Ако поставите кръга с номер на единица координатна равнина, тогава могат да бъдат намерени координати за неговите точки. Числовият кръг е позициониран така, че центърът му да съвпада с началната точка на равнината, т.е. точката O (0; 0).

Обикновено на кръга с единичен номер се отбелязват точки, съответстващи на началото на кръга

• четвъртинки - 0 или 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• средата на четвърти - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• трети от четвъртините - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

На координатната равнина с горното местоположение на единичната окръжност върху нея можете да намерите координатите, съответстващи на тези точки на окръжността.

Координатите на краищата на четвъртинките са много лесни за намиране. В точка 0 на окръжността координатата x е 1, а y е 0. Може да се обозначи като A (0) \u003d A (1; 0).

Краят на първото тримесечие ще бъде разположен на положителната ос y. Следователно B (π / 2) \u003d B (0; 1).

Краят на второто тримесечие е върху отрицателната абсциса: C (π) \u003d C (-1; 0).

Край на третата четвърт: D ((2π) / 3) \u003d D (0; -1).

Но как намирате координатите на средните точки на тримесечията? За това те строят правоъгълен триъгълник... Нейната хипотенуза е сегмент от центъра на окръжността (или началото) до средната точка на четвъртния кръг. Това е радиусът на кръга. Тъй като окръжността е единица, хипотенузата е 1. След това се изтегля перпендикуляр от точката на окръжността до всяка ос. Нека е към оста x. Оказва се правоъгълен триъгълник, дължините на краката на който са координатите x и y на точката на кръга.

Четвъртият кръг е 90º. А половин четвърт е 45 градуса. Тъй като хипотенузата се изтегля към точката на средата на четвъртината, ъгълът между хипотенузата и крака, простиращ се от началото, е 45º. Но сумата от ъглите на всеки триъгълник е 180º. Следователно ъгълът между хипотенузата и другия крак също е 45º. Оказва се равнобедрен правоъгълен триъгълник.

От питагорейската теорема получаваме уравнението x 2 + y 2 \u003d 1 2. Тъй като x \u003d y и 1 2 \u003d 1, уравнението се опростява до x 2 + x 2 \u003d 1. Решавайки го, получаваме x \u003d √½ \u003d 1 / √2 \u003d √2 / 2.

По този начин координатите на точката са M 1 (π / 4) \u003d M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

В координатите на точките на средните точки на други тримесечия само знаците ще се променят, а модулите на стойностите ще останат същите, тъй като правоъгълният триъгълник само ще се обърне. Получаваме:
M 2 ((3π) / 4) \u003d M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) \u003d M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) \u003d M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

При определяне на координатите на третите части от четвъртините на окръжността се изгражда и правоъгълен триъгълник. Ако вземем точката π / 6 и нарисуваме перпендикуляр на оста x, тогава ъгълът между хипотенузата и крака, лежащ на оста x, ще бъде 30º. Известно е, че кракът, който лежи срещу ъгъл от 30 градуса, е равен на половината от хипотенузата. Следователно намерихме координатата y, тя е равна на ½.

Знаейки дължините на хипотенузата и един от краката, според теоремата на Питагор, намираме друг крак:
x 2 + (½) 2 \u003d 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x \u003d √3 / 2

По този начин T 1 (π / 6) \u003d T 1 (√3 / 2; ½).

За точката от втората трета на първата четвърт (π / 3) е по-добре да се направи перпендикуляр на оста към оста y. Тогава ъгълът в началото също ще бъде 30º. Тук координатата x ще бъде равна на ½, а y съответно √3 / 2: T 2 (π / 3) \u003d T 2 (½; √3 / 2).

За други точки от третите тримесечия знаците и редът на координатните стойности ще се променят. Всички точки, които са по-близо до оста x, ще имат координата x по модул √3 / 2. Точките, които са по-близо до оста y, ще имат y стойност от /3 / 2 в абсолютна стойност.
T 3 ((2π) / 3) \u003d T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) \u003d T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) \u003d T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) \u003d T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) \u003d T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) \u003d T 8 (√3 / 2; -½)

Математиката е сложна наука. Изучавайки го, човек трябва не само да решава примери и задачи, но и да работи с различни форми и дори равнини. Една от най-използваните в математиката е равнинната координатна система. Коректна работа деца са обучавани с нея повече от една година. Ето защо е важно да знаете какво е и как да работите правилно с него.

Нека да видим какво представлява тази система, какви действия могат да бъдат извършени с негова помощ, а също така да разберете основните му характеристики и характеристики.

Определение на понятието

Координатна равнина е равнина, на която е дефинирана конкретна координатна система. Такава равнина се определя от две прави линии, пресичащи се под прав ъгъл. Началото на координатите е в точката на пресичане на тези линии. Всяка точка на координатната равнина се определя от двойка числа, наречени координати.

В училищния курс по математика учениците трябва да работят в тясно сътрудничество с координатна система - да изграждат фигури и точки върху нея, да определят на коя равнина принадлежи тази или онази координата, а също така да определят координатите на точка и да ги пишат или да ги назовават. Затова нека поговорим по-подробно за всички характеристики на координатите. Но първо, нека се докоснем до историята на създаването, а след това ще говорим за това как да работим на координатната равнина.

Справка за историята

Идеите за създаване на координатна система са били още по времето на Птолемей. Още тогава астрономите и математиците мислеха как да се научат как да задават позицията на точка в равнина. За съжаление, по това време все още не беше известна координатна система и учените трябваше да използват други системи.

Първоначално те задават точки, като посочват географска ширина и дължина. За дълго време това беше един от най-използваните начини за картографиране на информация. Но през 1637 г. Рене Декарт създава своя собствена координатна система, наречена по-късно на „декартовата“.

Вече в края на XVII в. понятието "координатна равнина" стана широко използвано в света на математиката. Въпреки факта, че са изминали няколко века от създаването на тази система, тя все още се използва широко в математиката и дори в живота.

Примери за координатна равнина

Преди да говорим за теория, ето няколко илюстративни примера за координатната равнина, за да можете да си я представите. Координатната система се използва предимно в шаха. На дъската всеки квадрат има свои собствени координати - една буква, а втората цифрова. С негова помощ можете да определите позицията на определена фигура на дъската.

Вторият най-поразителен пример е обичаната от мнозина игра "Морска битка". Не забравяйте как, докато играете, вие назовавате координатите, например B3, като по този начин указвате точно къде да се целите. В същото време, поставяйки корабите, вие задавате точки на координатната равнина.

Тази координатна система се използва широко не само в математиката, логическите игри, но и във военното дело, астрономията, физиката и много други науки.

Координатни оси

Както вече споменахме, в координатната система се разграничават две оси. Нека поговорим малко за тях, тъй като те са от голямо значение.

Първата ос, абсцисата, е хоризонтална. Обозначава се като ( Вол). Втората ос е ординатата, която преминава вертикално през референтната точка и се обозначава като ( О,). Именно тези две оси образуват координатната система, разделяйки равнината на четири четвърти. Началото е в пресечната точка на тези две оси и приема стойността 0 ... Само ако равнината е оформена от две оси, пресичащи се перпендикулярно с референтна точка, тя е координатна равнина.

Също така имайте предвид, че всяка от осите има своя собствена посока. Обикновено при конструиране на координатна система е обичайно посоката на оста да се посочва под формата на стрелка. Освен това при конструиране на координатна равнина всяка от осите се подписва.

Квартали

Сега нека кажем няколко думи за такова понятие като четвърт от координатната равнина. Самолетът е разделен от две оси на четири четвърти. Всеки от тях има свой собствен номер, докато номерирането на самолетите е обратно на часовниковата стрелка.

Всяка от четвъртините има свои собствени характеристики. И така, през първата четвърт абсцисата и ординатата са положителни, през втората четвърт абсцисата е отрицателна, ординатата е положителна, в третата и абсцисата и ординатата са отрицателни, в четвъртата абсцисата е положителна и ординатата е отрицателен.

Спомняйки си тези функции, можете лесно да определите към коя четвърт принадлежи тази или онази точка. Освен това тази информация може да ви бъде полезна в случай, че трябва да направите изчисления с помощта на декартовата система.

Работа с координатна равнина

Когато разбрахме концепцията за самолет и говорихме за неговите квартали, можем да преминем към такъв проблем като работата с тази система, а също и да говорим за това как да приложим точки и координати на фигури към нея. На координатната равнина това не е толкова трудно, колкото може да изглежда на пръв поглед.

На първо място, самата система е изградена, всички важни обозначения са приложени към нея. След това работим директно с точки или фигури. В този случай, дори при конструиране на фигури, първо се нарисуват точки на равнината, а след това фигурите.

Правила за конструиране на самолети

Ако решите да започнете да маркирате фигури и точки на хартия, имате нужда от координатна равнина. Към него се прилагат координатите на точките. За да изградите координатна равнина, ви трябва само линийка и химикал или молив. Първо се изчертава хоризонталната ос на абсцисата, след това вертикалната - ордината. Важно е да запомните, че осите се пресичат под прав ъгъл.

Следващият задължителен елемент е маркиране. На всяка от осите в двете посоки се маркират и подписват единиците-сегменти. Това се прави, за да можете след това да работите със самолета с максимално удобство.

Маркирайте точката

Сега нека поговорим за това как да начертаем координатите на точките на координатната равнина. Това са основите, които трябва да знаете, за да поставите успешно различни форми на равнина и дори да маркирате уравнения.

Когато начертавате точки, не забравяйте как правилно да записвате техните координати. Така че, обикновено давайки точка, две числа се записват в скоби. Първото число означава координатата на точката по оста на абсцисата, второто - по оста на ординатите.

Точката трябва да бъде изградена по този начин. Първа маркировка по оста Вол задайте точка, след това маркирайте точката на оста О,... След това нарисувайте въображаеми линии от тези обозначения и намерете мястото на тяхното пресичане - това ще бъде дадената точка.

Просто трябва да го маркирате и да го подпишете. Както можете да видите, всичко е съвсем просто и не изисква никакви специални умения.

Поставете формата

Сега да преминем към такъв въпрос като изграждането на фигури на координатната равнина. За да изградите произволна форма на координатната равнина, трябва да знаете как да поставите точки върху нея. Ако знаете как да направите това, не е толкова трудно да поставите фигура върху равнина.

На първо място, имате нужда от координатите на точките на фигурата. Според тях ние ще приложим избраните от вас координати към нашата система от координати. Помислете за изчертаване на правоъгълник, триъгълник и кръг.

Нека започнем с правоъгълник. Прилага се доста лесно. Първо, на равнината се изчертават четири точки, обозначаващи ъглите на правоъгълника. След това всички точки са свързани последователно помежду си.

Изчертаването на триъгълник не е по-различно. Единственото нещо е, че той има три ъгъла, което означава, че три точки са приложени към равнината, обозначавайки нейните върхове.

По отношение на окръжността, тук трябва да знаете координатите на двете точки. Първата точка е центърът на кръга, втората е точката, която показва радиуса му. Тези две точки са нанесени в равнината. След това се взема компас, измерва се разстоянието между две точки. Точката на компаса се поставя в централната точка и се описва кръг.

Както можете да видите, тук също няма нищо сложно, основното е, че винаги имате под ръка линеал и компаси.

Сега знаете как да начертаете координатите на фигурите. На координатната равнина това не е толкова трудно да се направи, както може да изглежда на пръв поглед.

констатации

И така, ние разгледахме с вас една от най-интересните и основни концепции за математиката, с която всеки ученик трябва да се справи.

Разбрахме, че координатната равнина е равнина, образувана от пресичането на две оси. С негова помощ можете да зададете координатите на точките, да приложите фигури към него. Самолетът е разделен на четвъртинки, всяка от които има свои собствени характеристики.

Основното умение, което трябва да се развие при работа с координатна равнина, е способността правилно да се прилагат определени точки към нея. За да направите това, трябва да знаете правилно местоположение оси, характеристики на четвъртинките, както и правилата, по които се задават координатите на точките.

Надяваме се, че представената от нас информация беше достъпна и разбираема, както и полезна за вас и ви помогна да разберете по-добре тази тема.

Правоъгълна координатна система на равнина се задава от две взаимно перпендикулярни прави линии. Правите линии се наричат \u200b\u200bкоординатни оси (или координатни оси). Точката на пресичане на тези линии се нарича начало и се обозначава с буквата O.

Обикновено едната от правите линии е хоризонтална, другата е вертикална. Хоризонталната линия е обозначена като оста x (или Ox) и се нарича ос на абсцисата, вертикалната линия е оста y (Oy), наречена ос на ординатите. Цялата координатна система е обозначена с xOy.

Точка O разделя всяка от осите на две полуоси, едната от които се счита за положителна (обозначава се със стрелка), а другата е отрицателна.

На всяка точка F от равнината се присвоява двойка числа (x; y) - нейните координати.

Х координатата се нарича абсциса. Тя е равна на Вол, взет със съответния знак.

Координатата y се нарича ордината и е равна на разстоянието от точка F до оста Oy (със съответния знак).

Разстоянията на оста обикновено се измерват (но не винаги) в една и съща мерна единица.

Точките вдясно от оста y имат положителни абсциси. За точките, които се намират вляво от оста на ординатите, абсцисите са отрицателни. За всяка точка на оста Oy нейната координата x е нула.

Точки с положителна ордината лежат над оста x, а с отрицателна отдолу. Ако една точка лежи на оста Ox, нейната y координата е нула.

Координатните оси разделят равнината на четири части, които се наричат \u200b\u200bкоординатни четвърти (или координатни ъгли или квадранти).

1 координатна четвърт разположен в горния десен ъгъл на координатната равнина xOy. И двете координати на точките, разположени през първата четвърт, са положителни.

Преходът от една четвърт към друга е обратно на часовниковата стрелка.

2 координатна четвърт разположен в горния ляв ъгъл. Точките през II тримесечие имат отрицателна абсциса и положителна ордината.

3-координатно тримесечие лежи в долния ляв квадрант на равнината xOy. И двете координати на точки, принадлежащи към III координатен ъгъл, са отрицателни.

4 координатна четвърт Е долният десен ъгъл на координатната равнина. Всяка точка от IV тримесечие има положителна първа координата и отрицателна втора.

Пример за местоположението на точки в правоъгълна координатна система: