Дивизияи числителя и знаменателя на дробата по техните общ делител се нарича друго освен единство намаляване на фракцията.

За да отмените обикновена дроб, трябва да разделите нейния числител и знаменател на едно и също естествено число.

Това число е най -големият общ множител на числителя и знаменателя на дробата.

Възможни са следните формуляри за записване на решенияпримери за намаляване на обикновените дроби.

Студентът има право да избере всяка форма на регистрация.

Примери. Опростете дробите.

Намалете дробта с 3 (разделете числителя на 3;

разделете знаменателя на 3).

Намалете фракцията със 7.

Изпълняваме посочените действия в числителя и знаменателя на дробата.

Намалете получената дроб с 5.

Намалете тази част 4) На 5 · 7³- най -големият общ коефициент (GCD) на числителя и знаменателя, който се състои от общите множители на числителя и знаменателя, взети до степен с най -малката степен.

Разширяваме числителя и знаменателя на тази дроб с основни фактори.

Получаваме: 756 = 2² · 3³ · 7и 1176 = 2³ · 3 · 7².

Определете GCD (най -големия общ делител) на числителя и знаменателя на дробата 5) .

Това е продукт на най -ниските общи фактори.

GCD (756; 1176) = 2² · 3 · 7.

Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб по техния GCD, тоест по 2² · 3 · 7получаваме несводима дроб 9/14 .

И беше възможно да се напише разширението на числителя и знаменателя под формата на произведение от прости множители, без да се използва понятието за степен, и след това да се намали дробата чрез зачертаване на същите фактори в числителя и знаменателя. Когато не са останали идентични фактори, умножаваме останалите фактори отделно в числителя и отделно в знаменателя и изписваме получената дроб 9/14 .

И накрая, беше възможно да се намали тази част 5) постепенно, прилагайки знаците за разделяне на числа както към числителя, така и към знаменателя на дробата. Ние разсъждаваме така: числа 756 и 1176 завършват с четна цифра, което означава, че и двете се делят на 2 ... Намалете фракцията с 2 ... Числителят и знаменателят на новата дроб са числа 378 и 588 също разделени на 2 ... Намалете фракцията с 2 ... Обърнете внимание, че номерът 294 - дори, и 189 - нечетно и намаляването с 2 вече не е възможно. Нека проверим критерия за делимост за числа 189 и 294 На 3 .

(1 + 8 + 9) = 18 се дели на 3 и (2 + 9 + 4) = 15 се дели на 3, следователно самите числа 189 и 294 са разделени на 3 ... Намалете фракцията с 3 ... Освен това, 63 се дели на 3 и 98 - Не. Повтаряме други основни фактори. И двете числа се делят на 7 ... Намалете фракцията с 7 и получаваме несводима дроб 9/14 .

В тази статия ще разгледаме основни операции с алгебрични дроби:

• намаляване на дробите
• умножение на дроби
• разделяне на дроби

Нека започнем с намаления алгебрични дроби .

Изглежда, че, алгоритъмочевидно.

Да се намаляване на алгебричните дроби, необходимо

1. Факторизирайте числителя и знаменателя на дроб.

2. Намалете равни фактори.

Въпреки това учениците често правят грешката да „отменят“ не фактори, а термини. Например, има аматьори, които на части "намаляват" с и получават в резултат, което, разбира се, не е вярно.

Нека разгледаме някои примери:

1. Намалете фракцията:

1. Нека факторизираме числителя по формулата на квадрата на сумата, а знаменателя по формулата на разликата в квадратите

2. Разделете числителя и знаменателя на

2. Намалете фракцията:

1. Умножете числителя. Тъй като числителят съдържа четири термина, ще приложим групирането.

2. Умножете знаменателя на фактори. Прилагаме и групиране.

3. Нека запишем получената дроб и да отменим същите фактори:

Умножение на алгебрични дроби.

Когато умножаваме алгебрични дроби, умножаваме числителя по числителя и умножаваме знаменателя по знаменателя.

Важно!Няма нужда да бързате да умножавате в числителя и знаменателя на дробата. След като сме записали произведението на числителите на дроби в числителя и произведението на знаменателите в знаменателя, трябва да разложим всеки фактор на фактори и да анулираме дробата.

Нека разгледаме някои примери:

3. Опростете израза:

1. Нека напишем произведението на дробите: в числителя произведението на числителите и в знаменателя произведението на знаменателите:

2. Нека факторизираме всяка скоба:

Сега трябва да премахнем същите фактори. Обърнете внимание, че изразите и се различават само по знак: и в резултат на разделянето на първия израз на втория, получаваме -1.

Така,

Извършваме разделяне на алгебрични дроби съгласно следното правило:

Това е за да разделите на дроб, трябва да умножите по "обърнат".

Виждаме, че разделянето на дробите се свежда до умножение и умножението в крайна сметка се свежда до намаляване на дробите.

Нека разгледаме един пример:

4. Опростете израза:

Децата в училище научават правилата за намаляване на дробите в 6 клас. В тази статия първо ще ви кажем какво означава това действие, след което ще обясним как да преобразувате отменяема дроб в неразделима дроб. Следващата точка ще бъдат правилата за намаляване на дробите и след това постепенно ще стигнем до примерите.

Какво означава „анулиране на дроб“?

И така, всички знаем, че обикновените дроби са разделени на две групи: отменяеми и несводими. Вече по имената може да се разбере, че тези, които са редуцируеми, се редуцират, а тези, които не се намаляват, не се редуцират.

• Намаляването на дроб означава разделяне на нейния знаменател и числителя на техния (различен от един) положителен делител. Резултатът, разбира се, е нова дроб с по -нисък знаменател и числител. Получената дроб ще бъде равна на първоначалната.

Струва си да се отбележи, че в книгите по математика със задачата „намалете дроба“ това означава, че трябва да донесете оригиналната дроб точно до тази несводима форма. Ако говорим с прости думи, след това разделянето на знаменателя и числителя по техния най -голям общ делител е отмяна.

Как да намалим част. Правила за намаляване на дробите (степен 6)

Така че тук има само две правила.

1. Първото правило за намаляване на дробите: първо трябва да намерите най -големия общ знаменател на знаменателя и числителя на вашата дроб.
2. Второто правило е да разделите знаменателя и числителя на най -големия общ множител, в крайна сметка получавате несъкратима дроб.

Как да отмените неправилна дроб?

Правилата за намаляване на дробите са идентични с тези за отмяна на неправилни дроби.

За да отмените неправилна дроб, първо трябва да запишете знаменателя и числителя в прости множители и едва след това да намалите общите фактори.

Намаляване на смесените фракции

Правилата за намаляване на фракциите се прилагат и за намаляване смесени фракции... Има само малка разлика: не можем да докоснем цялата част, но да намалим дробната или смесената дроб до неправилна, след това да я отменим и отново да я преобразуваме в обикновена дроб.

Има два начина за намаляване на смесените фракции.

Първо: да запишете дробната част в основни фактори и след това да оставите цялата част на мира.

Вторият начин: първо преведете в неправилна дроб, запишете в обикновени фактори, след това намалете дробта. Преобразувайте вече получената неправилна дроб в правилната.

Примери могат да се видят на снимката по -горе.

Искрено се надяваме, че успяхме да помогнем на вас и вашите деца. Всъщност в класната стая те много често са невнимателни, така че трябва да учите сами по -интензивно у дома.

Намаляването на дробите е необходимо, за да се увеличи фракцията до повече прост ум, например, в отговора, получен в резултат на решаване на израза.

Намаляване на дробите, дефиниция и формула.

Какво е намаляване на фракциите? Какво означава да отмените дроб?

Определение:
Намаляване на дробите- това е разделянето на числителя и знаменателя на дробите на същото положително числоне е равно на нула и единица. В резултат на редукцията се получава дроб с по -малък числител и знаменател, равна на предишната дроб съгласно.

Формула за намаляване на фракциитеосновното свойство на рационалните числа.

\ (\ frac (p \ times n) (q \ times n) = \ frac (p) (q) \)

Нека разгледаме един пример:
Отмяна на дробата \ (\ frac (9) (15) \)

Решение:
Можем да разделим фракцията на основни фактори и да анулираме общите фактори.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3 \ times 3) (5 \ times 3) = \ frac (3) (5) \ times \ color (червено) (\ frac (3) (3) ) = \ frac (3) (5) \ times 1 = \ frac (3) (5) \)

Отговор: след редукцията получаваме частта \ (\ frac (3) (5) \). По основното свойство на рационалните числа началната и получената дроб са равни.

\ (\ frac (9) (15) = \ frac (3) (5) \)

Как да намалим дробите? Намаляване на дроби до несводима форма.

За да получим в резултат несводима дроб, имаме нужда намери най -големия общ фактор (gcd)за числителя и знаменателя на дробата.

Има няколко начина за намиране на GCD, ще използваме в примера разлагането на числата на прости множители.

Вземете неотменяемата дроб \ (\ frac (48) (136) \).

Решение:
Намерете GCD (48, 136). Нека запишем числата 48 и 136 чрез прости множители.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD (48, 136) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (48) (136) = \ frac (\ color (червено) (2 \ times 2 \ times 2) \ times 2 \ times 3) (\ color (червено) (2 \ times 2 \ times 2) \ times 17) = \ frac (\ color (red) (6) \ times 2 \ times 3) (\ color (red) (6) \ times 17) = \ frac (2 \ times 3) (17) = \ frac (6) (17) \)

Правилото за редуциране на дроб до несводима форма.

1. Намерете най -големия общ фактор за числителя и знаменателя.
2. Необходимо е да се раздели числителят и знаменателят на най -големия общ делител в резултат на делението, за да се получи несводима дроб.

Пример:
Намалете дробата \ (\ frac (152) (168) \).

Решение:
Намерете GCD (152, 168). Нека запишем числата 152 и 168 чрез прости множители.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD (152, 168) = 2⋅2⋅2 = 6

\ (\ frac (152) (168) = \ frac (\ color (червено) (6) \ times 19) (\ color (червено) (6) \ times 21) = \ frac (19) (21) \)

Отговор: \ (\ frac (19) (21) \) е несъкратима дроб.

Неравномерно намаляване на фракциите.

Как да отмените неправилна дроб?
Правилата за намаляване на дробите за редовни и неправилни дроби са едни и същи.

Нека разгледаме един пример:
Отменете неправилната дроб \ (\ frac (44) (32) \).

Решение:
Нека запишем числителя и знаменателя в прости множители. И тогава ще намалим общите фактори.

\ (\ frac (44) (32) = \ frac (\ color (червено) (2 \ times 2) \ times 11) (\ color (red) (2 \ times 2) \ times 2 \ times 2 \ times 2 ) = \ frac (11) (2 \ times 2 \ times 2) = \ frac (11) (8) \)

Намаляване на смесените фракции.

Смесени дроби съгласно същите правила като обикновени дроби... Единствената разлика е, че можем не докосвайте цялата част, а намалете дробната частили преобразуване на смесена дроб в неправилна дроб, намаляване и преобразуване обратно в обикновена дроб.

Нека разгледаме един пример:
Отменете смесената дроб \ (2 \ frac (30) (45) \).

Решение:
Ще решим по два начина:
Първият начин:
Нека запишем дробната част в основни фактори, но няма да докоснем цялата част.

\ (2 \ frac (30) (45) = 2 \ frac (2 \ times \ color (red) (5 \ times 3)) (3 \ times \ color (red) (5 \ times 3)) = 2 \ frac (2) (3) \)

Втори начин:
Първо го преобразуваме в неправилна дроб и след това го записваме в основни фактори и го анулираме. Преобразуваме получената неправилна дроб в правилна.

\ (2 \ frac (30) (45) = \ frac (45 \ times 2 + 30) (45) = \ frac (120) (45) = \ frac (2 \ times \ color (червено) (5 \ times 3) \ пъти 2 \ пъти 2) (3 \ пъти \ цвят (червено) (3 \ пъти 5)) = \ frac (2 \ times 2 \ times 2) (3) = \ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

Въпроси по темата:
Можете ли да отмените дроби при добавяне или изваждане?
Отговор: не, първо трябва да добавите или извадите дроби според правилата и едва след това да намалите. Нека разгледаме един пример:

Оценете израза \ (\ frac (50 + 20-10) (20) \).

Решение:
Те често правят грешката да отменят едни и същи числа в числителя и знаменателя в нашия случай числото 20, но не могат да бъдат отменени, докато не извършите събиране и изваждане.

\ (\ frac (50+ \ color (red) (20) -10) (\ color (red) (20)) = \ frac (60) (20) = \ frac (3 \ times 20) (20) = \ frac (3) (1) = 3 \)

С какви числа може да се намали дроб?
Отговор: Можете да отмените дроб с най -големия общ множител или обичайния делител на числителя и знаменателя. Например, дробът \ (\ frac (100) (150) \).

Нека запишем числата 100 и 150 в прости множители.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Най -големият общ делител ще бъде броят на GCD (100, 150) = 2⋅5⋅5 = 50

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ times 50) (3 \ times 50) = \ frac (2) (3) \)

Получава несъкратима дроб \ (\ frac (2) (3) \).

Но не винаги е необходимо да се разделя на GCD, не винаги е необходима неразрешима дроб, можете да намалите дробата с прост делител на числителя и знаменателя. Например 100 и 150 имат общ делител на 2. Намалете дробта \ (\ frac (100) (150) \) с 2.

\ (\ frac (100) (150) = \ frac (2 \ times 50) (2 \ times 75) = \ frac (50) (75) \)

Получих отменената дроб \ (\ frac (50) (75) \).

Какви дроби могат да бъдат съкратени?
Отговор: Можете да отмените дроби, в които числителят и знаменателят имат общ делител. Например, дробът \ (\ frac (4) (8) \). Числата 4 и 8 имат число, с което и двамата делят това число 2. Следователно, такава дроб може да бъде отменена с числото 2.

Пример:
Сравнете двете дроби \ (\ frac (2) (3) \) и \ (\ frac (8) (12) \).

Тези две дроби са равни. Разгледайте подробно дробата \ (\ frac (8) (12) \):

\ (\ frac (8) (12) = \ frac (2 \ times 4) (3 \ times 4) = \ frac (2) (3) \ times \ frac (4) (4) = \ frac (2) (3) \ пъти 1 = \ frac (2) (3) \)

От това получаваме \ (\ frac (8) (12) = \ frac (2) (3) \)

Две дроби са равни тогава и само ако една от тях е получена чрез намаляване на другата дроб с общ множител на числителя и знаменателя.

Пример:
Намалете следните дроби, ако е възможно: a) \ (\ frac (90) (65) \) b) \ (\ frac (27) (63) \) c) \ (\ frac (17) (100) \) d ) \ (\ frac (100) (250) \)

Решение:
а) \ (\ frac (90) (65) = \ frac (2 \ times \ color (red) (5) \ times 3 \ times 3) (\ color (red) (5) \ times 13) = \ frac (2 \ по 3 \ по 3) (13) = \ frac (18) (13) \)
б) \ (\ frac (27) (63) = \ frac (\ color (червено) (3 \ times 3) \ times 3) (\ color (червено) (3 \ times 3) \ times 7) = \ frac (3) (7) \)
в) \ (\ frac (17) (100) \) несводима дроб
г) \ (\ frac (100) (250) = \ frac (\ color (червено) (2 \ times 5 \ times 5) \ times 2) (\ color (червено) (2 \ times 5 \ times 5) \ пъти 5) = \ frac (2) (5) \)

Така че вече знаем, че числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени и разделени на едно и също число, като дробът няма да се промени от това. Помислете за три подхода:

Първият подход.

За отмяна разделете числителя и знаменателя на общия множител. Нека разгледаме някои примери:

Нека съкратим:

В дадените примери веднага виждаме кои делители да вземем за намаляване. Процесът е прост - повтаряме над 2,3,4,5 и така нататък. В повечето примери за училищния курс това е достатъчно. Но ако има дроб:

Тук процесът с подбора на делители може да отнеме много време;). Разбира се, такива примери са извън училищния курс, но трябва да можете да се справите с тях. По -долу ще видим как се прави това. Засега нека се върнем към процеса на намаляване.

Както бе обсъдено по -горе, за да намалим фракцията, извършихме разделяне чрез общия делител (li), определен от нас. Това е вярно! Трябва само да добавите признаци за делимост на числата:

- ако числото е четно, то се дели на 2.

- ако броят на последните две цифри се дели на 4, тогава самото число се дели на 4.

- ако сумата от цифрите, съставляващи числото, се дели на 3, тогава самото число се дели на 3. Например 125031, 1 + 2 + 5 + 0 + 3 + 1 = 12. Дванадесет се дели на 3, така че 123031 се дели на 3.

- ако има 5 или 0 в края на числото, тогава числото се дели на 5.

- ако сумата от цифрите, съставляващи числото, се дели на 9, тогава самото число се дели на 9. Например 625032 =.> 6 + 2 + 5 + 0 + 3 + 2 = 18. Осемнадесет се дели на 9, така че 623032 се дели на 9.

Втори подход.

Накратко, същността всъщност е, че цялото действие се свежда до факториране на числителя и знаменателя на фактори и след това до отмяна на равни фактори в числителя и знаменателя (този подход е следствие от първия подход):

Визуално, за да не се объркате и да не сбъркате, равни фактори просто се зачеркват. Въпросът е - как да се вземе коефициент на число? Необходимо е да се определят с груба сила всички делители. Това е отделна тема, не е трудно, погледнете информацията в учебник или в интернет. Няма да срещнете големи проблеми с факторинг числата, които присъстват в частите от училищния курс.

Формално принципът на намаляване може да бъде записан по следния начин:

Третият подход.

Ето най -интересното за напредналите и тези, които искат да станат такива. Намалете фракцията 143/273. Опитайте сами! И така, как се справи бързо? Виж сега!

Обръщаме го (сменяме числителя и знаменателя). Разделете получената дроб с ъгъл и я преобразувайте в смесено число, тоест изберете цялата част:

Вече е по -лесно. Виждаме, че числителят и знаменателят могат да бъдат отменени с 13:

И сега не забравяйте да върнете дроба отново, нека запишем цялата верига:

Проверено - отнема по -малко време от груба сила и проверка на делители. Нека се върнем към двата ни примера:

Първо. Разделете с ъгъл (не на калкулатор), получаваме:

Тази дроб е по -проста, разбира се, но отново има проблем с намаляването. Сега отделно анализираме дроб 1273/1463, обръщаме го:

Тук вече е по -лесно. Можем да считаме такъв делител за 19. Останалите не пасват, може да се види: 190: 19 = 10, 1273: 19 = 67. Ура! Нека запишем:

Следващ пример. Нека съкратим 88179/2717.

Разделяме, получаваме:

Отделно анализираме дробата 1235/2717, обръщаме я:

Можем да считаме такъв делител за 13 (до 13 не са подходящи):

Числител 247: 13 = 19 Знаменател 1235: 13 = 95

* В процеса видяхме друг делител, равен на 19. Оказва се, че:

Сега записваме оригиналния номер:

И няма значение какво ще има повече в дробата - числителят или знаменателят, ако знаменателят, тогава го обръщаме и действаме, както е описано. По този начин можем да намалим всяка част, третият подход може да се нарече универсален.

Разбира се, двата примера, обсъдени по -горе, не са лесни примери. Нека изпробваме тази технология върху „простите“ дроби, които вече разгледахме:

Две четвърти.

Седемдесет и две шейсетте. Числителят е по -голям от знаменателя, няма нужда да го обърнете:

Разбира се, третият подход беше приложен към такива прости примерипросто като алтернатива. Методът, както вече беше споменато, е универсален, но не е удобен и правилен за всички дроби, особено това се отнася за прости.

Разнообразието от фракции е голямо. Важно е да научите точно принципите. Просто няма строго правило за работа с дроби. Погледнахме, разбрахме как е по -удобно да действаме и да продължим. С практиката ще получите умението и ще щракнете върху тях като семена.

Изход:

Ако виждате общ (и) делител (и) за числителя и знаменателя, използвайте ги за намаляване.

Ако знаете как бързо да извадите число, тогава разгънете числителя и знаменателя, след което намалете.

Ако по никакъв начин не можете да определите общия делител, използвайте третия подход.

* За да намалите дробите, е важно да научите принципите на редукция, да разберете основното свойство на дроб, да знаете подходите към решението, да бъдете изключително внимателни при изчисленията.

И помнете! Прието е да се намали дроб до стопа, тоест да се намали, докато има общ делител.

С най -добри пожелания, Александър Крутицки.