|
Внимание!
Има и допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които "не са много ..."
И за тези, които "много ...")
Видове квадратни уравнения
Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнение ключовата дума е "квадрат". Това означава, че в уравнението задължително трябва да има х на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или може да не е!) Просто x (в първата степен) и само число (безплатен член). И не трябва да има х до степен, по-голяма от две.
В математически термин квадратното уравнение е уравнение на формата:
Тук a, b и c - някои числа. b и c - абсолютно всякакви, но и- нещо различно от нула. Например:
Тук и =1; б = 3; ° С = -4
Тук и =2; б = -0,5; ° С = 2,2
Тук и =-3; б = 6; ° С = -18
Е, разбирате идеята ...
Тези квадратни уравнения вляво съдържат пълен комплект членове. X на квадрат с коефициент и,x към първата степен с коефициент б и свободен срок с.
Такива квадратни уравнения се наричат пълен.
Какво ако б \u003d 0, какво получаваме? Ние имаме x ще изчезне в първата степен. Това се случва от умножение по нула.) Оказва се, например:
5x 2 -25 \u003d 0,
2x 2 -6x \u003d 0,
-x 2 + 4x \u003d 0
И т.н. И ако и двата коефициента, б и ° С са равни на нула, е още по-просто:
2x 2 \u003d 0,
-0,3x 2 \u003d 0
Такива уравнения, където нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения. Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.
Между другото защо и не може да бъде нула? И вие замествате и нула.) X в квадрата ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И се решава по съвсем различен начин ...
Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълна и непълна.
Решаване на квадратни уравнения.
Решаване на пълни квадратни уравнения.
Квадратичните уравнения са лесни за решаване. Чрез формули и ясни, прости правила. На първия етап даденото уравнение трябва да бъде сведено до стандартна форма, т.е. да гледам:
Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното нещо е да определите правилно всички коефициенти, и, б и ° С. Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:
Извиква се израз под коренния знак дискриминанта... Но за него - по-долу. Както можете да видите, за да намерим x, използваме само a, b и c.
Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и c в тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци!
Например в уравнението:
и =1; б = 3; ° С \u003d -4. Затова записваме:
Примерът е почти решен:
Това е отговорът.
Всичко е много просто. И какво мислите, че не можете да сгрешите? Е, да, как ...
Най-често срещаните грешки са объркване със смислови знаци. a, b и c... По-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателните стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се запазва подробна нотация на формулата с конкретни числа. Ако има изчислителни проблеми, направи го!
Да предположим, че трябва да разрешите този пример:
Тук а = -6;
б = -5;
° С = -1
Да предположим, че знаете, че рядко получавате отговори за първи път.
Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броят на грешките рязко ще намалее... Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:
Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но изглежда само така. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или нали? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Ще се получи точно от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп недостатъци може да бъде решен лесно и без грешки!
Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например по този начин:
Разбрахте ли?) Да! то непълни квадратни уравнения.
Решаване на непълни квадратни уравнения.
Те също могат да бъдат решени с помощта на обща формула. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук a, b и c.
Разбрахте ли? В първия пример a \u003d 1; b \u003d -4; и ° С? Той изобщо не е там! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c \u003d 0
! Това е всичко. Заместваме нула във формулата вместо ° С, и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук нямаме само нула от, и б !
Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво можете да правите там от лявата страна? Можете да извадите х от скобите! Да го извадим.
И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две ненулеви числа, които, умножени, ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Затова можем уверено да напишем: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.
Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете се вписват. Когато заместваме някой от тях в първоначалното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 \u003d 0. Както можете да видите, решението е много по-лесно, отколкото използването на общата формула. Между другото ще отбележа кой X ще бъде първият, а кой втори е абсолютно безразличен. Удобно е да записвате по ред, x 1 - това, което е по-малко, и x 2 - какво повече.
Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 вдясно. Получаваме:
Остава да се извлече коренът от 9 и това е всичко. Оказва се:
Също така два корена .
x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.
Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез поставяне на скобата на x, или просто прехвърляне числа вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корен от х, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скобите ...
Дискриминанта. Дискриминантна формула.
Вълшебна дума дискриминанта
! Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „вземане на решение чрез дискриминанта“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да чакате мръсни трикове от дискриминанта! Той е лесен и безпроблемен за използване.) Спомням си най-общата формула за решаване всякакви квадратни уравнения:
Изразът под коренния знак се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата д... Дискриминантна формула:
D \u003d b 2 - 4ac
И какво е толкова забележителното в този израз? Защо заслужава специално име? Какво значението на дискриминанта? След всичко -b, или 2а в тази формула те не посочват конкретно ... Букви и букви.
Ето това е нещото. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.
1. Дискриминантът е положителен. Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.
2. Дискриминантът е нула. Тогава имате едно решение. Тъй като добавянето-изваждане на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви... Но в опростена версия е обичайно да се говори за това едно решение.
3. Дискриминантът е отрицателен. На отрицателно число квадратният корен не се извлича. Ми добре. Това означава, че няма решения.
За да бъда честен, с просто решение квадратични уравнения, понятието дискриминант не се изисква особено. Ние заместваме стойностите на коефициентите във формулата, но броим. Всичко се оказва от само себе си, и два корена, и един, и не един. Въпреки това, при решаване на по-сложни задачи, без знания значение и дискриминантна формула не достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж на държавния изпит и единния държавен изпит!)
Така, как да се решават квадратни уравнения чрез дискриминанта, който си спомнихте. Или са се научили, което също е добре.) Знаете как правилно да се идентифицирате a, b и c... Ти знаеш как внимателно заместете ги в коренната формула и внимателно прочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?
Засега вземете под внимание най-добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Самите, които се дължат на невнимание ... За които тогава боли и обижда ...
Първи прием
... Не бъдете мързеливи да го приведете в стандартната форма, преди да решите квадратното уравнение. Какво означава това?
Да кажем, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:
Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете. a, b и c. Изградете правилно примера. Първо, X е на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. Като този:
Отново не бързайте! Минусът пред х на квадрата може наистина да ви натъжи. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение по -1. Получаваме:
Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да попълните примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.
Прием втори.
Проверете корените! По теорема на Виета. Не се тревожете, ще обясня всичко! Проверка последно нещо уравнението. Тези. тази, с която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът a \u003d 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножим. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак
... Ако не е работило, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешка.
Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да получите коефициент б от противоположно
познати. В нашия случай -1 + 2 \u003d +1. И коефициентът бкоето е преди x е -1. И така, всичко е правилно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, когато x на квадрат е чист, с коефициент a \u003d 1. Но поне проверете такива уравнения! всичко по-малко грешки ще бъде.
Прием трети
... Ако вашето уравнение съдържа дробни коефициенти, отървете се от дроби! Умножете уравнението по общ знаменателкакто е описано в урока Как да решим уравнения? Идентични трансформации. При работа с фракции по някаква причина се появяват грешки ...
Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Вие сте добре дошъл! Ето го.
За да не се объркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:
Това е всичко! Удоволствие е да решите!
И така, за да обобщим темата.
Практически съвети:
1. Преди да решим, ние привеждаме квадратното уравнение в стандартната форма, изграждаме го правилно.
2. Ако има отрицателен коефициент пред х на квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.
3. Ако коефициентите са дробни, ние елиминираме фракциите, като умножим цялото уравнение по подходящия коефициент.
4. Ако x на квадрат е чист, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да бъде проверено чрез теоремата на Vieta. Направи го!
Сега можете да решите.)
Решаване на уравнения:
8x 2 - 6x + 1 \u003d 0
x 2 + 3x + 8 \u003d 0
x 2 - 4x + 4 \u003d 0
(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)
Отговори (в безпорядък):
x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5
х 1,2 \u003d2
x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5
x - произволно число
x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3
няма решения
x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5
Всичко това съвпада ли? Глоба! Квадратичните уравнения не са главоболието ви. Първите трима работиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратни уравнения. Проблемът е в еднакви трансформации на уравнения. Разходете се по връзката, полезно е.
Не съвсем работи? Или изобщо не работи? Тогава ще ви помогне раздел 555. Там всички тези примери са подредени на парчета. Показани основното грешки в решението. Разбира се, също така се разказва за прилагането на еднакви трансформации в решението на различни уравнения. Помага много!
Ако този сайт ви харесва ...
Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)
Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)
можете да се запознаете с функции и производни.
|
5x (x - 4) \u003d 0
5 x \u003d 0 или x - 4 \u003d 0
x \u003d ± √ 25/4
След като сте се научили как да решавате уравнения от първа степен, разбира се, искате да работите с други, по-специално с уравнения от втора степен, които иначе се наричат \u200b\u200bквадратни.
Квадратичните уравнения са уравнения от типа ax ² + bx + c \u003d 0, където променливата е x, числата ще бъдат - a, b, c, където a не е равно на нула.
Ако в квадратно уравнение единият или другият коефициент (c или b) е равен на нула, то това уравнение ще се отнася до непълно квадратно уравнение.
Как можете да разрешите непълно квадратно уравнение, ако досега учениците са успели да решат само уравнения от първа степен? Помислете за непълни квадратни уравнения различни видове и прости начини за тяхното решаване.
а) Ако коефициентът c е равен на 0 и коефициентът b не е равен на нула, тогава ax ² + bx + 0 \u003d 0 се намалява до уравнение с формата ax ² + bx \u003d 0.
За да решите такова уравнение, трябва да знаете формулата за решаване на непълно квадратно уравнение, което е това лява страна факторизираме го и по-късно използваме условието за равенство на продукта на нула.
Например, 5x ² - 20x \u003d 0. Факторирайте лявата страна на уравнението, докато правите обичайното математическа операция: изваждане на общия фактор от скобите
5x (x - 4) \u003d 0
Използваме условието продуктите да са равни на нула.
5 x \u003d 0 или x - 4 \u003d 0
Отговорът ще бъде: първият корен е 0; вторият корен е 4.
б) Ако b \u003d 0 и свободният член не е равен на нула, тогава уравнението ax ² + 0x + c \u003d 0 се свежда до уравнение с формата ax ² + c \u003d 0. Уравненията се решават по два начина : а) чрез разширяване на полинома на уравнението отляво на фактори; б) използване на свойствата на аритметиката корен квадратен... Това уравнение се решава по един от методите, например:
x \u003d ± √ 25/4
x \u003d ± 5/2. Отговорът е: първият корен е 5/2; вторият корен е - 5/2.
в) Ако b е равно на 0 и c е равно на 0, тогава ax ² + 0 + 0 \u003d 0 се свежда до уравнение с формата ax ² \u003d 0. В такова уравнение x ще бъде равно на 0.
Както можете да видите, непълните квадратни уравнения могат да имат не повече от два корена.
Квадратичните уравнения често се появяват при решаване на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин „чрез дискриминанта“. Примери за използване на получените знания също са дадени в статията.
За какви уравнения говорим?
Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските символи a, b, c представляват някои известни числа.
Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" е преди квадратната променлива x. Това е максималната мощност на представения израз, поради което той се нарича квадратно уравнение. Често се използва и другото му име: уравнение от втори ред. Самата стойност а е квадратният коефициент (означаващ променливата на квадрат), b е линейният коефициент (той е до променливата, повдигната до първата степен), и накрая, числото c е свободният член.
Имайте предвид, че формата на уравнението, показана на фигурата по-горе, е общ класически квадратен израз. В допълнение към него има и други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.
Когато проблемът е поставен за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които биха я удовлетворили. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на x е 2, тогава този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението са намерени 2 стойности на х, които го удовлетворяват, тогава можете да бъдете сигурни, че няма трето число, заместващо което вместо х, равенството също би било вярно. Решенията на уравнение в математиката се наричат \u200b\u200bкорени.
Методи за решаване на уравнения от втори ред
Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на известна теория за тях. В учебния курс по алгебра, 4 различни методи решения. Нека ги изброим:
- използване на факторизация;
- използване на формулата за пълен квадрат;
- чрез прилагане на графиката на съответната квадратна функция;
- използвайки дискриминантното уравнение.
Предимството на първия метод се крие в неговата простота, но той не може да бъде приложен към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Следователно в статията ще го разгледаме само.
Формула за получаване на корените на уравнението
Нека се обърнем към общ изглед квадратно уравнение. Нека го запишем: a * x² + b * x + c \u003d 0. Преди да се използва методът за решаването му „чрез дискриминант“, равенството винаги трябва да се сведе до писмената форма. Тоест трябва да се състои от три термина (или по-малко, ако b или c е 0).
Например, ако има израз: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², първо трябва да преместите всичките му термини в едната страна на равенството и да добавите термините, съдържащи променливата x в същите правомощия.
В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, което е еквивалентно на уравнението 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (тук умножихме лявото и дясните страни на равенството с -1) ...
В горния пример a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Имайте предвид, че всички условия на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, така че ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.
След като разгледахме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която дава възможност да се получат корените на квадратното уравнение. Той има формата, показана на снимката по-долу.
Както можете да видите от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да заместите коефициентите b, c и a в него.
Дискриминационна концепция
В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да разрешите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, т.е. D \u003d b²-4 * a * c.
Защо тази част от формулата е изолирана и дори има собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва и трите коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той напълно носи информация за корените, която може да бъде изразена в следния списък:
- D\u003e 0: равенството има 2 различни решения, и двете от които са реални числа.
- D \u003d 0: Уравнението има само един корен и е реално число.
Задачата за определяне на дискриминанта
Нека дадем прост пример за това как да намерим дискриминанта. Нека се даде следното равенство: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.
Довеждаме го до стандартната форма, получаваме: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, откъдето стигаме до равенство: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. Тук a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.
Сега можете да използвате посочената формула за дискриминанта: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като в примера дискриминанта по-малко от нула, тогава можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Само комплексно число ще бъде неговото решение.
Пример за неравенство чрез дискриминант
Нека решим задачи от малко по-различен тип: като се има предвид равенството -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D\u003e 0.
В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но е известно, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c\u003e -3.
Нека проверим получения номер. За да направите това, изчислете D за 2 случая: c \u003d -2 и c \u003d -4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2\u003e -3), съответният дискриминант ще има стойността: D \u003d 12\u003e 0. На свой ред числото -4 не удовлетворява неравенството (-4 По този начин, всички числа c, които са по-големи от -3, ще отговарят на условието.
Пример за решаване на уравнение
Нека представим проблем, който се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Трябва да намерите корените за равенството -2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.
В този пример дискриминантът е следваща стойност: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Тогава корените на уравнението се определят, както следва: x \u003d (9 ± √137) / (- 4). Това са точните стойности на корените, ако изчислите приблизителния корен, тогава получавате числата: x \u003d -5,176 и x \u003d 0,676.
Геометричен проблем
Ще разрешим проблем, който ще изисква не само способността да се изчислява дискриминанта, но и използването на умения за абстрактно мислене и знания как да се правят квадратни уравнения.
Боб имаше завивка 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красива материя... Колко дебела ще бъде тази лента, ако се знае, че Боб има 10 м² плат.
Нека лентата има дебелина x m, след това площта на плата по протежение дълга страна одеялата ще бъдат (5 + 2 * x) * x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). От късата страна площта на зашития плат ще бъде 4 * x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8 * x. Имайте предвид, че 2 * x беше добавен към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се увеличи с това число. Общата площ на тъканта, пришита към одеялото, е 10 м2. Следователно получаваме равенството: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.
За този пример дискриминантът е: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо от постановката на проблема.
Така лентата от плат, която Боб ще пришие към одеялото си, ще бъде широка 50 см.
Непълното квадратно уравнение се различава от класическите (пълни) уравнения по това, че неговите фактори или отсечка са равни на нула. Графиката на такива функции са параболи. В зависимост от общия им вид те се разделят на 3 групи. Принципите за решаване на всички видове уравнения са еднакви.
Няма нищо трудно при определянето на типа на непълен полином. Най-добре е да разгледате основните разлики с илюстративни примери:
- Ако b \u003d 0, тогава уравнението е ax 2 + c \u003d 0.
- Ако c \u003d 0, тогава изразът ax 2 + bx \u003d 0 трябва да бъде решен.
- Ако b \u003d 0 и c \u003d 0, тогава полиномът се превръща в равенство от типа ax 2 \u003d 0.
Последният случай е по-скоро теоретична възможност и никога не се среща при задачи за проверка на знания, тъй като единствената валидна стойност на променливата x в израза е нула. В бъдеще ще бъдат разгледани методи и примери за решаване на непълни квадратни уравнения 1) и 2).
Общ алгоритъм за намиране на променливи и примери с решение
Независимо от вида на уравнението, алгоритъмът на решението се свежда до следните стъпки:
- Намалете израза до форма, удобна за намиране на корени.
- Извършете изчисления.
- Запишете отговора си.
Най-лесният начин за решаване на непълни уравнения е като се раздели на лявата страна и остави нула вдясно. По този начин формулата за непълно квадратно уравнение за намиране на корените се свежда до изчисляване на стойността на x за всеки от факторите.
Можете да научите как да го решавате само на практика, така че помислете конкретен пример намиране на корените на непълно уравнение:
Както можете да видите, в този случай b \u003d 0. Нека разделим лявата страна и получим израза:
4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.
Очевидно продуктът е нула, когато поне един от факторите е нула. Стойностите на променливата x1 \u003d 0,5 и (или) x2 \u003d -0,5 отговарят на тези изисквания.
За да се справим лесно и бързо със задачата за разлагане квадратен трином по фактори трябва да запомните следната формула:
Ако в израза няма свободен термин, задачата е значително опростена. Достатъчно е само да се намери и извади общия знаменател. За по-голяма яснота разгледайте пример за това как да решите непълни квадратни уравнения от формата ax2 + bx \u003d 0.
Да извадим променливата x от скобите и да получим следния израз:
x ⋅ (x + 3) \u003d 0.
Водени от логиката, стигаме до извода, че x1 \u003d 0 и x2 \u003d -3.
Традиционно решение и непълни квадратни уравнения
Какво ще се случи, ако приложите дискриминантната формула и се опитате да намерите корените на полинома, с коефициенти, равни на нула? Да вземем пример от колекция от типични задачи за изпита по математика през 2017 г., да го решим с помощта на стандартни формули и метод на факторизация.
7x 2 - 3x \u003d 0.
Нека изчислим стойността на дискриминанта: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Оказва се, че полиномът има два корена:
Сега, нека решим уравнението чрез факториране и сравним резултатите.
X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,
2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.
Както можете да видите, и двата метода дават един и същ резултат, но решаването на уравнението по втория метод се оказа много по-лесно и бързо.
Теорема на Виета
И какво да правим с любимата теорема на Виета? Може ли този метод да се използва с непълен трином? Нека се опитаме да разберем аспектите на кастинга не пълни уравнения да се класически вид ax2 + bx + c \u003d 0.
Всъщност в този случай е възможно да се приложи теоремата на Виета. Необходимо е само изразът да бъде приведен в обща форма, замествайки липсващите членове с нула.
Например с b \u003d 0 и a \u003d 1, за да се елиминира вероятността от объркване, задачата трябва да бъде написана във формата: ax2 + 0 + c \u003d 0. Тогава съотношението на сумата и произведението на корените и фактори на полинома могат да бъдат изразени, както следва:
Теоретичните изчисления помагат да се запознаете със същността на въпроса и винаги изискват упражняване на умение при решаване конкретни задачи... Нека отново се обърнем към справочника с типични задачи за изпита и да намерим подходящ пример:
Нека напишем израза във форма, удобна за прилагане на теоремата на Виета:
x 2 + 0 - 16 \u003d 0.
Следващата стъпка е да се създаде система от условия:
Очевидно корените на квадратния полином ще бъдат x 1 \u003d 4 и x 2 \u003d -4.
Сега, нека практикуваме привеждането на уравнението в обща форма. Вземете следния пример: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0
За да приложите теоремата на Vieta към израз, е необходимо да се отървете от фракцията. Умножете лявата и дясната страна по 4 и погледнете резултата: x2– 4 \u003d 0. Полученото равенство е готово да бъде решено чрез теоремата на Виета, но е много по-лесно и по-бързо да получите отговора, просто като прехвърлите c \u003d 4 от дясната страна на уравнението: x2 \u003d 4.
Обобщавайки, трябва да се каже, че по най-добрия начин решения непълни уравнения е факторизацията, е най-простата и бърз метод... Ако имате някакви затруднения в процеса на намиране на корени, можете да се свържете традиционен метод намиране на корените чрез дискриминанта.
Формули за корените на квадратно уравнение. Разгледани са случаите на реални, множествени и сложни корени. Факторирайки квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторинг.
Основни формули
Помислете за квадратно уравнение:
(1)
.
Квадратични корени (1) се определят по формулите:
;
.
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато са известни корените на квадратното уравнение, полиномът от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирано):
.
Освен това приемаме, че това са реални числа.
Обмисли квадратичен дискриминант:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
;
.
Тогава факторизацията на квадратния трином е:
.
Ако дискриминантът е нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два сложни спрегнати корена:
;
.
Ето една въображаема единица ,;
и - реални и въображаеми части от корените:
;
.
Тогава
.
Графична интерпретация
Ако строиш функционална графика
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато, графиката пресича оста (оста) на абсцисата в две точки.
Когато графиката докосва оста на абсцисата в една точка.
Когато графиката не пресича оста на абсцисата.
По-долу са дадени примери за такива графики.
Полезни квадратни уравнения
(е.1) ;
(е.2) ;
(е.3) .
Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение
Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):
,
Където
;
.
И така, получихме формулата за полином от втора степен под формата:
.
От това се вижда, че уравнението
изпълнява в
и.
Тоест те са корените на квадратното уравнение
.
Примери за определяне на корените на квадратно уравнение
Пример 1
(1.1)
.
Решение
.
В сравнение с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.
От това получаваме факторизацията на квадратния трином:
.
Графика на функциите y \u003d 2 x 2 + 7 x + 3 пресича оста на абсцисата в две точки.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича оста (ос) на абсцисата в две точки:
и.
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).
Отговор
;
;
.
Пример 2
Намерете корените на квадратното уравнение:
(2.1)
.
Решение
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
В сравнение с първоначалното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, то уравнението има два множествени (равни) корена:
;
.
Тогава факторизацията на тринома е:
.
Графика на функциите y \u003d x 2 - 4 x + 4 докосва оста на абсцисата в една точка.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя докосва оста (оста) на абсцисата в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен влиза във факторизацията два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича множествен. Тоест те вярват, че има два равни корена:
.
Отговор
;
.
Пример 3
Намерете корените на квадратното уравнение:
(3.1)
.
Решение
Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1)
.
Нека препишем първоначалното уравнение (3.1):
.
В сравнение с (1) намираме стойностите на коефициентите:
.
Ние намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен. Следователно няма валидни корени.
Сложни корени могат да бъдат намерени:
;
;
.
Тогава
.
Графиката на функциите не пресича оста на абсцисата. Няма валидни корени.
Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Не пресича оста (оста) на абсцисата. Следователно няма валидни корени.
Отговор
Няма валидни корени. Сложни корени:
;
;
.
