Функция е едно от най-важните математически понятия. Функция - променлива зависимост в от променлива хако всяка стойност х отговаря на единствената стойност в... Променлива х наречена независима променлива или аргумент. Променлива в наречена зависима променлива. Всички стойности на независимата променлива (променлива х) формират домейна на функцията. Всички стойности, които зависимата променлива (променлива у), образуват диапазона от стойности на функцията.

Графика на функциите извикайте множеството от всички точки координатна равнина, абсцисите на които са равни на стойностите на аргумента, а ординатите са равни на съответните стойности на функцията, т.е. стойностите на променливата са нанесени по оста на абсцисата х, а ординатата представлява стойностите на променливата у... За да начертаете графика на функция, трябва да знаете свойствата на функцията. Основните свойства на функцията ще бъдат обсъдени по-късно!

За да начертаете графика на функция, препоръчваме да използвате нашата програма - Онлайн графика на функции. Ако имате някакви въпроси, докато изучавате материала на тази страница, винаги можете да ги зададете на нашия форум. Също така, форумът ще ви помогне да решите проблеми по математика, химия, геометрия, теория на вероятностите и много други предмети!

Основни свойства на функциите.

1) Функционален домейн и функционален домейн.

Функционалният обхват е набор от всички валидни валидни стойности на аргумента х (променлива х), за които функцията y \u003d f (x) дефинирани.
Обхватът на стойностите на дадена функция е съвкупността от всички реални стойности уче функцията приема.

IN елементарна математика функциите се изучават само върху множеството реални числа.

2) Функционални нули.

Стойностите хпри което y \u003d 0е наречен нули на функциите... Това са абсцисите на пресечните точки на функционалната графика с оста Ox.

3) Интервали на постоянство на функцията.

Интервалите на постоянен знак на функцията са такива интервали на стойности х, върху която са стойностите на функцията у или само положителни, или само отрицателни, се наричат интервали от постоянство на функцията.

4) Монотонност на функцията.

Нарастващата функция (в определен интервал) е функция, за която повече смисъл аргументът от този интервал съответства на по-голямата стойност на функцията.

Намаляваща функция (в определен интервал) - функция, при която по-голямата стойност на аргумента от този интервал съответства на по-малката стойност на функцията.

5) Функция за паритет (нечетна).

Четната функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична спрямо произхода и за която и да е х f (-x) \u003d f (x)... Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста на ординатите.

Нечетна функция е функция, чиято област на дефиниция е симетрична спрямо произхода и за която и да е х от областта на дефиницията, равенството f (-x) \u003d - f (x). Графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на произхода.

Равна функция
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0), т.е. ако точката а принадлежи към областта на дефиницията, а след това точка -а също принадлежи към областта на дефиницията.
2) За всяка стойност х f (-x) \u003d f (x)
3) Графиката на четна функция е симетрична спрямо оста Oy.

Нечетна функция има следните свойства:
1) Областта на дефиниция е симетрична спрямо точката (0; 0).
2) за всяка стойност хпринадлежност към домейна, равенството f (-x) \u003d - f (x)
3) Графиката на нечетна функция е симетрична по отношение на началото (0; 0).

Не всяка функция е нечетна или четна. Функции общ изглед не са нито четни, нито странни.

6) Ограничени и неограничени функции.

Функцията се нарича ограничена, ако има такава положително число M такова, че | f (x) | ≤ M за всички стойности на x. Ако няма такъв номер, тогава функцията е неограничена.

7) Периодичност на функцията.

Функция f (x) е периодична, ако съществува ненулево число T, такова, че за всяко x от домейна на функцията важи следното: f (x + T) \u003d f (x). Такива най-малкото число наречен период на функцията. всичко тригонометрични функции са периодични. (Тригонометрични формули).

Функция е се нарича периодично, ако има число такова, че за всяко х от домейна, равенството f (x) \u003d f (x-T) \u003d f (x + T). т е периодът на функцията.

Всяка периодична функция има безкраен набор от периоди. На практика обикновено се разглежда най-краткият положителен период.

Стойностите на периодичната функция се повтарят след интервал, равен на периода. Това се използва при изграждане на графики.

За целта използвайте милиметрова хартия или графичен калкулатор. Изберете всяко кратно от числовите обяснителни стойности на променливите x (\\ displaystyle x) и ги включете във функцията, за да изчислите стойностите на зависимата променлива y (\\ displaystyle y)... Начертайте намерените координати на точки на координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.

• Замествайте положително числови стойности x (\\ displaystyle x) и съответните отрицателни числови стойности. Например, дадена функция. Заместете в него следните стойности x (\\ displaystyle x):
  • f (1) \u003d 2 (1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (1) \u003d 2 (1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3) (1, 3) (\\ displaystyle (1,3)).
  • f (2) \u003d 2 (2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (2) \u003d 2 (2) ^ (2) + 1 \u003d 2 (4) +1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Получих точка с координати (2, 9) (\\ displaystyle (2.9)).
  • f (- 1) \u003d 2 (- 1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (-1) \u003d 2 (-1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3)... Получих точка с координати (- 1, 3) (\\ displaystyle (-1,3)).
  • f (- 2) \u003d 2 (- 2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (-2) \u003d 2 (-2) ^ (2) + 1 \u003d 2 ( 4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Получих точка с координати (- 2, 9) (\\ displaystyle (-2.9)).

Зависимостта на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на x съответства на единична стойност на y, се нарича функция. Нотацията е y \u003d f (x). Всяка функция има редица основни свойства, като монотонност, паритет, периодичност и други.

Помислете за свойството на паритета по-подробно.

Функция y \u003d f (x) се извиква, дори ако отговаря на следните две условия:

2. Стойността на функцията в точката x, принадлежаща към областта на функцията, трябва да бъде равна на стойността на функцията в точката x. Тоест, за всяка точка x, от областта на функцията, трябва да бъде изпълнено следното равенство f (x) \u003d f (-x).

Графика на четните функции

Ако нанесете четна функция, тя ще бъде симетрична спрямо оста Oy.

Например функцията y \u003d x ^ 2 е четна. Нека да го проверим. Областта на дефиниция е цялата числова ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката О.

Вземете произволно x \u003d 3. f (x) \u003d 3 ^ 2 \u003d 9.

f (-x) \u003d (- 3) ^ 2 \u003d 9. Следователно f (x) \u003d f (-x). По този начин и двете условия са изпълнени, което означава, че функцията е четна. По-долу има графика на функцията y \u003d x ^ 2.

Фигурата показва, че графиката е симетрична спрямо оста Oy.

Графика на нечетни функции

Функция y \u003d f (x) се нарича нечетна, ако отговаря на следните две условия:

1. Областта на тази функция трябва да е симетрична по отношение на точка О. Тоест, ако някаква точка a принадлежи към областта на функцията, тогава съответната точка -a също трябва да принадлежи към областта на дадената функция.

2. За всяка точка x, от областта на функцията, трябва да бъде изпълнено следното равенство f (x) \u003d -f (x).

Графиката на нечетната функция е симетрична спрямо точката О - началото. Например функцията y \u003d x ^ 3 е нечетна. Нека да го проверим. Областта на дефиниция е цялата числова ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката О.

Вземете произволно x \u003d 2. f (x) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

f (-x) \u003d (- 2) ^ 3 \u003d -8. Следователно f (x) \u003d -f (x). По този начин и двете условия са изпълнени, което означава, че функцията е нечетна. По-долу има графика на функцията y \u003d x ^ 3.

Фигурата ясно показва, че нечетната функция y \u003d x ^ 3 е симетрична по отношение на произхода.

Четните и нечетните функции са едно от основните му свойства, а четността заема впечатляваща част училищен курс математика. Той до голяма степен определя естеството на поведението на функцията и значително улеснява изграждането на съответната графика.

Нека дефинираме паритета на функцията. Най-общо казано, изследваната функция се счита дори ако за противоположни стойности на независимата променлива (x), които са в нейната област на дефиниция, съответните стойности на y (функция) се окажат равни.

Нека дадем по-строга дефиниция. Да разгледаме някаква функция f (x), която е посочена в областта D. Тя ще бъде дори ако за която и да е точка x, разположена в областта на дефиницията:

• -x (противоположна точка) също е в този обхват,

• f (-x) \u003d f (x).

Горната дефиниция предполага условие, необходимо за областта на дефиниция на такава функция, а именно симетрия около точката O, която е началото, тъй като ако някаква точка b се съдържа в областта на четна функция, тогава съответната точка - b също се намира в този домейн. По този начин заключението следва от горното: четната функция има форма, симетрична по отношение на оста на ординатите (Oy).

Как да се определи паритетът на функция на практика?

Нека се даде с помощта на формулата h (x) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Следвайки алгоритъма, който следва директно от дефиницията, първо изследваме неговата област на дефиниция. Очевидно е, че е дефиниран за всички стойности на аргумента, т.е. първото условие е изпълнено.

Следващата стъпка е да замести противоположната му стойност (-x) за аргумент (x).
Получаваме:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Тъй като добавянето удовлетворява комутативния (заместващ) закон, очевидно е, че h (-x) \u003d h (x) и дадената функционална зависимост е четна.

Нека проверим равномерността на функцията h (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (- x). Следвайки същия алгоритъм, получаваме, че h (-x) \u003d 11 ^ (- x) -11 ^ x. Като извадим минуса, в крайна сметка имаме
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (- x)) \u003d - h (x). Следователно h (x) е нечетно.

Между другото, трябва да се помни, че има функции, които не могат да бъдат класифицирани според тези критерии, те не се наричат \u200b\u200bнито четни, нито нечетни.

Дори функциите имат редица интересни свойства:

• в резултат на добавянето на такива функции се получава равномерност;
• в резултат на изваждане на такива функции се получава равномерна;
• дори, също дори;
• в резултат на умножение на две такива функции се получава четна;
• в резултат на умножение на нечетна и четна функция се получава нечетна;
• в резултат на разделянето на нечетните и четните функции се получава нечетна;
• производната на такава функция е нечетна;
• ако квадратираме нечетна функция, ще получим четна.

Функцията за четност може да се използва при решаване на уравнения.

За да се реши уравнение като g (x) \u003d 0, където лява страна уравнението е четна функция, ще бъде достатъчно, за да се намери решението му за неотрицателни стойности на променливата. Получените корени на уравнението трябва да се комбинират с противоположни числа. Един от тях подлежи на проверка.

Това също се използва успешно за решаване на нестандартни проблеми с параметър.

Например, има ли някаква стойност за параметъра a, която прави уравнението 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 \u003d 1 да има три корена?

Ако вземем предвид, че променливата влиза в уравнението с четни степени, тогава е ясно, че замяната на x с - x не променя даденото уравнение. От това следва, че ако някакво число е негов корен, то също е противоположно число... Изводът е очевиден: ненулевите корени на уравнението са включени в набора от негови решения по „двойки“.

Ясно е, че самото число 0 не е, т.е. броят на корените на такова уравнение може да бъде само четен и, естествено, при никаква стойност на параметъра не може да има три корена.

Но броят на корените на уравнението 2 ^ x + 2 ^ (- x) \u003d ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 може да бъде нечетен и за всяка стойност на параметъра. Всъщност е лесно да се провери дали множеството корени на това уравнение съдържа решения по „двойки“. Нека проверим дали 0 е корен. Когато го заместваме в уравнението, получаваме 2 \u003d 2. По този начин, освен „сдвоените“, 0 е и корен, което доказва нечетното им число.

Преобразуване на диаграми.

Устно описание на функцията.

Графичен начин.

Графичният начин за дефиниране на функция е най-визуалният и често се използва в технологиите. При математическия анализ графичният начин за дефиниране на функции се използва като илюстрация.

Графика на функциите f е множеството от всички точки (x; y) на координатната равнина, където y \u003d f (x), а x "изпълнява" цялата област на тази функция.

Подмножество на координатната равнина е графика на която и да е функция, ако има най-много една обща точка с която и да е права линия, успоредна на оста y.

Пример. Графиките на функциите на фигурите по-долу ли са?

Предимството графична задача е неговата яснота. Веднага можете да видите как функцията се държи, къде се увеличава, къде намалява. В графика можете веднага да разпознаете някои важни характеристики функции.

Като цяло аналитичните и графични методи за дефиниране на функция вървят ръка за ръка. Работата с формула помага за изграждането на графика. А графиката често предлага решения, които дори няма да забележите във формулата.

Почти всеки ученик знае трите начина за дефиниране на функция, които току-що обсъждахме.

Нека се опитаме да отговорим на въпроса: „Има ли други начини за дефиниране на функция?“

Има такъв начин.

Функцията може да бъде ясно изразена с думи.

Например на функцията y \u003d 2x може да се даде следното словесно описание: всяка истинска стойност аргумент x се преобразува в удвоената му стойност. Правилото е зададено, функцията е зададена.

Освен това е възможно да се дефинира функция устно, което е изключително трудно, ако не и невъзможно, да се зададе чрез формула.

Например: всяка стойност на естествения аргумент x е свързана със сумата от цифрите, които съставляват стойността на x. Например, ако x \u003d 3, тогава y \u003d 3. Ако x \u003d 257, тогава y \u003d 2 + 5 + 7 \u003d 14. И т.н. Проблематично е да го запишете с формула. Но знакът е лесен за съставяне.

Методът на словесното описание е доста рядко използван метод. Но понякога го прави.

Ако има закон на едно към едно съответствие между х и у, тогава има функция. Какъв закон, под каква форма се изразява - чрез формула, таблет, график, думи - не променя същността на въпроса.

Помислете за функции, чиито области на дефиниция са симетрични по отношение на произхода, т.е. за всеки х от домейна, номерът (- х) също принадлежи към областта на дефиницията. Сред такива функции са четно и нечетно.

Определение.Извиква се функцията f дориако има такива х от неговия обхват

Пример. Помислете за функцията

Тя е равномерна. Нека да го проверим.

За всеки х важат равенствата

По този начин и двете условия са изпълнени, което означава, че функцията е четна. По-долу има графика на тази функция.

Определение.Извиква се функцията f странноако има такива х от неговия обхват

Пример. Помислете за функцията

Тя е странна. Нека да го проверим.

Областта на дефиниция е цялата числова ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката (0; 0).

За всеки х важат равенствата

По този начин и двете условия са изпълнени, което означава, че функцията е нечетна. По-долу има графика на тази функция.

Графиките, показани на първата и третата фигура, са симетрични спрямо оста на ординатите, а графиките, показани на втората и четвъртата фигури, са симетрични по отношение на началото.

Кои от функциите, чиито графики са показани на фигурите, са четни и кои нечетни?