Математиката е с товахората контролират природата и себе си.

Съветският математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрична прогресия.

Наред със задачите за аритметични прогресии, задачите, свързани с понятието геометрична прогресия, са често срещани и при приемните изпити по математика. За да решите успешно такива проблеми, трябва да знаете свойствата на геометричната прогресия и да имате добри умения да ги използвате.

Тази статия е посветена на представянето на основните свойства на геометричната прогресия. Той също така предоставя примери за решаване на типични задачи., заимствани от заданията на приемните изпити по математика.

Първо отбелязваме основните свойства на геометричната прогресия и припомняме най-важните формули и твърдения, свързани с тази концепция.

Определение. Числовата последователност се нарича геометрична прогресия, ако всяко от нейните числа, започвайки от второто, е равно на предишното, умножено по същия номер. Числото се нарича знаменател на геометричната прогресия.

За геометрична прогресияформулите са валидни

, (1)

където. Формула (1) се нарича формула за общия член на геометрична прогресия, а формула (2) е основното свойство на геометричната прогресия: всеки член на прогресията съвпада с геометричната средна стойност на съседните й членове и.

Забележка, че именно поради това свойство разглежданата прогресия се нарича „геометрична“.

Горните формули (1) и (2) са обобщени, както следва:

, (3)

За изчисляване на сумата първо членове на геометрична прогресия се прилага формула

Ако обозначаваме, тогава

където. Тъй като, тогава формула (6) е обобщение на формула (5).

В случая, когато и, геометрична прогресия е безкрайно намаляващо. За изчисляване на суматаот всички членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва формулата

. (7)

Например , използвайки формула (7), може да се покаже, Какво

където. Тези равенства се получават от формула (7), при условие, че (първо равенство) и, (второ равенство).

Теорема. Ако, тогава

Доказателства. Ако, тогава,

Теоремата е доказана.

Нека да преминем към разглеждане на примери за решаване на задачи по темата „Геометрична прогресия“.

Пример 1. Като се има предвид :, и. Да намеря .

Решение. Ако приложим формула (5), тогава

Отговор:.

Пример 2.Нека и. Да намеря .

Решение. Тъй като и, ще използваме формули (5), (6) и ще получим системата от уравнения

Ако второто уравнение на системата (9) е разделено на първото, след това или. Следователно следва и ... Нека разгледаме два случая.

1. Ако, тогава от първото уравнение на система (9) имаме.

2. Ако, тогава.

Пример 3.Нека и. Да намеря .

Решение. От формула (2) следва, че или. Тъй като, тогава или.

По условие. Следователно, следователно. Тъй като и, тогава тук имаме системата от уравнения

Ако второто уравнение на системата е разделено на първото, тогава или.

Тъй като тогава уравнението има един подходящ корен. В този случай това следва от първото уравнение на системата.

Като вземем предвид формула (7), получаваме.

Отговор:.

Пример 4.Като се има предвид: и. Да намеря .

Решение. От тогава.

Тъй като и тогава

Според формула (2) имаме. В тази връзка от равенството (10) получаваме или.

Следователно, по условие, следователно.

Пример 5. Известно е, че. Да намеря .

Решение. Според теоремата имаме две равенства

Тъй като, тогава или. От тогава.

Отговор:.

Пример 6. Като се има предвид: и. Да намеря .

Решение. Като вземем предвид формула (5), получаваме

От тогава. Тъй като, и, тогава.

Пример 7. Нека и. Да намеря .

Решение. Според формула (1) можем да пишем

Следователно имаме или. Известно е, че и, следователно, и.

Отговор:.

Пример 8. Намерете знаменателя на безкрайно намаляваща геометрична прогресия, ако

и.

Решение. От формула (7) следва и ... От това и изложението на проблема получаваме системата от уравнения

Ако първото уравнение на системата е на квадрат, и след това разделете полученото уравнение на второто уравнение, тогава получаваме

Или .

Отговор:.

Пример 9. Намерете всички стойности, за които последователността ,, е геометрична прогресия.

Решение. Нека и. Според формула (2), която определя основното свойство на геометричната прогресия, можете да напишете или.

От това получаваме квадратното уравнение, чиито корени са и.

Нека проверим дали, след това и; ако, тогава и.

В първия случай имаме и, а във втория - и.

Отговор:,.

Пример 10.Решете уравнението

, (11)

къде и.

Решение. Лявата страна на уравнението (11) е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия, в която и, в зависимост от: и.

От формула (7) следва, Какво ... В това отношение уравнението (11) приема формата или ... Подходящ корен квадратното уравнение е

Отговор:.

Пример 11.P последователност от положителни числа образува аритметична прогресия, и - геометрична прогресия, какво общо има. Да намеря .

Решение.Защото аритметична последователносттогава (основното свойство на аритметичната прогресия). Дотолкова доколкото, след това или. Това предполага , че геометричната прогресия има формата... Съгласно формула (2), тогава записваме това.

Тъй като и, тогава ... В този случай изразът приема формата или. По условие, следователно от уравнението получаваме уникално решение на разглеждания проблем, т.е. ...

Отговор:.

Пример 12.Изчислете сумата

. (12)

Решение. Умножаваме двете страни на равенството (12) по 5 и получаваме

Ако извадим от получения израз (12)тогава

или .

За да изчислим, заместваме стойностите във формулата (7) и получаваме. От тогава.

Отговор:.

Дадените тук примери за решаване на проблеми ще бъдат полезни на кандидатите при подготовката за кандидатстудентски изпити. За по-задълбочено изучаване на методите за решаване на проблеми, експоненциално свързани, можете да използвате уроците от препоръчания списък за четене.

1. Сборник от задачи по математика за кандидати в технически колежи / Изд. М.И. Сканави. - М.: Мир и образование, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика за ученици от гимназията: допълнителни раздели от училищната програма. - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

3. Medynsky M.M. Пълен курс по елементарна математика по задачи и упражнения. Книга 2: Числови последователности и прогресии. - М.: Editus, 2015. - 208 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател - регистрирайте се.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, се изисква връзка към източника.

Нека разгледаме някои серии.

7 28 112 448 1792...

Напълно ясно е, че стойността на който и да е от елементите му е точно четири пъти по-голяма от предишната. Това означава, че тази поредица е прогресия.

Безкрайна последователност от числа се нарича геометрична прогресия, чиято основна характеристика е, че следващото число се получава от предишното чрез умножаване по определен брой. Това се изразява със следната формула.

a z +1 \u003d a z q, където z е номерът на избрания елемент.

Съответно z ∈ N.

Периодът, когато геометричната прогресия се изучава в училище, е 9 клас. Примерите ще ви помогнат да разберете концепцията:

0.25 0.125 0.0625...

Въз основа на тази формула знаменателят на прогресията може да бъде намерен, както следва:

Нито q, нито b z не могат да бъдат равни на нула. Също така, всеки от елементите на прогресията не трябва да бъде нула.

Съответно, за да разберете следващото число от поредицата, трябва да умножите последното по q.

За да зададете тази прогресия, трябва да посочите първия й елемент и знаменател. След това е възможно да се намери някой от следващите членове и тяхната сума.

Сортове

В зависимост от q и a 1 тази прогресия се разделя на няколко типа:

• Ако и 1, и q са по-големи от едно, тогава такава последователност е геометрична прогресия, нарастваща с всеки следващ елемент. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 \u003d 3, q \u200b\u200b\u003d 2 - и двата параметъра са по-големи от един.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

3 6 12 24 48 ...

• Ако | q | по-малко от едно, тоест умножаването по него е еквивалентно на деление, тогава прогресията с подобни условия е намаляваща геометрична прогресия. Пример за такъв е представен по-долу.

Пример: a 1 \u003d 6, q \u003d 1/3 - a 1 е повече от едно, q е по-малко.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

6 2 2/3 ... - всеки елемент е 3 пъти по-голям от елемента, който го следва.

• Редуващ се знак. Ако q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 \u003d -3, q \u003d -2 - и двата параметъра са по-малки от нула.

Тогава числовата последователност може да бъде записана по следния начин:

3, 6, -12, 24,...

Формули

Има много формули за удобно използване на геометрични прогресии:

• Формула на z-тия член. Позволява ви да изчислите елемента под определен номер, без да изчислявате предишните числа.

Пример:q = 3, а 1 \u003d 4. Необходимо е да се изчисли четвъртият елемент на прогресията.

Решение:а 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сборът от първите елементи, чийто брой е z... Изчислява сумата на всички елементи в последователност доa z приобщаващ.

Тъй като (1-q) е в знаменателя, тогава (1 - q)≠ 0, следователно q не е равно на 1.

Забележка: ако q \u003d 1, тогава прогресията ще бъде поредица от безкрайно повтарящи се числа.

Сумата от геометрична прогресия, примери:а 1 = 2, q \u003d -2. Изчислете S 5.

Решение:С 5 = 22 - изчисление по формулата.

• Сума, ако |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример:а 1 = 2 , q \u003d 0,5. Намерете сумата.

Решение:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Някои свойства:

• Характерно свойство. Ако е изпълнено следното условие изпълнява за всекиz, тогава дадената числова поредица е геометрична прогресия:

a z 2 = a z -1 · а z + 1

• Също така, квадратът на произволен брой геометрична прогресия се намира чрез добавяне на квадратите на други две числа в даден ред, ако те са на еднакво разстояние от този елемент.

a z 2 = a z - т 2 + a z + т 2 къдетот - разстоянието между тези числа.

• Елементите се различават по qвреме.
• Логаритмите на елементите на прогресията също образуват прогресия, но вече аритметична, тоест всеки от тях е по-голям от предишния с определен брой.

Примери за някои класически проблеми

За да разберете по-добре какво е геометрична прогресия, могат да ви помогнат примери с решение за 9 клас.

• Условия:а 1 = 3, а 3 \u003d 48. Намеретеq.

Решение: всеки следващ елемент е по-голям от предишния вq време.Необходимо е да се изразят някои елементи чрез други, като се използва знаменателят.

Следователно,а 3 = q 2 · а 1

При заместванеq= 4

• Условия:а 2 = 6, а 3 \u003d 12. Изчислете S 6.

Решение:За да направите това, достатъчно е да намерите q, първия елемент и да го заместите във формулата.

а 3 = q· а 2 , Следователно,q= 2

a 2 \u003d q A 1,така a 1 \u003d 3

S 6 \u003d 189

• · а 1 = 10, q \u003d -2. Намерете четвъртия елемент на прогресията.

Решение: за това е достатъчно да изразите четвъртия елемент през първия и през знаменателя.

a 4 \u003d q 3· a 1 \u003d -80

Пример за приложение:

• Клиентът на банката направи депозит в размер на 10 000 рубли, при условията на който всяка година клиентът ще добави 6% от главницата към главницата. Колко ще има сметката след 4 години?

Решение: Първоначалната сума е 10 хиляди рубли. Това означава, че една година след инвестицията, сметката ще има сума, равна на 10000 + 10000 · 0,06 \u003d 10000 1,06

Съответно сумата по сметката за още една година ще бъде изразена, както следва:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 \u003d 1,06 1,06 10000

Тоест всяка година сумата се увеличава с 1,06 пъти. Това означава, че за да се намери размерът на средствата по сметката за 4 години, е достатъчно да се намери четвъртият елемент на прогресията, който се задава от първия елемент, равен на 10 хиляди и знаменателя, равен на 1.06.

S \u003d 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 \u003d 12625

Примери за задачи за изчисляване на сумата:

Геометрична прогресия се използва при различни задачи. Пример за намиране на сумата може да се даде, както следва:

а 1 = 4, q \u003d 2, изчислетеS 5.

Решение: всички данни, необходими за изчислението, са известни, просто трябва да ги замените във формулата.

С 5 = 124

• а 2 = 6, а 3 \u003d 18. Изчислете сумата от първите шест елемента.

Решение:

В геом. прогресия, всеки следващ елемент е q пъти по-голям от предишния, тоест, за да изчислите сумата, трябва да знаете елементаа 1 и знаменателяq.

а 2 · q = а 3

q = 3

По същия начин трябва да намеритеа 1 знаейкиа 2 иq.

а 1 · q = а 2

a 1 \u003d2

С 6 = 728.

\u003e\u003e Математика: Геометрична прогресия

За улеснение на читателя този раздел следва точно същия план, който следвахме в предишния раздел.

1. Основни понятия.

Определение. Числова последователност, всички членове на която се различават от 0 и всеки член, от който, започвайки от втория, се получава от предишния член, като се умножи по същия номер, се нарича геометрична прогресия. В този случай числото 5 се нарича знаменател на геометрична прогресия.

По този начин, геометричната прогресия е числова последователност (b n), дефинирана рекурсивно от релациите

Възможно ли е чрез разглеждане на числовата последователност да се определи дали това е геометрична прогресия? Мога. Ако сте убедени, че съотношението на който и да е член на последователността към предишния член е постоянно, тогава имате геометрична прогресия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 \u003d 1, q \u003d 3.

Пример 2.

Това е геометрична прогресия, при която
Пример 3.

Това е геометрична прогресия, при която
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Това е геометрична прогресия с b 1 - 8, q \u003d 1.

Обърнете внимание, че тази последователност също е аритметична прогресия (вижте Пример 3 в § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Това е геометрична прогресия, при която b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Очевидно геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1\u003e 0, q\u003e 1 (виж пример 1) и намаляваща, ако b 1\u003e 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

За да се посочи, че последователността (b n) е геометрична прогресия, понякога е удобна следната нотация:

Иконата замества фразата "геометрична прогресия".
Нека отбележим едно любопитно и в същото време съвсем очевидно свойство на геометричната прогресия:
Ако последователността е геометрична прогресия, тогава последователността на квадратите, т.е. е геометрична прогресия.
Във втората геометрична прогресия първият член е равен на a е равен на q 2.
Ако изхвърлим експоненциално всички членове, следващи b n, ще получим крайна геометрична прогресия
В следващите параграфи на този раздел ще разгледаме най-важните свойства на геометричната прогресия.

2. Формула на n-ия член на геометрична прогресия.

Помислете за геометрична прогресия знаменател q. Ние имаме:

Лесно е да се досетим, че за произволно число n равенството

Това е формулата за n-ия член на геометрична прогресия.

Коментирайте.

Ако сте прочели важна забележка от предишния параграф и сте я разбрали, опитайте се да докажете формула (1) по метода на математическата индукция, точно както беше направено за формулата за n-ия член на аритметична прогресия.

Нека препишем формулата за n-ия член на геометричната прогресия

и въведем обозначението: Получаваме y \u003d mq 2 или, по-подробно,
Аргументът x се съдържа в степента, така че това се нарича експоненциална функция. Следователно геометричната прогресия може да се разглежда като експоненциална функция, дефинирана в множеството N от естествени числа. На фиг. 96а показва графиката на функцията Фиг. 966 - функционална графика И в двата случая имаме изолирани точки (с абсциси x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3 и т.н.), лежащи на определена крива (и двете фигури показват една и съща крива, само разположени по различен начин и изобразени в различни мащаби). Тази крива се нарича експоненциална. Повече информация за експоненциалната функция и нейната графика ще бъдат обсъдени в курса по алгебра от 11 клас.

Да се \u200b\u200bвърнем към примери 1-5 от предишния параграф.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Това е геометрична прогресия, при която b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Нека съставим формулата за n-ия член
2) Това е геометрична прогресия, в която Нека съставим формулата за n-ия член

Това е геометрична прогресия, при която Нека съставим формулата за n-ия член
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Това е геометрична прогресия, при която b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Нека съставим формулата за n-ия член
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Това е геометрична прогресия, при която b 1 \u003d 2, q \u003d -1. Нека съставим формулата за n-ия член

Пример 6.

Дадена е геометрична прогресия

Във всички случаи решението се основава на формулата за n-ия член на геометричната прогресия

а) Поставяйки n-тия член на геометричната прогресия n \u003d 6 във формулата, получаваме

б) Имаме

Тъй като 512 \u003d 2 9, получаваме n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

г) Имаме

Пример 7.

Разликата между седмия и петия член на геометричната прогресия е 48, сумата от петия и шестия член на прогресията също е 48. Намерете дванадесетия член на тази прогресия.

Първа стъпка. Съставяне на математически модел.

Проблемните условия могат да бъдат написани накратко, както следва:

Използвайки формулата за n-ия член на геометричната прогресия, получаваме:
Тогава във формата може да се запише второто условие на задачата (b 7 - b 5 \u003d 48)

Третото условие на задачата (b 5 + b 6 \u003d 48) може да се запише като

В резултат на това получаваме система от две уравнения с две променливи b 1 и q:

което в комбинация с горното условие 1) е математически модел на задачата.

Втора фаза.

Работа с компилирания модел. Приравнявайки лявата страна на двете уравнения на системата, получаваме:

(разделихме двете страни на уравнението на ненулев израз b 1 q 4).

От уравнението q 2 - q - 2 \u003d 0 намираме q 1 \u003d 2, q 2 \u003d -1. Замествайки стойността q \u003d 2 във второто уравнение на системата, получаваме
Замествайки стойността q \u003d -1 във второто уравнение на системата, получаваме b 1 1 0 \u003d 48; това уравнение няма решения.

И така, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - тази двойка е решение на съставената система от уравнения.

Сега можем да запишем геометричната прогресия, посочена в задачата: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Трети етап.

Отговорът на проблемния въпрос. Необходимо е да се изчисли b 12. Ние имаме

Отговор: b 12 \u003d 2048.

3. Формулата за сумата на членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека бъде дадена крайна геометрична прогресия

Нека S n означава сумата от нейните членове, т.е.

Нека изведем формула за намиране на тази сума.

Нека започнем с най-простия случай, когато q \u003d 1. Тогава геометричната прогресия b 1, b 2, b 3, ..., bn се състои от n числа, равни на b 1, т.е. прогресията има формата b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Сумата от тези числа е nb 1.

Сега нека q \u003d 1 За да намерим S n, ние прилагаме изкуствен метод: извършваме някои трансформации на израза S n q. Ние имаме:

Извършвайки трансформации, ние, първо, използвахме дефиницията на геометрична прогресия, според която (вижте третия ред на разсъжденията); второ, те добавиха и извадиха защо значението на израза, разбира се, не се промени (виж четвъртия ред на разсъжденията); трето, използвахме формулата за n-ия член на геометрична прогресия:

От формула (1) намираме:

Това е формулата за сумата от n членове на геометрична прогресия (за случая, когато q \u003d 1).

Пример 8.

Дадена е крайна геометрична прогресия

а) сумата на членовете на прогресията; б) сумата от квадратите на членовете му.

б) По-горе (вж. стр. 132) вече отбелязахме, че ако всички членове на геометрична прогресия са на квадрат, тогава получаваме геометрична прогресия с първия член b 2 и знаменателя q 2. Тогава сумата от шест членове на новата прогресия ще бъде изчислена от

Пример 9.

Намерете 8-ия член на геометрична прогресия с

Всъщност ние доказахме следната теорема.

Числовата последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове, с изключение на първата теорема (и последната, в случай на крайна последователност), е равен на произведението на предходните и следващите членове ( характерно свойство на геометрична прогресия).

Геометрична прогресия не по-малко важно в математиката от аритметиката. Геометричната прогресия е поредица от числа b1, b2, ..., b [n], всеки следващ член от който се получава чрез умножаване на предишния с постоянно число. Това число, което също характеризира скоростта на нарастване или намаляване на прогресията, се нарича знаменател на геометрична прогресия и означават

За пълно задание на геометрична прогресия, в допълнение към знаменателя, е необходимо да се знае или определи първият му член. За положителна стойност на знаменателя прогресията е монотонна последователност и ако тази последователност от числа е монотонно намаляваща и, за монотонно нарастваща. Случаят, когато знаменателят е равен на един, не се разглежда на практика, тъй като имаме поредица от еднакви числа и тяхното сумиране не представлява практически интерес.

Общ термин за геометрична прогресия изчислено по формулата

Сумата от първите n членове на геометрична прогресия определя се по формулата

Помислете за решения на класически задачи за геометрична прогресия. Нека започнем с най-простите за разбиране.

Пример 1. Първият член на геометрична прогресия е 27, а знаменателят му е 1/3. Намерете първите шест члена на геометрична прогресия.

Решение: Нека запишем условието на проблема във формуляра

За изчисления използваме формулата за n-ия член на геометричната прогресия

На негова основа откриваме неизвестните членове на прогресията

Както можете да видите, изчисляването на условията на геометрична прогресия не е трудно. Самата прогресия ще изглежда така

Пример 2. Дадени са първите три члена на геометричната прогресия: 6; -12; 24. Намерете знаменателя и неговия седми член.

Решение: Изчисляваме знаменателя на геометричната прогресия въз основа на нейната дефиниция

Получихме редуваща се геометрична прогресия, чийто знаменател е -2. Седмият член се изчислява по формулата

Това е решило проблема.

Пример 3. Геометрична прогресия е дадена от двама от нейните членове ... Намерете десетия член в прогресията.

Решение:

Нека запишем дадените стойности чрез формулите

Според правилата би било необходимо да намерим знаменателя и след това да търсим желаната стойност, но за десетия член имаме

Същата формула може да бъде получена въз основа на прости манипулации с входните данни. Разделяме шестия член от поредицата с друг, в резултат на което получаваме

Ако получената стойност се умножи по шестия член, получаваме десетия

По този начин за такива задачи, използвайки бързи трансформации по бърз начин, можете да намерите правилното решение.

Пример 4. Геометричната прогресия се дава чрез повтарящи се формули

Намерете знаменателя на геометричната прогресия и сумата от първите шест члена.

Решение:

Записваме дадените данни под формата на система от уравнения

Изразете знаменателя, като второто уравнение се раздели на първото

Намерете първия член на прогресията от първото уравнение

Нека изчислим следващите пет члена, за да намерим сумата от геометрична прогресия

Инструкции

10, 30, 90, 270...

Необходимо е да се намери знаменателят на геометричната прогресия.
Решение:

Опция 1. Да вземем произволен член на прогресията (например 90) и да го разделим на предишния (30): 90/30 \u003d 3.

Ако знаете сумата от няколко члена на геометрична прогресия или сумата от всички членове на намаляваща геометрична прогресия, тогава за да намерите знаменателя на прогресията, използвайте подходящите формули:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), където Sn е сумата от първите n членове на геометричната прогресия и
S \u003d b1 / (1-q), където S е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия (сумата на всички членове на прогресията с знаменател по-малък от един).
Пример.

Първият член на намаляваща геометрична прогресия е равен на единица, а сумата от всички негови членове е равна на две.

Необходимо е да се определи знаменателят на тази прогресия.
Решение:

Включете данните от проблема във формулата. Оказва се:
2 \u003d 1 / (1-q), откъдето - q \u003d 1/2.

Прогресията е последователност от числа. При геометрична прогресия всеки следващ член се получава чрез умножаване на предишния по някакво число q, наречено знаменател на прогресията.

Инструкции

Ако са известни два съседни члена на геометричните b (n + 1) и b (n), за да се получи знаменателят, числото с по-голямо трябва да бъде разделено на предшестващото го: q \u003d b (n + 1) / b (n). Това следва от дефиницията на прогресията и нейния знаменател. Важно условие е неравенството на първия член и знаменателят на прогресията до нула, в противен случай се счита за недефинирано.

И така, между членовете на прогресията се установяват следните връзки: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q, ..., b (n) \u003d b (n-1) q. Чрез формулата b (n) \u003d b1 q ^ (n-1) може да се изчисли всеки член на геометрична прогресия, в който знаменателят q и терминът b1 са известни. Също така, всяка от прогресията в модул е \u200b\u200bравна на средната стойност на съседните й членове: | b (n) | \u003d √, следователно прогресията има своя собствена.

Аналог на геометрична прогресия е най-простата експоненциална функция y \u003d a ^ x, където x е в показателя, а a е някакво число. В този случай знаменателят на прогресията съвпада с първия член и е равен на числото a. Стойността на функцията y може да се разбере като n-ти член на прогресията, ако аргументът x се приема като естествено число n (брояч).

Друго важно свойство на геометричната прогресия, което дава геометричната прогресия