В средния и гимназиалния курс учениците изучаваха темата „Дроби“. Тази концепция обаче е много по-широка от дадената в учебния процес. Днес концепцията за фракция се среща доста често и не всеки може да извършва изчисления на какъвто и да е израз, например умножение на фракции.

Какво е фракция?

Исторически се случи така, че дробни числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент, обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално студентите се запознават с концепцията за споделяне. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от динята. Тази част от осемте се нарича дроб.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича наполовина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записите от формата 5/8, 4/5, 2/4 се наричат \u200b\u200bобикновени дроби. Общата дроб се разделя на числител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Наклонена черта може да бъде нарисувана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай той означава знак за разделяне.

Знаменателят представлява на колко равни дяла е стойността, обектът е разделен; а числителят е колко равни дялове са взети. Числителят се изписва над дробната линия, а знаменателят под него.

Най-удобно е да се показват обикновени дроби на координатния лъч. Ако единичен сегмент е разделен на 4 равни дяла, посочете всеки ритъм латинска буква, резултатът е отлична визуална помощ. И така, точка А показва дроб, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от този сегмент.

Разновидности на фракциите

Дроби могат да бъдат обикновени, десетични и смесени числа. В допълнение, фракциите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени фракции.

Под обикновена дроб се разбира число, чийто числител по-малко от знаменателя... Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. един - цяла част, ½ - дробно. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножение на дроби, тяхното намаляване или преобразуване), смесеното число се превежда в не правилна дроб.

Правилният дробен израз винаги е по-малък от един, а неправилният винаги е по-голям или равен на 1.

Що се отнася до това, този израз се разбира като запис, в който е представено произволно число, чийто знаменател на частичен израз може да бъде изразен чрез такъв с няколко нули. Ако частта е вярна, тогава цялата част в десетичната нотация ще бъде нула.

За да напишете десетична дроб, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите от дробната част със запетая и след това да запишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа същия брой цифрови знаци, колкото в знаменателя има нули.

Пример... Представете фракцията 7 21/1000 в десетична нотация.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се пише неправилна дроб в отговора на проблема, така че трябва да се преобразува в смесено число:

• раздели числителя на съществуващия знаменател;
• в конкретен пример непълен коефициент - цял;
• а остатъкът е числителят на дробната част, а знаменателят остава непроменен.

Пример... Преобразуване на неправилна дроб в смесено число: 47/5.

Решение... 47: 5. Непълният коефициент е равен на 9, остатъкът \u003d 2. Следователно, 47/5 \u003d 9 2/5.

Понякога искате да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

• целочислената част се умножава по знаменателя на дробния израз;
• полученият продукт се добавя към числителя;
• резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример... Посочете смесено число като неправилна дроб: 9 8/10.

Решение... 9 x 10 + 8 \u003d 90 + 8 \u003d 98 - числител.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на обикновени дроби

Различни алгебрични операции могат да се извършват върху обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя с знаменателя. Освен това умножението на фракциите с различни знаменатели не се различава от продукта дробни числа със същите знаменатели.

Случва се, че след намиране на резултата, трябва да отмените фракцията. Наложително е максимално да се опрости полученият израз. Разбира се, не може да се каже, че неправилната дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече верен отговор.

Пример... Намерете произведението на две обикновени фракции: ½ и 20/18.

Както можете да видите от примера, след намирането на работата получихме съкратена дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4, а отговорът е 5/9.

Десетично умножение

Състав десетични дроби е доста различен от продукта на обикновените по своя принцип. И така, умножението на фракциите е както следва:

• две десетични дроби трябва да бъдат написани една под друга, така че най-дясните цифри да са една под друга;
• трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени;
• пребройте броя на цифрите след запетая във всяко от числата;
• в резултата, получен след умножението, трябва да преброите толкова цифрови знака отдясно, колкото се съдържа в сумата и в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите знак за разделяне;
• ако в продукта има по-малко цифри, тогава трябва да напишете толкова много нули пред тях, за да покриете тази сума, да поставите запетая и да присвоите целочислената част, равна на нула.

Пример... Изчислете произведението на две десетични дроби: 2.25 и 3.6.

Решение.

Умножение на смесени фракции

За да се изчисли произведението на две смесени фракции, трябва да използвате правилото за умножаване на дроби:

• преобразувайте смесени числа в неподходящи дроби;
• намерете произведението на числителите;
• намерете произведението на знаменателите;
• запишете резултата;
• опростете израза, доколкото е възможно.

Пример... Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножаване на число по дроб (дроб по число)

В допълнение към намирането на произведението на две фракции, смесени числа, има задачи, при които трябва да умножите по дроб.

Така че, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

• напишете числото под фракцията, така че най-десните цифри да са една над друга;
• намери работа въпреки запетая;
• в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, броейки отдясно броя на цифрите, който е след десетичната запетая във фракцията.

За да умножите обикновена фракция по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е отменяема част, тя трябва да бъде преобразувана.

Пример... Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се съкрати получения резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.

Също така умножението на фракциите се отнася и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите целочислената част на смесения коефициент по число, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва максимално да опростите получения резултат.

Пример... Намерете продукта 9 5/6 и 9.

Решение... 9 5/6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45/6 \u003d 81 + 7 3/6 \u003d 88 1/2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение по коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предишния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетая надясно с толкова цифри, колкото са нулите в множителя след една.

Пример 1... Намерете произведението от 0,065 и 1000.

Решение... 0,065 х 1000 \u003d 0065 \u003d 65.

Отговор: 65.

Пример 2... Намерете продукта 3.9 и 1000.

Решение... 3,9 х 1000 \u003d 3 900 х 1000 \u003d 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята вляво в получения продукт с толкова цифри, колкото са нулите до една. Ако е необходимо, преди естественото число се записват достатъчно нули.

Пример 1... Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение... 56 х 0,01 \u003d 0056 \u003d 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2... Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение... 4 х 0,001 \u003d 0004 \u003d 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на произведението на различни фракции не би трябвало да създава трудности, освен може би изчисляването на резултата; в този случай просто не можете без калкулатор.

Десетичната дроб се използва, когато трябва да извършите действия с нецели числа. Това може да изглежда ирационално. Но този вид числа значително улеснява математическите операции, които трябва да се извършват с тях. Това разбиране идва с времето, когато писането им става привично и четенето не е трудно и правилата на десетичните дроби се усвояват. Нещо повече, всички действия се повтарят вече познати, които се овладяват с естествени числа. Просто трябва да запомните някои функции.

Десетична дефиниция

Десетичната запетая е специално представяне на нецело число с знаменател, което се дели на 10, а отговорът се получава като един и евентуално нули. С други думи, ако знаменателят е 10, 100, 1000 и така нататък, тогава е по-удобно да пренапишете числото с помощта на запетая. Тогава цялата част ще бъде разположена преди нея, а след това и дробната част. Освен това записът на втората половина на числото ще зависи от знаменателя. Броят на цифрите, които са в дробната част, трябва да бъде равен на мястото на знаменателя.

Горното може да се илюстрира с тези цифри:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Причини, поради които трябва да използвате десетични дроби

Математиците се нуждаеха от десетични знаци по няколко причини:

Опростяване на записа. Такава дроб се намира по протежение на една линия, без тире между знаменателя и числителя, докато яснотата не страда.

Простота в сравнение. Достатъчно е просто да се съпоставят числата, които се намират в едни и същи позиции, докато при обикновените дроби би било необходимо да ги доведем до общ знаменател.

Опростяване на изчисленията.

Калкулаторите не са предназначени за въвеждане на обикновени дроби, те използват десетична нотация за всички операции.

Как да чета правилно тези числа?

Отговорът е прост: точно като обикновено смесено число със знаменател, кратно на 10. Единственото изключение са дроби без целочислена стойност, тогава при четене трябва да произнесете „нула цели числа“.

Например 45/1000 трябва да се произнася като четиридесет и пет хилядни, в същото време 0.045 би звучало така нулева точка четиридесет и пет хилядни.

Смесено число с целочислената част, равна на 7, и фракцията 17/100, която е записана като 7.17, и в двата случая ще се чете като седем точка седемнадесет стотни.

Ролята на цифрите при писане на дроби

За да маркирате правилно ранга, математикът изисква. Десетичните дроби и тяхното значение могат да се променят значително, ако напишете числото на грешното място. Това обаче беше вярно и преди.

За да прочетете цифрите на целочислената част на десетична дроб, просто трябва да използвате правилата, известни с естествени числа... А от дясната страна те са огледални и се четат по различен начин. Ако цялата част звучеше „десетки“, то след запетаята ще бъде „десети“.

Това може да се види ясно в тази таблица.

Какъв е правилният начин за записване на смесено число като десетична дроб?

Ако знаменателят съдържа число, равно на 10 или 100, и други, тогава въпросът за това как да преобразуваме фракцията в десетична не е труден. За това е достатъчно да се пренапишат всички съставни части по различен начин. Следните точки ще помогнат за това:

напишете числителя на фракцията малко настрана, в този момент десетичната точка се намира вдясно, след последната цифра;

преместете запетая наляво, най-важното тук е да преброите правилно числата - трябва да го преместите с толкова позиции, колкото са нулите в знаменателя;

ако няма достатъчно от тях, тогава нулите трябва да се появят на празни позиции;

нулите, които бяха в края на числителя, вече не са необходими и могат да бъдат зачеркнати;

пред запетаята задайте цяла част, ако я нямаше, тогава тук също ще има нула.

Внимание. Не можете да зачеркнете нули, които са заобиколени от други числа.

Можете да прочетете за това как да бъдете в ситуация, когато знаменателят съдържа не само единици и нули, как да конвертирате една дроб в десетична, можете да прочетете по-долу. то важна информацияс които определено трябва да се запознаете.

Как да преобразуваме дроб в десетичен, ако знаменателят е произволно число?

Тук са възможни две опции:

Когато знаменателят може да бъде представен като число, което е десет на всяка степен.

Ако такава операция не може да се направи.

Как мога да проверя това? Трябва да разделим знаменателя. Ако в продукта има само 2 и 5, тогава всичко е наред и фракцията лесно се преобразува в последния десетичен знак. В противен случай, ако се появят 3, 7 и други прости числа, резултатът ще бъде безкраен. Такава десетична дроб за по-лесна употреба в математически операции обичайно е да се закръгляват. Това ще бъде обсъдено малко по-долу.

Изучаване как се получават такива десетични дроби, степен 5. Примерите тук ще бъдат много полезни.

Нека знаменателите съдържат числата: 40, 24 и 75. Разлагане на основни фактори за тях ще бъде така:

• 40 \u003d 2 2 2 5;
• 24 \u003d 2 2 2 3;
• 75 \u003d 5 5 3.

В тези примери само първата фракция може да бъде финализирана.

Алгоритъм за преобразуване на обикновена дроб в краен десетичен знак

Проверете основната факторизация на знаменателя и се уверете, че се състои от 2 и 5.

Добавете към тези числа колкото 2 и 5, за да станат равни. Те ще дадат стойността на допълнителния множител.

Умножете знаменателя и числителя по това число. Резултатът ще бъде обикновена дроб, под линията, която има 10 до известна степен.

Ако при проблем тези действия се извършват със смесено число, то първо трябва да бъде представено като неправилна дроб. И едва след това продължете съгласно описания сценарий.

Закръглено десетично представяне на дроб

Този начин за преобразуване на дроб в десетична ще изглежда още по-лесен за някого. Защото няма много действие. Просто трябва да разделите стойността на числителя на знаменателя.

Всяко число с десетична част вдясно от десетичната запетая може да получи безкраен брой нули. Това свойство трябва да се използва.

Първо запишете цялата част, последвана от запетая. Ако дробът е правилен, тогава напишете нула.

Тогава се предполага да се извърши разделяне на числителя на знаменателя. За да имат еднакъв брой цифри. Тоест, задайте вдясно от числителя точната сума нули.

Извършвайте дълго разделяне, докато въведете необходимия брой цифри. Например, ако трябва да закръглите до стотни, тогава отговорът трябва да бъде 3. Като цяло трябва да има още едно число, отколкото трябва да получите накрая.

Запишете междинния отговор след запетая и закръглете според правилата. Ако последната цифра е от 0 до 4, тогава просто трябва да я изхвърлите. И когато е 5-9, тогава този пред него трябва да се увеличи с един, като се изпусне последният.

Обратно от десетичната към дробната

В математиката има проблеми, когато е по-удобно да се представят десетични дроби под формата на обикновени дроби, в които има числител със знаменател. Можете да си въздъхнете с облекчение: тази операция винаги е възможна.

За тази процедура трябва да направите следното:

запишете цялата част, ако тя е равна на нула, тогава не е нужно да пишете нищо;

начертайте дробна линия;

запишете числата от дясната страна над него, ако нулите са на първо място, тогава те трябва да бъдат зачеркнати;

под реда напишете единица с толкова нули, колкото е броят на цифрите след десетичната запетая в началната дроб.

Това е всичко, което трябва да направите, за да преобразувате десетичната запетая в дроб.

Какво можете да правите с десетични дроби?

В математиката това ще бъдат определени действия с десетични дроби, които преди са били изпълнявани за други числа.

Те са:

сравнение;

събиране и изваждане;

умножение и деление.

Първото действие, сравнението, е подобно на това, което е направено за естествени числа. За да определите кое е по-голямо, трябва да сравните цифрите на целочислената част. Ако се окажат равни, отидете на дробни и ги сравнете по същия начин. Числото, където е намерена най-голямата цифра в най-значимата цифра, ще бъде отговорът.

Добавяне и изваждане на десетични дроби

Това е може би най-много прости действия... Защото те се изпълняват според правилата за естествените числа.



Така че, за да се извърши добавянето на десетични дроби, те трябва да бъдат написани един под друг, поставяйки запетаите в колона. С тази нотация цели части се появяват вляво от запетаите, а частични части вдясно. И сега трябва да добавяте числата малко по малко, както се прави с естествени числа, като пускате запетая надолу. Трябва да започнете събирането с най-малката цифра от дробната част на числото. Ако в дясната половина няма достатъчно числа, тогава се добавят нули.

Същото се отнася и за изваждането. И тук има правило, което описва възможността за заемане на такъв от най-значимия бит. Ако след намалената дроб има по-малко цифри след десетичната запетая, отколкото в извадената дроб, тогава в нея просто се присвояват нули.

Ситуацията е малко по-сложна със задачи, при които трябва да извършите умножение и деление на десетични дроби.

Как да умножим десетичното в различни примери?

Правилото, по което десетичните дроби се умножават по естествено число, е следното:

записвайте ги в колона, без да обръщате внимание на запетая;

умножават, сякаш са естествени;

отделете толкова цифри със запетая, колкото са били в дробната част на оригиналния номер.

Специален случай е пример, в който естествено число е равно на 10 на всяка степен. След това, за да получите отговор, просто трябва да преместите запетая надясно с толкова позиции, колкото са нулите в друг фактор. С други думи, когато се умножи по 10, запетаята се измества с една цифра, със 100 - вече ще има две и т.н. Ако в дробната част няма достатъчно цифри, тогава трябва да напишете нули в празни позиции.

Правилото, което се използва, когато в задача трябва да умножите десетичните дроби с друго същото число:

записвайте ги един под друг, игнорирайки запетаите;

умножават, сякаш са естествени;

отделете толкова цифри със запетая, колкото е имало във дробните части на двете оригинални фракции заедно.

Примерите са подчертани като специален случай, в който един от факторите е 0,1 или 0,01 и т.н. В тях трябва да преместите запетаята наляво по броя на цифрите в представените множители. Тоест, ако се умножи по 0,1, тогава запетаята се измества с една позиция.

Как да разделя десетичен знак при различни задачи?

Делението на десетичните дроби на естествено число се извършва съгласно следното правило:

запишете ги за дълго разделяне, сякаш са естествени;

разделя се според обичайното правило, докато цялата част завърши;

поставете запетая в отговор;

продължете да разделяте дробния компонент, докато остатъкът е нула;

ако е необходимо, можете да зададете необходимия брой нули.

Ако целочислената част е равна на нула, тогава тя също няма да бъде в отговора.

Отделно има разделяне на числа, равни на десет, сто и т.н. При такива проблеми трябва да преместите запетаята наляво по броя на нулите в делителя. Случва се да няма достатъчно цифри в цялата част, вместо това се използват нули. Може да забележите, че тази операция е подобна на умножаването по 0,1 и подобни числа.

За да извършите десетично деление, трябва да използвате това правило:

превърнете делителя в естествено число и за това преместете запетаята в него надясно до края;

преместване на запетая и в делимо на същия брой цифри;

продължете според предишния сценарий.

Деление на 0,1 е подчертано; 0,01 и други подобни числа. В такива примери запетая се измества надясно с броя на десетичните цифри. Ако те са приключили, тогава трябва да присвоите липсващия брой нули. Трябва да се отбележи, че това действие повтаря деление на 10 и подобни числа.



Заключение: всичко е свързано с практиката

Нищо в ученето не идва лесно или без усилия. Отнема време и практика, за да се усвоят надеждно нови материали. Математиката не прави изключение.

За да може темата за десетичните дроби да не създава трудности, трябва да решите колкото се може повече примери с тях. В крайна сметка имаше време, когато добавянето на естествени числа беше объркващо. И сега всичко е наред.

Ето защо, за да перифразирам една добре позната фраза: решете, решете и решете отново. Тогава задачи с такива числа ще се изпълняват лесно и естествено, като друг пъзел.

Между другото, пъзелите в началото са трудни за решаване, а след това трябва да направите обичайните движения. Същото е и в математическите примери: изминавайки няколко пъти една и съща пътека, вече няма да мислите къде да се обърнете.

Преминавайки към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно десетично умножение... Нека първо да обсъдим основни принципи умножение на десетични дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб с десетична дроб, ще покажем как се извършва умножението на десетични дроби по колона, разгледаме решенията на примери. След това ще анализираме умножението на десетичните дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. В заключение нека поговорим за умножаване на десетичните дроби по дроби и смесени числа.

Нека веднага кажем, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножение на реални числа.

Навигация по страници.

Общи принципи на умножаване на десетичните дроби

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на запис на обикновени дроби, умножението на такива десетични дроби е по същество умножение на обикновени дроби. С други думи, умножение на крайни десетични дроби, умножение на крайни и периодични десетични дроби, и умножение на периодични десетични дроби се свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетичните дроби в обикновени.

Нека разгледаме примери за използване на звучащия принцип на умножаване на десетични дроби.

Пример.

Извършете десетично умножение 1,5 и 0,75.

Решение.

Заменете десетичните дроби, които трябва да се умножават, със съответните общи дроби. Тъй като 1,5 \u003d 15/10 и 0,75 \u003d 75/100, тогава. Можете да намалите фракцията, след това да изберете цялата част от неподходящата фракция и е по-удобно да запишете получената обикновена фракция 1 125/1000 под формата на десетична дроб 1.125.

Отговор:

1,5 0,75 \u003d 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайни десетични дроби в колона, ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в.

Нека разгледаме пример за умножаване на периодични десетични дроби.

Пример.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0, (3) и 2, (36).

Решение.

Нека преведем периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Отговор:

0, (3) 2, (36) \u003d 0, (78).

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа) и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Пример.

Извършете десетичното умножение 5.382 ... и 0.2.

Решение.

Първо, закръглете безкрайна непериодична десетична дроб, закръгляването може да се направи до стотни, имаме 5.382 ... ≈5.38. Няма нужда да закръгляте крайния десетичен знак от 0,2 до стотни. По този начин, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Остава да се изчисли произведението на крайните десетични дроби: 5,38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1,076 / 1000 \u003d 1,076.

Отговор:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Десетично умножение на колона

Умножението на крайни десетични дроби може да се извърши колонно, подобно на колонно умножение на естествени числа.

Нека формулираме правило за десетично умножение на колона... За да умножите десетични дроби с колона, трябва:

• пренебрегвайки запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете толкова цифри вдясно с десетична запетая, колкото десетични знаци има и в двата фактора заедно и ако в продукта няма достатъчно цифри, тогава вляво трябва да добавите необходимия брой нули .

Нека разгледаме примери за умножаване на десетични дроби с колона.

Пример.

Умножете десетичните дроби 63,37 и 0,12.

Решение.

Нека извършим умножение на десетични дроби по колона. Първо умножаваме числата, игнорирайки запетаите:

Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да отдели 4 цифри отдясно, тъй като факторите се събират до четири знака след десетичната запетая (две в дроб 3.37 и две в дроб 0,12). Има достатъчно числа, така че няма нужда да добавяте нули вляво. Нека завършим записа:

В резултат имаме 3,37 0,12 \u003d 7,6044.

Отговор:

3,37 * 0,12 \u003d 7,6044.

Пример.

Изчислете произведението на десетичните дроби 3.2601 и 0.0254.

Решение.

След като извършихме умножение с колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри вдясно със запетая, тъй като общият брой на десетичните знаци на умножените дроби е осем. Но в продукта има само 7 цифри, следователно трябва да присвоите толкова много нули вляво, за да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да присвоите две нули:

Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Отговор:

3,2601 0,0254 \u003d 0,08280654.

Десетично умножение с 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Поради това е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб по тези числа, което следва от принципите за умножаване на десетичните дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на дадената десетична дроб по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. дава дроб, която се получава от оригинала, ако при въвеждането й запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н., докато ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, тогава имате нужда за да добавите необходимия брой нули вляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите запетаята наляво по 1 цифра във фракцията 54,34 и ще получите дроб 5,434, т.е. 54,34 · 0,1 \u003d 5,434. Нека дадем още един пример. Умножете десетичната 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим запетая 4 цифри наляво в десетичната дроб 9.3, за да бъде умножена, но фракцията 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно трябва да присвоим толкова много нули във фракцията 9.3 вляво, за да можем лесно да извършим прехвърлянето на запетая с 4 цифри, имаме 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Обърнете внимание, че гласовото правило за умножаване на десетична дроб с 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) или 93,938 ... · 0,1 \u003d 9,3938….

Десетично умножение с естествено число

В основата си десетично умножение по естествени числа не се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен.

Най-удобно е крайната десетична дроб да се умножи по естествено число в колона, докато трябва да се придържате към правилата за умножение с колона от десетични дроби, обсъдени в един от предишните параграфи.

Пример.

Изчислете произведението 15 · 2.27.

Решение.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:

Отговор:

15 2,27 \u003d 34,05.

Когато умножавате периодична десетична дроб с естествено число, заменете периодичната дроб с обикновена дроб.

Пример.

Умножете десетичната 0, (42) по естественото число 22.

Решение.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението :. Този резултат в десетична форма е 9, (3).

Отговор:

0, (42) 22 \u003d 9, (3).

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да закръглите.

Пример.

Извършете умножение 4 · 2.145….

Решение.

След като закръглихме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб. Имаме 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

Отговор:

4 · 2,145 ... ≈ 8,60.

Десетично умножение по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 10, 100, ... Затова е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Ще озвучим правилото за умножаване на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н. Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, ... в нейната нотация, трябва да преместите запетаята надясно съответно с 1, 2, 3, ... числа и да изхвърлите допълнителните нули вляво; ако в записа на умножената фракция няма достатъчно цифри за носене на запетая, трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Пример.

Умножете десетичната 0,0783 по 100.

Решение.

Преместете фракцията 0,0783 с две цифри надясно в записа и получаваме 007,83. Пускайки две нули отляво, получаваме десетичната дроб 7.38. По този начин 0,0783 100 \u003d 7,83.

Отговор:

0,0783 100 \u003d 7,83.

Пример.

Умножете десетичната 0,02 по 10 000.

Решение.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетая с 4 цифри надясно. Очевидно фракцията 0,02 няма достатъчно цифри, за да прехвърли запетая на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да можем да прехвърлим запетая. В нашия пример е достатъчно да добавим три нули, имаме 0,02000. След преместване на запетая получаваме записа 00200.0. Изхвърляйки нулите вляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Десетично умножение протича на три етапа.

Десетичните дроби се записват в колона и се умножават като обикновени числа.

Преброяваме броя на десетичните знаци в първата десетична дроб и във втората. Събираме техния брой.

В резултат на това броим отдясно наляво толкова цифри, колкото получихме в горния абзац, и поставяме запетая.

Как се умножават десетични дроби

Записваме десетични дроби в колона и ги умножаваме като естествени числа, като игнорираме запетаите. Тоест, ние считаме 3.11 за 311, а 0.01 като 1.

Получено 311. Сега броим броя на десетичните знаци и за двете фракции. Първият десетичен знак има две цифри, а вторият две. Общ брой цифри след запетаи:

Преброяваме отдясно наляво 4 знака (числа) от полученото число. В резултат на това има по-малко числа, отколкото трябва да отделите със запетая. В този случай имате нужда наляво добавете липсващия брой нули.

Липсва ни една цифра, така че присвояваме една нула вляво.

При умножаване на произволен десетичен знак на 10; сто; 1000 и т.н. десетичната точка се премества надясно с толкова цифри, колкото са нулите след една.

Да се \u200b\u200bумножи десетичен знак по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., е необходимо да преместите запетаята наляво в тази дроб с толкова цифри, колкото нули има пред единицата.

Ние броим нула цели числа!

• 12 0,1 \u003d 1,2
• 0,05 0,1 \u003d 0,005
• 1,256 0,01 \u003d 0,012 56

За да разберем как да умножаваме десетичните дроби, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножете, пренебрегвайки запетая.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след запетая, колкото са след запетаите и в двата фактора заедно.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест не умножаваме 6.8 и 3.4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след запетая, колкото са след запетаите и в двата множителя заедно. Първият фактор след десетичната запетая има една цифра, вторият - също една. И така, отделяме две цифри след десетичната запетая.Така че получихме окончателния отговор: 6.8 ∙ 3.4 \u003d 23.12.

Умножаваме десетичните знаци, без да вземаме предвид запетая. Това е, всъщност вместо да умножим 36,85 по 1,14, умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега, в този резултат, трябва да отделим толкова цифри със запетая, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число след десетичната запетая има две цифри, второто - една. Като цяло разделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след запетаята има нула, ние не я записваме в отговор: 36,85 ∙ 1,4 \u003d 51,59.

За да умножим тези десетични дроби, умножаваме числата, игнорирайки запетаите. Тоест умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да отделите четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото има и в двата фактора заедно (по две във всяка). Крайният отговор: 23,15 ∙ 0,07 \u003d 1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. В резултат след запетая трябва да има толкова цифри, колкото са и в двата фактора заедно - един. По този начин 75 ∙ 1,6 \u003d 120,0 \u003d 120.

Започваме да умножаваме десетичните дроби, като умножаваме естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме след десетичната запетая толкова много цифри, колкото са и в двата фактора заедно. Първото число има два десетични знака, второто има две. Като резултат, след десетичната запетая трябва да има четири цифри: 4.72 ∙ 5.04 \u003d 23.7888.

И още няколко примера за умножаване на десетични дроби:

www.for6cl.uznateshe.ru

Десетично умножение, правила, примери, решения.

Нека да преминем към изучаването следващо действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно десетично умножение... Първо, нека обсъдим общите принципи на умножаване на десетичните дроби. След това ще преминем към умножаване на десетична дроб с десетична дроб, ще покажем как се извършва умножението на десетични дроби по колона, разгледаме решенията на примери. След това ще анализираме умножението на десетичните дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. В заключение нека поговорим за умножаване на десетичните дроби по дроби и смесени числа.

Нека веднага кажем, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вж. Положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение на рационални числа и умножение на реални числа.

Навигация по страници.

Общи принципи на умножаване на десетичните дроби

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на запис на обикновени дроби, умножението на такива десетични дроби е по същество умножение на обикновени дроби. С други думи, умножение на крайни десетични дроби, умножение на крайни и периодични десетични дроби, и умножение на периодични десетични дроби се свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетичните дроби в обикновени.

Нека разгледаме примери за използване на звучащия принцип на умножаване на десетични дроби.

Извършете десетично умножение 1,5 и 0,75.

Заменете десетичните дроби, които трябва да се умножават, със съответните общи дроби. Тъй като 1,5 \u003d 15/10 и 0,75 \u003d 75/100, тогава. Можете да намалите фракцията, след това да изберете цялата част от неподходящата фракция и е по-удобно да запишете получената обикновена фракция 1 125/1000 под формата на десетична дроб 1.125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножават крайните десетични дроби в колона, за този метод на умножаване на десетичните дроби ще говорим в следващия абзац.

Нека разгледаме пример за умножаване на периодични десетични дроби.

Изчислете произведението на периодичните десетични дроби 0, (3) и 2, (36).

Нека преведем периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:


Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайни и периодични, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числа) и след това умножете крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Извършете десетичното умножение 5.382 ... и 0.2.

Първо, закръглете безкрайна непериодична десетична дроб, закръгляването може да се направи до стотни, имаме 5.382 ... ≈5.38. Няма нужда да закръгляте крайния десетичен знак от 0,2 до стотни. По този начин, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Остава да се изчисли произведението на крайните десетични дроби: 5,38 · 0,2 \u003d 538/100 · 2/10 \u003d 1,076 / 1000 \u003d 1,076.

Десетично умножение на колона

Умножението на крайни десетични дроби може да се извърши колонно, подобно на колонно умножение на естествени числа.

Нека формулираме правило за десетично умножение на колона... За да умножите десетични дроби с колона, трябва:

• пренебрегвайки запетаите, извършете умножение по всички правила за умножение с колона от естествени числа;
• в полученото число отделете толкова цифри вдясно с десетична запетая, колкото десетични знаци има и в двата фактора заедно и ако в продукта няма достатъчно цифри, тогава вляво трябва да добавите необходимия брой нули .

Нека разгледаме примери за умножаване на десетични дроби с колона.

Умножете десетичните дроби 63,37 и 0,12.

Нека извършим умножение на десетични дроби по колона. Първо умножаваме числата, игнорирайки запетаите:


Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да отдели 4 цифри отдясно, тъй като факторите се събират до четири знака след десетичната запетая (две в дроб 3.37 и две в дроб 0,12). Има достатъчно числа, така че няма нужда да добавяте нули вляво. Нека завършим записа:


В резултат имаме 3,37 0,12 \u003d 7,6044.

Изчислете произведението на десетичните дроби 3.2601 и 0.0254.

След като извършихме умножение с колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:


Сега в продукта трябва да разделите 8-те цифри вдясно със запетая, тъй като общият брой на десетичните знаци на умножените дроби е осем. Но в продукта има само 7 цифри, следователно трябва да присвоите толкова много нули вляво, за да можете да отделите 8 цифри със запетая. В нашия случай трябва да присвоите две нули:


Това завършва умножението на десетични дроби по колона.

Десетично умножение с 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 0,1, 0,01 и т.н. Поради това е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетичните дроби по тези числа, което следва от принципите за умножаване на десетичните дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на дадената десетична дроб по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н. дава дроб, която се получава от оригинала, ако при въвеждането й запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и така нататък, а ако няма достатъчно цифри за носене на запетая, тогава имате нужда за да добавите необходимия брой нули вляво.

Например, за да се умножи десетичната дроб 54,34 по 0,1, е необходимо да преместите запетаята наляво по 1 цифра във фракцията 54,34 и това ще доведе до дроб 5,434, т.е. 54,34 · 0,1 \u003d 5,434. Нека дадем още един пример. Умножете десетичната 9,3 по 0,0001. За да направим това, трябва да преместим запетая с 4 цифри наляво в десетичната дроб 9.3, за да бъде умножена, но фракцията 9.3 не съдържа толкова много цифри. Следователно трябва да присвоим толкова много нули във фракцията 9.3 вляво, за да можем лесно да извършим прехвърлянето на запетая с 4 цифри, имаме 9,3 · 0,0001 \u003d 0,00093.

Обърнете внимание, че гласовото правило за умножаване на десетична дроб с 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0, (18) · 0,01 \u003d 0,00 (18) или 93,938 ... · 0,1 \u003d 9,3938….

Десетично умножение с естествено число

В основата си десетично умножение по естествени числа не се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен.

Най-удобно е крайната десетична дроб да се умножи по естествено число в колона, докато трябва да се придържате към правилата за умножение с колона от десетични дроби, обсъдени в един от предишните параграфи.

Изчислете произведението 15 · 2.27.

Нека умножим естествено число по десетична дроб в колона:


Когато умножавате периодична десетична дроб с естествено число, заменете периодичната дроб с обикновена дроб.

Умножете десетичната 0, (42) по естественото число 22.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението :. Този резултат в десетична форма е 9, (3).

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб по естествено число, първо трябва да закръглите.

Извършете умножение 4 · 2.145….

След като закръглиме първоначалната безкрайна десетична дроб до стотни, стигаме до умножението на естествено число и краен десетичен дроб. Имаме 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 \u003d 8.60.

Десетично умножение по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножавате десетичните дроби по 10, 100, ... Затова е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Ще озвучим правилото за умножаване на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н. Когато умножавате десетична дроб с 10, 100, ... в нейната нотация, трябва да преместите запетаята надясно съответно с 1, 2, 3, ... числа и да изхвърлите допълнителните нули вляво; ако в записа на умножената фракция няма достатъчно цифри за носене на запетая, трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Умножете десетичната 0,0783 по 100.

Преместете фракцията 0,0783 с две цифри надясно в записа и получаваме 007,83. Пускайки две нули отляво, получаваме десетичната дроб 7.38. По този начин 0,0783 100 \u003d 7,83.

Умножете десетичната 0,02 по 10 000.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетая с 4 цифри надясно. Очевидно фракцията 0,02 няма достатъчно цифри, за да прехвърли запетая на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да можем да прехвърлим запетая. В нашия пример е достатъчно да добавим три нули, имаме 0,02000. След преместване на запетая получаваме записа 00200.0. Изхвърляйки нулите вляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, което е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Посоченото правило важи и за умножаването на безкрайни десетични дроби по 10, 100, ... Когато умножавате периодични десетични дроби, трябва да внимавате с периода на фракцията, който е резултат от умножението.

Умножете периодичния десетичен знак 5.32 (672) по 1000.

Преди да умножаваме, нека запишем периодичната десетична дроб като 5.32672672672 ..., това ще ни позволи да избегнем грешки. Сега нека преместим запетая надясно с 3 цифри, имаме 5 326.726726 .... По този начин, след умножението, се получава периодичната десетична дроб 5 326, (726).

5,32 (672) 1000 \u003d 5 326, (726).

Когато умножавате безкрайните непериодични фракции по 10, 100, ..., първо трябва да закръглите безкрайната фракция до определена цифра и след това да умножите.

Десетично умножение с дроб или смесено число

За да умножите крайна десетична дроб или безкрайна периодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, трябва да представите десетичната дроб като обща фракция, след това умножете.

Умножете десетичната 0,4 по смесеното число.

Тъй като 0,4 \u003d 4/10 \u003d 2/5 и, тогава. Полученото число може да бъде записано като периодична десетична дроб дроб 1.5 (3).

Когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, обикновената дроб или смесеното число трябва да бъде заменена с десетична дроб, след това да се закръглят умножените дроби и да се завършат изчисленията.

Тъй като 2/3 \u003d 0,6666 ..., тогава. След закръгляване на умножените дроби до хилядни, стигаме до произведението на две последни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека направим дълго умножение:


Резултатът трябва да бъде закръглен до хилядни, тъй като умножените дроби бяха взети до най-близките хилядни, имаме 2.379856≈2.380.

www.cleverstudents.ru

29. Умножение на десетични дроби. правила




Намерете площта на правоъгълник със равни страни
1,4 dm и 0,3 dm. Нека преобразуваме дециметрите в сантиметри:

1,4 dm \u003d 14 cm; 0,3 dm \u003d 3 cm.

Сега нека изчислим площта в сантиметри.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Преобразуване на квадратни сантиметри в квадратни сантиметри
дециметри:

dm 2 \u003d 0,42 dm 2.

Следователно S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Умножението на две десетични дроби се извършва по следния начин:
1) числата се умножават без оглед на запетаи.
2) запетаята в творбата се поставя така, че да се отделя отдясно
толкова знаци, колкото са разделени и при двата фактора
заедно. Например:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Примери за умножаване на десетични дроби в колона:



Вместо да умножава произволно число по 0,1; 0,01; 0,001,
можете да разделите това число на 10; сто ; или съответно 1000.
Например:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Когато умножаваме десетична дроб по естествено число, трябва:

1) умножете числата, пренебрегвайки запетая;

2) в получената работа сложете запетая така, че отдясно
от него имаше толкова цифри, колкото в десетична дроб.

Намерете продукта 3.12 10. Съгласно горното правило
първо умножаваме 312 по 10. Получаваме: 312 10 \u003d 3120.
И сега разделяме двете цифри отдясно със запетая и получаваме:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

И така, когато умножихме 3.12 по 10, преместихме запетая по едно
цифра вдясно. Ако умножим 3,12 по 100, ще получим 312, т.е.
запетаята беше преместена с две цифри вдясно.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Когато умножавате десетичен знак по 10, 100, 1000 и т.н., трябва
в тази дроб преместете запетая надясно с толкова цифри, колкото са нулите
стои в множителя. Например:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Задачи за десетично умножение

school-assistant.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на десетични дроби

Добавянето и изваждането на десетични дроби е подобно на добавянето и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

Правило. се произвежда от цифрите на цяло числото и дробните части като естествени числа.

Писмено събиране и изваждане на десетични дроби запетаята, разделяща целочислената част от дробната част, трябва да бъде в термините и сумата или в намалената, извадена и разлика в една колона (запетая под запетая от записа на състоянието до края на изчислението).

Добавяне и изваждане на десетични дроби до линията:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Добавяне и изваждане на десетични дроби в колона:

Добавянето на десетични дроби изисква допълнителен горен ред за записване на числа, когато сумата от цифрата надхвърли десет. Изваждането на десетичните дроби изисква допълнителен горен ред, за да маркира цифрата, в която е заимствана 1.

Ако няма достатъчно цифри на дробната част вдясно от добавената или намалената, тогава в дясната част на дробната част можете да добавите толкова нули (увеличете капацитета на цифрите на дробната част), колкото са цифрите в другото добавяне или намаленото.

Десетично умножение се извършва по същия начин като умножението на естествени числа, съгласно същите правила, но в продукта се поставя запетая според сумата от цифрите на факторите в дробната част, броейки отдясно наляво (сумата от цифрите на факторите е броят на цифрите след десетичната запетая за комбинираните фактори).

Кога десетично умножение в колона първата значима цифра отдясно се подписва под първата значима цифра отдясно, както е в естествените числа:

Записване десетично умножение в колона:

Записване разделяне на десетични дроби в колона:

Подчертаните знаци са знаци, които носят запетая, защото делителят трябва да е цяло число.

Правило. Кога разделящи фракции делителят на десетичната дроб се увеличава с толкова цифри, колкото цифри има в неговата дробна част. За да не се променя фракцията, дивидентът също се увеличава със същия брой цифри (в дивидента и делителя запетая се прехвърля със същия брой цифри). Запетаята се поставя в частното на етапа на разделяне, когато целочислената част на фракцията е разделена.

За десетичните дроби, както и за естествените числа, правилото остава: не можете да разделите десетична дроб на нула!

Десетичното събиране се извършва по същия начин като цяло число. Нека проверим това с примери.

1) 0,132 + 2,354. Нека подпишем условията един под друг.

Тук, от добавянето на 2 хилядни до 4 хилядни, бяха получени 6 хилядни;
от добавяне на 3 стотни с 5 стотни се получи 8 стотни;
от добавяне на 1 десета с 3 десети -4 десети и
от добавянето на 0 цели числа с 2 цели числа - 2 цели числа.

2) 5,065 + 7,83.

Във втория срок няма хилядни, така че е важно да не правите грешки, когато подписвате условията един под друг.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Тук при добавяне на хилядни се получават 21 хилядни; написахме 1 под хилядните и добавихме 2 към стотните, така че на стотото място получихме следните термини: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; общо те дават 19 стотни, ние подписахме 9 под стотни и броихме 1 до десети и т.н.

По този начин, когато се добавят десетични дроби, трябва да се спазва следният ред: фракциите трябва да се подписват една под друга, така че във всички условия еднакви цифри да са една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; вдясно от десетичната запетая, някои термини се присвояват, поне психически, такъв брой нули, така че всички членове след десетичната запетая да имат еднакъв брой цифри. След това добавянето се извършва от цифри, започвайки от дясната страна, и в получената сума се поставя запетая в същата вертикална колона, в която е в тези термини.

§ 108. Изваждане на десетични дроби.

Изваждането на десетичните дроби е същото като изваждането на цели числа. Нека покажем това с примери.

1) 9,87 - 7,32. Нека подпишем изваденото под намаленото, така че единиците от една и съща категория да са една под друга:

2) 16.29 - 4.75. Нека подпишем изваденото под декремента, както в първия пример:

За да се извадят десетите, трябваше да се вземе една цяла единица от 6 и да се раздели на десети.

3) 14.0213-5.350712. Нека подпишем самоучастието под декремента:

Изваждането се извършва по следния начин: тъй като не можем да извадим 2 милионни от 0, трябва да се обърнем към най-близката цифра вляво, тоест към сто хилядни, но на мястото на сто хилядни има и нула, така че вземаме от 3 десетхилядни 1 десетхилядна и я разделяме на стохилядни, получаваме 10 стохилядни, от които 9 стохилядни остават в категорията стохилядни, а 1 стохилядна делим на милионни , получаваме 10 милионни. По този начин, през последните три цифри получихме: 10 милиона, 9 сто хилядни, 2 десет хиляди.За по-голяма яснота и удобство (за да не се забравя) тези числа се изписват над съответните дробни цифри на намалените. Сега можете да започнете да изваждате. От 10 милионни изваждаме 2 милионни, получаваме 8 милионни; извадете 1 сто хилядни от 9 сто хилядни, получаваме 8 сто хилядни и т.н.

По този начин, при изваждане на десетични дроби се спазва следният ред: подпишете изваденото под намаленото, така че едни и същи цифри да са една под друга и всички запетаи да са в една и съща вертикална колона; отдясно, поне психически, в намалените или извадени толкова много нули, така че да имат еднакъв брой цифри, след това извадете по цифри, започвайки от дясната страна, и в резултат на разликата поставят запетая в същата вертикала колона, в която е в намалено и извадено.

§ 109. Умножение на десетични дроби.

Нека разгледаме няколко примера за десетично умножение.

За да намерим произведението на тези числа, можем да разсъждаваме по следния начин: ако умножителят се увеличи с 10 пъти, тогава и двата фактора ще бъдат цели числа и след това можем да ги умножим според правилата за умножаване на цели числа. Но знаем, че когато един от факторите се увеличи няколко пъти, продуктът се увеличава със същото количество. Това означава, че броят, получен в резултат на умножаване на целочислени фактори, т.е. 28 по 23, е 10 пъти повече от истинския продукт и за да получите истинския продукт, трябва да намалите намерения продукт с 10 пъти. Следователно тук трябва да извършите умножение по 10 веднъж и деление по 10 веднъж, но умножението и делението по 10 се извършва чрез преместване на запетая надясно и наляво с един знак. Следователно трябва да направите това: в множителя преместете запетайката надясно с един знак, от това тя ще бъде равна на 23, след което трябва да умножите получените цели числа:

Тази работа е 10 пъти по-голяма от истинската. Следователно тя трябва да бъде намалена 10 пъти, за което преместваме запетая с един символ наляво. По този начин получаваме

28 2,3 = 64,4.

За целите на проверката можете да напишете десетична дроб с знаменател и да извършите действие според правилото за умножение на обикновени дроби, т.е.

2) 12,27 0,021.

Разликата между този пример и предишния е, че и двата фактора са представени с десетични дроби. Но тук, в процеса на умножение, няма да обърнем внимание на запетаите, тоест временно ще увеличим множителя със 100 пъти, а множителя с 1000 пъти, което ще увеличи продукта със 100 000 пъти. По този начин, умножавайки 1 227 по 21, получаваме:

1 227 21 = 25 767.

Като се има предвид, че полученият продукт е 100 000 пъти по-голям от истинския, сега трябва да го намалим със 100 000 пъти, като поставим правилно запетая в него, след което получаваме:

32,27 0,021 = 0,25767.

Да проверим:

По този начин, за да се умножат две десетични дроби, е достатъчно, пренебрегвайки запетаите, да се умножат като цели числа и в продукта да се отделят със запетая отдясно толкова десетични знака, колкото имаше в множителя и в множителя заедно.

В последния пример продуктът има пет знака след десетичната запетая. Ако не се изисква такава голяма точност, тогава десетичната дроб се закръглява. Когато закръглявате, използвайте същото правило, което е посочено за цели числа.

§ 110. Умножение с помощта на таблици.

Десетичното умножение понякога може да се направи с помощта на таблици. За тази цел можете например да използвате тези таблици за умножение на двуцифрени числа, чието описание е дадено по-рано.

1) Умножете 53 по 1,5.

Ще умножим 53 по 15. В таблицата този продукт е равен на 795. Намерихме произведението на 53 по 15, но вторият ни фактор беше 10 пъти по-малък, което означава, че продуктът трябва да бъде намален с 10 пъти, т.е. .

53 1,5 = 79,5.

2) Умножете 5,3 по 4,7.

Първо, намираме в таблицата произведението от 53 на 47, то ще бъде 2 491. Но тъй като сме увеличили множителя и умножителя общо 100 пъти, полученият продукт е 100 пъти по-голям, отколкото би трябвало; така че трябва да намалим този продукт с коефициент 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Умножете 0,53 по 7,4.

Първо намерете в таблицата произведението от 53 на 74; ще бъде 3922. Но тъй като сме увеличили множителя със 100 пъти, а множителя с 10 пъти, продуктът се е увеличил с 1000 пъти; така че сега трябва да го намалим с 1000 пъти:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Деление на десетични цифри.

Ще разгледаме разделянето на десетичните дроби в този ред:

1. Деление на десетична дроб от цяло число,

1. Деление на десетична дроб от цяло число.

1) Разделете 2,46 на 2.

Разделихме на 2, първо цели, после десети и накрая стотни.

2) Разделете 32,46 на 3.

32,46: 3 = 10,82.

Разделихме 3 десетки на 3, след това започнахме да делим 2 единици на 3; тъй като броят на делимите единици (2) по-малко делител (3), трябваше да поставим 0 в частното; освен това, към останалата част взехме 4 десети и разделихме 24 десети на 3; получи 8 десети от коефициента и накрая раздели 6 стотни.

3) Разделете 1,2345 на 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Тук, в частното, на първо място се оказа нула от цели числа, тъй като едно цяло число не се дели на 5.

4) Разделете 13,58 на 4.

Особеността на този пример е, че когато получихме 9 стотни в коефициента, намерихме остатък, равен на 2 стотни, разделихме този остатък на хилядни, получихме 20 хилядни и довършихме делението до края.

Правило.Разделянето на десетична дроб от цяло число се извършва по същия начин като разделянето на цели числа и получените остатъци се преобразуват в десетични дроби, все по-малки; делението продължава, докато остатъкът е нула.

2. Деление на десетична дроб на десетична дроб.

1) Разделете 2,46 на 0,2.

Вече знаем как да разделяме десетична дроб на цяло число. Нека помислим дали този нов случай на разделение също може да бъде сведен до предишния? По едно време разгледахме забележителното свойство на коефициента, което се състои в това, че то остава непроменено, като същевременно увеличава или намалява дивидента и делителя със същия брой пъти. Лесно бихме извършили разделянето на предложените ни числа, ако делителят беше цяло число. За да направите това, достатъчно е да го увеличите с 10 пъти и за да получите правилния коефициент, е необходимо да увеличите дивидента със същата сума, т.е. 10 пъти. Тогава разделянето на тези числа ще бъде заменено с разделяне на такива числа:

освен това няма да се налагат изменения на коефициента.

Нека направим това разделение:

Следователно, 2,46: 0,2 \u003d 12,3.

2) Разделете 1,25 на 1,6.

Увеличаваме делителя (1.6) 10 пъти; за да не се промени коефициентът, ние увеличаваме дивидента с 10 пъти; 12 цели числа не се делят на 16, затова записваме 0 в частното и разделяме 125 десети на 16, получаваме 7 десети в коефициента и 13 в останалата част. Разделете 13 десети на стотни, като зададете нула и разделете 130 стотни на 16, и т.н. до следното:

а) когато коефициентът не получава цели числа, тогава на тяхно място се записват нула цели числа;

б) когато след премахване на дивидентната цифра в остатъка се получава число, което не се дели на делителя, тогава в частното се записва нула;

в) когато след премахване на последната цифра от дивидента разделянето не приключва, тогава, присвоявайки нули на остатъците, продължава разделянето;

г) ако дивидентът е цяло число, тогава при разделянето му с десетична дроб той се увеличава, като му се присвоят нули.

По този начин, за да разделите число на десетична дроб, трябва да изхвърлите запетаята в делителя и след това да увеличите дивидента толкова пъти, колкото делителят се е увеличил, като пуснете запетая в него, и след това да извършите деление според правилото на разделяне на десетичната дроб на цяло число.

§ 112. Приблизителен коефициент.

В предишния параграф разгледахме разделянето на десетичните дроби и във всички примери, които решихме, делението беше доведено до края, т.е. В повечето случаи обаче не може да се получи точното коефициент, независимо докъде продължаваме разделението. Ето един такъв случай: разделете 53 на 101.

Вече получихме пет цифри в частното, но разделението все още не е приключило и няма надежда някога да приключи, тъй като в останалите започваме да се появяват числа, които вече са срещани. В частното числата също ще се повтарят: очевидно е, че след числото 7 ще се появи числото 5, след това 2 и така нататък без край. В такива случаи разделянето се прекъсва и се ограничава до първите няколко цифри от коефициента. Това се нарича приблизително. Как да извършим разделяне в този случай, ще покажем с примери.

Нека се изисква да се дели 25 на 3. Очевидно точното коефициент, изразено като цяло число или десетична дроб, не може да бъде получено от такова деление. Затова ще търсим приблизителен коефициент:

25: 3 \u003d 8 и остатък 1

Приблизителното коефициент е 8; това е, разбира се, по-малко от точния коефициент, защото има остатък 1. За да получите точния коефициент, трябва да добавите към приблизителния намерен коефициент, т.е. до 8, частта, която ще бъде получена чрез разделяне на остатък, равен на 1 на 3; това ще бъде част от 1/3. Това означава, че точният коефициент ще бъде изразен чрез смесеното число 8 1/3. Тъй като 1/3 е обикновена дроб, т.е. дроб, по-малка единица, тогава, изхвърляйки го, предполагаме грешкакойто по-малко от един... Частно 8 ще приблизителен коефициент, точен до единство с дефицит. Ако вместо 8 вземем 9 в частното, тогава също допускаме грешка, която е по-малка от единица, тъй като добавяме не цяла единица, а 2/3. Това конкретно ще бъде приблизителен коефициент с излишък от единица.

Нека вземем друг пример сега. Да предположим, че 27 се изисква да се раздели на 8. Тъй като и тук точният коефициент, изразен като цяло число, няма да работи, ще потърсим приблизителен коефициент:

27: 8 \u003d 3 и остатък 3.

Тук грешката е равна на 3/8, тя е по-малка от единица, което означава, че приблизителният коефициент (3) се счита за точен до единица с дефицит. Нека продължим разделението: остатъка от 3 разделяме на десети, получаваме 30 десети; разделете ги на 8.

Получихме 3 десети в частното и 6 десети в останалата част. Ако се ограничим до 3.3 в частното и изхвърлим остатъка 6, тогава ще допуснем грешка по-малка от една десета. Защо? Тъй като точният коефициент ще бъде получен, когато към 3.3 добавим резултата от разделянето на 6 десети на 8; от това разделение би било 6/80, което е по-малко от една десета. (Проверете!) По този начин, ако в частното се ограничим до десети, тогава можем да кажем, че сме намерили коефициента с точност до една десета(с недостатък).

Нека продължим да делим, за да намерим друг десетичен знак. За да направите това, разделете 6 десети на стотни и вземете 60 стотни; разделете ги на 8.

Насаме третото място беше 7, а в останалата част 4 стотни; ако ги изхвърлим, тогава ще допуснем грешка, по-малка от една стотна, защото четири стотни, разделени на 8, е по-малко от една стотна. В такива случаи се казва, че коефициентът е намерен с точност до една стотна (с недостатък).

В примера, който разглеждаме сега, можете да получите точния коефициент, изразен като десетична дроб. За това е достатъчен последният остатък, 4 стотни, за да се раздели на хилядни и да се раздели на 8.

В по-голямата част от случаите обаче е невъзможно да се получи точния коефициент и човек трябва да се ограничи до приблизителните му стойности. Сега ще разгледаме такъв пример:

40: 7 = 5,71428571...

Точките в края на числото показват, че разделянето не е завършено, тоест равенството е приблизително. Обикновено приблизителното равенство се записва по следния начин:

40: 7 = 5,71428571.

Взехме коефициент с осем десетични знака. Но ако не се изисква такава голяма точност, можете да се ограничите само до цялата част от коефициента, т.е. числото 5 (по-точно 6); за по-голяма точност може да се вземат предвид десетите и да се вземе коефициентът равен на 5,7; ако тази точност по някаква причина е недостатъчна, тогава можем да се спрем на стотни и да вземем 5.71 и т. н. Нека изпишем отделни коефициенти и ги назовем.

Първо приблизително коефициент с точност до единица 6.

Второ "" "до една десета 5.7.

Трето "" "до една стотна 5.71.

Четвърто "" "до една хилядна 5.714.

По този начин, за да се намери приблизителното коефициент с точност до някои, например 3-ия знак след десетичната запетая (т.е. до една хилядна), разделянето се спира веднага щом се намери този знак. В този случай трябва да се помни правилото, посочено в § 40.

§ 113. Най-простите лихвени проблеми.

След като научим десетични дроби, ще решим още няколко процента задачи.

Тези проблеми са подобни на тези, които решихме в отдела за обикновени фракции; но сега ще напишем стотни под формата на десетични дроби, тоест без изрично обозначен знаменател.

На първо място, трябва да можете лесно да преминете от обикновена фракция към десетична с знаменател 100. За да направите това, трябва да разделите числителя на знаменателя:

Таблицата по-долу показва как число със знак% (процент) се заменя с десетична дроб с знаменател 100:

Нека сега разгледаме няколко задачи.

1. Намиране на процента от дадено число.

Цел 1.В едно село живеят само 1600 души. Брой деца училищна възраст съставлява 25% от цялото население. Колко деца в училищна възраст има в това село?

В този проблем трябва да намерите 25% или 0,25 от 1 600. Проблемът се решава чрез умножение:

1600 0,25 \u003d 400 (деца).

Следователно 25% от 1600 са 400.

За ясното разбиране на този проблем е полезно да припомним, че на всеки сто от населението има 25 деца в училищна възраст. Следователно, за да намерите броя на всички деца в училищна възраст, можете първо да разберете колко стотици са в числото 1600 (16), а след това да умножите 25 по броя на стотиците (25 х 16 \u003d 400). По този начин можете да проверите валидността на решението.

Цел 2. Спестовните банки предоставят на вложителите 2% от дохода годишно. Колко доход ще получи вложителят за една година, който е депозирал: а) 200 рубли? б) 500 рубли? в) 750 рубли? г) 1000 рубли?

И в четирите случая, за да се реши проблемът, ще е необходимо да се изчисли 0,02 от посочените суми, т.е. всяко от тези числа ще трябва да се умножи по 0,02. Хайде да го направим:

а) 200 0,02 \u003d 4 (търкане),

б) 500 0,02 \u003d 10 (руб.),

в) 750 0,02 \u003d 15 (рубли),

г) 1000 0,02 \u003d 20 (рубли).

Всеки от тези случаи може да бъде проверен по следните съображения. Спестовните банки дават на вложителите 2% от дохода, т.е. 0,02 от сумата, отпусната за спестявания. Ако сумата е равна на 100 рубли, тогава 0,02 от нея ще бъде 2 рубли. Това означава, че всеки сто носи на вложителя 2 рубли. доход. Следователно във всеки от разгледаните случаи е достатъчно да се разбере колко стотици са в дадено число и да се умножат 2 рубли по този брой стотици. В пример а) има стотици 2, което означава

2 2 \u003d 4 (втриване).

В пример г) стотици от 10, което означава

2 10 \u003d 20 (рубли).

2. Намиране на числото по неговия процент.

Цел 1. През пролетта училището завърши 54 ученика, което е 6% от общия брой ученици. Колко ученици са били в училище в миналото академична година?

Нека първо изясним значението на този проблем. Училището е завършило 54 ученици, което е 6% от общия брой ученици, или, с други думи, 6 стотни (0,06) от всички ученици в училище. Това означава, че ние знаем частта от учениците, изразена с числото (54) и фракцията (0,06), и по тази дроб трябва да намерим цялото число. По този начин, пред нас обща задача да се намери число по неговата дроб (§90 т. 6). Проблемите от този тип се решават чрез разделяне:

Това означава, че в училището е имало общо 900 ученици.

Полезно е да се проверяват такива проблеми чрез решаване на обратната задача, тоест след решаването на задачата трябва поне психически да се реши задачата от първия тип (намиране на процента от дадено число): вземете намереното число ( 900) като дадената и намерете процента, посочен в разрешения проблем, а именно:

900 0,06 = 54.

Цел 2.Семейството харчи 780 рубли за храна през месеца, което е 65% от месечните доходи на бащата. Определете месечната му заплата.

Тази задача има същото значение като предишната. Той дава част от месечните доходи, изразени в рубли (780 рубли), и показва, че тази част е 65%, или 0,65 от всички приходи. И това, което се търси, са всички приходи:

780: 0,65 = 1 200.

Следователно търсените печалби са 1200 рубли.

3. Намиране на процента на числата.

Цел 1. IN училищна библиотека само 6000 книги. Сред тях са 1200 книги по математика. Колко процента съставляват книгите по математика от всички книги в библиотеката?

Вече разгледахме (§97) този вид проблем и стигнахме до заключението, че за да изчислим процента от две числа, трябва да намерим съотношението на тези числа и да го умножим по 100.

В нашия проблем трябва да намерите процента на числата 1200 и 6000.

Нека първо намерим тяхното съотношение и след това го умножим по 100:

По този начин процентът от числата 1200 и 6000 е 20. С други думи, математическите книги съставляват 20% от общия брой на всички книги.

За да проверим, нека решим обратния проблем: намерете 20% от 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

Цел 2.Заводът трябва да получи 200 тона въглища. Вече са доставени 80 т. Какъв процент въглища са доставени в централата?

Този проблем задава какъв процент е едно число (80) от друго (200). Съотношението на тези числа ще бъде 80/200. Нека го умножим по 100:

Това означава, че са доставени 40% от въглищата.