Всяка отделно взета стойност се определя изцяло от нейната функция на разпределение. Също така, за решаване на практически задачи е достатъчно да се знаят няколко цифрови характеристики, благодарение на които става възможно да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези стойности включват преди всичко очаквана стойност и дисперсия .

Очаквана стойност - средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Посочено е като.

По най-простия начин математическото очакване на случайна променлива X (w)намери като неразделнаЛебег по отношение на вероятностната мярка R оригинален вероятностно пространство

Можете също така да намерите математическото очакване на стойност като интеграл на Лебег от х чрез разпределение на вероятностите P X величини х:

където е множеството от всички възможни стойности х.

Математическото очакване на функции на случайна величина х е чрез разпространение P X. например, ако х - случайна променлива със стойности в и f (x) - недвусмислено борелфункция х , тогава:

Ако F (x) - функция за разпределение х, тогава математическото очакване е представимо неразделнаLebesgue - Stieltjes (или Riemann - Stieltjes):

освен това интегрируемостта х от гледна точка на ( * ) съответства на крайността на интеграла

В конкретни случаи, ако х има дискретно разпределение с вероятни стойности x k, k \u003d 1, 2,. , и вероятности, тогава

ако х има абсолютно непрекъснато разпределение с вероятностна плътност p (x)тогава

в този случай съществуването на математическо очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответната серия или интеграл.

Свойствата на математическото очакване на случайна величина.

• Математическото очакване на постоянна стойност е равно на тази стойност:

° С- постоянен;

• M \u003d C.M [X]

• Математическото очакване на сумата от случайно взети стойности е равно на сумата от техните математически очаквания:

• Математическото очакване на произведението на независими произволно взети величини \u003d произведението на техните математически очаквания:

M \u003d M [X] + M [Y]

ако х и Y. независим.

ако поредицата се сближава:

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване.

Свойства на дискретни случайни променливи: всички техни стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; приравнете всяка стойност с ненулева вероятност.

1. Умножете двойките на свой ред: x i На p i.

2. Добавете продукта на всяка двойка x i p i.

Например, за н = 4 :

Функция на разпределение на дискретна случайна величина постепенно се увеличава рязко в онези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете очакваната стойност по формулата.

Дисперсия непрекъсната случайна променлива X, възможните стойности на която принадлежат към цялата ос на Ox, се определя от равенството:

Цел на услугата... Онлайн калкулаторът е предназначен за решаване на проблеми, при които или плътност на разпределение f (x) или функцията за разпределение F (x) (виж примера). Обикновено в такива задачи трябва да намерите математическо очакване, стандартно отклонение, изграждане на графики на функции f (x) и F (x).

Инструкция. Изберете типа на изходните данни: разпределение на плътността f (x) или функция на разпределение F (x).

Дадена е плътността на разпределение f (x):

Дадена е функцията за разпределение F (x):

Непрекъсната случайна променлива се дава от плътността на вероятностите
(Закон за разпределение на Релей - използван в радиотехниката). Намерете M (x), D (x).

Извиква се случайната променлива X непрекъснато ако функцията му на разпределение F (X) \u003d P (X< x) непрерывна и имеет производную.
Функцията за разпределение на непрекъсната случайна променлива се използва за изчисляване на вероятностите за удряне на произволна променлива в даден интервал:
P (α< X < β)=F(β) - F(α)
и за непрекъсната случайна променлива няма значение дали нейните граници са включени в този интервал или не:
P (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плътност на разпределение непрекъсната случайна променлива се нарича функция
f (x) \u003d F ’(x), производно на функцията за разпределение.

Свойства на плътността на разпределение