Msgstr "Добавяне на числа с различни знаци"- Учебник по математика 6 клас (Виленкин)

Кратко описание:

В този раздел ще научите правилата за добавяне на числа с различни знаци: т.е. научете как да добавяте отрицателни и положителни числа.
Вече знаете как да ги добавите на координатна линия, но във всеки пример няма да начертаете линия и да броите по нея? Следователно трябва да се научите как да добавяте без него.
Нека опитаме с вас да добавите отрицателно към положително число, например добавете осем минус шест: 8 + (- 6). Вече знаете, че добавянето на отрицателно число намалява оригинала с отрицателна стойност. Това означава, че осем трябва да бъдат намалени с шест, т.е. извадете шест от осем: 8-6 \u003d 2, оказва се две. В този пример изглежда всичко е ясно, изваждаме шест от осем.
И ако вземете този пример: добавете положително число към отрицателно число. Например, минус осем добавете шест: -8 + 6. Същността остава същата: намаляваме положителното число с отрицателната стойност, получаваме шест, изваждаме осем ще бъде минус две: -8 + 6 \u003d -2.
Както можете да видите, и в първия, и във втория пример се извършва изваждане с числа. Защо? Защото те имат различни знаци (плюс и минус). За да не правите грешки при добавяне на числа с различни знаци, трябва да изпълните следния алгоритъм от действия:
1. намерете модули от числа;
2. извадете по-малкия модул от по-големия модул;
3. пред получения резултат поставете знак на число с голям модул (обикновено се поставя само знак минус, а знак плюс не се поставя).
Ако добавите числа с различни знаци, следвайки този алгоритъм, ще имате много по-малък шанс да сгрешите.

В тази статия ще ви разкажем как правилно да добавите отрицателно и положително число. Първо ще дадем основното правило за такова добавяне и след това ще покажем как се прилага при решаване на проблеми.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Основно правило за добавяне на положителни и отрицателни числа

По-рано казахме, че положителното число може да се разглежда като доход, а отрицателното число като загуба. За да разберете размера на приходите и разходите, трябва да разгледате модулите на тези числа. Ако в крайна сметка се окаже, че нашите разходи надвишават приходите, то след взаимното им отчитане ще останем в дълг, но ако напротив, ще останем на положителна територия. Ако разходите са равни на доходи, тогава ще имаме нулев баланс.

Използвайки горните разсъждения, можете да изведете основното правило за добавяне на числа с различни знаци.

Определение 1

За да добавите положително число към отрицателно число, трябва да намерите техните модули и да извършите сравнение. Ако стойностите са равни, тогава имаме два члена, които са противоположни числа и тяхната сума ще бъде нула. Ако те не са равни, тогава трябва да вземем предвид, че резултатът ще има същия знак като по-голямото число.

По този начин добавянето в този случай се свежда до изваждане на по-малко число от по-голямо число. Резултатът от това действие може да бъде различен: можем да получим както положителни, така и отрицателни числа. Нулев резултат също е възможно.

Това правило важи за цели, рационални и реални числа.

Задачи за събиране на положителни и отрицателни числа

Нека да видим как да приложим правилото, посочено по-горе на практика. Нека вземем прост пример първо.

Пример 1

Изчислете сумата 2 + (- 5).

Решение

Нека следваме стъпките, които научихме преди. Нека първо открием модулите на оригиналните числа, които ще бъдат равни на 2 и 5. По-големият модул е \u200b\u200b5, така че помним минуса. След това изваждаме по-малката от по-голямата и получаваме: 5 - 2 \u003d 3.

Отговор: (− 5) + 2 = − 3 .

Ако в условията на задачата има рационални числа с различни знаци, които не са цели числа, то за удобство на изчисленията е необходимо да ги представим под формата на десетични или общи фракции... Нека вземем такъв проблем и да го решим.

Пример 2

Изчислете колко е 2 1 8 + (- 1, 25).

Решение

Първата стъпка е да преведете смесен номер в обикновена фракция. Ако не си спомняте как да направите това, препрочетете съответната статия.

Представяме и десетичната дроб под формата на обикновена: - 1, 25 \u003d - 125 100 \u003d - 5 4.

След това вече можете да пристъпите към изчисляване на модулите и изчисляване на резултата. Нека намерим модулите: те ще бъдат равни на 17 8 и 5 4, съответно. Получените фракции се намаляват до общ знаменател и получаваме 17 8 и 10 8.

Следващата стъпка е да сравним обичайните дроби. Тъй като числителят на първата дроб е по-голям, тогава 17 8\u003e 10 8. Ако имаме повече термин със знак плюс, тогава трябва да помним, че резултатът ще бъде положителен.

17 8 - 10 8 = 17 - 10 8 = 7 8

Вече отбелязахме, че резултатът ще бъде със знак плюс: + 7 8. Тъй като плюсът не е задължителен, ще го направим без него, когато пишем отговора.

Нека запишем целия ход на решението:

2 1 8 + - 1 , 25 = 17 8 + - 5 4 = 17 8 + - 10 8 = 17 8 - 10 8 = 7 8

Отговор: 2 1 8 + - 1 , 25 = 7 8 .

Пример 3

Намерете сумата от 14 и - 14.

Решение

Имаме два еднакви термина с различни знаци. Това означава, че тези числа са противоположни един на друг, следователно тяхната сума ще бъде равна на 0.

Отговор: 14 + - 14 = 0

В края на статията добавяме, че резултатът от добавянето на реални отрицателни числа с положителните често е по-добре да пишете във формата числов израз с корени, степени или логаритми, а не под формата на безкрайност десетична дроб... Така че, ако добавим числата n и - 3, тогава отговорът ще бъде n - 3. Не винаги е необходимо да се брои крайният резултат и можете да се справите с приблизителни изчисления. Повече за това ще напишем в статията за основните операции с реални числа.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

В този урок ще научим какво е отрицателно число и кои числа се наричат \u200b\u200bпротивоположни. Също така ще научим как да добавяме отрицателни и положителни числа (числа с различни знаци) и ще анализираме няколко примера за добавяне на числа с различни знаци.

Погледнете тази предавка (вижте фиг. 1).

Фигура: 1. Часовник

Това не е стрелка, която директно показва часа, а не циферблат (вж. Фиг. 2). Но без тази подробност часовникът не работи.

Фигура: 2. Предавка вътре в часовника

И какво означава буквата Y? Нищо, освен звука на Y. Но много думи няма да „работят“ без него. Например думата „мишка“. Също и отрицателните числа: те не показват никакво количество, но без тях изчислителният механизъм би бил много по-труден.

Знаем, че събирането и изваждането са еднакви операции и могат да се извършват във всякакъв ред. В записа в директен ред можем да преброим :, но не можем да започнем с изваждане, тъй като все още не сме се разбрали какво е.

Ясно е, че увеличаването на броя с и след това намаляването със средства в крайна сметка намалява с три. Защо не посочите този обект и не преброите по този начин: добавянето означава изваждане. Тогава.

Числото може да означава например ябълки. Новото число не представлява никакво реално количество. Само по себе си това не означава нищо като буквата Y. Просто е нов инструмент за опростяване на изчисленията.

Нека извикаме новите номера отрицателен... Сега можем да извадим по-голямото от по-малкото число. Технически все пак трябва да извадите по-малкото от по-голямото число, но в отговора поставете знак минус :.

Да вземем друг пример: ... Можете да правите всички действия подред :.

По-лесно е обаче да извадите третото от първото число и след това да добавите второто число:

Има и други начини за дефиниране на отрицателни числа.

Например за всяко естествено число въвеждаме ново число, което обозначаваме, и определяме, че то има следното свойство: сумата от числото и е равно на :.

Числото ще се нарича отрицателно, а числата и - противоположно. По този начин получихме безкраен брой нови числа, например:

Противоположно на число;

Обратното на число;

Обратното на число;

Обратното на число;

Извадете по-голямото от по-малкото число :. Нека добавим към този израз :. Получихме нула. Според свойството обаче число, което добавя нула към пет, се означава минус пет :. Следователно изразът може да бъде означен като.

Всяко положително число има двойно число, което се различава само по това, че има знак минус пред него. Такива числа се наричат противоположно(вижте фиг. 3).

Фигура: 3. Примери противоположни числа

Свойства на противоположни числа

1. Сумата от противоположните числа е нула :.

2. Ако от нула се извади положително число, резултатът е обратното отрицателно число :.

1. И двете числа могат да бъдат положителни и вече знаем как да ги добавим :.

2. И двете числа могат да бъдат отрицателни.

Вече преминахме през добавянето на такива числа в предишния урок, но ще се уверим, че разбираме какво да правим с тях. Например: .

За да намерите тази сума, съберете противоположни положителни числа и поставете знак минус.

3. Едно число може да бъде положително, а друго отрицателно.

Ако ни е удобно, можем да заменим добавянето на отрицателно число с изваждане на положително :.

Още един пример:. Отново записваме сумата като разлика. Можете да извадите по-голямото число от по-малкото, като извадите по-малкото от по-голямото, но поставяйки знак минус.

Можем да разменяме термините :.

Друг подобен пример :.

Във всички случаи резултатът е изваждане.

За да обобщим тези правила накратко, нека си припомним друг термин. Противоположните числа, разбира се, не са равни помежду си. Но би било странно да не забележите общото между тях. Нарекохме това общо модул на числото... Модулът на противоположните числа е един и същ: за положително число е равно на самото число, а за отрицателно число е равно на обратното, положително. Например: , .

За да добавите две отрицателни числа, трябва да добавите техните модули и да поставите знак минус:

За да добавите отрицателно и положително число, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и да поставите знака на числото с по-големия модул:

И двете числа са отрицателни, следователно събираме модулите им и поставяме знак минус:

Две числа с различни знаци, следователно от модула на числото (по-голям модул) изваждаме модула на числото и поставяме знак минус (знак на число с по-голям модул):

Две числа с различни знаци, следователно, от модула на числото (по-голям модул), извадете модула на числото и сложете знак минус (знак на число с по-голям модул) :.

Две числа с различни знаци, следователно, от модула на числото (по-голям модул), извадете модула на числото и поставете знака плюс (знак на число с по-голям модул) :.

Положителните и отрицателните числа имат исторически различни роли.

Първо въведохме естествени числа за броене на елементи:

След това въведохме други положителни числа - дроби, за преброяване на нецели количества, части :.

Отрицателните числа се появиха като инструмент за опростяване на изчисленията. Никога не се е случвало в живота да има някои величини, които да не можем да преброим, и сме измислили отрицателни числа.

Тоест отрицателните числа не са възникнали от реалния свят. Те просто се оказаха толкова удобни, че на някои места намериха приложение в живота. Например често чуваме за температури на замръзване. Никога обаче не срещаме отрицателен брой ябълки. Каква е разликата?

Разликата е, че в живота отрицателните стойности се използват само за сравнение, но не и за количества. Ако в хотел е било оборудвано мазе и там е поставен асансьор, тогава, за да се остави обичайната номерация на обикновените етажи, може да се появи минус първи етаж. Това минус първото означава само един етаж под нивото на земята (вж. Фиг. 1).

Фигура: 4. Минус първи и минус втори етаж

Отрицателната температура е отрицателна само в сравнение с нулата, която е избрана от автора на скалата Андерс Целзий. Има и други везни и същата температура там може вече да не е отрицателна.

В същото време разбираме, че е невъзможно да се промени началната точка, така че да няма пет ябълки, а шест. По този начин в живота се използват положителни числа за определяне на количества (ябълки, сладкиши).

Използваме ги и вместо имена. Всеки телефон може да получи собствено име, но броят на имената е ограничен и няма номера. Затова ние използваме номера за телефонни номера. Също и за поръчка (век след век).

Отрицателните числа в живота се използват в последния смисъл (минус първия етаж под нулата и първите етажи)

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6.M.: Mnemosina, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonskiy V.V., Yakir M.S. Математика 6 клас. "Гимназия", 2006.
3. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. Зад страниците на учебник по математика. М.: Образование, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковски И.В. Задания за курса по математика 5-6 клас. Москва: ZSH MEPhI, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковски К.Г. Математика 5-6. Наръчник за ученици от 6 клас на заочното училище MEPhI. Москва: ZSH MEPhI, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-придружител за 5-6 клас на гимназията. М.: Образование, Библиотека на учителя по математика, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube ().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Домашна работа

\u003e\u003e Математика: Добавяне на числа с различни знаци

33. Добавяне на числа с различни знаци

Ако температурата на въздуха е била равна на 9 ° С и след това се е променила с - 6 ° С (т.е. намалена с 6 ° С), тогава тя е станала равна на 9 + (- 6) градуса (фиг. 83).

За да добавите числата 9 и - 6 с помощта, трябва да преместите точка A (9) вляво с 6 единични сегмента (фиг. 84). Получаваме точка B (3).

Следователно, 9 + (- 6) \u003d 3. Числото 3 има същия знак като термина 9 и неговия модул е равна на разликата между абсолютните стойности на членовете 9 и -6.

Всъщност, | 3 | \u003d 3 и | 9 | - | - 6 | \u003d \u003d 9 - 6 \u003d 3.

Ако същата температура на въздуха от 9 ° C се промени с -12 ° C (т.е. намали се с 12 ° C), тогава тя стана равна на 9 + (- 12) градуса (Фиг. 85). Добавяйки числата 9 и -12 с помощта на координатната линия (фиг. 86), получаваме 9 + (-12) \u003d -3. Числото -3 има същия знак като термина -12 и неговият модул е \u200b\u200bравен на разликата между абсолютните стойности на термините -12 и 9.

Наистина, | - 3 | \u003d 3 и | -12 | - | -9 | \u003d 12 - 9 \u003d 3.

За да добавите две числа с различни знаци, трябва:

1) извадете по-малкия от по-големия модул на членовете;

2) поставете пред полученото число знака на члена, чийто модул е \u200b\u200bпо-голям.

Обикновено знакът на сумата първо се определя и записва и след това се открива разликата в модулите.

Например:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
или по-кратко 6.1 + (- 4.2) \u003d 6.1 - 4.2 \u003d 1.9;

Когато добавяте положителни и отрицателни числа, можете да използвате микрокалкулатор... За да въведете отрицателно число в калкулатора, трябва да въведете модула на това число, след което да натиснете бутона "знак за промяна" | / - / |. Например, за да въведете числото -56.81, трябва да натиснете последователно клавишите: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, | / - / |. Операциите върху числата на който и да е знак се извършват върху калкулатора по същия начин, както при положителните числа.

Например сумата -6,1 + 3,8 се изчислява по Програма

? Числата a и b имат различни знаци. Какъв знак ще има сумата от тези числа, ако по-големият модул има отрицателно число?

ако по-малкият модул има отрицателно число?

ако по-големият модул има положително число?

ако по-малкият модул има положително число?

Формулирайте правило за добавяне на числа с различни знаци. Как да въведете отрицателно число в калкулатора?

ДА СЕ 1045. Числото 6 беше променено на -10. От коя страна на произхода се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? На какво е равно сума 6 и -10?

1046. Числото 10 беше променено на -6. От коя страна на произхода се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Каква е сумата от 10 и -6?

1047. Числото -10 беше променено на 3. От коя страна на произхода се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Каква е сумата от -10 и 3?

1048. Числото -10 беше променено на 15. От коя страна на произхода се намира полученото число? На какво разстояние от началото се намира? Каква е сумата от -10 и 15?

1049. През първата половина на деня температурата се е променила с - 4 ° С, а през втората половина - с + 12 ° С. Колко градуса се е променила температурата през деня?

1050. Извършете добавяне:

1051. Добавете:

а) към сумата от -6 и -12 числото 20;
б) до числото 2.6, сумата от -1.8 и 5.2;
в) до сумата от -10 и -1,3 сумата от 5 и 8,7;
г) до сумата от 11 и -6,5 сумата от -3,2 и -6.

1052. Кое от числата 8; 7.1; -7,1; -7; -0,5 е коренът уравнения - 6 + x \u003d -13,1?

1053. Познайте корена на уравнението и проверете:

а) x + (-3) \u003d -11; в) m + (-12) \u003d 2;
б) - 5 + y \u003d 15; г) 3 + n \u003d -10.

1054. Намерете стойността на израза:

1055. Извършете действия с помощта на калкулатора:

а) - 3.2579 + (-12.308); г) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
б) 7,8547+ (- 9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) -0,00154 + 0,0837; е) -0,0085+ 0,00354+ (- 0,00921).

P 1056. Намерете стойността на сумата:

1057. Намерете стойността на израза:

1058. Колко са целите числа между числата:

а) 0 и 24; б) -12 и -3; в) -20 и 7?

1059. Представете числото -10 като сбор от два отрицателни члена, така че:

а) и двата термина са цели числа;
б) и двата термина бяха десетични дроби;
в) едно от условията беше редовно фракция.

1060. Какво е разстоянието (в единични сегменти) между точките на координатната линия с координати:

а) 0 и а; б) -а и а; в) -а и 0; г) а и -Za?

М 1061. Радиусите на географските паралели на земната повърхност, на които са разположени градовете Атина и Москва, са съответно 5040 км и 3580 км (фиг. 87). Колко паралелът на Москва е по-кратък от паралела на Атина?

1062. Направете уравнение за решаване на проблема: „Поле с площ от 2,4 хектара беше разделено на две секции. намирам квадрат на всеки сайт, ако е известно, че един от сайтовете:

а) с 0,8 хектара повече от другия;
б) с 0,2 хектара по-малко от другия;
в) 3 пъти повече от друг;
г) 1,5 пъти по-малко от другия;
д) представлява друг;
е) е 0,2 други;
ж) съставлява 60% от останалите;
з) съставлява 140% от останалите. "

1063. Решаване на проблема:

1) През първия ден пътниците изминаха 240 км, на втория ден - 140 км, на третия ден изминаха 3 пъти повече, отколкото на втория, а на четвъртия ден си почиваха. Колко километра са изминали на петия ден, ако са изминали средно по 230 километра на ден за 5 дни?

2) Печалбата на бащата на месец е 280 рубли. Стипендията на дъщерята е 4 пъти по-малка. Колко печели една майка на месец, ако в семейството има 4 души, най-малкият син е ученик и всеки има средно 135 рубли?

1064. Извършете действия:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Представя се като сбор от два равни члена на всяко от числата:

1067. Намерете стойността a + b, ако:

а) a \u003d -1,6, b \u003d 3,2; b) a \u003d - 2.6, b \u003d 1.9; в)

1068. На един етаж от жилищна сграда имаше 8 апартамента. 2 апартамента имаха жилищна площ от 22,8 м 2, 3 апартамента - по 16,2 м 2, 2 апартамента - по 34 м 2. Каква жилищна площ имаше осмият апартамент, ако на този етаж средно всеки апартамент имаше 24,7 м2 жилищна площ?

1069 Товарният влак се състои от 42 вагона. Имаше 1,2 пъти повече покрити вагони, отколкото платформи, а броят на танковете беше равен на броя платформи. Колко вагона от всеки тип са били във влака?

1070. Намерете значението на израза

Н. Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия

Планиране по математика, учебници и книги онлайн, курсове и задачи по математика за 6 клас изтегляне

Добавяне на отрицателни числа.

Сборът от отрицателни числа е отрицателен. Модулът на сумата е равен на сумата на модулите на членовете.

Нека да видим защо сумата от отрицателните числа също е отрицателна. В това ще ни помогне координатната линия, на която ще извършим добавянето на числата -3 и -5. Нека маркираме на координатната линия точката, съответстваща на числото -3.

Трябва да добавим -5 към числото -3. Къде отиваме от точката, съответстваща на числото -3? Дясно ляво! 5 единични сегмента. Маркираме точката и записваме съответстващото й число. Това число е -8.

Така че, когато извършваме добавянето на отрицателни числа с помощта на координатната линия, ние сме през цялото време вляво от началото, следователно е ясно, че резултатът от добавянето на отрицателни числа също е отрицателно число.

Забележка. Добавихме числата -3 и -5, т.е. намери стойността на израза -3 + (- 5). Обикновено при добавяне рационални числа те просто записват тези цифри със своите знаци, сякаш изброяват всички числа, които трябва да бъдат добавени. Този запис се нарича алгебрична сума... Приложете (в нашия пример) нотацията: -3-5 \u003d -8.

Пример. Намерете сумата на отрицателните числа: -23-42-54. (Съгласете се, че този запис е по-кратък и по-удобен по този начин: -23 + (- 42) + (- 54))?

Ние решаваме според правилото за събиране на отрицателни числа: добавете модулите на термините: 23 + 42 + 54 \u003d 119. Резултатът ще бъде със знак минус.

Обикновено се пише така: -23-42-54 \u003d -119.

Добавяне на числа с различни знаци.

Сборът от две числа с различни знаци има знака на член с голям модул. За да намерите модула на сумата, извадете по-малкия от по-големия модул.

Нека добавим числа с различни знаци, като използваме координатна линия.

1) -4 + 6. Изисква се да добавите числото 6 към числото -4. Нека маркираме числото -4 с точка на координатната линия. Числото 6 е положително, така че от точката с координатата -4 трябва да отидем надясно с 6 единични сегмента. Бяхме вдясно от началото (от нула) на 2 единични сегмента.

Резултатът от сумата на числата -4 и 6 е положителното число 2:

- 4 + 6 \u003d 2. Как бихте могли да получите числото 2? Извадете 4 от 6, т.е. извадете по-малкия от по-големия модул. Резултатът има същия знак като термина с голям модул.

2) Нека изчислим: -7 + 3 с помощта на координатната линия. Маркираме точката, съответстваща на числото -7. Отидете надясно по 3 единични сегмента и вземете точка с координата -4. Бяхме и останахме вляво от произхода: отговорът е отрицателно число.

- 7 + 3 \u003d -4. Можем да получим този резултат, както следва: извадете по-малкия от по-големия модул, т.е. 7-3 \u003d 4. В резултат на това поставяме знака на термина с по-голям модул: | -7 |\u003e | 3 |.

Примери. Изчисли: и) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.