Аритметична прогресия  наречена поредица от числа (членове на прогресия)

В който всеки следващ термин се различава от предишния по стоманен термин, който също се нарича разлика или степен на прогресия.

По този начин, задавайки стъпката на прогресията и нейния първи мандат, по формулата може да се намери всеки елемент от нея

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, като се започне от второто число, е средната аритметична стойност на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средната аритметична стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Според това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също така, по свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното

Това е лесно да се разбере, ако напишете условията вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачите.

2) Сумата от деветте първи членове на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от последователността, започваща от нейния kth член, тогава следващата формула за суми ще бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За целта използвайте формулата

С това се сключва теоретичният материал и се пристъпва към решаване на често срещани в практиката проблеми.

Пример 1. Намерете четиридесетия срок на аритметична прогресия 4; 7; ...

решение:

Според състоянието, което имаме

Определете стъпката на прогресиране

По добре познатата формула намираме четиридесетия термин на прогресията

Пример 2 Аритметичната прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сумата от десет.

решение:

Пишем дадените елементи на прогресията според формулите

Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат откриваме стъпката на прогресията

Заместваме намерената стойност в някое от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия

Изчисляваме сумата от първите десет членове на прогресията

Без да прилагаме сложни изчисления, намерихме всички търсени количества.

Пример 3. Аритметичната прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сумата от неговите 50 членове, започваща от 50, и сумата от първите 100.

решение:

Пишем формулата на стотия елемент на прогресията

и намерете първото

Въз основа на първия откриваме 50-годишната прогресия

Намерете сумата на частта за прогресия

и сумата от първите 100

Количеството на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

решение:

Пишем уравненията през първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заменете получените стойности във формулата на сумата, за да определите броя на членовете в сумата

извърши опростяване

и решаваме квадратното уравнение

От двете намерени стойности само 8 са подходящи за проблемното състояние. Така сумата от първите осем членове на прогресията е 111.

Пример 5

Решете уравнението

1 + 3 + 5 + ... + х \u003d 307.

Решение: Това уравнение е сумата от аритметична прогресия. Изписваме първия му срок и откриваме разликата в прогресията

Ако всяко естествено число п   съвпадат с реално число a n , тогава те казват, че е дадено числова последователност :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

И така, числовата последователност е функция на естествен аргумент.

номер а 1   се наричат първи член на последователността номер а 2 — втори член на последователността номер а 3 — трета   и т.н. номер a n   се наричат n-ти член на последователността и естествено число п — неговият номер .

От двама съседни членове a n и a n +1   член последователност a n +1   се наричат последвано от (във връзка с a n ), и a n — предишен (във връзка с a n +1 ).

За да зададете последователност, трябва да посочите метод, който ви позволява да намерите член на последователност с произволно число.

Често последователността се задава с помощта формули на n-тия термин , тоест формула, която ви позволява да определите член на последователност по неговия номер.

Например

последователност от положителни нечетни числа може да бъде определена чрез формулата

a n= 2n -1,

и последователността на редуване 1   и -1   - формула

б  п = (-1)  п +1 . ◄

Последователността може да бъде определена формула за рецидив,   тоест формула, която изразява всеки член на последователност, започвайки с някои, през предишните (един или повече) членове.

Например

ако а 1 = 1 , и a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ако a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 ,   тогава първите седем членове на числовата последователност се задават, както следва:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Поредици могат да бъдат край и безкраен .

Последователност призована върховното ако тя има ограничен брой членове. Последователност призована безкраен ако тя има безкрайно много членове.

Например

последователност от двуцифрени естествени числа:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

върховното.

Основна последователност:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

безкраен. ◄

Последователност призована увеличаване на ако всеки от членовете му, започвайки от втория, е по-голям от предишния.

Последователност призована намаляваща ако всеки от членовете му, започвайки от втория, е по-малък от предишния.

Например

2, 4, 6, 8, . . . , 2п, . . .   - увеличаване на последователността;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /  п, . . . - намаляваща последователност. ◄

Повиква се последователност, чиито елементи не намаляват с увеличаване на броя или, обратно, не се увеличават монотонна последователност .

По-специално, монотонните последователности са увеличаващи се последователности и намаляващи.

Аритметична прогресия

Аритметична прогресия се нарича последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, към който се добавя същото число.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметична прогресия, ако за всяко естествено число п   условието е изпълнено:

a n +1 = a n + г,

където г - някакъв брой.

По този начин разликата между следващите и предишните членове на дадена аритметична прогресия винаги е постоянна:

a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

номер г   се наричат аритметична разлика в прогресията.

За да уточните аритметична прогресия, достатъчно е да посочите първия й срок и разлика.

Например

ако а 1 = 3, г = 4 , тогава първите пет члена от последователността се намират, както следва:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,

а 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметична прогресия с първия член а 1 и разлика г то п

a n = a 1 + (п- 1)г.

Например

намираме тридесетия термин на аритметичната прогресия

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, г = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (п- 2)г,

a n= a 1 + (п- 1)г,

a n +1 = а 1 + ри,

тогава очевидно

всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средната аритметична стойност на предишните и следващите членове.

числата a, b и c са последователни членове на аритметична прогресия, ако и само ако едното от тях е равно на средноаритметичната стойност на другите две.

Например

a n = 2п- 7 е аритметична прогресия.

Използваме горното твърдение. Имаме:

a n = 2п- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2п- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2п- 5.

Ето защо,

◄

Имайте предвид това п i-тият термин на аритметична прогресия може да се намери не само чрез а 1 но всички предишни a k

a n = a k + (п- к)г.

Например

за а 5   може да пише

a 5 = a 1 + 4г,

a 5 = a 2 + 3г,

a 5 = a 3 + 2г,

a 5 = а 4 + г. ◄

a n = a n-k + kD,

a n = a n + k - kD,

тогава очевидно

всеки член на аритметична прогресия, започващ от втория, е равен на половината от сумата на членовете на тази аритметична прогресия, еднакво отдалечена от нея.

В допълнение, за всяка аритметична прогресия равенството има:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

Например

в аритметична прогресия

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7г\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, защото

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

  a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. , ,+ a n,

първият п   условия на аритметична прогресия е равна на произведението на половината от сумата на крайните числа по броя на термините:

От това, по-специално, следва, че ако е необходимо да се сумират условията

a k, a k +1 , . . . , a n,

тогава предишната формула запазва своята структура:

Например

в аритметична прогресия 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметична прогресия, тогава количествата а 1 , a n, г, п  иS п свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на три от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

Аритметичната прогресия е монотонна последователност. В този случай:

• ако г > 0 тогава тя се увеличава;
• ако г < 0 тогава тя намалява;
• ако г = 0 , след това последователността ще бъде неподвижна.

Геометрична прогресия

Геометрична прогресия се нарича последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, умножен по едно и също число.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , b n, . . .

е геометрична прогресия, ако за всяко естествено число п   условието е изпълнено:

b n +1 = b n · р,

където р ≠ 0   - някакъв брой.

По този начин съотношението на следващия член на тази геометрична прогресия към предходния е постоянно число:

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = b n +1 / b n = р.

номер р   се наричат знаменател на геометричната прогресия.

За да посочите геометрична прогресия, достатъчно е да посочите първия й термин и знаменателя.

Например

ако б 1 = 1, р = -3 , тогава първите пет члена от последователността се намират, както следва:

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · р = 1 · (-3) = -3,

b 3 = б 2 · р= -3 · (-3) = 9,

б 4 = b 3 · р= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · р= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1   и знаменател р   то п член може да се намери по формулата:

b n = б 1 · q n -1 .

Например

намерете седмия член на геометричната прогресия 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, р = 2,

б 7 = б 1 · р 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = б 1 · q n -2 ,

b n = б 1 · q n -1 ,

b n +1 = б 1 · q n,

тогава очевидно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

всеки член на геометричната прогресия, започвайки от втория, е равен на геометричната средна стойност (пропорционална) на предишните и следващите членове.

Тъй като обратното също е вярно, важи следното твърдение:

числата a, b и c са последователни членове на някаква геометрична прогресия, ако и само ако квадратът на едното от тях е равен на произведението на другите две, тоест едно от числата е средното геометрично на другите две.

Например

доказваме, че последователността, която се дава от формулата b n \u003d -3 · 2   п е геометрична прогресия. Използваме горното твърдение. Имаме:

b n \u003d -3 · 2   п,

b n -1 \u003d -3 · 2   п -1 ,

b n +1 \u003d -3 · 2   п +1 .

Ето защо,

b n 2 \u003d (-3 · 2   п) 2 \u003d (-3 · 2)   п -1 ) · (-3 · 2)   п +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

което доказва необходимото твърдение. ◄

Имайте предвид това п i-тият термин на геометричната прогресия може да се намери не само чрез б 1 но и всеки предишен член b k , за което е достатъчно да се използва формулата

b n = b k · q n -   к.

Например

за б 5   може да пише

b 5 = б 1 · р 4 ,

b 5 = б 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = б 4 · р. ◄

b n = b k · q n -   к,

b n = b n -   к · q k,

тогава очевидно

b n 2 = b n -   к· b n +   к

квадратът на всеки член на геометрична прогресия, започващ с втория, е равен на произведението на членовете на тази прогресия, еднакво отдалечени от нея.

В допълнение, за всяка геометрична прогресия равенството е вярно:

b m· b n= b k· б л,

m+ п= к+ л.

Например

експоненциално

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · р 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , защото

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + b n

първият п   отношение на геометрична прогресия с р ≠ 0   изчислено по формулата:

И кога р = 1   - според формулата

S n= nB 1

Обърнете внимание, че ако трябва да сумирате членовете

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогава се използва формулата:

Например

експоненциално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометрична прогресия, тогава количествата б 1 , b n, р, п  и S n свързани с две формули:

Следователно, ако са дадени стойностите на което и да е от тези величини, тогава съответните стойности на другите две величини се определят от тези формули, комбинирани в система от две уравнения с две неизвестни.

За геометрична прогресия с първия член б 1   и знаменател р   следното свойства на монотонност :

• прогресията се увеличава, ако е вярно едно от следните условия:

б 1 > 0 и р> 1;

б 1 < 0 и 0 < р< 1;

• прогресията намалява, ако е вярно едно от следните условия:

б 1 > 0 и 0 < р< 1;

б 1 < 0 и р> 1.

ако р< 0 , тогава геометричната прогресия се редува: членовете й с нечетни числа имат същия знак като първия си член, а членовете с четни числа имат обратен знак. Ясно е, че редуващата се геометрична прогресия не е монотонна.

Продуктът на първия п   условия на геометрична прогресия могат да се изчислят по формулата:

P n= б 1 ·   б 2 ·   b 3 · . . . ·   b n = (б 1 · b n) п / 2 .

Например

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Безкрайно намаляваща геометрична прогресия   наречена безкрайна геометрична прогресия, чийто знаменател е по-малък 1 това е

|р| < 1 .

Обърнете внимание, че безкрайно намаляващата геометрична прогресия може да не е намаляваща последователност. Това е така.

1 < р< 0 .

С този знаменател последователността се редува. Например

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия извикайте числото, към което е сборът на първия п   членове на прогресията с неограничено увеличение на броя п , Това число винаги е ограничено и се изразява чрез формулата

Например

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Връзката на аритметичните и геометричните прогресии

Аритметичните и геометричните прогресии са тясно свързани. Нека разгледаме само два примера.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г след това

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . б г .

Например

1, 3, 5, . . . - аритметична прогресия с разлика 2   и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометрична прогресия с знаменател 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . - геометрична прогресия с знаменател р след това

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . .   - аритметична прогресия с разлика влезте вр .

Например

2, 12, 72, . . . - геометрична прогресия с знаменател 6   и

lG 2, lG 12, lG 72, . . .   - аритметична прогресия с разлика lG 6 . ◄

Преди да започнем да решаваме   проблеми с аритметичната прогресия, помислете какво е числова последователност, тъй като аритметичната прогресия е специален случай на числова последователност.

Числова последователност е числов набор, всеки елемент от който има свой сериен номер, Елементите от този набор се наричат \u200b\u200bчленове на последователността. Поредният номер на елемента от последователността се обозначава с индекса:

Първият елемент от последователността;

Петият елемент от последователността;

  - "n-ти" елемент от последователността, т.е. опашка елемент n.

Съществува връзка между стойността на секвенционен елемент и неговия сериен номер. Следователно можем да разгледаме последователността като функция, аргументът на която е номерът на елемента на последователността. С други думи, можем да кажем това последователността е функция на естествен аргумент:

Последователността може да бъде зададена по три начина:

1 . Последователността може да бъде зададена с помощта на таблицата.  В този случай ние просто задаваме стойността на всеки член на последователността.

Например, някой реши да се заеме с личното управление на времето и да започне с една седмица, за да изчисли колко време прекарва във VKontakte. Записвайки времето в таблицата, той ще получи последователност, състояща се от седем елемента:

Първият ред на таблицата показва деня от седмицата, а вторият - времето в минути. Виждаме, че, тоест в понеделник, някой прекара 125 минути във VKontakte, тоест в четвъртък - 248 минути, и, в петък, само 15.

2 . Последователността може да бъде определена с помощта на формулата на n-ия термин.

В този случай зависимостта на стойността на елемент от последователност от неговия брой се изразява директно под формата на формула.

Например, ако, тогава

За да намерим стойността на елемент от последователност с дадено число, заместваме номера на елемента във формулата на n-тия член.

Правим същото, ако трябва да намерим стойността на функцията, ако стойността на аргумента е известна. Заменяме стойността на аргумента в уравнението на функцията:

Ако напр. след това

Още веднъж отбелязвам, че в една последователност, за разлика от произволна числова функция, аргументът може да бъде само естествено число.

3 , Последователността може да бъде зададена с помощта на формула, изразяваща зависимостта на стойността на член на последователност с число n от стойността на предишните членове. В този случай не е достатъчно да знаем само номера на члена на секвенцията, за да намерим неговата стойност. Трябва да посочим първия член или първите няколко члена от поредицата.

Например, помислете за последователност ,

Можем да намерим стойностите на членовете на последователността един по единкато се започне от третата:

Тоест всеки път, за да намерим стойността на n-тия член на последователността, се връщаме към предишните два. Този начин на определяне на последователност се нарича повтарящ се, от латинската дума recurro  - върни се.

Сега можем да определим аритметичната прогресия. Аритметичната прогресия е прост специален случай на числова последователност.

Аритметична прогресия   наречена числова последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния, добавен със същото число.

Обажда се номерът аритметична разлика в прогресията, Разликата в аритметичната прогресия може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула.

Ако заглавие \u003d "(! LANG: d\u003e 0)">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} увеличаване на.

Например 2; 5; 8; 11; ...

Ако тогава всеки член на аритметичната прогресия е по-малък от предишния и прогресията е намаляваща.

Например 2; 1; -4; -7; ...

Ако тогава всички членове на прогресията са равни на едно и също число, а прогресията е неподвижен.

Например 2; 2; 2; 2; ...

Основното свойство на аритметичната прогресия:

Нека да разгледаме снимката.

Виждаме това

, и в същото време

Като добавим тези две равенства, получаваме:

.

Разделете двете страни на равенството по 2:

И така, всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средната аритметика на две съседни:

Освен това, тъй като

, и в същото време

след това

и следователно

Всеки член на аритметична прогресия, започващ с title \u003d "(! LANG: k\u003e l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Формула на срока.

Виждаме, че за членовете на аритметичната прогресия отношенията са удовлетворени:

и накрая

Имаме   формула на n-тия термин.

ВАЖНО!   Всеки член на аритметична прогресия може да се изрази чрез и. Знаейки първия термин и разликата на аритметичната прогресия, можете да намерите всеки негов член.

Сумата от n членове на аритметична прогресия.

При произволна аритметична прогресия сумите на членовете, еднакво отдалечени от крайността, са равни една на друга:

Помислете за аритметична прогресия, в която n членове. Нека сумата от n членове на тази прогресия е равна на.

Подреждаме членовете на прогресията първо във възходящ ред на числата, а след това в низходящ ред:

Добавяне по двойки:

Сумата във всяка скоба е равна, броят на двойките е n.

Получаваме:

По този начин, сумата от n членове на аритметичната прогресия може да се намери по формулите:

Помислете решаване на задачи по аритметична прогресия.

1 . Последователността е дадена чрез формулата на n-тия термин: . Докажете, че тази последователност е аритметична прогресия.

Нека докажем, че разликата между два съседни члена на последователността е едно и също число.

Получихме, че разликата на два съседни члена от последователността не зависи от техния брой и е константа. Следователно, по дефиниция, тази последователност е аритметична прогресия.

2 . Аритметичната прогресия е дадена -31; -27; ...

а) Намерете 31 члена на прогресията.

б) Определете дали числото 41 е включено в тази прогресия.

а)  Ние виждаме това;

Пишем формулата на n-ия термин за прогресията си.

В общия случай

В нашия случай следователно

Или аритметиката е вид подредена числова последователност, чиито свойства се изучават в училищен курс по алгебра. Тази статия подробно описва въпроса как да намерите сумата от аритметична прогресия.

Каква е тази прогресия?

Преди да пристъпите към разглеждането на въпроса (как да намерите сумата от аритметичната прогресия), си струва да разберете какво ще бъде обсъдено.

Всяка последователност от реални числа, която се получава чрез добавяне (изваждане) на определена стойност от всяко предишно число, се нарича алгебраична (аритметична) прогресия. Това определение в превод на езика на математиката има формата:

Тук i е серийният номер на елемента от серията a i. По този начин, знаейки само едно първоначално число, можете лесно да възстановите цялата серия. Параметърът d във формулата се нарича разликата на прогресията.

Лесно може да се покаже, че за разглежданите серии от числа има следното равенство:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Тоест, за да намерите стойността на n-тия елемент по ред, трябва да добавите разликата d към първия елемент a 1 n-1 пъти.

Каква е сумата на аритметичната прогресия: формула

Преди да дадете формула за посочената сума, струва си да помислите за прост специален случай. Предвид прогресията на естествените числа от 1 до 10, трябва да намерите тяхната сума. Тъй като в прогресията има малко термини (10), възможно е проблемът да бъде решен, т.е. да се обобщят всички елементи по ред.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Струва си да се обмисли едно интересно: тъй като всеки термин се различава от следващия по една и съща стойност d \u003d 1, тогава двойното сумиране на първото с десетата, второто с деветото и така нататък ще даде същия резултат. наистина:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Както виждате, има само 5 от тези суми, тоест точно два пъти по-малко от броя на елементите в серията. След като умножите броя на сумите (5) на резултата от всяка сума (11), ще стигнете до резултата, получен в първия пример.

Ако обобщим тези аргументи, можем да напишем следния израз:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Този израз показва, че не е необходимо да се сумират всички елементи подред, достатъчно е да се знае стойността на първия a 1 и last a n, както и общия брой термини n.

Смята се, че за първи път преди това равенство Гаус излезе с идеята, когато търси решение на задачата, зададен от учителя му в училище: да сумира 100 първи числа.

Сума от елементи от m до n: формула

Формулата, дадена в предходния параграф, дава отговор на въпроса как да се намери сумата от аритметичната прогресия (първи елементи), но често при проблеми е необходимо да се добавят редица числа в средата на прогресията. Как да го направя?

Отговорът на този въпрос е най-лесен, като разгледаме следния пример: нека е необходимо да се намери сборът на членовете от mth до nth. За да се реши проблемът, трябва да се представи даденият сегмент от m до n прогресии под формата на нов числов ред. В това представяне mth термин a m ще бъде първи, а n ще е под числото n- (m-1). В този случай, използвайки стандартната формула за сумата, получаваме следния израз:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Пример за използване на формули

Знаейки как да намерите сумата от аритметична прогресия, си струва да разгледате прост пример за използване на горните формули.

Числовата последователност е дадена по-долу, трябва да намерите сумата на членовете й, започвайки от петия и завършвайки с 12-ти:

Тези числа показват, че разликата d е 3. Използвайки израза за n-тия елемент, можем да намерим стойностите на 5-ти и 12-ти член на прогресията. Оказва се:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Знаейки стойностите на числата в края на разглежданата алгебраична прогресия и също така знаейки кои числа заемат подред, можем да използваме формулата за сумата, получена в предходния параграф. Ще се окаже:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Трябва да се отбележи, че тази стойност може да бъде получена по различен начин: първо намерете сумата от първите 12 елемента, използвайки стандартната формула, след това изчислете сумата на първите 4 елемента, използвайки същата формула, след това извадете втория от първата сума.

И. В. Яковлев | Математически материали | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален вид последователност. Следователно, преди да определим аритметичната (а след това и геометричната) прогресия, трябва накратко да обсъдим важната концепция на числова последователност.

последователност

Представете си устройство на екрана, на което някои числа се показват едно след друго. Да кажем 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; ::: Този набор от числа е само пример за последователност.

Определение. Числова последователност е набор от числа, в които на всяко число може да бъде присвоено уникално число (тоест, поставено в кореспонденция с едно положително цяло число) 1. Числото n се нарича n-ти член на последователността.

И така, в горния пример, първото число има числото 2, това е първият член на последователността, който може да бъде означен с a1; число пет има числото 6, е петият член на последователността, който може да бъде означен с a5. Като цяло, n-тият член на последователност се обозначава с (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тия термин на последователността може да бъде определен по някаква формула. Например, формулата an \u003d 2n 3 определя последователността: 1; 1; 3; 5; 7; ::: Формулата an \u003d (1) n определя последователността: 1; 1; 1; 1; :::

Не всеки набор от числа е последователност. Значи, сегмент не е последователност; тя съдържа „твърде много“ числа, за да могат да бъдат преномерирани. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математическия анализ.

Аритметична прогресия: основни дефиниции

Сега сме готови да определим аритметичната прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, всеки член на която (започвайки от втория) е равна на сумата от предишния член и някакво фиксирано число (наречено разликата на аритметичната прогресия).

Например, последователност 2; 5; 8; 11; ::: е аритметична прогресия с първия термин 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; 8; ::: е аритметична прогресия с първия мандат 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; ::: е аритметична прогресия с разлика, равна на нула.

Еквивалентно определение: последователността a се нарича аритметична прогресия, ако разликата a + 1 an е постоянна стойност (независимо от n).

Аритметичната прогресия се нарича увеличаваща се, ако разликата ѝ е положителна, и намаляваща, ако разликата ѝ е отрицателна.

1 И тук е по-краткото определение: последователността е функция, дефинирана върху набор от естествени числа. Например, поредица от реални числа е функция f: N! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, тоест съдържащи безкраен брой числа. Но никой не си прави труда да разгледа крайните последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност е 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.

Формула на петия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че аритметичната прогресия се определя напълно от две числа: първият член и разликата. Затова възниква въпросът: как, знаейки първия термин и разликата, да намерим произволен термин на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи желаната формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека

Задача 1. При аритметична прогресия 2; 5; 8; 11; ::: намерете формулата за n-ия термин и изчислете стотия.

Решение. Съгласно формулата (1) имаме:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

Свойство и признак на аритметична прогресия

Свойство на аритметичната прогресия. В аритметична прогресия а за всеки

С други думи, всеки член на аритметичната прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичната стойност на съседните членове.

според изискванията.

По-общ начин за аритметичната прогресия е равенство

a n \u003d a n k + a n + k

за всяко n\u003e 2 и всяко положително цяло число k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) е не само необходимо, но и достатъчно условие последователността да бъде аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е валидно за всички n\u003e 2, то последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Ние пренаписваме формула (2), както следва:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

Това показва, че разликата an + 1 an не зависи от n и това просто означава, че последователността a е аритметична прогресия.

Свойството и признакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани като единично изявление; за удобство ще направим това за три числа (точно тази ситуация често се среща при задачите).

Характеристика на аритметичната прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия, ако и само ако 2b \u003d a + c.

Задача 2. (Московски държавен университет, икономически факултет, 2007 г.) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете х и посочете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметичната прогресия имаме:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

Ако x \u003d 1, тогава получаваме намаляваща прогресия 8, 2, 4 с разлика 6. Ако x \u003d 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не е добър.

Отговор: x \u003d 1, разликата е 6.

Сумата от първите n членове на аритметичната прогресия

Легендата разказва, че веднъж учителят казал на децата да намерят сбора от числата от 1 до 100 и седнал тихо да чете вестника. Все пак за по-малко от няколко минути едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, впоследствие един от най-големите математици в историята.

Идеята на малкия Гаус беше тази. нека

S \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

Пишем тази сума в обратен ред:

S \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки термин в скоби е равен на 101, а всички такива термини са 100. Следователно,

2S \u003d 101 100 \u003d 10100;

Използваме тази идея за извличане на формулата на сумата

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава чрез заместване на формулата на n-тия термин an \u003d a1 + (n 1) d:

Задача 3. Намерете сумата от всички положителни трицифрени числа, делящи се на 13.

Решение. Трицифрени числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия с първия термин 104 и разлика от 13; N-тият срок на тази прогресия има формата:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

Нека да разберем колко членове съдържа нашата прогресия. За целта решаваме неравенството:

6,999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

И така, в нашата прогресия от 69 членове. По формулата (4) намираме желаното количество:

S \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2