Как да вградите математически формули в уебсайт?

Ако някога се наложи да добавите една или две математически формули към уеб страница, най-лесният начин да го направите е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на картинки, които Wolfram Alpha генерира автоматично. Освен простотата, този универсален метод ще помогне да се подобри видимостта на вашия сайт в търсачките. Той работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, препоръчвам ви да използвате MathJax, специална библиотека на JavaScript, която показва математически нотации в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) с прост код можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия сайт, който автоматично ще се зареди от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) качете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод, който е по-сложен и отнема много време, ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският сървър MathJax по някаква причина стане временно недостъпен, това няма да засегне собствения ви сайт по никакъв начин. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като той е по-опростен, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте моя пример и след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия уебсайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две версии на кода, взети от основния сайт на MathJax или от страницата с документация:

Един от тези варианти на кода трябва да бъде копиран и поставен в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и или веднага след етикета ... Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично проследява и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако вмъкнете първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако вмъкнете втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в таблото на вашия сайт добавете приспособление за вмъкване на JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне и поставете приспособлението по-близо до началото на шаблона (между другото това изобщо не е необходимо, защото скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вградите математически формули в уеб страниците на вашия уебсайт.

Всеки фрактал се изгражда съгласно определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъбата на Менгер е съвсем прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 съседни куба. Оказва се комплект, състоящ се от 20 останали по-малки кубчета. Правейки същото с всеки от тези кубчета, получаваме набор, състоящ се вече от 400 по-малки кубчета. Продължавайки безкрайно този процес, получаваме гъба Menger.

Определение1. Функцията се извиква дори (странно ), ако заедно с всяка стойност на променливата
стойност - хсъщо принадлежи
и равенството

По този начин, функцията може да бъде четна или нечетна, само ако нейната област на дефиниция е симетрична на произхода на числовата линия (числа хи - хедновременно принадлежат
). Например функцията
не е четно и странно, тъй като неговата област на дефиниция
не симетрични по отношение на произхода.

Функция
дори, тъй като
симетрични относно произхода и.

Функция
странно оттогава
и
.

Функция
не е четно и странно, тъй като въпреки че
и е симетричен по отношение на произхода, равенствата (11.1) не са изпълнени. Например,.

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста OUтъй като ако точка

също принадлежи към графиката. Графиката на нечетна функция е симетрична на произхода, тъй като ако
принадлежи на графиката, тогава точката
също принадлежи към графиката.

Когато се доказва, че дадена функция е четна или нечетна, полезни са следните твърдения.

Теорема1. а) Сумата от две четни (нечетни) функции е четна (нечетна) функция.

б) Продуктът на две четни (нечетни) функции е четна функция.

в) Продуктът на четна и нечетна функция е нечетна функция.

г) Ако е- равномерна функция на снимачната площадка хи функцията ж дефинирани на снимачната площадка
, след това функцията
- дори.

д) Ако е- нечетна функция на комплекта хи функцията ж дефинирани на снимачната площадка
и четно (нечетно), след това функцията
- дори странно).

Доказателства... Нека докажем, например, б) и г).

б) Нека
и
- дори функции. Тогава, следователно. Случаят на нечетните функции се разглежда по подобен начин
и
.

г) Нека е Е четна функция. Тогава.

Останалата част от теоремата се доказва по подобен начин. Теоремата е доказана.

Теорема2. Всяка функция
дефинирани на снимачната площадка х, симетрични по отношение на произхода, могат да бъдат представени като сбор от четни и нечетни функции.

Доказателства... Функция
може да се запише като

.

Функция
- дори, тъй като
и функцията
- странно, защото. По този начин,
където
- дори, и
- нечетна функция. Теоремата е доказана.

Определение2. Функция
наречен периодичен ако има номер
, такъв, че за всеки
числа
и
също принадлежи към домейна
и равенствата се държат

Такъв номер тнаречен месечен цикъл функции
.

Определение 1 предполага, че ако т- период на функция
, след това числото - тсъщо е периодът на функцията
(тъй като при подмяна тна - тзапазва се равенството). Използвайки метода на математическата индукция, може да се покаже, че ако т- период на функция е, тогава
, също е период. От това следва, че ако дадена функция има период, то тя има безкрайно много периоди.

Определение3. Най-малкият от положителните периоди на дадена функция се нарича нейният основното месечен цикъл.

Теорема3. Ако т- основният период на функцията е, тогава останалите периоди са кратни на него.

Доказателства... Да предположим обратното, тоест, че има период функции е (\u003e 0), а не множество т... След това, разделяне на тс остатъка, получаваме
където
... Следователно

т.е. - период на функция е, и
, а това противоречи на факта, че т- основният период на функцията е... Твърдението на теоремата следва от произтичащото противоречие. Теоремата е доказана.

Добре известно е, че тригонометричните функции са периодични. Основен период
и
е равно
,
и
... Намерете периода на функцията
... Нека бъде
- периодът на тази функция. Тогава

(защото
.

или или
.

Стойност т, определено от първото равенство, не може да бъде период, тъй като зависи от х, т.е. е функция на ха не константно число. Периодът се определя от второто равенство:
... Има безкрайно много периоди, с
най-малкият положителен период се получава, когато
:
... Това е основният период на функцията
.

Пример за по-сложна периодична функция е функцията на Дирихле

Имайте предвид, че ако тТогава е рационално число
и
са рационални числа с рационални хи ирационално с ирационално х... Следователно

за всяко рационално число т... Следователно, всяко рационално число те периодът на функцията на Дирихле. Ясно е, че тази функция няма основен период, тъй като има положителни рационални числа, произволно близо до нула (например, рационално число може да бъде направено чрез избор нпроизволно близо до нула).

Теорема4. Ако функцията е дадени на снимачната площадка хи има период ти функцията ж дадени на снимачната площадка
, след това комплексната функция
също има период т.

Доказателства... Следователно имаме

т. е. твърдението на теоремата е доказано.

Например, тъй като cos х има период
, след това функциите
имат период
.

Определение4. Извикват се функции, които не са периодични непериодични .

дориако за всички \\ (x \\) от неговия домейн е вярно: \\ (f (-x) \u003d f (x) \\).

Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста \\ (у \\):

Пример: функцията \\ (f (x) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \\) е четна, тъй като \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 2 + \\ cos ((- x)) \u003d x ^ 2 + \\ cos x \u003d f (x) \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Извиква се функцията \\ (f (x) \\) странноако за всички \\ (x \\) от неговата област на дефиниция е вярно: \\ (f (-x) \u003d - f (x) \\).

Графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на произхода:

Пример: функцията \\ (f (x) \u003d x ^ 3 + x \\) е нечетна, защото \\ (f (-x) \u003d (- x) ^ 3 + (- x) \u003d - x ^ 3-x \u003d - (x ^ 3 + x) \u003d - f (x) \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Функции, които не са нито четни, нито нечетни, се наричат \u200b\u200bфункции общ изглед... Такава функция винаги може да бъде представена еднозначно като сбор от четна и нечетна функция.

Например функцията \\ (f (x) \u003d x ^ 2-x \\) е сумата от четната функция \\ (f_1 \u003d x ^ 2 \\) и нечетната \\ (f_2 \u003d -x \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Някои свойства:

1) Продуктът и коефициентът на две функции от един и същ паритет е четна функция.

2) Продуктът и коефициентът на две функции с различен паритет - нечетна функция.

3) Сумата и разликата на четните функции е четна функция.

4) Сумата и разликата на нечетните функции е нечетна функция.

5) Ако \\ (f (x) \\) е четна функция, тогава уравнението \\ (f (x) \u003d c \\ (c \\ in \\ mathbb (R) \\)) има уникален корен, ако и само ако, когато \\ (x \u003d 0 \\).

6) Ако \\ (f (x) \\) е четна или нечетна функция и уравнението \\ (f (x) \u003d 0 \\) има корен \\ (x \u003d b \\), тогава това уравнение непременно ще има втора корен \\ (x \u003d -b \\).

\\ (\\ blacktriangleright \\) Функция \\ (f (x) \\) се нарича периодична на \\ (X \\), ако за някакво число \\ (T \\ ne 0 \\) \\ (f (x) \u003d f (x + T ) \\), където \\ (x, x + T \\ в X \\). Най-малкият \\ (T \\), за който се поддържа това равенство, се нарича главен (главен) период на функцията.

Периодичната функция има произволен номер на формата \\ (nT \\), където \\ (n \\ in \\ mathbb (Z) \\) също ще бъде точка.

Пример: всеки тригонометрична функция е периодичен;
функциите \\ (f (x) \u003d \\ sin x \\) и \\ (f (x) \u003d \\ cos x \\) имат главния период \\ (2 \\ pi \\), за функциите \\ (f (x) \u003d \\ mathrm (tg) \\, x \\) и \\ (f (x) \u003d \\ mathrm (ctg) \\, x \\) основният период е \\ (\\ pi \\).

За да изградите графика на периодична функция, можете да изградите нейната графика върху произволен сегмент с дължина \\ (T \\) (основен период); тогава графиката на цялата функция се завършва чрез преместване на конструираната част с цяло число точки надясно и наляво:

\\ (\\ blacktriangleright \\) Домейнът \\ (D (f) \\) на функция \\ (f (x) \\) е набор, състоящ се от всички стойности \\ (x \\), за които функцията има значение (е дефинирана ).

Пример: функцията \\ (f (x) \u003d \\ sqrt x + 1 \\) има обхват: \\ (x \\ in

Задача 1 # 6364

Ниво на задание: Равно на изпита

За какви стойности на параметъра \\ (a \\) е уравнението

то има единствено решение?

Имайте предвид, че тъй като \\ (x ^ 2 \\) и \\ (\\ cos x \\) са четни функции, тогава ако уравнението има корен \\ (x_0 \\), то също ще има корен \\ (- x_0 \\).
Всъщност нека \\ (x_0 \\) е корен, тоест равенството \\ (2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\) нали. Заместител \\ (- x_0 \\): \\ (2 (-x_0) ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos (-x_0)) + a ^ 2 \u003d 2x_0 ^ 2 + a \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x_0) + a ^ 2 \u003d 0 \\).

По този начин, ако \\ (x_0 \\ ne 0 \\), тогава уравнението вече ще има поне два корена. Следователно \\ (x_0 \u003d 0 \\). Тогава:

Получихме две стойности за параметъра \\ (a \\). Имайте предвид, че използвахме факта, че \\ (x \u003d 0 \\) е точно коренът на първоначалното уравнение. Но никога не сме използвали факта, че той е единственият. Следователно е необходимо получените стойности на параметъра \\ (a \\) да се заменят в първоначалното уравнение и да се провери за кои \\ (a \\) коренът \\ (x \u003d 0 \\) наистина ще бъде уникален.

1) Ако \\ (a \u003d 0 \\), тогава уравнението приема формата \\ (2x ^ 2 \u003d 0 \\). Очевидно това уравнение има само един корен \\ (x \u003d 0 \\). Следователно стойността \\ (a \u003d 0 \\) ни устройва.

2) Ако \\ (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\), тогава уравнението приема формата \ Преписваме уравнението като \ Защото \\ (- 1 \\ leqslant \\ cos x \\ leqslant 1 \\)тогава \\ (- \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \\ leqslant \\ mathrm (tg) \\, 1 \\)... Следователно стойностите от дясната страна на уравнението (*) принадлежат към сегмента \\ ([- \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1; \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1] \\).

Тъй като \\ (x ^ 2 \\ geqslant 0 \\), тогава лява страна уравнение (*) е по-голямо или равно на \\ (0+ \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\).

По този начин равенството (*) може да бъде изпълнено само когато двете страни на уравнението са равни на \\ (\\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\). Това означава, че \\ [\\ начало (случаи) 2x ^ 2 + \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ cdot \\ mathrm (tg) \\ , (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) ^ 2 \\, 1 \\ end (случаи) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ begin (случаи) x \u003d 0 \\\\ \\ mathrm (tg) \\, (\\ cos x) \u003d \\ mathrm (tg) \\, 1 \\ end (случаи) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad x \u003d 0 \\] Следователно стойността \\ (a \u003d - \\ mathrm (tg) \\, 1 \\) ни устройва.

Отговор:

\\ (a \\ in \\ (- \\ mathrm (tg) \\, 1; 0 \\) \\)

Куест 2 # 3923

Ниво на задание: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \\ (a \\), за всяка от които графиката на функцията \

симетрични по отношение на произхода.

Ако графиката на функция е симетрична по отношение на произхода, тогава такава функция е нечетна, т.е. \\ (f (-x) \u003d - f (x) \\) е валидна за всеки \\ (x \\) от домейна на функция. По този начин се изисква да се намерят онези стойности на параметъра, за които \\ (f (-x) \u003d - f (x). \\)

\\ [\\ начало (подравнено) & 3 \\ mathrm (tg) \\, \\ ляво (- \\ dfrac (брадва) 5 \\ дясно) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ ляво (3 \\ mathrm (tg) \\, \\ вляво (\\ dfrac (брадва) 5 \\ вдясно) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ вдясно) \\ quad \\ Rightarrow \\ quad -3 \\ mathrm (tg) \\, \\ dfrac (брадва) 5 + 2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4 \u003d - \\ ляво (3 \\ mathrm (tg) \\, \\ ляво (\\ dfrac (брадва) 5 \\ дясно) +2 \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ вдясно) \\ quad \\ Rightarrow \\\\ \\ Rightarrow \\ quad & \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4+ \\ sin \\ dfrac (8 \\ pi a - 3x) 4 \u003d 0 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad2 \\ sin \\ dfrac12 \\ ляво (\\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4+ \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ вдясно) \\ cdot \\ cos \\ dfrac12 \\ вляво (\\ dfrac (8 \\ pi a + 3x) 4- \\ dfrac (8 \\ pi a-3x) 4 \\ вдясно) \u003d 0 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad \\ sin (2 \\ pi a) \\ cdot \\ cos \\ frac34 x \u003d 0 \\ край (подравнен) \\]

Последното уравнение трябва да бъде изпълнено за всички \\ (x \\) от областта \\ (f (x) \\), следователно, \\ (\\ sin (2 \\ pi a) \u003d 0 \\ Rightarrow a \u003d \\ dfrac n2, n \\ in \\ mathbb (Z) \\).

Отговор:

\\ (\\ dfrac n2, n \\ in \\ mathbb (Z) \\)

Куест 3 # 3069

Ниво на задание: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \\ (a \\), за всяко от които уравнението \\ има 4 решения, където \\ (f \\) е четна периодична функция с период \\ (T \u003d \\ dfrac (16) 3 \\ ), дефинирани на цялата числова линия и \\ (f (x) \u003d ax ^ 2 \\) за \\ (0 \\ leqslant x \\ leqslant \\ dfrac83. \\)

(Задача от абонати)

Тъй като \\ (f (x) \\) е четна функция, нейната графика е симетрична спрямо оста на ординатите, следователно за \\ (- \\ dfrac83 \\ leqslant x \\ leqslant 0 \\) \\ (f (x) \u003d ax ^ 2 \\). По този начин, за \\ (- \\ dfrac83 \\ leqslant x \\ leqslant \\ dfrac83 \\), а това е сегмент с дължина \\ (\\ dfrac (16) 3 \\), функция \\ (f (x) \u003d ax ^ 2 \\).

1) Нека \\ (a\u003e 0 \\). Тогава графиката на функцията \\ (f (x) \\) ще изглежда така:


След това, за да може уравнението да има 4 решения, графиката \\ (g (x) \u003d | a + 2 | \\ cdot \\ sqrtx \\) трябва да премине през точката \\ (A \\):


Следователно, \\ [\\ dfrac (64) 9a \u003d | a + 2 | \\ cdot \\ sqrt8 \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ наляво [\\ начало (събрано) \\ начало (подравняване) & 9 (a + 2) \u003d 32a \\\\ & 9 (a +2) \u003d - 32a \\ край (подравнен) \\ край (събран) \\ дясно. \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ наляво [\\ начало (събрано) \\ начало (подравнено) & a \u003d \\ dfrac (18) (23) \\\\ & a \u003d - \\ dfrac (18) (41) \\ край (подравнено) \\ край (събрано) \\ вдясно. \\] Тъй като \\ (a\u003e 0 \\), тогава \\ (a \u003d \\ dfrac (18) (23) \\) е подходящ.

2) Нека \\ (а<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Необходимо е графиката \\ (g (x) \\) да премине през точката \\ (B \\): \\ [\\ dfrac (64) 9a \u003d | a + 2 | \\ cdot \\ sqrt (-8) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad \\ наляво [\\ начало (събрано) \\ начало (подравняване) & a \u003d \\ dfrac (18) ( 23) \\\\ & a \u003d - \\ dfrac (18) (41) \\ край (подравнен) \\ край (събрани) \\ дясно. \\] Тъй като \\ (а<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Случаят, когато \\ (a \u003d 0 \\) не се побира, тъй като тогава \\ (f (x) \u003d 0 \\) за всички \\ (x \\), \\ (g (x) \u003d 2 \\ sqrtx \\) и уравнението ще има само 1 корен.

Отговор:

\\ (a \\ в \\ вляво \\ (- \\ dfrac (18) (41); \\ dfrac (18) (23) \\ вдясно \\) \\)

Куест 4 # 3072

Ниво на задание: Равно на изпита

Намерете всички стойности \\ (а \\), за всяка от които уравнението \

има поне един корен.

(Задача от абонати)

Преписваме уравнението като \ и помислете за две функции: \\ (g (x) \u003d 7 \\ sqrt (2x ^ 2 + 49) \\) и \\ (f (x) \u003d 3 | x-7a | -6 | x | -a ^ 2 + 7a \\ ).
Функцията \\ (g (x) \\) е четна, има минимална точка \\ (x \u003d 0 \\) (освен това \\ (g (0) \u003d 49 \\)).
Функцията \\ (f (x) \\) намалява за \\ (x\u003e 0 \\) и за \\ (x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Всъщност за \\ (x\u003e 0 \\) вторият модул ще се отвори положително (\\ (| x | \u003d x \\)), следователно, независимо от това как ще се отвори първият модул, \\ (f (x) \\) ще бъде равно до \\ (kx + A \\), където \\ (A \\) е израз на \\ (a \\), а \\ (k \\) е или \\ (- 9 \\), или \\ (- 3 \\). За \\ (x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Намерете стойността \\ (f \\) в максималната точка: \\

За да има уравнението поне едно решение, графиките на функциите \\ (f \\) и \\ (g \\) трябва да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ \\]

Отговор:

\\ (a \\ in \\ (- 7 \\) \\ чаша \\)

Задача 5 # 3912

Ниво на задание: Равно на изпита

Намерете всички стойности на параметъра \\ (a \\), за всяко от които уравнението \

има шест различни решения.

Нека направим заместването \\ ((\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t \\), \\ (t\u003e 0 \\). Тогава уравнението приема формата \ Постепенно ще запишем условията, при които първоначалното уравнение ще има шест решения.
Имайте предвид, че квадратното уравнение \\ ((*) \\) може да има най-много две решения. Всяко кубично уравнение \\ (Ax ^ 3 + Bx ^ 2 + Cx + D \u003d 0 \\) може да има най-много три решения. Следователно, ако уравнението \\ ((*) \\) има две различни решения (положително!, Тъй като \\ (t \\) трябва да е по-голямо от нула) \\ (t_1 \\) и \\ (t_2 \\), тогава, след като направи обратното промяна, получаваме: \\ [\\ вляво [\\ начало (събрано) \\ начало (подравняване) & (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4) \u003d t_1 \\\\ & (\\ sqrt2) ^ (x ^ 3-3x ^ 2 +4) \u003d t_2 \\ край (подравнено) \\ край (събрано) \\ дясно. \\] Тъй като всяко положително число може да бъде представено като \\ (\\ sqrt2 \\) до известна степен, например, \\ (t_1 \u003d (\\ sqrt2) ^ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_1) \\), тогава първото уравнение от множеството ще бъде пренаписано като \ Както вече казахме, всяко кубично уравнение има най-много три решения, следователно всяко уравнение от множеството ще има най-много три решения. Това означава, че целият набор ще има не повече от шест решения.
Това означава, че за да има първоначалното уравнение шест решения, квадратното уравнение \\ ((*) \\) трябва да има две различни решения и всяко получено кубично уравнение (от множеството) трябва да има три различни решения (и да няма решение на едно уравнение трябва да съвпада с кой - или по решение на втория!)
Очевидно е, че ако квадратното уравнение \\ ((*) \\) има едно решение, тогава няма да получим шест решения на първоначалното уравнение.

По този начин планът за решение става ясен. Нека запишем условията, които трябва да бъдат изпълнени, точка по точка.

1) За да има уравнението \\ ((*) \\) две различни решения, неговият дискриминант трябва да бъде положителен: \

2) Трябва и двата корена да са положителни (тъй като \\ (t\u003e 0 \\)). Ако произведението на два корена е положително и тяхната сума е положително, тогава самите корени ще бъдат положителни. Следователно имате нужда от: \\ [\\ начало (случаи) 12-a\u003e 0 \\\\ - (a-10)\u003e 0 \\ end (случаи) \\ quad \\ Leftrightarrow \\ quad a<10\]

По този начин вече си осигурихме два различни положителни корена \\ (t_1 \\) и \\ (t_2 \\).

3) Нека да разгледаме такова уравнение \ За кой \\ (t \\) ще има три различни решения?
Да разгледаме функцията \\ (f (x) \u003d x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \\).
Може да се факторизира: \ Следователно неговите нули са \\ (x \u003d -1; 2 \\).
Ако намерим производната \\ (f "(x) \u003d 3x ^ 2-6x \\), тогава получаваме две екстремни точки \\ (x_ (max) \u003d 0, x_ (min) \u003d 2 \\).
Следователно графиката изглежда така:


Виждаме, че всяка хоризонтална линия \\ (y \u003d k \\), където \\ (0 \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t \\) има три различни решения, е необходимо \\ (0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
По този начин се нуждаете от: \\ [\\ начало (случаи) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Нека също веднага да отбележим, че ако числата \\ (t_1 \\) и \\ (t_2 \\) са различни, то числата \\ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_1 \\) и \\ (\\ log _ (\\ sqrt2) t_2 \\) ще бъде различно, оттук и уравненията \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t_1 \\) и \\ (x ^ 3-3x ^ 2 + 4 \u003d \\ log _ (\\ sqrt2) t_2 \\) ще има несъответстващи корени.
Системата \\ ((**) \\) може да бъде пренаписана, както следва: \\ [\\ начало (случаи) 1

По този начин определихме, че и двата корена на уравнението \\ ((*) \\) трябва да лежат в интервала \\ ((1; 4) \\). Как да напиша това условие?
Няма да изписваме корените изрично.
Да разгледаме функцията \\ (g (t) \u003d t ^ 2 + (a-10) t + 12-a \\). Графиката му е парабола с разклонения нагоре, която има две точки на пресичане с оста на абсцисата (написахме това условие в точка 1)). Как трябва да изглежда неговата графика, така че точките на пресичане с оста на абсцисата да са в интервала \\ ((1; 4) \\)? Така:


Първо, стойностите \\ (g (1) \\) и \\ (g (4) \\) на функцията в точките \\ (1 \\) и \\ (4 \\) трябва да бъдат положителни, и второ, върхът на параболата \\ (t_0 \\) също трябва да бъде в диапазона \\ ((1; 4) \\). Следователно можем да напишем системата: \\ [\\ начало (случаи) 1 + a-10 + 12-a\u003e 0 \\\\ 4 ^ 2 + (a-10) \\ cdot 4 + 12-a\u003e 0 \\\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\\ (a \\) винаги има поне един корен \\ (x \u003d 0 \\). Следователно, за да се изпълни условието на задачата, е необходимо уравнението \

имаше четири различни ненулеви корена, представляващи, заедно с \\ (x \u003d 0 \\), аритметична прогресия.

Имайте предвид, че функцията \\ (y \u003d 25x ^ 4 + 25 (a-1) x ^ 2-4 (a-7) \\) е четна, така че ако \\ (x_0 \\) е коренът на уравнението \\ ((* ) \\), тогава \\ (- x_0 \\) също ще бъде неговият корен. Тогава е необходимо корените на това уравнение да са числа, подредени във възходящ ред: \\ (- 2d, -d, d, 2d \\) (тогава \\ (d\u003e 0 \\)). Тогава тези пет числа ще образуват аритметична прогресия (с разликата \\ (d \\)).

За да бъдат тези корени числа \\ (- 2d, -d, d, 2d \\), е необходимо числата \\ (d ^ (\\, 2), 4d ^ (\\, 2) \\) да са корените на уравнение \\ (25t ^ 2 +25 (a-1) t-4 (a-7) \u003d 0 \\). Тогава от теоремата на Виета:

Преписваме уравнението като \ и разгледайте две функции: \\ (g (x) \u003d 20a-a ^ 2-2 ^ (x ^ 2 + 2) \\) и \\ (f (x) \u003d 13 | x | -2 | 5x + 12a | \\) ...
Функцията \\ (g (x) \\) има максимална точка \\ (x \u003d 0 \\) (освен това \\ (g _ (\\ текст (vert)) \u003d g (0) \u003d - a ^ 2 + 20a-4 \\)):
\\ (g "(x) \u003d - 2 ^ (x ^ 2 + 2) \\ cdot \\ ln 2 \\ cdot 2x \\)... Производна нула: \\ (x \u003d 0 \\). За \\ (x<0\) имеем: \(g">0 \\), за \\ (x\u003e 0 \\): \\ (g "<0\) .
Функцията \\ (f (x) \\) за \\ (x\u003e 0 \\) се увеличава, а за \\ (x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Всъщност за \\ (x\u003e 0 \\) първият модул ще се отвори положително (\\ (| x | \u003d x \\)), следователно, независимо от това как ще се отвори вторият модул, \\ (f (x) \\) ще бъде равно на \\ (kx + A \\), където \\ (A \\) е израз от \\ (a \\), а \\ (k \\) е равно на \\ (13-10 \u003d 3 \\) или \\ (13 + 10 \u003d 23 \\). За \\ (x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Нека намерим стойността \\ (f \\) в минималната точка: \

За да има уравнението поне едно решение, графиките на функциите \\ (f \\) и \\ (g \\) трябва да имат поне една пресечна точка. Следователно имате нужда от: \ Решавайки този набор от системи, получаваме отговора: \\]

Отговор:

\\ (a \\ in \\ (- 2 \\) \\ чаша \\)

Обратно напред

Внимание! Прегледът на слайда се използва само за информационни цели и може да не представлява всички опции за презентация. Ако се интересувате от тази работа, моля изтеглете пълната версия.

Цели:

• да формира концепцията за четност и странност на дадена функция, да научи способността да се дефинират и използват тези свойства при изучаването на функции, изграждане на графики;
• да развие творческата активност на учениците, логическото мислене, способността за сравнение, обобщаване;
• да възпитава трудолюбие, математическа култура; развиват комуникативни умения .

Оборудване:мултимедийна инсталация, интерактивна дъска, листовки.

Форми на работа:фронтална и групова с елементи на изследователска и изследователска дейност.

Източници на информация:

1. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Учебник.
2. Алгебра 9 клас А. Г. Мордкович. Проблемна книга.
3. Алгебра степен 9. Задачи за обучение и развитие на ученици. Беленкова Е.Ю. Лебединцева Е.А.

ПО ВРЕМЕ НА КЛАСОВЕТЕ

1. Организационен момент

Поставяне на цели и задачи на урока.

2. Проверка на домашната работа

No 10.17 (Проблемна книга 9кл. А. Г. Мордкович).

и) в = е(х), е(х) =

б) е (–2) = –3; е (0) = –1; е(5) = 69;

в) 1. D ( е) = [– 2; + ∞)
2. Д ( е) = [– 3; + ∞)
3. е(х) \u003d 0 за х ~ 0,4
4. е(х)\u003e 0 за х > 0,4 ; е(х) < 0 при – 2 < х < 0,4.
5. Функцията се увеличава с х € [– 2; + ∞)
6. Функцията е ограничена отдолу.
7. в naim \u003d - 3, в naib не съществува
8. Функцията е непрекъсната.

(Използвахте ли алгоритъма за изследване на функции?) Пързалка.

2. Нека проверим таблицата, която сте били попитани на слайда.

Попълнете таблицата
	Домейн	Функционални нули	Интервали на постоянство		Координати на точки на пресичане на графиката с Oy
		x \u003d –5, x \u003d 2	х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		х € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Актуализация на знанията

- Дадени функции.
- Посочете обхвата за всяка функция.
- Сравнете стойността на всяка функция за всяка двойка стойности на аргументи: 1 и - 1; 2 и - 2.
- За коя от тези функции в областта на дефиницията са изпълнени равенствата? е(– х) = е(х), е(– х) = – е(х)? (въведете получените данни в таблицата) пързалка

4. Нов материал

- При извършване на тази работа, момчета, ние идентифицирахме друго свойство на функция, която е непозната за вас, но не по-малко важна от останалите - това е четната и странна функция. Запишете темата на урока: „Четни и нечетни функции“, нашата задача е да се научим как да определяме четността и нечетността на дадена функция, да разберем значението на това свойство при изучаването на функциите и графика.
И така, нека намерим определенията в учебника и прочетем (стр. 110) ... пързалка

Защита единФункция в = е (х), даден на множеството X, се нарича дориако за някаква стойност х Є X се изпълнява равенство f (–x) \u003d f (x). Дай примери.

Защита 2Функция y \u003d f (x)даден на множеството X се нарича странноако за някаква стойност х Є X важи равенството f (–x) \u003d –f (x). Дай примери.

Къде сме срещали термините „четно“ и „нечетно“?
Коя от тези функции смятате, че ще бъде четна? Защо? Кои са странните? Защо?
За всяка функция на формуляра в= x nкъдето н - цяло число, за което може да се твърди, че функцията е нечетна н - нечетно и функцията е четна за н - дори.
- Преглед на функции в \u003d и в = 2х - 3 не са нито четни, нито нечетни, тъй като равенствата не са удовлетворени е(– х) = – е(х), е(– х) = е(х)

Изследването на въпроса дали функцията е четна или нечетна се нарича изследване на функция за паритет.пързалка

Определения 1 и 2 се занимават със стойностите на функцията за x и - x, поради което се приема, че функцията е дефинирана и за стойността х, и в - х.

Def 3. Ако числов набор, заедно с всеки от неговите елементи x, съдържа и противоположния елемент -x, тогава множеството хнаречен симетричен набор.

Примери:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) са симетрични множества, а [–5; 4] са асиметрични.

- Областта на дефиниция на четните функции симетричен набор ли е? Странните?
- Ако D ( е) Асиметричен набор ли е, тогава каква функция?
- По този начин, ако функцията в = е(х) Е четно или нечетно, тогава неговият домейн D ( е) Е симетричен набор. Вярно ли е обратното, ако домейнът на функция е симетричен набор, то той е четен или нечетен?
- Това означава, че наличието на симетричен набор от области на дефиниция е необходимо условие, но не е достатъчно.
- И така, как изследвате функция за паритет? Нека се опитаме да съставим алгоритъм.

пързалка

Алгоритъм за анализ на функция за паритет

1. Установете дали домейнът на функцията е симетричен. Ако не, тогава функцията не е нито четна, нито нечетна. Ако да, преминете към стъпка 2 от алгоритъма.

2. Напишете израз за е(– х).

3. Сравнете е(– х).и е(х):

• ако е(– х).= е(х), тогава функцията е четна;
• ако е(– х).= – е(х), тогава функцията е нечетна;
• ако е(– х) ≠ е(х) и е(– х) ≠ –е(х), тогава функцията не е нито четна, нито нечетна.

Примери:

Изследвайте функцията за паритет а) в \u003d х 5 +; б) в \u003d; в) в= .

Решение.

а) h (x) \u003d x 5 +,

1) D (h) \u003d (–∞; 0) U (0; + ∞), симетричен набор.

2) h (- x) \u003d (–x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e функция h (x) \u003d x 5 + нечетно.

б) у \u003d,

в = е(х), D (f) \u003d (–∞; –9)? (–9; + ∞), асиметричен набор, така че функцията не е нито четна, нито нечетна.

в) е(х) \u003d, y \u003d f (x),

1) D ( е) \u003d (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Вариант 2

1. Симетричен ли е даденият набор: а) [–2; 2]; б) (∞; 0], (0; 7)?

а) у \u003d х 2 (2х - х 3), б) у \u003d