Да работим с квадратни уравнения... Това са много популярни уравнения! В самото общ изглед квадратното уравнение изглежда така:

Например:

Тук и =1; б = 3; ° С = -4

Тук и =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук и =-3; б = 6; ° С = -18

Е, разбирате идеята ...

Как да решим квадратни уравнения? Ако имате квадратно уравнение в тази форма, тогава всичко вече е просто. Помня вълшебна дума дискриминанта ... Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „вземане на решение чрез дискриминанта“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да чакате мръсни трикове от дискриминанта! Той е лесен и безпроблемен за използване. И така, формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под коренния знак е същият дискриминанта... Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c... Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и c в тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например за първото уравнение и =1; б = 3; ° С \u003d -4. Затова записваме:

Примерът е почти решен:

Това е всичко.

Какви случаи са възможни при използване на тази формула? Има само три случая.

1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви... Но това играе роля при неравенствата, там ще проучим въпроса по-подробно.

3. Дискриминантът е отрицателен. На отрицателно число корен квадратен не се извлича. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Всичко е много просто. И какво мислите, че не можете да сгрешите? Е, да, как ...
Най-често срещаните грешки са объркване със смислови знаци. a, b и c... По-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателните стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробна нотация на формулата с конкретни числа. Ако има изчислителни проблеми, направи го!

Да предположим, че трябва да разрешите този пример:

Тук a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

Да предположим, че знаете, че рядко получавате отговори за първи път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броят на грешките рязко ще намалее... Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но изглежда само така. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или нали? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Ще се получи точно от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп недостатъци може да бъде решен лесно и без грешки!

Така, как да се решават квадратни уравнения чрез дискриминанта си спомнихме. Или научен, което също не е лошо. Знаете как правилно да се идентифицирате a, b и c... Ти знаеш как внимателно заместете ги в коренната формула и внимателно прочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Квадратните уравнения обаче често изглеждат малко по-различно. Например по този начин:

то непълни квадратни уравнения ... Те могат да бъдат решени и чрез дискриминанта. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.

Разбрахте ли? В първия пример a \u003d 1; b \u003d -4; и ° С? Той изобщо не е там! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c \u003d 0 ! Това е всичко. Заместваме нула във формулата вместо ° С, и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук нямаме само нула от, и б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакъв дискриминант. Помислете за първото непълно уравнение. Какво можете да правите там от лявата страна? Можете да извадите х от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула, ако и само ако, когато някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две ненулеви числа, които, умножени, ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Затова можем уверено да напишем: x \u003d 0, или x \u003d 4

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете се вписват. Когато заместваме някой от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-просто, отколкото чрез дискриминанта.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 вдясно. Получаваме:

Остава да се извлече коренът от 9 и това е всичко. Оказва се:

Също така два корена ... x \u003d +3 и x \u003d -3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез поставяне на скобата на x, или просто прехвърляне числа вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от х, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скобите ...

Засега вземете под внимание най-добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Самите, които се дължат на невнимание ... За които тогава боли и обижда ...

Първи прием... Не бъдете мързеливи да го приведете в стандартната форма, преди да решите квадратното уравнение. Какво означава това?
Да кажем, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете. a, b и c. Изградете правилно примера. Първо, X е на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:

Отново не бързайте! Минусът пред х на квадрата може наистина да ви натъжи. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.

Прием втори. Проверете корените! По теорема на Виета. Не се тревожете, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. тази, с която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът a \u003d 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножим. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак ... Ако не е работило, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешка. Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да получите коефициент б от противоположно познати. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициентът бкоето е преди x е -1. Така че всичко е правилно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, когато x на квадрат е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете такива уравнения! всичко по-малко грешки ще бъде.

Прием трети... Ако вашето уравнение съдържа дробни коефициенти, отървете се от дроби! Умножете уравнението по общ знаменателкакто е описано в предишния раздел. При работа с фракции по някаква причина се появяват грешки ...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Вие сте добре дошъл! Ето го.

За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Удоволствие е да решите!

И така, за да обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, ние привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го правилно.

2. Ако има отрицателен коефициент пред х на квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, ние елиминираме фракциите, като умножим цялото уравнение по подходящия коефициент.

4. Ако x на квадрат е чист, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да бъде проверено чрез теоремата на Vieta. Направи го!

Дробни уравнения. ODZ.

Продължаваме да усвояваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Остава последният поглед - дробни уравнения... Или те също се наричат \u200b\u200bмного по-солидно - дробна рационални уравнения ... Това е същото.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, фракциите винаги присъстват в тези уравнения. Но не само фракции, а фракции, които имат неизвестен в знаменател... Поне един. Например:

Нека ви напомня, че ако знаменателите съдържат само числа, това са линейни уравнения.

Как да се реши дробни уравнения? На първо място, отървете се от фракциите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим ... В някои случаи това може да се превърне в идентичност, например 5 \u003d 5, или в неправилен израз, като 7 \u003d 2. Но това се случва рядко. Ще спомена това по-долу.

Но как да се отървем от фракциите!? Много просто. Прилагане на едни и същи идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по един и същ израз. За да бъдат намалени всички знаменатели! Всичко ще стане по-лесно наведнъж. Нека да обясня с пример. Да предположим, че трябва да решим уравнението:

Както се преподава в по-ниски оценки? Прехвърляме всичко в една посока, довеждаме до общ знаменател и т.н. Забравете го като лош сън! Това трябва да се направи, когато добавяте или изваждате дробни изрази. Или работа с неравенства. И в уравненията веднага умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

Вляво, умножавайки по x + 2 ... А вдясно човек се нуждае от умножение по 2. Следователно уравнението трябва да се умножи по 2 (x + 2)... Умножаваме:

Това е обичайното умножение на дроби, но ще го напиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не разширявам скобите (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна е намален изцяло (x + 2), а в дясно 2. Което се изисква! След намаление получаваме линейна уравнението:

И всеки ще реши това уравнение! x \u003d 2.

Нека решим още един пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 \u003d 3/1, и 2x \u003d 2x /1, можете да напишете:

И отново се освобождаваме от това, което всъщност не ни харесва - фракциите.

Виждаме, че за да отмените знаменателя с х, трябва да умножите фракцията по (х - 2)... Няколко не са пречка за нас. Е, умножаваме се. Цялото лявата страна и цялото правилната страна:

Отново скоби (х - 2) Не разкривам. Работя със скобата като цяло, сякаш е едно число! Това винаги трябва да се прави, в противен случай нищо няма да бъде намалено.

С чувство на дълбоко удовлетворение режем (х - 2) и получаваме уравнението без никакви дроби, в линийка!

И сега отваряме скобите:

Даваме подобни, прехвърляме всичко в лявата страна и получаваме:

Класическото квадратно уравнение. Но минусът напред не е добър. Винаги можете да се отървете от него, като умножите или разделите по -1. Но ако разгледате по-отблизо примера, ще забележите, че е най-добре това уравнение да се раздели на -2! С един замах минусът ще изчезне и шансовете ще станат по-хубави! Разделете на -2. Отляво - член по член, а отдясно - просто разделете нулата на -2, нула и вземете:

Решаваме чрез дискриминанта и проверяваме по теоремата на Виета. Получаваме x \u003d 1 и x \u003d 3... Два корена.

Както можете да видите, в първия случай уравнението след трансформацията стана линейно, но тук то е квадратно. Случва се така, че след като се отървете от фракциите, всички ксета се намаляват. Остава нещо като 5 \u003d 5. Означава, че x може да бъде всеки... Каквото и да е, пак ще се свие. И вие получавате честната истина, 5 \u003d 5. Но след като се отървете от фракциите, може да се окаже напълно невярно, като 2 \u003d 7. Това означава, че няма решения! С всяко х се оказва лъжа.

Реализира основното решение дробни уравнения ? Това е просто и логично. Променяме оригиналния израз, така че каквото не ни харесва, изчезва. Или пречи. В случая това са фракции. Ще направим същото с всякакви сложни примери с логаритми, синуси и други ужаси. ние е винаги ще се отървем от всичко това.

Трябва обаче да променим оригиналния израз в посоката, в която се нуждаем според правилата, да ... Овладяване, което е подготовка за изпита по математика. Така че ние го овладяваме.

Сега ще се научим как да заобиколим един от основни засади на изпита! Но първо, да видим дали ще влезете в него или не?

Нека разгледаме един прост пример:

Въпросът вече е познат, умножаваме двете части по (х - 2), получаваме:

Напомням ви, със скоби (х - 2) ние работим като с един цял израз!

Тук вече не съм написал 1 в знаменателите, той е недостоен ... И не нарисувах скоби в знаменателите, с изключение на х - 2 няма нищо, не е нужно да рисувате. Намаляване:

Отваряме скобите, преместваме всичко наляво, даваме подобни:

Решаваме, проверяваме, получаваме два корена. x \u003d 2 и x \u003d 3... Глоба.

Да предположим, че задачата казва да се запише коренът или тяхната сума, ако има повече от един корен. Какво ще пишем?

Ако решите, че отговорът е 5, вие са попаднали в засада... И задачата няма да бъде броена за вас. Работил напразно ... Точен отговор 3.

Какъв е проблема?! И се опитвате да направите проверка. Заместете стойностите на неизвестното в оригинален пример. И ако в x \u003d 3 всичко ще расте заедно чудесно с нас, получаваме 9 \u003d 9, след това с x \u003d 2 деление на нула! Какво не може да се направи категорично. Означава x \u003d 2 не е решение и не е взето предвид в отговора. Това е така нареченият чужд или допълнителен корен. Просто го изпускаме. Крайният корен е един. x \u003d 3.

Как така ?! - Чувам възмутени възклицания. Бяхме научени, че уравнение може да се умножи по израз! Това е идентична трансформация!

Да, идентични. С малко условие - изразът, по който умножаваме (делим) - ненулеви... И х - 2 в x \u003d 2 е равно на нула! Така че всичко е честно.

И сега какво мога да направя ?! Да не се умножава по израз? Трябва ли да проверявате всеки път? Отново не е ясно!

Успокой се! Не изпадайте в паника!

В тази трудна ситуация три магически букви ще ни спасят. Знам какво мислите. Правилно! то ODZ ... Обхват на разрешените стойности.

Известно е, че това е конкретна версия на равенството ax 2 + bx + c \u003d o, където a, b и c са реални коефициенти за неизвестен x и където a ≠ o, и b и c ще бъдат нули - едновременно или поотделно. Например c \u003d o, in ≠ o или обратно. Почти си спомнихме определението за квадратно уравнение.

Триномът от втора степен е нула. Първите му коефициенти a ≠ o, b и c могат да приемат всякакви стойности. Тогава стойността на променливата x ще бъде, когато при заместване тя я превърне в истинско числово равенство. Нека се спрем на реалните корени, въпреки че решенията на уравнението могат да бъдат и Complete обикновено се нарича уравнение, в което нито един от коефициентите не е равен на o, но ≠ o, in ≠ o, с ≠ o.
Нека решим един пример. 2x 2 -9x-5 \u003d о, намираме
D \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D е положително, така че има корени, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, а второто x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. Проверката ще помогне да се уверите, че са правилни.

Ето стъпка по стъпка решение на квадратно уравнение

Чрез дискриминанта можете да решите всяко уравнение, отляво на което е добре познатият квадратичен триномиал за a o. В нашия пример. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + bx + c \u003d o)

Помислете какви са непълните уравнения от втора степен

1. брадва 2 + в \u003d o. Свободният член, коефициентът c при x 0, тук е равен на нула, в ≠ o.
   Как да решим непълно квадратно уравнение от този вид? Преместете x от скобите. Не забравяйте, когато произведението на два фактора е нула.
   x (ax + b) \u003d o, това може да е, когато x \u003d o или когато ax + b \u003d o.
   Решавайки второто имаме x \u003d -v / a.
   В резултат на това имаме корените x 1 \u003d 0, според изчисленията x 2 \u003d -b / a.
2. Сега коефициентът при x е равен на o, а c не е равен на (≠) o.
   x 2 + c \u003d o. Прехвърляйки с в дясната страна на равенството, получаваме x 2 \u003d -с. Това уравнение има реални корени само когато -c положително число (с ‹o),
   Тогава x 1 е равно на √ (-c), съответно x 2 - -√ (-c). В противен случай уравнението изобщо няма корени.
3. Последната опция: b \u003d c \u003d o, тоест ax 2 \u003d o. Естествено, такова просто уравнение има един корен, x \u003d o.

Специални случаи

Обмислихме как да решим непълно квадратно уравнение и сега ще вземем всякакви типове.

• В пълно квадратно уравнение вторият коефициент при x е четно число.
  Нека k \u003d o, 5b. Имаме формули за изчисляване на дискриминанта и корените.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, корените се изчисляват като x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a за D ›o.
  x \u003d -k / a, когато D \u003d o.
  Няма корени при D ‹o.
• Дадени са квадратни уравнения, когато коефициентът при x на квадрат е 1, обичайно е да се записват x 2 + px + q \u003d o. Всички горепосочени формули се отнасят за тях, изчисленията са малко по-прости.
  Пример, x 2 -4x-9 \u003d 0. Изчислете D: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• В допълнение е лесно да се приложи към дадените.Той казва, че сумата от корените на уравнението е -p, вторият коефициент с минус (което означава противоположен знак), а произведението на същите корени ще бъде равно на q, свободният член. Проверете колко лесно би било устно да определите корените на това уравнение. За нередуцираните (за всички коефициенти, които не са равни на нула) тази теорема е приложима, както следва: сумата x 1 + x 2 е равна на -b / a, произведението x 1 x 2 е равно на c / a.

Сумата от пресечната точка c и първия коефициент a е равна на коефициента b. В тази ситуация уравнението има поне един корен (лесно е да се докаже), първият е задължително равен на -1, а вторият -c / a, ако съществува. Как да решите непълно квадратно уравнение, можете да го проверите сами. Лесна работа. Коефициентите могат да бъдат в някои съотношения помежду си

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• Сумата на всички коефициенти е o.
  Корените на такова уравнение са 1 и s / a. Пример, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

Има редица други начини за решаване на различни уравнения от втора степен. Тук например е метод за извличане на пълен квадрат от даден полином. Има няколко графични начина. Когато често се занимавате с подобни примери, ще се научите да ги „щракате“ като семена, защото всички методи идват на ум автоматично.

IN модерно общество способността за извършване на действия с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и е широко използвана на практика в научните и технически разработки. Това се доказва от проектирането на морски и речни плавателни съдове, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления, траекториите на движение на най-много различни тела, включително космически обекти. Примери с решението на квадратни уравнения се използват не само при икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и при най-обикновените ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими на къмпинг, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на съставните му фактори

Определя се степента на уравнението максимална стойност степен на променливата, която съдържа този израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадрат.

Ако използваме езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат сведени до формата когато лява страна изразът се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (т.е. променлива на квадрат със своя коефициент), bx (неизвестен без квадрат с неговия коефициент) и c (свободен компонент, т.е. обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случая, когато на подобен полином липсва един от съставните му членове, с изключение на ос 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решението на такива проблеми, стойността на променливите, в които е лесно да се намери.

Ако изразът изглежда по такъв начин, че в израза отдясно има два термина, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да се намери x чрез поставяне на променливата извън скобите. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x (ax + b). Освен това става очевидно, че или x \u003d 0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax + b \u003d 0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото е, че произведението на два фактора води до 0, само ако единият от тях е равен на нула.

Пример

x \u003d 0 или 8x - 3 \u003d 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета като начало. Тук математическата нотация приема следната форма: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Заменяйки необходимите стойности, приравнявайки дясната страна на 0 и откривайки възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента, в който тялото се издига до момента, в който пада, както и много други величини. Но ще говорим за това по-късно.

Факториране на израз

Описаното по-горе правило дава възможност да се решат посочените задачи в повече трудни случаи... Нека разгледаме примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Това квадратен трином завършено е. Първо, нека трансформираме израза и го разделим. Има два от тях: (x-8) и (x-25) \u003d 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решението на квадратни уравнения в степен 9 позволяват този метод да намери променлива в изрази не само на втория, но дори и на третия и четвъртия ред.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Когато разделим дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, т.е. (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратния корен

Друг случай непълно уравнение на втория ред е израз на езика на буквите, представен по такъв начин, че дясната страна е конструирана от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля в дясната страна и след това квадратният корен се извлича от двете страни на равенството. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Изключение правят само равенствата, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна е отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появява в древни времена, тъй като развитието на математиката по много начини в онези далечни времена се дължи на необходимостта да се определят с най-голяма точност площите и периметрите на парцелите.

Примери за решаване на квадратни уравнения, базирани на проблеми от този вид, трябва да бъдат разгледани от нас.

И така, да предположим, че има правоъгълно парче земя, което е 16 метра по-дълго от неговата ширина. Намерете дължината, ширината и периметъра на сайта, ако знаете, че площта му е 612 м 2.

Пристъпвайки към бизнеса, нека първо съставим необходимото уравнение. Нека обозначим с x ширината на секцията, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашия проблем е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения и този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата страна все още съдържа два фактора, продуктът изобщо не е равен на 0, така че тук се прилагат различни методи.

Дискриминанта

Първо, правим необходимите трансформации, тогава външен вид от този израз ще изглежда по следния начин: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Това означава, че имаме израз във формата, съответстваща на предварително посочения стандарт, където a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук необходими изчисления произведени по схемата: D \u003d b 2 - 4ac. Тази помощна величина не само дава възможност да се намерят необходимите количества в уравнението от втори ред, тя определя количеството възможни опции... Ако D\u003e 0, има две от тях; за D \u003d 0 има един корен. Ако D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Това показва, че проблемът ни има отговор. Ако знаете, k, решението на квадратните уравнения трябва да продължи с помощта на формулата по-долу. Тя ви позволява да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерите на парцела не могат да бъдат измерени в отрицателни стойности, така че x (т.е. ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18 + 16 \u003d 34, а периметърът 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме да изучаваме квадратни уравнения. Примери и подробно решение на няколко от тях ще бъдат дадени по-долу.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Прехвърляме всичко в лявата страна на равенството, правим трансформация, тоест получаваме формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и я приравняваме на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Добавяйки подобни, дефинираме дискриминанта: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги съгласно горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде 4/3, а вторият 1.

2) Сега ще разкрием загадките от различен вид.

Нека разберем дали тук въобще има корени x 2 - 4x + 5 \u003d 1? За да получим изчерпателен отговор, нека доведем полинома до съответната позната форма и изчислим дискриминанта. В този пример решението на квадратното уравнение не е необходимо, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теорема на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения, използвайки горните формули и дискриминанта, когато квадратният корен се извлича от стойността на последните. Но това не винаги е така. В този случай обаче има много начини да се получат стойностите на променливите. Пример: решаване на квадратни уравнения чрез теоремата на Виета. Тя е кръстена на някой, който е живял във Франция от 16 век и е направил блестяща кариера благодарение на неговия математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, забелязан от известния французин, беше следният. Той доказа, че корените на уравнението в сумата са числено равни на -p \u003d b / a, а произведението им съответства на q \u003d c / a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

За простота преобразуваме израза:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Ще използваме теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От това получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече са дадени по-рано. Сега нека разгледаме по-отблизо някои от математическите пъзели. Всяко уравнение от описания тип може да бъде визуализирано. Такава връзка, съставена под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, т.е. точка, от която излизат нейните клонове. Ако a\u003e 0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително квадратни. Този метод се нарича графичен. А стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върховете могат да бъдат намерени от току-що дадената формула x 0 \u003d -b / 2a. И, замествайки получената стойност в първоначалното уравнение на функцията, можете да откриете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща към оста на ординатите.

Пресичането на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a\u003e 0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Корените могат да се определят и от графиката на параболата. И обратното също е вярно. Тоест, ако получите визуално изображение квадратична функция не е лесно, можете да приравните дясната страна на израза на 0 и да решите полученото уравнение. И знаейки точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се изгради графика.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи променлива на квадрат, навремето те не само правеха математически изчисления и определяха областите на геометричните фигури. Такива изчисления са били необходими на древните за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например, месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости на онези, които всяко ученик от нашето време знае.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия Баудхаяма се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случи около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване, които той даде, бяха най-простите. Освен него китайските математици също се интересуваха от подобни въпроси в старите дни. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13 век, но по-късно те са използвани в своите трудове от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Квадратично уравнение - лесно за решаване! * По-нататък в текста "KU".Приятели, изглежда, какво може да бъде по-лесно в математиката от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че мнозина имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии на месец Yandex. Ето какво се случи, погледнете:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация и какво ще се случи в средата на учебната година - ще има двойно повече заявки. Това не е изненадващо, защото тези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за Единния държавен изпит, търсят тази информация, а учениците също се стремят да я освежат в паметта си.

Въпреки факта, че има тонове сайтове, които ви казват как да решите това уравнение, реших също да направя своето и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт за тази заявка; второ, в други статии, когато дойде речта "KU", ще дам линк към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва на други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите a,б и с произволни числа, с ≠ 0.

В училищния курс материалът се дава в следната форма - уравненията са условно разделени на три класа:

1. Имат два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат валидни корени.

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие съвсем проста формула:

Основните формули са както следва:

* Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и да решите:

Пример:

1. Ако D\u003e 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D \u003d 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

В тази връзка, когато дискриминантът е нула, в училищния курс се казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Всичко е правилно, така е, но ...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, оказва се два равни корена и за да бъде математически точен, тогава отговорът трябва да бъде написан два корена:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има един корен.

Сега следващият пример:

Както знаем, коренът на отрицателно число не се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на решение.

Квадратична функция.

Ето как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно за разбиране (в бъдеще в една от статиите ще анализираме подробно решението на квадратното неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c - дадени числа, с a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратното уравнение с „y“, равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), един (дискриминантът е нула) и нито един (дискриминантът е отрицателен). Повече за квадратната функция можете да видите статия от Инна Фелдман.

Нека разгледаме няколко примера:

Пример 1: Решаване 2x 2 +8 х–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

D \u003d b 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Отговор: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* Беше възможно веднага да се разделят лявата и дясната страна на уравнението на 2, т.е. да се опрости. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Решете x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

Получихме, че x 1 \u003d 11 и x 2 \u003d 11

В отговора е допустимо да се напише x \u003d 11.

Отговор: x \u003d 11

Пример 3: Решете x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще се съсредоточим върху решаването на уравнението в случая, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексни числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и откъде са дошли и каква е тяхната специфична роля и нужда в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Понятието за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число на формата

z \u003d a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a + bi Е ЕДИНЕН БРОЙ, а не добавяне.

Въображаемата единица е равна на корена от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Имаме два конюгирани корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двете са равни на нула). Те се решават лесно, без никакви дискриминанти.

Случай 1. Коефициент b \u003d 0.

Уравнението има формата:

Нека трансформираме:

Пример:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

Случай 2. Коефициент с \u003d 0.

Уравнението има формата:

Ние трансформираме, разлагаме на фактори:

* Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

Пример:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 или x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Случай 3. Коефициенти b \u003d 0 и c \u003d 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x \u003d 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които ви позволяват да решавате уравнения с големи коефициенти.

их 2 + bx+ ° С=0 важи равенството

а + б + c \u003d 0,тогава

- ако за коефициентите на уравнението их 2 + bx+ ° С=0 важи равенството

а + c \u003dб, тогава

Тези свойства помагат за решаването определен вид уравнения.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сумата на коефициентите е 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, следователно

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенството е изпълнено а + c \u003dб, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са равни

брадва 2 + (a 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са

брадва 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 15x 2 –226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Ако в уравнениетоос 2 + bx - c \u003d 0 коефициент "b" е равно на (a 2 - 1), а коефициентът "c" числено равен на коефициента "а", тогава корените му са равни

ос 2 + (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава корените му са

ос 2 - (а 2 –1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x 2 - 99x –10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Теорема на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, можем да изразим сумата и произведението на корените на произволна KE чрез нейните коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Като цяло числото 14 дава само 5 и 9. Това са корени. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения устно.

Освен това теорема на Виета. удобен с това, че след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това по всяко време.

МЕТОД ЗА ТРАНСФЕР

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш е "хвърлен" към него, поради което се нарича чрез "трансфер".Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, използвайки теоремата на Vieta и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако и± b + c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:

2х 2 – 11x +5 = 0 (1) => х 2 – 11x +10 = 0 (2)

По теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (тъй като два са "хвърлени" от x 2), получаваме

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са равни:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Затова разделяме резултата на 2.

* Ако преобърнем тройка, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Кв. ур-йе и изпит.

Ще кажа накратко за неговото значение - ТРЯБВА ДА БЪДЕТЕ РЕШЕНИ бързо и без колебание, формулите на корените и дискриминанта трябва да се знаят наизуст. Голяма част от задачите, съставляващи задачите USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си струва да се отбележи!

1. Формата на писане на уравнението може да бъде „имплицитна“. Възможен е например следният запис:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 или 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна величина и тя може да бъде обозначена с всяка друга буква - t, q, p, h и други.

В тази статия ще разгледаме решаването на непълни квадратни уравнения.

Но първо, нека повторим кои уравнения се наричат \u200b\u200bквадратни. Уравнение на формата ax 2 + bx + c \u003d 0, където x е променлива, а коефициентите a, b и c са някои числа, а a ≠ 0, се нарича квадрат... Както виждаме, коефициентът при x 2 не е нула и следователно коефициентите при x или свободният член могат да бъдат нула, в този случай получаваме непълно квадратно уравнение.

Непълните квадратни уравнения са от три вида:

1) Ако b \u003d 0, c ≠ 0, тогава ax 2 + c \u003d 0;

2) Ако b ≠ 0, c \u003d 0, тогава ax 2 + bx \u003d 0;

3) Ако b \u003d 0, c \u003d 0, тогава ax 2 \u003d 0.

• Нека да разберем как решават те уравнения на формата ax 2 + c \u003d 0.

За да решим уравнението, прехвърляме свободния член с в дясната страна на уравнението, което получаваме

брадва 2 \u003d ‒c. Тъй като a ≠ 0, тогава разделяме двете страни на уравнението на a, тогава x 2 \u003d ‒c / a.

Ако ‒c / a\u003e 0, тогава уравнението има два корена

x \u003d ± √ (–c / a).

Ако ‒c / a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Нека се опитаме да го разберем с примери за това как да решаваме такива уравнения.

Пример 1... Решете уравнението 2x 2 - 32 \u003d 0.

Отговор: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Пример 2... Решете уравнението 2x 2 + 8 \u003d 0.

Отговор: уравнението няма решения.

• Нека да разберем как решават те уравнения на формата ax 2 + bx \u003d 0.

За да решим уравнението ax 2 + bx \u003d 0, ние го факторизираме, тоест изваждаме x извън скобите, получаваме x (ax + b) \u003d 0. Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равно на нула. Тогава или x \u003d 0, или ax + b \u003d 0. Решавайки уравнението ax + b \u003d 0, получаваме ax \u003d - b, откъдето x \u003d - b / a. Уравнение на формата ax 2 + bx \u003d 0, винаги има два корена x 1 \u003d 0 и x 2 \u003d - b / a. Вижте как изглежда решението на уравнения от този тип на диаграмата.

Нека консолидираме знанията си с конкретен пример.

Пример 3... Решете 3x уравнението 2 - 12x \u003d 0.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 или 3x - 12 \u003d 0

Отговор: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• Уравнения от третия вид ax 2 \u003d 0 се решават много просто.

Ако ax 2 \u003d 0, тогава x 2 \u003d 0. Уравнението има два еднакви корена x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

За по-голяма яснота разгледайте диаграмата.

Нека се уверим, когато решаваме пример 4, че уравнения от този тип могат да бъдат решени много просто.

Пример 4. Решете 7x уравнение 2 \u003d 0.

Отговор: x 1, 2 \u003d 0.

Не винаги е ясно веднага какъв вид непълно квадратно уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.

Пример 5. Решете уравнението

Умножаваме двете страни на уравнението по общ знаменател, т.е. по 30

Намалете

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Нека разширим скобите

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

Ето подобни

Преместете 99 от лявата страна на уравнението надясно, обърнете знака

Отговор: няма корени.

Ние анализирахме как се решават непълни квадратни уравнения. Надявам се сега да нямате затруднения с подобни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.

Ако имате въпроси по тази тема, запишете се за моите уроци, заедно ще решим възникналите проблеми.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.