Целочисленият израз е математически израз, съставен от числа и литерални променливи, използващи събиране, изваждане и умножение. Също така, целите числа включват изрази, които включват деление на произволно число, различно от нула.

Понятието за дробно рационално изразяване

Фракционният израз е математически израз, който в допълнение към операциите на събиране, изваждане и умножение, извършвани върху числа и азбучни променливи, както и разделяне на число, което не е равно на нула, съдържа и разделяне на изрази с азбучни променливи.

Рационалните изрази са всички цели и дробни изрази. Рационални уравнения са уравнения, в които лявата и дясната страна са рационални изрази. Ако в рационалното уравнение лявата и дясната страна са цели изрази, тогава такова рационално уравнение се нарича цяло.

Ако в рационалното уравнение лявата или дясната страна са дробни изрази, тогава такова рационално уравнение се нарича дробно.

Примери за дробни рационални изрази

1.x-3 / x \u003d -6 * x + 19

2. (x-4) / (2 * x + 5) \u003d (x + 7) / (x-2)

3. (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5))

Схема за решаване на дробно рационално уравнение

1. Намерете общия знаменател на всички дроби в уравнението.

2. Умножете двете страни на уравнението по общ знаменател.

3. Решете полученото цяло уравнение.

4. Проверете корените и изключете тези от тях, които изчезват общия знаменател.

Тъй като решаваме дробни рационални уравнения, в знаменателите на фракциите ще има променливи. Това означава, че те ще бъдат в общия знаменател. И във втората точка на алгоритъма умножаваме по общ знаменател, тогава може да се появят чужди корени. При което общият знаменател ще бъде равен на нула, което означава, че умножението по него ще бъде безсмислено. Ето защо в края не забравяйте да проверите получените корени.

Нека разгледаме пример:

Решете дробното рационално уравнение: (x-3) / (x-5) + 1 / x \u003d (x + 5) / (x * (x-5)).

Нека се придържаме към обща схема: първо намерете общия знаменател на всички дроби. Получаваме x * (x-5).

Умножете всяка дроб от общ знаменател и напишете полученото цяло уравнение.

(x-3) / (x-5) * (x * (x-5)) \u003d x * (x + 3);
1 / x * (x * (x-5)) \u003d (x-5);
(x + 5) / (x * (x-5)) * (x * (x-5)) \u003d (x + 5);
x * (x + 3) + (x-5) \u003d (x + 5);

Нека опростим полученото уравнение. Получаваме:

x ^ 2 + 3 * x + x-5 - x - 5 \u003d 0;
x ^ 2 + 3 * x-10 \u003d 0;

Получихме просто намалено квадратно уравнение. Решаваме го с всеки от известни методи, получаваме корените x \u003d -2 и x \u003d 5.

Сега проверяваме получените решения:

Заместете числата -2 и 5 в общия знаменател. Когато x \u003d -2, общият знаменател x * (x-5) не изчезва, -2 * (- 2-5) \u003d 14. Така че числото -2 ще бъде коренът на първоначалното дробно рационално уравнение.

Когато x \u003d 5, общият знаменател x * (x-5) става нула. Следователно това число не е коренът на първоначалното дробно рационално уравнение, тъй като ще има деление на нула.

Вече научихме как да решаваме квадратни уравнения. Сега нека разширим изследваните методи до рационални уравнения.

Какво е рационално изразяване? Вече се сблъскахме с тази концепция. Рационални изрази се наричат \u200b\u200bизрази, съставени от числа, променливи, техните степени и признаци на математически операции.

Съответно рационалните уравнения са уравнения от вида :, където - рационални изрази.

По-рано разгледахме само онези рационални уравнения, които се свеждат до линейни. Сега нека разгледаме онези рационални уравнения, които също могат да бъдат сведени до квадратни.

Пример 1

Решете уравнението :.

Решение:

Дробът е 0, ако и само ако неговият числител е 0 и знаменателят не е 0.

Получаваме следната система:

Първото уравнение в системата е квадратно уравнение. Преди да го решим, нека разделим всички негови коефициенти на 3. Получаваме:

Получаваме два корена :; ...

Тъй като 2 никога не е равно на 0, тогава трябва да са изпълнени две условия: ... Тъй като нито един от корените на уравнението, получено по-горе, не съвпада с невалидните стойности на променливата, получени чрез решаване на второто неравенство, и двете са решения на това уравнение.

Отговор:.

И така, нека формулираме алгоритъм за решаване на рационални уравнения:

1. Преместете всички условия в лявата страна, за да получите 0 от дясната страна.

2. Трансформирайте и опростете лявата страна, доведете всички дроби до общ знаменател.

3. Получената фракция е равна на 0, съгласно следния алгоритъм: .

4. Запишете корените, които са получени в първото уравнение и задоволете второто неравенство в отговора.

Да вземем друг пример.

Пример 2

Решете уравнението :.

Решение

В самото начало преместваме всички термини в лявата страна, така че 0 остава вдясно. Получаваме:

Сега извеждаме лявата част на уравнението до общ знаменател:

Това уравнение е еквивалентно на системата:

Първото уравнение в системата е квадратно уравнение.

Коефициенти на това уравнение: Изчисляваме дискриминанта:

Получаваме два корена :; ...

Сега нека решим второто неравенство: произведението на факторите не е равно на 0, ако и само ако нито един от факторите не е равен на 0.

Необходимо е да са изпълнени две условия: ... Получаваме този от двата корена на първото уравнение, само един се вписва - 3.

Отговор:.

В този урок си спомнихме какво е рационален израз и също така научихме как да решаваме рационални уравнения, които се свеждат до квадратни уравнения.

В следващия урок ще разгледаме рационалните уравнения като модели на реални ситуации и ще разгледаме и проблемите с движението.

Списък на литературата

1. Башмаков М.И. Алгебра, клас 8. - М.: Образование, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-то изд. - М.: Образование, 2010.
3. Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, клас 8. Урок за образователни институции... - М.: Образование, 2006.

1. Фестивал на педагогическите идеи " Публичен урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Продължаваме разговора за решаване на уравнения... В тази статия ще се спрем на рационални уравнения и принципите за решаване на рационални уравнения в една променлива. Първо, нека разберем какъв вид уравнения се наричат \u200b\u200bрационални, да дадем дефиниция на цели рационални и дробни рационални уравнения, да дадем примери. Освен това ще получим алгоритми за решаване на рационални уравнения и, разбира се, ще разгледаме решения на типични примери с всички необходими обяснения.

Навигация по страници.

Въз основа на изразените дефиниции ще дадем няколко примера за рационални уравнения. Например x \u003d 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 \u003d 0, всички са рационални уравнения.

От показаните примери може да се види, че рационалните уравнения, като, обаче, уравнения от друг тип, могат да бъдат или с една променлива, или с две, три и т.н. променливи. В следващите раздели ще говорим за решаване на рационални уравнения в една променлива. Решаване на уравнения в две променливи и техният голям брой заслужават специално внимание.

В допълнение към разделянето на рационалните уравнения на броя на неизвестните променливи, те също се разделят на цели числа и дробни. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Извиква се рационалното уравнение цялоако и лявата, и дясната му част са цели рационални изрази.

Определение.

Ако поне една от частите на рационалното уравнение е дробен израз, тогава такова уравнение се нарича дробно рационален (или частично рационално).

Ясно е, че цели уравнения не съдържат деление на променлива; напротив, дробните рационални уравнения задължително съдържат деление на променлива (или променлива в знаменателя). Така че 3 x + 2 \u003d 0 и (x + y) (3 x 2 -1) + x \u003d −y + 0.5 Представляват цели рационални уравнения, и двете части са цели изрази. A и x: (5 x 3 + y 2) \u003d 3: (x - 1): 5 са \u200b\u200bпримери за дробни рационални уравнения.

Завършвайки този раздел, нека обърнем внимание на факта, че известните към този момент линейни уравнения и квадратни уравнения са цели рационални уравнения.

Решаване на цели уравнения

Един от основните подходи за решаване на цели уравнения е да се сведат до еквивалентни алгебрични уравнения... Това винаги може да се направи чрез извършване на следните еквивалентни трансформации на уравнението:

• първо, изразът от дясната страна на цялото първоначално уравнение се прехвърля в лявата страна с противоположен знакза да получите нула от дясната страна;
• след това, от лявата страна на уравнението, получената стандартна форма.

Резултатът е алгебрично уравнение, което е еквивалентно на първоначалното цяло уравнение. Така че в най-простите случаи решението на цели уравнения се свежда до решението на линейни или квадратни уравнения и в общ случай - към решението на алгебрично уравнение на степен n. За по-голяма яснота, нека анализираме примерното решение.

Пример.

Намерете корените на цялото уравнение 3 (x + 1) (x - 3) \u003d x (2 x - 1) −3.

Решение.

Нека намалим решението на цялото това уравнение до решението на алгебрично уравнение, еквивалентно на него. За да направите това, първо прехвърляме израза от дясната страна вляво, в резултат на което стигаме до уравнението 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d 0... И второ, трансформираме израза, образуван от лявата страна, в стандартен полином, като изпълняваме необходимите: 3 (x + 1) (x - 3) −x (2 x - 1) + 3 \u003d (3 x + 3) (x - 3) −2 x 2 + x + 3 \u003d 3 x 2 −9 x + 3 x - 9−2 x 2 + x + 3 \u003d x 2 −5 x - 6... По този начин решаването на първоначалното цяло уравнение се свежда до решаване квадратно уравнение x 2 −5 x - 6 \u003d 0.

Изчисляваме неговия дискриминант D \u003d (- 5) 2 −4 1 (−6) \u003d 25 + 24 \u003d 49, той е положителен, което означава, че уравнението има два реални корена, които намираме по формулата за корените на квадратното уравнение:

За пълно доверие ще изпълним проверка на намерените корени на уравнението... Първо проверяваме корена 6, като го заместваме за променливата x в първоначалното целочислено уравнение: 3 (6 + 1) (6−3) \u003d 6 (2 6−1) −3, което е същото, 63 \u003d 63. Това е валидно числово равенство, така че x \u003d 6 наистина е коренът на уравнението. Сега проверяваме корен -1, имаме 3 (−1 + 1) (−1−3) \u003d (- 1) (2 (−1) −1) −3, откъдето 0 \u003d 0. За x \u003d -1 първоначалното уравнение също се превърна в истинско числово равенство, следователно x \u003d -1 също е корен от уравнението.

Отговор:

6 , −1 .

Тук също трябва да се отбележи, че терминът "степен на цялото уравнение" се свързва с представянето на цялото уравнение под формата на алгебрично уравнение. Нека дадем подходяща дефиниция:

Определение.

Степента на цялото уравнение се нарича степента на еквивалентното алгебрично уравнение.

Според това определение цялото уравнение от предишния пример е от втора степен.

На това човек би могъл да завърши с решението на цели рационални уравнения, ако не едно, но .... Както е известно, решението на алгебрични уравнения със степен, по-висока от втората, е свързано със значителни трудности, а за уравнения със степен, по-висока от четвъртата, изобщо няма общи коренни формули. Следователно, за решаване на цели уравнения на трето, четвърто и повече високи градуси често се налага да прибягвате до други методи за решение.

В такива случаи подходът към решаването на цели рационални уравнения въз основа на метод на факторизация... В този случай се спазва следният алгоритъм:

• първо, те гарантират, че в дясната страна на уравнението има нула, за това изразът се прехвърля от дясната страна на цялото уравнение вляво;
• след това полученият израз вляво се представя като произведение на няколко фактора, което ви позволява да преминете към набор от няколко по-прости уравнения.

Горният алгоритъм за решаване на цялото уравнение чрез факторизиране изисква подробно обяснение Например.

Пример.

Решете цялото уравнение (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) \u003d 2 x (x 2 −10 x + 13).

Решение.

Първо, както обикновено, прехвърляме израза от дясната страна към лявата страна на уравнението, като не забравяме да сменим знака, получаваме (x 2 −1) (x 2 −10 x + 13) - 2 x (x 2 −10 x + 13) \u003d 0. Тук е съвсем очевидно, че не е препоръчително лявата страна на полученото уравнение да се трансформира в полином на стандартната форма, тъй като това ще даде алгебрично уравнение на четвъртата степен на формата x 4 −12 x 3 + 32 x 2 −16 x - 13 \u003d 0чието решение е трудно.

От друга страна, очевидно е, че от лявата страна на полученото уравнение можете да x 2 −10 · x + 13, като по този начин го представяте като продукт. Ние имаме (x 2 −10 x + 13) (x 2 −2 x - 1) \u003d 0... Полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното цяло уравнение и то от своя страна може да бъде заменено от набор от две квадратни уравнения x 2 −10 x + 13 \u003d 0 и x 2 −2 x - 1 \u003d 0. Намирането на техните корени според добре познатите коренни формули чрез дискриминанта не е трудно, корените са равни. Те са желаните корени на първоначалното уравнение.

Отговор:

За решаването на цели рационални уравнения също е полезно нов метод на променливо инжектиране... В някои случаи ви позволява да преминете към уравнения, чиято степен е по-ниска от степента на първоначалното цяло уравнение.

Пример.

Намерете истинските корени на рационалното уравнение (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 \u003d −2 (x 2 + 3 x - 4).

Решение.

Намаляването на цялото това рационално уравнение до алгебрично уравнение е, меко казано, не особено добра идея, тъй като в този случай ще стигнем до необходимостта от решаване на уравнение от четвърта степен, което няма рационални корени. Следователно ще трябва да потърсите друго решение.

Тук е лесно да забележите, че можете да въведете нова променлива y и да я замените с израза x 2 + 3 · x. Такова заместване ни води до цялото уравнение (y + 1) 2 + 10 \u003d −2 (y - 4), което след прехвърляне на израза −2 (y - 4) в лявата страна и след това трансформиране на израза, образуван там , намалява до квадрат до уравнението y 2 + 4 y + 3 \u003d 0. Корените на това уравнение y \u003d −1 и y \u003d −3 са лесни за намиране, например, те могат да бъдат избрани въз основа на теорема, обратна на теоремата на Vieta.

Сега се обръщаме към втората част от метода за въвеждане на нова променлива, т.е. към обратната подмяна. Чрез извършване на обратната промяна получаваме две уравнения x 2 + 3 x \u003d −1 и x 2 + 3 x \u003d −3, които могат да бъдат пренаписани като x 2 + 3 x + 1 \u003d 0 и x 2 + 3 x + 3 \u003d 0. Използвайки формулата за корените на квадратното уравнение, намираме корените на първото уравнение. И второто квадратно уравнение няма реални корени, тъй като неговият дискриминант е отрицателен (D \u003d 3 2 −4 · 3 \u003d 9−12 \u003d −3).

Отговор:

Като цяло, когато се занимаваме с цели уравнения с високи градуси, винаги трябва да сме готови за търсене нестандартен метод или изкуствен трик за тяхното решаване.

Решаване на дробно рационални уравнения

Първо, ще бъде полезно да разберем как да решим дробни рационални уравнения на формата, където p (x) и q (x) са цели рационални изрази. И тогава ще покажем как да намалим решението на останалите дробно рационални уравнения до решението на уравненията от посочената форма.

Един от подходите за решаване на уравнението се основава на следното твърдение: числовата част u / v, където v е ненулево число (в противен случай ще срещнем число, което не е дефинирано), е равно на нула, ако и само ако числителят е равен на нула, тогава е, ако и само ако u \u003d 0. По силата на това твърдение, решението на уравнението се свежда до изпълнението на две условия p (x) \u003d 0 и q (x) ≠ 0.

Това заключение съответства на следното алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение ... За да разрешите дробно рационално уравнение на формата, трябва

• решаване на цялото рационално уравнение p (x) \u003d 0;
• и проверете дали условието q (x) ≠ 0 е изпълнено за всеки намерен корен и
• ако е удовлетворено, тогава този корен е коренът на първоначалното уравнение;
• ако не, тогава този корен е чужд, тоест не е коренът на първоначалното уравнение.

Нека разгледаме пример за използване на озвучения алгоритъм при решаване на дробно рационално уравнение.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Това е дробно рационално уравнение на формата, където p (x) \u003d 3x - 2, q (x) \u003d 5x2 −2 \u003d 0.

Според алгоритъма за решаване на дробно рационални уравнения от този вид, първо трябва да решим уравнението 3 x - 2 \u003d 0. то линейно уравнениечийто корен е x \u003d 2/3.

Остава да се провери за този корен, т.е. да се провери дали той отговаря на условието 5 · x 2 −2 ≠ 0. Заместваме в израза 5 · x 2 −2 вместо x числото 2/3, получаваме. Условието е изпълнено, така че x \u003d 2/3 е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор:

2/3 .

Към решението на дробно рационално уравнение може да се подходи от малко по-различно положение. Това уравнение е еквивалентно на цялото уравнение p (x) \u003d 0 върху променливата x на първоначалното уравнение. Тоест, можете да се придържате към това алгоритъмът за решаване на дробното рационално уравнение :

• решаване на уравнението p (x) \u003d 0;
• намерете ODZ на променливата x;
• вземете корените, принадлежащи към диапазона на допустимите стойности - те са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Например, нека решим дробно рационално уравнение, използвайки този алгоритъм.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Първо, решете квадратното уравнение x 2 −2 x - 11 \u003d 0. Корените му могат да бъдат изчислени с помощта на формулата на корена за четен втори коефициент, който имаме D 1 \u003d (- 1) 2 -1 (−11) \u003d 12, и.

Второ, намираме ODV на променливата x за първоначалното уравнение. Състои се от всички числа, за които x 2 + 3 x ≠ 0, което е същото x (x + 3) ≠ 0, откъдето x ≠ 0, x ≠ −3.

Остава да се провери дали корените, открити на първата стъпка, са включени в ODZ. Очевидно да. Следователно първоначалното дробно рационално уравнение има два корена.

Отговор:

Имайте предвид, че този подход е по-изгоден от първия, ако е лесно да се намери GDV, и е особено изгоден, ако в този случай корените на уравнението p (x) \u003d 0 са ирационални, например, или рационални, но с доста голям числител и / или знаменател, например 127/1101 и -31/59. Това се дължи на факта, че в такива случаи проверката на условието q (x) ует 0 ще изисква значителни изчислителни усилия и е по-лесно да се изключат чуждите корени от ODZ.

В други случаи, когато се решава уравнението, особено когато корените на уравнението p (x) \u003d 0 са цели числа, е по-изгодно да се използва първият от представените алгоритми. Тоест препоръчително е незабавно да се намерят корените на цялото уравнение p (x) \u003d 0 и след това да се провери дали условието q (x) ≠ 0 е изпълнено за тях, вместо да се намери ODV, и след това да се реши уравнението p (x) \u003d 0 на този ODV ... Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се направи проверка, отколкото да се намери ODZ.

Нека разгледаме решението на два примера, за да илюстрираме посочените нюанси.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Първо, намираме корените на цялото уравнение (2 x - 1) (x - 6) (x 2 −5 x + 14) (x + 1) \u003d 0, съставен с помощта на числителя на дроби. Лява страна от това уравнение е произведението, а дясното е нула, следователно, според метода за решаване на уравнения чрез факторизация, това уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x - 1 \u003d 0, x - 6 \u003d 0, x 2 −5 x + 14 \u003d 0, x + 1 \u003d 0. Три от тези уравнения са линейни, а едното е квадратно, ние знаем как да ги решим. От първото уравнение намираме x \u003d 1/2, от второто - x \u003d 6, от третото - x \u003d 7, x \u003d −2, от четвъртото - x \u003d −1.

С намерените корени е доста лесно да ги проверите дали знаменателят на фракцията от лявата страна на оригиналното уравнение изчезва с тях и, напротив, не е толкова лесно да се определи GDV, тъй като това ще изискват решаване на алгебрично уравнение от пета степен. Следователно ще се откажем от намирането на ODZ в полза на проверката на корените. За целта ги заместваме на свой ред вместо променливата x в израза x 5 −15 x 4 + 57 x 3 −13 x 2 + 26 x + 112получени след заместването и ги сравняваме с нула: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 + 26 (1/2) + 112 \u003d 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 + 57 6 3 −13 6 2 + 26 6 + 112 \u003d 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 + 57 7 3 −13 7 2 + 26 7 + 112 \u003d 0;
(-2) 5 −15 (-2) 4 + 57 (-2) 3 −13 (-2) 2 + 26 (−2) + 112 \u003d −720 ≠ 0;
(-1) 5 -15 (-1) 4 + 57 (-1) 3 -1 (-1) 2 + 26 (-1) + 112 \u003d 0.

По този начин 1/2, 6 и -2 са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение, а 7 и -1 са чужди корени.

Отговор:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Намерете корените на дробното рационално уравнение.

Решение.

Първо, намираме корените на уравнението (5 x 2 −7 x - 1) (x - 2) \u003d 0... Това уравнение е еквивалентно на комбинация от две уравнения: квадратното 5 x 2 −7 x - 1 \u003d 0 и линейното x - 2 \u003d 0. Използвайки формулата за корените на квадратното уравнение, намираме два корена, а от второто уравнение имаме x \u003d 2.

Доста е неприятно да се провери дали знаменателят изчезва за намерените стойности на x. И да се определи диапазонът на допустимите стойности на променливата x в първоначалното уравнение е съвсем просто. Следователно ние ще действаме чрез ODZ.

В нашия случай ODZ на променливата x на първоначалното дробно рационално уравнение се състои от всички числа, с изключение на тези, за които е изпълнено условието x 2 + 5 x - 14 \u003d 0. Корените на това квадратно уравнение са x \u003d −7 и x \u003d 2, от което заключаваме за ODZ: той е съставен от всички x такива, че.

Остава да се провери дали намерените корени и x \u003d 2 принадлежат към диапазона на допустимите стойности. Корените - принадлежат, следователно те са корените на първоначалното уравнение, а x \u003d 2 - не принадлежи, следователно, това е чужд корен.

Отговор:

Също така ще бъде полезно да се спрем отделно на случаите, когато в числителя има число в дробно рационално уравнение на формата, т.е. когато p (x) е представено с някакво число. При това

• ако това число е различно от нула, тогава уравнението няма корени, тъй като фракцията е нула тогава и само ако нейният числител е нула;
• ако това число е нула, тогава коренът на уравнението е всяко число от ODZ.

Пример.

Решение.

Тъй като числителят на фракцията от лявата страна на уравнението е ненулево число, при no x стойността на тази фракция не може да бъде равна на нула. Следователно това уравнение няма корени.

Отговор:

без корени.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Числителят на фракцията вляво от това дробно рационално уравнение съдържа нула, така че стойността на тази фракция е нула за всеки х, за който има смисъл. С други думи, решението на това уравнение е всяка стойност на x от ODV на тази променлива.

Остава да се определи този диапазон от допустими стойности. Той включва всички такива стойности на x, за които x 4 + 5 · x 3 ≠ 0. Решенията на уравнението x 4 + 5 x 3 \u003d 0 са 0 и −5, тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x + 5) \u003d 0, а то от своя страна е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 \u003d 0 и x + 5 \u003d 0, откъдето тези корени са видими. Следователно търсеният диапазон от допустими стойности е всеки x, с изключение на x \u003d 0 и x \u003d −5.

По този начин дробното рационално уравнение има безкрайно много решения, които са всякакви числа, различни от нула и минус пет.

Отговор:

И накрая, време е да поговорим за решаване на произволни дробни рационални уравнения. Те могат да бъдат записани като r (x) \u003d s (x), където r (x) и s (x) са рационални изрази и поне един от тях е дробен. Гледайки напред, нека кажем, че тяхното решение се свежда до решаване на уравнения на форма, която вече ни е позната.

Известно е, че прехвърлянето на термин от едната страна на уравнението в друга с противоположния знак води до еквивалентно уравнение; следователно уравнението r (x) \u003d s (x) е еквивалентно на уравнението r (x) - s (x) \u003d 0.

Също така знаем, че можете да имате всеки, който е идентично равен на този израз. По този начин винаги можем да трансформираме рационалния израз от лявата страна на уравнението r (x) - s (x) \u003d 0 в еднакво равна рационална част от формата.

Така преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r (x) \u003d s (x) към уравнението и неговото решение, както открихме по-горе, се свежда до решаване на уравнението p (x) \u003d 0.

Но тук е наложително да се вземе предвид фактът, че когато заместваме r (x) - s (x) \u003d 0 с и по-нататък с p (x) \u003d 0, обхватът на допустимите стойности на променливата x може да се разшири .

Следователно, първоначалното уравнение r (x) \u003d s (x) и уравнението p (x) \u003d 0, до което стигнахме, може да се окажат несправедливи и като решим уравнението p (x) \u003d 0, можем вземете корени, които ще бъдат чужди корени на първоначалното уравнение r (x) \u003d s (x). Възможно е да се идентифицират и да не се включат в отговора чужди корени или чрез извършване на проверка, или чрез проверка, че те принадлежат към ODZ на първоначалното уравнение.

Обобщаваме тази информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение r (x) \u003d s (x)... За да разрешите дробното рационално уравнение r (x) \u003d s (x), имате нужда

• Вземете нула отдясно, като прехвърлите израза от дясната страна с противоположния знак.
• Извършвайте действия с фракции и полиноми от лявата страна на уравнението, като по този начин го трансформирате в рационална част от формата.
• Решете уравнението p (x) \u003d 0.
• Да се \u200b\u200bидентифицират и изключат чужди корени, което се прави чрез заместването им в първоначалното уравнение или чрез проверка на тяхното членство в ODS на първоначалното уравнение.

За по-голяма яснота показваме цялата верига от решаване на дробни рационални уравнения:
.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера с подробно обяснение на потока от решения, за да изясним горния блок информация.

Пример.

Решете дробното рационално уравнение.

Решение.

Ще действаме в съответствие с току-що получения алгоритъм на решението. И първо прехвърляме членовете от дясната страна на уравнението вляво, в резултат на което преминаваме към уравнението.

Във втората стъпка трябва да преобразуваме дробния рационален израз от лявата страна на полученото уравнение във формата на дроб. За целта намаляваме рационалните дроби до общ знаменател и опростяваме получения израз :. Така стигаме до уравнението.

В следващата стъпка трябва да решим уравнението −2 x - 1 \u003d 0. Намерете x \u003d −1 / 2.

Остава да се провери дали намереното число −1/2 е чужд корен от първоначалното уравнение. За да направите това, можете да проверите или да намерите ODV на променливата x на първоначалното уравнение. Нека да демонстрираме и двата подхода.

Нека започнем с проверка. Заместете −1/2 в първоначалното уравнение за x, за да получите същото, −1 \u003d −1. Заместването дава правилното числово равенство, следователно, x \u003d -1 / 2 е коренът на първоначалното уравнение.

Сега ще покажем как се осъществява последната точка на алгоритъма чрез ODZ. Обхватът на допустимите стойности на първоначалното уравнение е набор от всички числа, с изключение на -1 и 0 (за x \u003d -1 и x \u003d 0 знаменателите на фракциите изчезват). Коренът x \u003d −1 / 2, намерен в предишната стъпка, принадлежи на GDZ; следователно x \u003d −1 / 2 е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор:

−1/2 .

Нека разгледаме друг пример.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Трябва да решим дробно рационално уравнение, нека преминем през всички стъпки на алгоритъма.

Първо, прехвърляме термина от дясната страна вляво, получаваме.

Второ, трансформираме израза от лявата страна :. В резултат на това стигаме до уравнението x \u003d 0.

Коренът му е очевиден - той е нула.

На четвъртата стъпка остава да се установи дали намереният корен е извън първоначалното дробно рационално уравнение. Когато го заместите в оригиналното уравнение, получавате израза. Очевидно няма смисъл, тъй като съдържа деление на нула. Откъдето заключаваме, че 0 е чужд корен. Следователно първоначалното уравнение няма корени.

7, което води до уравнението. От това можем да заключим, че изразът в знаменателя на лявата страна трябва да бъде равен на от дясната страна, т.е. Сега изваждаме от двете части на тройката :. По аналогия, откъде и по-нататък.

Проверката показва, че и двата намерени корена са корените на първоначалното дробно рационално уравнение.

Отговор:

Списък на литературата.

• Алгебра: проучване. за 8 cl. общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• А. Г. Мордкович Алгебра. 8 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то издание, Изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с .: Ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование. институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М .: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Най-просто казано, това са уравнения, в които има поне едно с променлива в знаменателя.

Например:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3x) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (1) (2x) + \\ frac (x) (x + 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\)
\\ (\\ frac (6) (x + 1) \u003d \\ frac (x ^ 2-5x) (x + 1) \\)

Пример не дробни рационални уравнения:

\\ (\\ frac (9x ^ 2-1) (3) \\) \\ (\u003d 0 \\)
\\ (\\ frac (x) (2) \\) \\ (+ 8x ^ 2 \u003d 6 \\)

Как се решават дробните рационални уравнения?

Основното нещо, което трябва да запомните за дробните рационални уравнения, е да пишете в тях. И след като намерите корените, не забравяйте да ги проверите за допустимост. В противен случай могат да се появят чужди корени и цялото решение ще се счита за неправилно.

Алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение:

Запишете и „решете“ DHS.

Умножете всеки член в уравнението по общия знаменател и отменете получените дроби. Знаменателите ще изчезнат.

Запишете уравнението, без да отваряте скобите.

Решете полученото уравнение.

Проверете намерените корени с ODZ.

Запишете в отговор корените, които са преминали проверката в стъпка 7.

Не запомняйте алгоритъма, 3-5 решени уравнения - и той ще бъде запомнен от само себе си.

Пример ... Решаване на дробно рационално уравнение \\ (\\ frac (x) (x-2) - \\ frac (7) (x + 2) \u003d \\ frac (8) (x ^ 2-4) \\)

Решение:

Отговор: \(3\).

Пример ... Намерете корените на дробното рационално уравнение \\ (\u003d 0 \\)

Решение:

Отговор: \\ (\\ frac (1) (2) \\).

"Рационални уравнения с полиноми" е една от най-честите теми в тестови елементи Унифициран държавен изпит по математика. Поради тази причина тяхното повторение си струва да се плати специално внимание... Много ученици са изправени пред проблема с намирането на дискриминанта, прехвърляйки показателите от дясната страна в лявата страна и довеждайки уравнението до общ знаменател, което затруднява изпълнението на подобни задачи. Решаването на рационални уравнения при подготовката за изпита на нашия уебсайт ще ви помогне бързо да се справите с проблеми от всякаква сложност и да преминете теста перфектно.

Изберете образователния портал "Школково" за успешна подготовка за единния изпит по математика!

Да знаят правилата за изчисляване на неизвестни и да получават лесно правилни резултати, използвайте нашата онлайн услуга. Порталът Школково е единствена по рода си платформа, която съдържа необходимото ИЗПОЛЗВАЙТЕ материали... Нашите учители са систематизирали и представили в разбираема форма всички математически правила. Освен това каним учениците да опитат силите си в решаването на типични рационални уравнения, чиято база постоянно се актуализира и допълва.

За по-ефективна подготовка за тестване препоръчваме да следвате нашия специален метод и да започнете, като повторите правилата и решите прости задачи, като постепенно преминете към по-сложни. Така възпитаникът ще може да изтъкне най-трудните за себе си теми и да се съсредоточи върху тяхното изучаване.

Започнете да се подготвяте за финалното тестване със Школково още днес, а резултатът няма да очаква дълго! Изберете най-много лесен пример от предложеното. Ако бързате с израза, преминете към още трудна задача... Така ще можете да усъвършенствате знанията си до решаването на USE задачите по математика на ниво профил.

Образованието е достъпно не само за възпитаници от Москва, но и за ученици от други градове. Прекарвайте например по няколко часа на ден в нашия портал и много скоро ще можете да се справите с уравнения с всякаква сложност!