 1

виж също sLAE решения по метода на обратната матрица онлайн. За целта въведете данните си и ще получите решение с подробни коментари.

Задача 2, Напишете системата от уравнения в матрична форма и я разрешете с помощта на обратната матрица. Направете проверка на полученото решение. решение:xML:xLS

Пример 2, Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица. решение:xML:xLS

пример, Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Изисква: 1) намери своето решение използвайки формулите на Креймър; 2) напишете системата в матрична форма и я разрешете с помощта на матрично смятане. насоки, След като решите с метода на Cramer, намерете бутона "Обратно матрично решение за изходните данни". Ще получите подходящо решение. Така данните няма да се налага да се попълват отново. решение, Нека A обозначава коефициента на матрица за неизвестни; X е матрица на колони с неизвестни; В - матрица на колоните на безплатни членове:

Вектор B: BT \u003d (4, -3, -3) Като се имат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: A * X \u003d B. Ако A не е дегенерат (детерминантът му е не нула, тогава има обратна матрица A Умножавайки двете страни на уравнението по A -1, получаваме: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Това равенство се нарича матричен запис на разтвор на система от линейни уравнения, За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1. Системата ще има решение, ако детерминантът на матрицата А е ненулев. Намерете основната детерминанта. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 И така, детерминантът е 14 ≠ 0, така че продължаваме решението. За да направите това, намерете обратната матрица чрез алгебрични допълнения. Да предположим, че имаме нераждаща се матрица A:

Изчисляваме алгебрични допълнения.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 инспекция. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 доктор:xML:xLS Отговорът е: -1,1,2.

Намиране на обратната матрица - задача, която често се решава с два метода:

методът на алгебраичните допълнения, при който се изисква да се намерят детерминанти и да се транспонират матрици;
гауссов неизвестен метод за елиминиране, при който се изисква да извърши елементарни матрични преобразувания (добавете линии, умножете линии по едно и също число и т.н.).

За най-любопитните има и други методи, например методът на линейни трансформации. В този урок ще анализираме трите споменати метода и алгоритми за намиране на обратната матрица по тези методи.

Обратна матрица Асе нарича такава матрица

А
. (1)

Обратна матрица да се намери за дадена квадратна матрица Асе нарича такава матрица

матричен продукт А вдясно е матрицата за идентичност, т.е.
. (1)

Единичната матрица е диагонална матрица, в която всички диагонални елементи са равни на единица.

Теорема. За всяка неезуларна (недегенерирана, неезикуларна) квадратна матрица можете да намерите обратната матрица и освен това само една. За специална (изродена, единствена) квадратна матрица обратната матрица не съществува.

Наречена е квадратната матрица неособена матрица (или неособена матрица, неособена матрица) ако нейната детерминанта не е равна на нула, и специален (или единствено число, единствено число) ако нейната детерминанта е нула.

Обратната матрица може да се намери само за квадратна матрица. Естествено, обратната матрица също ще бъде квадратна и в същия ред като тази матрица. Матрица, за която може да се намери обратна матрица, се нарича обратима матрица.

за обратна матрица има съответна обратна аналогия. За всяко число ане нула, има такова число бтози продукт а и б равно на едно: аб \u003d 1. номер б наречена обратната на числото б, Например за числото 7 обратното е 1/7, тъй като 7 * 1/7 \u003d 1.

Намиране на обратната матрица по метода на алгебраичните комплементи (съюзната матрица)

За нееднородна квадратна матрица Аобратното е матрицата

къде е детерминантът на матрицата А, a е матрица, свързана с матрицата А.

Съюзни с квадратна матрица Асе нарича матрица от същия ред, елементите на която са алгебраични допълнения на съответните елементи на детерминанта на матрицата, транспонирана спрямо матрицата А. Така че, ако

на

Алгоритъм за намиране на обратната матрица по метода на алгебраичния комплемент

1. Намерете детерминанта на дадена матрица А, Ако детерминантът е нула, обратната матрица е спряна, тъй като матрицата е изродена и обратната не съществува за нея.

2. Намерете матрица, транспонирана спрямо А.

3. Изчислете елементите на обединителната матрица като алгебрични добавки към яхтеното пристанище, намерени в стъпка 2.

4. Приложи формула (2): умножи обратната част на детерминанта на матрицата А, към обединяващата матрица, намерена в стъпка 4.

5. Проверете резултата, получен в стъпка 4, като умножите тази матрица А към обратната матрица. Ако произведението на тези матрици е равно на матрицата за идентичност, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай започнете процеса на решение отново.

Пример 1 За матрицата

намерете обратната матрица.

Решение. За да се намери обратната матрица, е необходимо да се намери детерминантата на матрицата А, Ние намираме по правилото на триъгълници:

Следователно матрицата А- несинуларна (недегенеративна, несинуларна) и за нея съществува обратното.

Намерете матрицата, която е свързана с тази матрица А.

Намерете матрицата, транспонирана спрямо матрицата А:

Ние изчисляваме елементите на обединяващата матрица като алгебрични допълнения на матрицата, транспонирана спрямо матрицата А:

Следователно, матрицата се конюгира с матрицата Аима формата

Забележка. Редът за изчисляване на елементите и транспониране на матрицата може да бъде различен. Първо можете да изчислите алгебраичното допълнение на матрицата Аи след това транспонирайте матрицата на алгебраичните комплементи. В резултат на това трябва да се получат същите елементи на обединяващата матрица.

Използвайки формула (2), намираме матрицата, обратна на матрицата А:

Намиране на обратната матрица чрез неизвестно елиминиране на Гаус

Първата стъпка за намиране на обратната матрица по неизвестния метод на елиминиране на Гаус е присвояване на матрицата А единична матрица от същия ред, разделяйки ги с вертикална лента. Получаваме двойна матрица. Умножаваме и двете страни на тази матрица по, след което получаваме

Алгоритъм за намиране на обратната матрица чрез неизвестно елиминиране на Гаус

1. Към матрицата А задайте единична матрица от същия ред.

2. Преобразувайте получената двойна матрица, така че в лявата й част да се окаже матрицата за идентичност, след това в дясната част на мястото на матрицата за идентичност автоматично ще се получи обратната матрица. матрица А от лявата страна се преобразува в единична матрица чрез елементарни матрични преобразувания.

2. Ако по време на трансформацията на матрицата А в матрицата за идентичност във всеки ред или във всяка колона ще има само нули, тогава детерминантата на матрицата е нула и следователно матрицата А ще бъде изродено и няма обратна матрица. В този случай по-нататъшното намиране на обратната матрица спира.

Пример 2 За матрицата

намерете обратната матрица.

и ще го преобразим, така че от лявата страна да получим матрицата за идентичност. Започваме преобразуването.

Умножаваме първия ред от лявата и дясната матрица по (-3) и го добавяме към втория ред, а след това умножаваме първия ред по (-4) и го добавяме към третия ред, след което получаваме

За да предотвратите възможни дробови числа по време на последващи трансформации, първо създайте единица във втория ред от лявата страна на двойната матрица. За да направите това, умножете втория ред по 2 и извадете третия ред от него, след което получаваме

Добавете първия ред към втория и след това умножете втория ред по (-9) и го добавете към третия ред. Тогава ставаме

Разделете третия ред с 8, след това

Умножете третия ред по 2 и го добавете към втория ред. Оказва се:

Разменяме втория и третия ред, след което най-накрая получаваме:

Виждаме, че от лявата страна имаме матрицата за идентичност, следователно от дясната страна имаме обратната матрица. По този начин:

Можете да проверите правилността на изчисленията, ние умножаваме оригиналната матрица по намерената обратна матрица:

Резултатът трябва да бъде обратната матрица.

Пример 3 За матрицата

намерете обратната матрица.

Решение. Правим двойна матрица

и ние ще го преобразим.

Умножаваме първия ред по 3, а втория по 2 и изваждаме от втория, след което умножаваме първия ред по 5, а третия по 2 и изваждаме от третия ред, след което получаваме

Умножаваме първия ред по 2 и го добавяме към втория, а след това изваждаме втория от третия ред, след което получаваме

Виждаме, че в третия ред от лявата страна всички елементи се оказаха нула. Следователно матрицата е изродена и няма обратна матрица. По-нататъшно намиране на обратната спирка на пристанището.

Матрична алгебра - обратна матрица

Обратна матрица

Обратна матрица се нарича матрица, която, когато се умножи както отдясно, така и отляво от тази матрица, дава матрицата за идентичност.
Обозначаваме обратната матрица към матрицата А до, тогава според определението, което получаваме:

където E Матрицата на идентичността ли е
Квадратна матрица Тя се нарича неособена матрица (неособена матрица) ако нейната детерминанта не е равна на нула. В противен случай се нарича специален (единствено число) или единствено число.

Съдържа следната теорема: всяка несинуларна матрица има обратна матрица.

Операцията по намиране на обратната матрица се нарича обжалване матрица. Помислете алгоритъма за инверсия на матрицата. Нека се даде несинуларна матрица пред:

където Δ \u003d det А ≠ 0.

Алгебраичен допълващ елементматрица п ти ред А детерминантът на матрица, взета с определен знак, се нарича ( п –1) първи ред, получен чрез зачертаване азтия ред и кколона с матрица А:

Съставете т.нар свързана матрица:

къде са алгебраичните допълнения на съответните елементи на матрицата А.
Обърнете внимание, че алгебричните допълнения на елементите от редовете на матрицата А се поставят в съответните колони на матрицата Ã , тоест матрицата се транспонира едновременно.
Разделяне на всички елементи на матрицата Ã върху Δ е стойността на детерминанта на матрицата А, получаваме обратната матрица в резултат:

Забелязваме редица специални свойства на обратната матрица:
1) за дадена матрица А неговата обратна матрица е единственият;
2) ако има обратна матрица, тогава дясно обратно и ляв заден ход матриците съвпадат с него;
3) специална (изродена) квадратна матрица няма обратна матрица.

Основните свойства на обратната матрица:
1) детерминантът на обратната матрица и детерминантът на оригиналната матрица са обратни;
2) обратната матрица на произведението на квадратни матрици е равна на произведението на обратните матрици на факторите, взети в обратния ред:

3) транспонираната обратна матрица е равна на обратната матрица от дадената транспонирана матрица:

ПРИ МИ Р. Изчислете обратната страна на дадената матрица.

Подобно на обратната на много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Как да намерите обратната матрица - bezbotvy

Обратна матрица (2 начина за намиране)

Обратна матрица №1

✪ 2015-01-28. 3x3 обратна матрица

✪ 2015-01-27. 2x2 обратна матрица

субтитри

Свойства на обратната матрица

det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))където det (\\ displaystyle \\ \\ det) означава детерминанта.
(A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1)) за две квадратни обърнати матрици A (\\ дисплей A) и B (\\ дисплей B).
(A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))където (...) T (\\ displaystyle (...) ^ (T)) означава транспонирана матрица.
(k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1)) за всеки коефициент k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ not \u003d 0).
E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения, (b е ненулев вектор), където x (\\ displaystyle x) е желаният вектор и ако A - 1 (\\ дисплей A ^ (- 1)) съществува тогава x \u003d A - 1 b (\\ displaystyle x \u003d A ^ (- 1) b), В противен случай или размерът на пространството на решение е по-голям от нула, или те изобщо не съществуват.

Начини за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава можете да използвате един от следните методи, за да намерите обратната матрица:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Йордан

Нека вземем две матрици: А и единична E, Даваме матрицата А към матрицата за идентичност по метода на Gauss-Jordan чрез прилагане на редове на базата на преобразувания (можете също да приложите трансформации и колони, но не и да разбърквате). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато редукцията на първата матрица до единична форма приключи, втората матрица ще бъде равна A -1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i)) (транспортиране или диагонална матрица с единици по основния диагонал, с изключение на една позиция):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A \u003d Λ A \u003d E ⇒ Λ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)). Λ m \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ start (bmatrix) 1 & \\ точки & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ точки & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ точки & 0 \\\\ &&& \\ точки &&& \\\\ 0 & \\ точки & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ точки & 1 \\ край (bmatrix))).

Втората матрица след прилагане на всички операции ще стане равна Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), тоест ще бъде желаното. Сложността на алгоритъма е O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3))).

Използване на матрицата на алгебраичните допълнения

Обратна на матрицата матрица A (\\ дисплей A)може да се представи като

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d (((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

където adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A)) - прикачена матрица;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминанта O det и е равна на O (n²) · O det.

Използване на LU / LUP разлагане

Матрично уравнение A X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n)) за обратна матрица X (\\ displaystyle X) може да се разглежда като комбинация n (\\ displaystyle n) системи на формата A x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b), Обозначаваме i (\\ displaystyle i)колона с матрица X (\\ displaystyle X) през X i (\\ displaystyle X_ (i)); след това A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)), i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n) защото i (\\ displaystyle i)матрица колона I n (\\ displaystyle I_ (n)) е единичен вектор e i (\\ displaystyle e_ (i)), с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения с една матрица и различни десни страни. След извършване на разлагането на LUP (време O (n³)), е необходимо време O (n²) за решаване на всяко от n уравненията, така че тази част от работата също отнема време O (n³).

Ако матрицата А не е изродена, тогава за нея можем да изчислим разпадането на LUP P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU), нека P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B), B - 1 \u003d D (\\ дисплей B ^ (- 1) \u003d D), Тогава от свойствата на обратната матрица можем да напишем: D \u003d U - 1 L - 1 (\\ дисплей D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)), Ако умножим това равенство с U и L, тогава можем да получим две равенства на формата U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1)) и D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)), Първото от тези равенства е система от n² линейни уравнения за n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n + 1)) (2))) от които са известни дясните страни (от свойствата на триъгълните матрици). Вторият също представлява система от n² линейни уравнения за n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (n-1)) (2))) от които са известни десните страни (също от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те представляват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи от матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 \u003d A −1 P −1 \u003d B −1 \u003d D. получаваме равенството A - 1 \u003d D P (\\ displaystyle A ^ (- 1) \u003d DP).

В случай на използване на разлагането на LU, не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но разтворът може да се разминава, дори ако матрицата А не е изродена.

Сложността на алгоритъма е O (n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

(Ψ k \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k ∑ i \u003d 0 n Ψ ki (\\ displaystyle (\\ начало (случаи) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ sum _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (случаи)))

Оценка на грешки

Избор на първоначалното приближение

Проблемът с избора на първоначално приближение в процесите на итеративна матрична инверсия, разгледан тук, не ни позволява да ги разглеждаме като независими универсални методи, които се конкурират с методите на директна инверсия, основани например на разграждането на LU на матриците. Има някои предложения за избор U 0 (\\ displaystyle U_ (0))осигуряване на условия ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единство), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче първо трябва да се знае отгоре оценката на спектъра на обратимата матрица А или матрицата A A T (\\ displaystyle AA ^ (T)) (а именно, ако A е симетрична положителна определена матрица и ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)тогава можете да вземете U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) E)Когато; ако A е произволна неразградена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)тогава вярвайте U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) A ^ (T))където също α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alpha \\ in \\ наляво (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ дясно)); Със сигурност можете да опростите ситуацията и, възползвайки се от факта, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))слагам U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))). Второ, при такова определение на първоначалната матрица няма гаранция за това ‖ Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |) ще е малък (може би дори ‖ Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)) и висок ред на степента на конвергенция не се вижда веднага.

примери

2x2 матрица

A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ начало (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\\\ край (bmatrix)) ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A)))) (\\ start (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ край (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ начало (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\ !! - b \\\\ - c & \\, край \\\\\\ (bmatrix)).)

Инверсия на 2x2 матрица е възможна само при условие, че a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

Прочетено:

Домашен, стабилен сензор за влажност на почвата за автоматично напояване Домашен, стабилен сензор за влажност на почвата за автоматично напояване Датчик за влажност на почвата, устойчив на корозия, подходящ за лятна автоматизация Датчик за влажност на почвата, устойчив на корозия, подходящ за лятна автоматизация Домашен, стабилен сензор за влажност на почвата за автоматично напояване

Прочетено: