Както показва практиката, задачите за свойствата и графиките на квадратна функция създават сериозни затруднения. Това е доста странно, тъй като квадратичната функция се предава в 8-ми клас, а след това цялата първа четвърт на 9-ти клас се "изтласква" свойствата на параболата и нейните графики се начертават за различни параметри.

Това се дължи на факта, че принуждавайки учениците да изграждат параболи, те практически не отделят време за "четене" на графики, тоест не практикуват разбирането на информацията, получена от картината. Очевидно се предполага, че след като е изградил дузина графики, интелигентният студент сам ще открие и формулира връзката между коефициентите във формулата и външен вид графични изкуства. На практика това не работи. Такова обобщение изисква сериозен опит в математическите мини-изследвания, какъвто, разбира се, повечето деветокласници нямат. Междувременно в GIA те предлагат да се определят знаците на коефициентите точно според графика.

Няма да изискваме невъзможното от учениците и просто ще предложим един от алгоритмите за решаване на подобни проблеми.

И така, функция на формата y \u003d ax 2 + bx + c се нарича квадратичен, графиката му е парабола. Както подсказва името, основният термин е брадва 2... Т.е. и не трябва да е нула, други коефициенти ( б и от) може да бъде равно на нула.

Нека да видим как знаците на неговите коефициенти влияят върху появата на парабола.

Най-простата връзка за коефициента и... Повечето ученици уверено отговарят: „ако и \u003e 0, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре и ако и < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой и > 0.

y \u003d 0,5x2 - 3x + 1

В такъв случай и = 0,5

А сега за и < 0:

y \u003d - 0,5x2 - 3x + 1

В такъв случай и = - 0,5

Влияние на коефициента от също е достатъчно лесно да се проследи. Нека си представим, че искаме да намерим стойността на функцията в точката х \u003d 0. Заместете нула във формулата:

у = а 0 2 + б 0 + ° С = ° С... Оказва се, че y \u003d c... Т.е. от е ординатата на точката на пресичане на параболата с оста y. Обикновено тази точка е лесно да се намери на диаграмата. И определете дали лежи над нулата или отдолу. Т.е. от \u003e 0 или от < 0.

от > 0:

y \u003d x 2 + 4x + 3

от < 0

y \u003d x 2 + 4x - 3

Съответно, ако от \u003d 0, тогава параболата непременно ще премине през началото:

y \u003d x 2 + 4x

По-трудно с параметъра б... Точката, в която ще го открием, зависи не само от б но и от и... Това е върхът на параболата. Неговата абсциса (координата по оста х) се намира по формулата x в \u003d - b / (2a)... По този начин, b \u003d - 2х в... Тоест, ние действаме по следния начин: на диаграмата намираме върха на параболата, определяме знака на нейната абсциса, тоест гледаме вдясно от нулата ( x инча \u003e 0) или отляво ( x инча < 0) она лежит.

Това обаче не е всичко. Трябва да обърнем внимание и на знака на коефициента и... Тоест да видим накъде са насочени клоните на параболата. И едва след това, според формулата b \u003d - 2х в идентифицирайте знака б.

Нека разгледаме пример:

Клоновете са насочени нагоре, което означава и \u003e 0, параболата пресича оста в под нулата означава от < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x инча \u003e 0. Следователно b \u003d - 2х в = -++ = -. б < 0. Окончательно имеем: и > 0, б < 0, от < 0.

Функция на формуляра, където се нарича квадратична функция.

Квадратичен функционален парцел - парабола.

Помислете за случаите:

СЛУЧАЙ, КЛАСИЧЕСКИ ПАРАБОЛ

Т.е.,,

За да конструираме, попълваме таблицата, като заместваме стойностите x във формулата:

Маркираме точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) и т.н. На координатна равнина (колкото по-малка стъпка приемаме стойностите на x (в този случай стъпка 1) и колкото повече приемаме стойностите на x, толкова по-плавна ще бъде кривата), получаваме парабола:

Лесно е да се види, че ако вземем случая ,,, тоест получаваме парабола, симетрична на оста (о). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:

II СЛУЧАЙ, "а" РАЗЛИЧЕН ОТ ЕДИН

Какво ще се случи, ако вземем ,,? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Първата снимка (виж по-горе) ясно показва, че точките от таблицата за параболата (1; 1), (-1; 1) са трансформирани в точки (1; 4), (1; -4), т.е. при същите стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки в оригиналната таблица. По същия начин разсъждаваме и в случаите на снимки 2 и 3.

И когато параболата "стане по-широка" от параболата:

Нека обобщим:

1) Знакът на коефициента е отговорен за посоката на клоните. Със заглавие \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна стойност коефициент (модул) е отговорен за "разширяването", "свиването" на параболата. Колкото по-голяма, толкова по-тясна е параболата, толкова по-малка | a |, толкова по-широка е параболата.

III СЛУЧАЙ, "С" ЯВЯВА

Сега нека да влезем в играта (т.е. да разгледаме случая, когато), ще разгледаме параболи на формата. Не е трудно да се отгатне (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се измести по оста нагоре или надолу, в зависимост от знака:

IV СЛУЧАЙ, "b" ЯВЯВА

Кога параболата ще се „откъсне“ от оста и накрая ще „върви“ по цялата координатна равнина? Когато престане да бъде равен.

Тук, за да изградим парабола, имаме нужда формулата за изчисляване на върха: , .

Така че в този момент (както в точката (0; 0) нова система координати) ще изградим парабола, която вече е по силите ни. Ако имаме работа със случай, тогава отгоре отлагаме един единичен сегмент надясно, един нагоре, - получената точка е нашата (по същия начин стъпка вляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа с например, тогава отгоре отлагаме един сегмент единица надясно, два - нагоре и т.н.

Например върхът на парабола:

Сега основното нещо е да разберем, че в този връх ще изградим парабола според модела на парабола, защото в нашия случай.

При конструиране на парабола след намиране на координатите на върха е много удобно е да се разгледат следните точки:

1) парабола определено ще премине през точката ... Всъщност, замествайки x \u003d 0 във формулата, получаваме това. Тоест, ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy) е. В нашия пример (по-горе) параболата пресича ордината в точката, тъй като.

2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще са симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и я изграждаме парабола, симетрична на оста на симетрия, получаваме точката (4; -2), през която параболата ще премине.

3) Като приравняваме на, откриваме точките на пресичане на параболата с оста (о). За целта решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим един (,), два (title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} ... В предишния пример имаме корена на дискриминанта - не цяло число, когато конструираме, няма смисъл да намираме корените, но ясно виждаме, че ще имаме две пресечни точки с (о) оста ( тъй като title \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Така че нека да работим

Алгоритъм за конструиране на парабола, ако е дадена във формата

1) определяме посоката на клоните (a\u003e 0 - нагоре, a<0 – вниз)

2) намерете координатите на върха на параболата по формулата ,.

3) намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy) по протежение на свободния член, изграждаме точка, симетрична на дадената парабола по отношение на оста на симетрия (трябва да се отбележи, че не е изгодно да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма ... пропускаме тази точка ...)

4) В намерената точка - върха на параболата (както в точката (0; 0) от новата координатна система) изграждаме парабола. Ако заглавие \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако те все още не са „изплували“) чрез решаване на уравнението

Пример 1

Пример 2

Забележка 1. Ако първоначално параболата ни е дадена във формата, къде са някои числа (например,), тогава ще бъде още по-лесно да я изградим, защото вече сме получили координатите на върха. Защо?

Да вземем квадратен трином и изберете пълен квадрат в него: Вижте, значи имаме това ,. Преди това наричахме върха на параболата, т.е. сега ,.

Например, . Маркираме върха на параболата на равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (относително). Тоест изпълняваме точки 1; 3; четири; 5 от алгоритъма за изграждане на парабола (виж по-горе).

Забележка 2. Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. тя се представя като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (о). В този случай - (0; 0) и (4; 0). В останалата част действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.

В уроците по математика в училище вече сте се запознали с най-простите свойства и графика на функция y \u003d x 2... Нека разширим знанията си за квадратична функция.

Упражнение 1.

Функция на парцела y \u003d x 2... Мащаб: 1 \u003d 2 см. Отбележете точка на оста Oy F(0; 1/4). С помощта на компас или лента хартия измерете разстоянието от точката F до някакъв момент М параболи. След това закрепете лентата в точка М и я завъртете около тази точка, така че да стане вертикална. Краят на лентата ще падне малко под оста на абсцисата (Фиг. 1)... Отбележете на лентата колко далеч се простира от оста на абсцисата. Вземете сега друга точка на параболата и повторете измерването отново. Колко далеч е отишъл ръбът на лентата отвъд оста на абсцисата?

Резултат: без значение каква точка на параболата y \u003d x 2 вземете, разстоянието от тази точка до точката F (0; 1/4) ще бъде по-голямо от разстоянието от същата точка до оста на абсцисата винаги с един и същ номер - с 1/4.

Може да се каже по различен начин: разстоянието от която и да е точка на параболата до точката (0; 1/4) е равно на разстоянието от същата точка на параболата до права линия y \u003d -1/4. Тази забележителна точка F (0; 1/4) се нарича фокус парабола y \u003d x 2, а линията y \u003d -1/4 - директорка от тази парабола. Всяка парабола има директорка и фокус.

Интересни свойства на параболата:

1. Всяка точка на параболата е на равно разстояние от някаква точка, наречена фокус на параболата, и някаква права линия, наречена нейната директриса.

2. Ако завъртите парабола около оста на симетрия (например парабола y \u003d x 2 около оста Oy), ще получите много интересна повърхност, която се нарича параболоид на революцията.

Повърхността на течността във въртящ се съд има формата на параболоид на въртене. Можете да видите тази повърхност, ако разбъркате енергично с лъжица в непълна чаша чай и след това извадите лъжицата.

3. Ако хвърлите камък в кухина под ъгъл спрямо хоризонта, той ще лети в парабола (фиг. 2).

4. Ако пресечем повърхността на конуса с равнина, успоредна на някоя от неговите образувания, тогава участъкът ще има парабола (фиг. 3).

5. В увеселителните паркове понякога се подрежда забавна атракция „Параболоид на чудесата”. Всеки от тези, които стоят във въртящия се параболоид, изглежда, че стои на пода, а останалите хора, по някакво чудо, се държат на стените.

6. В огледалните телескопи се използват и параболични огледала: светлината на далечна звезда, идваща в паралелен лъч, падаща върху огледалото на телескопа, се събира във фокус.

7. За прожекторите огледалото обикновено се прави под формата на параболоид. Ако поставите източник на светлина във фокуса на параболоид, тогава лъчите, отразени от параболичното огледало, образуват паралелен лъч.

Построяване на квадратна функция

В уроците по математика научихте как да получавате графики на функции на формата от графика на функция y \u003d x 2:

1) y \u003d ос 2 - разтягане на графиката y \u003d x 2 по оста Oy в | a | пъти (за | a |< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, фиг. четири).

2) y \u003d x 2 + n - изместване на графиката с n единици по оста Oy, освен това, ако n\u003e 0, тогава изместването нагоре и ако n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y \u003d (x + m) 2 - изместване на графиката с m единици по оста Ox: ако m< 0, то вправо, а если m > 0, след това наляво, (фиг. 5).

4) y \u003d -x 2 - симетричен дисплей спрямо оста Ox на графиката y \u003d x 2.

Нека се спрем на начертаването на функционална графика по-подробно. y \u003d a (x - m) 2 + n.

Квадратична функция на формата y \u003d ax 2 + bx + c винаги може да бъде сведена до формата

y \u003d a (x - m) 2 + n, където m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Нека го докажем.

Наистина ли,

y \u003d ax 2 + bx + c \u003d a (x 2 + (b / a) x + c / a) \u003d

A (x 2 + 2x (b / a) + b 2 / (4a 2) - b 2 / (4a 2) + c / a) \u003d

A ((x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a 2)) \u003d a (x + b / 2a) 2 - (b 2 - 4ac) / (4a).

Нека въведем нова нотация.

Нека бъде m \u003d -b / (2a), и n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

тогава получаваме y \u003d a (x - m) 2 + n или y - n \u003d a (x - m) 2.

Нека направим още някои промени: нека y - n \u003d Y, x - m \u003d X (*).

Тогава получаваме функцията Y \u003d aX 2, чиято графика е парабола.

Върхът на параболата е в началото. X \u003d 0; Y \u003d 0.

Замествайки координатите на върха в (*), получаваме координатите на върха на графиката y \u003d a (x - m) 2 + n: x \u003d m, y \u003d n.

По този начин, за да се начертае графиката на квадратната функция, представена във формата

y \u003d a (x - m) 2 + n

чрез трансформации можете да действате по следния начин:

а) начертайте функцията y \u003d x 2;

б) чрез паралелен превод по оста Ox с m единици и по оста Oy от n единици - превежда върха на параболата от началото до точката с координати (m; n) (фиг. 6).

Записване на трансформации:

y \u003d x 2 → y \u003d (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 → y \u003d a (x - m) 2 + n.

Пример.

Използвайки преобразувания, изградете в декартовата координатна система графиката на функцията y \u003d 2 (x - 3) 2 – 2.

Решение.

Верига на трансформации:

y \u003d x 2 (1) → y \u003d (x - 3) 2 (2) → y \u003d 2 (x - 3) 2 (3) → y \u003d 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Начертаването е показано в фиг. 7.

Можете сами да се упражнявате в нанасяне на квадратна функция. Например, нанесете графиката на функцията y \u003d 2 (x + 3) 2 + 2 в една координатна система, като използвате трансформации. Ако имате някакви въпроси или искате да получите съвет от учител, тогава имате възможност да проведете безплатен 25-минутен урок с онлайн преподавател след регистрация. За по-нататъшна работа с учител можете да изберете тарифния план, който ви подхожда.

Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да начертаете квадратна функция?
За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Урок 15.
Влияние на коефициентитеа, б иот до местоположението
квадратична функционална графика

Цели: продължете формирането на способността за изграждане на графика на квадратна функция и изброяване на нейните свойства; за разкриване на влиянието на коефициентите и, би от върху местоположението на графиката на квадратната функция.

По време на занятията

I. Организационен момент.

II. Устна работа.

Определете коя графична функция е показана на фигурата:

в = х 2 – 2х – 1;

в = –2х 2 – 8х;

в = х 2 – 4х – 1;

в = 2х 2 + 8х + 7;

в = 2х 2 – 1.

б)

в = х 2 – 2х;

в = –х 2 + 4х + 1;

в = –х 2 – 4х + 1;

в = –х 2 + 4х – 1;

в = –х 2 + 2х – 1.

III. Формиране на умения и умения.

Упражнения:

1. № 127 (а).

Решение

Направо в = 6х + б докосва параболата в = х 2 + 8, т.е. има само една обща точка с него в случая, когато уравнение 6 х + б = х 2 + 8 ще има единствено решение.

Това уравнение е квадратно, намираме неговия дискриминант:

х 2 – 6х + 8 + б = 0;

д 1 = 9 – (8 – б) = 1 + b;

д 1 \u003d 0, ако 1 + б\u003d 0, т.е. б= –1.

Отговор: б= –1.

3. Разкрийте влиянието на коефициентите и, б и от до местоположението на графиката на функциите в = о 2 + bx + от.

Студентите са достатъчно информирани, за да изпълнят това задание сами. Необходимо е да ги поканите да въведат всички констатации в тетрадка, като същевременно се подчертае „основната“ роля на всеки от коефициентите.

1) Коефициент и засяга посоката на клоните на параболата: при и \u003e 0 - клоните са насочени нагоре, при и < 0 – вниз.

2) Коефициент б засяга местоположението на върха на параболата. Кога б \u003d 0 върхът лежи на оста oU.

3) Коефициент от показва точката на пресичане на параболата с оста OU.

След това може да се даде пример, който да покаже какво може да се каже за коефициентите и, б и от според графика на функциите.

Стойност отможе да се нарече точно: тъй като графиката пресича оста OU в точката (0; 1), тогава от = 1.

Коефициент и може да се сравни с нула: тъй като клоните на параболата са насочени надолу, тогава и < 0.

Фактор знак б може да се намери от формулата, която определя абсцисата на върха на параболата: т \u003d, тъй като и < 0 и т \u003d 1, тогава б> 0.

4. Определете коя графика на функциите е показана на фигурата въз основа на стойността на коефициентите и, б и от.

в = –х 2 + 2х;

в = х 2 + 2х + 2;

в = 2х 2 – 3х – 2;

в = х 2 – 2.

Решение

и, б и от:

и \u003e 0, тъй като клоните на параболата са насочени нагоре;

б OU;

от \u003d –2, тъй като параболата пресича ординатата в точката (0; –2).

в = 2х 2 – 3х – 2.

в = х 2 – 2х;

в = –2х 2 + х + 3;

в = –3х 2 – х – 1;

в = –2,7х 2 – 2х.

Решение

Според показаната графика правим следните заключения относно коефициентите и, б и от:

и < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

б≠ 0, тъй като върхът на параболата не лежи на оста OU;

от \u003d 0, тъй като параболата пресича оста OUв точка (0; 0).

Всички тези условия се изпълняват само от функцията в = –2,7х 2 – 2х.

5. По график на функциите в = о 2 + bx + от и, б и от:

и) б)

Решение

а) Следователно клоните на параболата са насочени нагоре и > 0.

Следователно параболата пресича оста на ординатите в долната полу равнина от < 0. Чтобы узнать знак коэффициента б използваме формулата, за да намерим абсцисата на върха на параболата: т \u003d. Графиката показва това т < 0, и мы определим, что и \u003e 0. Следователно б> 0.

б) По същия начин определяме знаците на коефициентите и, б и от:

и < 0, от > 0, б< 0.

Учещите, които са силни в обучението си, могат да получат допълнителен номер 247.

Решение

в = х 2 + px + q.

а) По теоремата на Виета е известно, че ако х 1 и х 2 - корени на уравнението х 2 +
+ px + q \u003d 0 (т.е. нулите на тази функция), тогава х един · х 2 = q и х 1 + х 2 = –r... Получаваме това q \u003d 3 4 \u003d 12 и r = –(3 + 4) = –7.

б) Точката на пресичане на параболата с оста OU ще даде стойността на параметъра q, т.е. q \u003d 6. Ако графиката на функцията пресича оста ОХ в точката (2; 0), тогава числото 2 е коренът на уравнението х 2 + px + q \u003d 0. Заместване на стойността х \u003d 2 в това уравнение, получаваме това r = –5.

в) Тази квадратна функция достига най-малката си стойност във върха на параболата, следователно, откъде r \u003d –12. По условие стойността на функцията в = х 2 – 12х + q в точката х \u003d 6 е равно на 24. Заместване х \u003d 6 и в \u003d 24 инча тази функция, откриваме това q= 60.

IV. Работа по проверка.

Опция 1

1. Начертайте функцията в = 2х 2 + 4х - 6 и намерете с помощта на графиката:

а) нули на функцията;

б) интервалите, в които в \u003e 0 и у < 0;

г) най-малката стойност на функцията;

д) домейна на функцията.

2. Не изграждане на функционална графика в = –х 2 + 4х, намирам:

а) нули на функцията;

в) домейна на функцията.

3. По график на функциите в = о 2 + bx + от определят знаците на коефициентите и, б и от:

V a r i a n t 2

1. Начертайте функцията в = –х 2 + 2х + 3 и намерете с помощта на графиката:

а) нули на функцията;

б) интервалите, в които в \u003e 0 и у < 0;

в) интервали на нарастване и намаляване на функцията;

д) най-голяма стойност функции;

д) домейна на функцията.

2. Не изграждане на функционална графика в = 2х 2 + 8х, намирам:

а) нули на функцията;

б) интервали на нарастване и намаляване на функцията;

в) домейна на функцията.

3. По график на функциите в = о 2 + bx + от определят знаците на коефициентите и, б и от:

V. Обобщение на урока.

Въпроси относно въпроса на най-често:

- Опишете алгоритъма за изграждане на квадратна функция.

- Избройте свойствата на функцията в = о 2 + bx + от в и \u003e 0 и за и < 0.

- Как влияят коефициентите и, б и от върху местоположението на графиката на квадратната функция?

Домашна работа: № 127 (б), № 128, № 248.

ПОВЕЧЕ ИНФОРМАЦИЯ: No. 130.