U članku ćemo pokazati kako riješiti razlomke koristeći jednostavne jasne primjere. Shvatimo što je razlomak i razmotrimo rješenje frakcija!

Koncept razlomci uvodi se u kolegij matematike od 6. razreda srednje škole.

Razlomci imaju oblik: ± X / Y, gdje je Y nazivnik, govori se na koliko je dijelova cjelina podijeljena, a X je brojnik, govori se o tome koliko je takvih dijelova uzeto. Da bismo bili jasniji, uzmimo primjer s kolačem:

U prvom se slučaju kolač rezao jednako i uzimala se jedna polovica, t.j. 1/2. U drugom slučaju, kolač je izrezan na 7 dijelova, od čega su uzeta 4 komada, tj. 4/7.

Ako dio koji dijeli jedan broj drugim nije cijeli broj, zapisuje se kao razlomak.

Na primjer, izraz 4: 2 \u003d 2 daje cijeli broj, ali 4: 7 nije potpuno djeljiv, pa je ovaj izraz zapisan kao razlomak 4/7.

Drugim riječima frakcija je izraz koji označava podjelu dva broja ili izraza i koji se zapisuje pomoću razlomljene crtice.

Ako je brojnik manji od nazivnika, razlomak je točan, ako je, naprotiv, netočan. Razlomak može sadržavati cijeli broj.

Na primjer, 5 je 3/4.

Ovaj unos znači da za dobivanje cijelih 6 nedostaje jedan dio od četiri.

Ako se želite sjetiti kako riješiti razlomke za 6. razredto moraš razumjeti rješenje frakcijau osnovi se svodi na razumijevanje nekoliko jednostavnih stvari.

• Razlomak je u osnovi izraz razlomka. Tj numerički izraz koliko je zadana vrijednost iz jedne cjeline. Na primjer, razlomak 3/5 izražava da ako smo nešto cjeline podijelili na 5 dijelova, a broj dijelova ili dijelova ove cjeline je tri.
• Razlomak može biti manji od 1, na primjer 1/2 (ili zapravo polovica), tada je točan. Ako je razlomak veći od 1, na primjer 3/2 (tri polovice ili jedna i pol), tada nije točan, a da pojednostavimo rješenje, bolje je odabrati cijeli dio 3/2 \u003d 1 cijeli 1/2 .
• Razlomci su isti brojevi kao 1, 3, 10, pa i 100, samo brojevi nisu cijeli, već razlomljeni. S njima možete izvoditi sve iste operacije kao i s brojevima. Nije teže brojati razlomke, pa nadalje konkretni primjeri mi ćemo to pokazati.

Kako riješiti razlomke. Primjeri.

Razne aritmetičke operacije primjenjive su na razlomke.

Dovođenje razlomka u zajednički nazivnik

Na primjer, želite usporediti razlomke 3/4 i 4/5.

Da bismo riješili problem, prvo pronalazimo najmanji zajednički nazivnik, t.j. najmanji broj, koji je ravnomjerno djeljiv sa svakim od nazivnika razlomaka

Najniži zajednički nazivnik (4,5) \u003d 20

Tada se nazivnik oba razlomka svede na najmanji zajednički nazivnik

Odgovor: 15/20

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

Ako je potrebno izračunati zbroj dviju frakcija, prvo se dovedu do zajedničkog nazivnika, zatim se zbrojnici dodaju, dok nazivnik ostaje nepromijenjen. Razlika između razlomaka izračunava se na isti način, jedina razlika je u tome što se brojnici oduzimaju.

Na primjer, trebate pronaći zbroj razlomaka 1/2 i 1/3

Sada pronađite razliku između razlomaka 1/2 i 1/4

Množenje i dijeljenje razlomaka

Ovdje je rješenje za razlomke jednostavno, ovdje je sve vrlo jednostavno:

• Množenje - brojitelji i nazivnici razlomaka množe se među sobom;
• Podjela - prvo dobivamo inverzu drugog razlomka, t.j. zamijenimo mu brojnik i nazivnik, nakon čega množimo dobivene razlomke.

Na primjer:

Na ovo o kako riješiti razlomke, svi. Ako još uvijek imate pitanja o rješavanje razlomaka, ako nešto nije jasno, onda napišite u komentarima i mi ćemo vam sigurno odgovoriti.

Ako ste učitelj, moguće je preuzeti prezentaciju za osnovna škola (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) dobro će vam doći.

Frakcija - oblik predstavljanja broja u matematici. Razlomljena traka označava operaciju podjele. Brojilac razlomak naziva se dividenda, i nazivnik - djelitelj. Na primjer, u razlomku je brojnik 5, a nazivnik 7.

Ispravno je razlomak u kojem je modul brojnika veći od modula nazivnika. Ako je razlomak točan, tada je modul njegove vrijednosti uvijek manji od 1. Svi ostali razlomci jesu pogrešno.

Razlomak se zove mješovitiako je zapisan kao cijeli broj i razlomak. To je isto kao zbroj ovog broja i razlomka:

Osnovno svojstvo razlomka

Ako se brojnik i nazivnik razlomka pomnože s istim brojem, tada se vrijednost razlomka neće promijeniti, to jest, na primjer,

Zajednički nazivnik razlomaka

Da biste dva razlomka doveli do zajedničkog nazivnika, trebate:

1. Pomnoži brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog
2. Brojilac drugog razlomka pomnoži se s nazivnikom prvog
3. Zamijenite nazivnike obje frakcije njihovim proizvodom

Djelovanja razlomaka

Dodatak. Da biste dodali dva razlomka, trebate

1. Dodajte nove brojitelje oba razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjenim

Primjer:

Oduzimanje. Da biste oduzeli jedan razlomak od drugog, trebate

1. Razlomke dovedi do zajedničkog nazivnika
2. Oduzmi brojnik drugog od brojnika prvog razlomka i ostavi nazivnik nepromijenjen

Primjer:

Množenje. Da biste jedan razlomak pomnožili s drugim, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike:

Podjela. Da bi se jedan razlomak podijelio drugim, brojnik prvog razlomka treba pomnožiti s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti s brojiteljem drugog:

Razlomci su uobičajeni i decimalni. Kad student sazna za njegovo postojanje, u svakoj prilici započinje prevesti sve što je moguće u decimalni oblik, čak i ako to nije potrebno.

Čudno je to što se sklonosti srednjoškolaca i učenika mijenjaju jer je lakše izvoditi mnoge računske radnje s običnim razlomcima. A vrijednosti s kojima se diplomci bave ponekad je jednostavno nemoguće pretvoriti u decimalni oblik bez gubitka. Kao rezultat toga, obje su vrste razlomaka na ovaj ili onaj način prilagođene slučaju i imaju svoje prednosti i nedostatke. Pogledajmo kako raditi s njima.

Definicija

Razlomci su isti razlomci. Ako je u naranči deset kriški, a vi ste dobili jednu, u ruci imate 1/10 voća. Uz takav zapis, kao u prethodnoj rečenici, razlomak će se nazvati običnim. Ako napišete isto kao 0,1 - decimalno. Obje su mogućnosti jednake, ali imaju svoje prednosti. Prva je opcija prikladnija za množenje i dijeljenje, druga za zbrajanje, oduzimanje i u brojnim drugim slučajevima.

Kako pretvoriti razlomak u drugi oblik

Pretpostavimo da imate razlomak i želite od njega napraviti decimalni znak. Što trebam učiniti?

Usput, morate unaprijed odlučiti da se svaki broj ne može bez problema zapisati u decimalnom obliku. Ponekad morate zaokružiti rezultat, izgubivši određeni broj decimalnih mjesta, a u mnogim je područjima - na primjer, u točnim znanostima - to potpuno nedopustiv luksuz. Istodobno, akcije s decimalnim i običnim razlomcima u razredu 5 omogućuju takav prijenos s jedne vrste na drugu bez ometanja, barem kao trening.

Ako se iz nazivnika može dobiti višekratnik 10 množenjem ili dijeljenjem s cijelim brojem, prijevod će se izvršiti bez ikakvih poteškoća: ¾ pretvara se u 0,75, 13/20 - u 0,65.

Obrnuti postupak je još jednostavniji, jer obični uvijek možete dobiti iz decimalnog razlomka bez gubitka u točnosti. Na primjer, 0,2 postaje 1/5, a 0,08 postaje 4/25.

Interne pretvorbe

Prije izvođenja zajedničkih radnji s običnim razlomcima, morate pripremiti brojeve za moguće matematičke operacije.

Prije svega, morate razbiti sve razlomke u primjeru na jedan opći pogled... Moraju biti obični ili decimalni. Odmah napravimo rezervaciju da je prikladnije izvesti množenje i dijeljenje s prvima.

U pripremi brojeva za daljnje radnje pomoći će vam pravilu koje je dobro poznato i koristi se i u prvim godinama proučavanja predmeta, i u višoj matematici koja se izučava na sveučilištima.

Svojstva frakcije

Recimo da imate neku vrijednost. Recimo 2/3. Što se mijenja ako brojnik i nazivnik pomnožite s 3? Ispada 6/9. A ako milijun? 2.000.000 / 3.000.000. Ali pričekajte, broj se uopće kvalitativno ne mijenja - 2/3 ostaje jednako 2 000 000/3 000 000. Mijenja se samo oblik, a ne sadržaj. Isto će se dogoditi kod dijeljenja oba dijela s istom vrijednošću. To je glavno svojstvo razlomka, koje će vam više puta pomoći u izvođenju radnji s decimalnim i običnim razlomcima na testovima i ispitima.

Množenje brojnika i nazivnika s istim brojem naziva se proširenje razlomka, a dijeljenje sažimanjem. Moram reći da je precrtavanje istih brojeva u gornjem i donjem dijelu pri množenju i dijeljenju razlomaka iznenađujuće ugodan postupak (naravno, u okviru lekcije iz matematike). Stječe se dojam da je odgovor već blizu i primjer je praktički riješen.

Neispravni razlomci

Nepravilan razlomak je onaj u kojem je brojnik veći ili jednak nazivniku. Drugim riječima, ako je moguće odabrati cijeli dio, to potpada pod ovu definiciju.

Ako se takav broj (veći ili jednak jednom) prikaže kao obični razlomak, nazvat će se netočnim. A ako je brojnik manji od nazivnika, to je točno. Obje su vrste podjednako prikladne za izvođenje mogućih radnji s običnim razlomcima. Mogu se lako množiti i dijeliti, zbrajati i oduzimati.

Ako je istodobno odabrano cijeli dio a postoji ostatak u obliku razlomka, dobiveni broj nazvat ćemo miješanim. U budućnosti ćete se suočiti različiti putevi kombinacije takvih struktura s varijablama, kao i rješavanje jednadžbi tamo gdje je to znanje potrebno.

Aritmetičke operacije

Ako je s osnovnim svojstvom razlomka sve jasno, kako se onda ponašati pri množenju razlomaka? Operacije s običnim razlomcima razreda 5 podrazumijevaju sve vrste aritmetičkih operacija koje se izvode na dva različita načina.

Množenje i dijeljenje vrlo su jednostavni. U prvom se slučaju brojnici i nazivnici dvaju razlomaka jednostavno množe. U drugom - ista stvar, samo poprečno. Dakle, brojnik prvog razlomka množi se nazivnikom drugog i obrnuto.

Da biste izvršili zbrajanje i oduzimanje, trebate izvršiti dodatnu radnju - sve komponente izraza dovesti u zajednički nazivnik. To znači da se donji dijelovi razlomka moraju mijenjati u istu vrijednost - višekratnik oba dostupna nazivnika. Na primjer, za 2 i 5 bit će 10. Za 3 i 6 - 6. Ali što onda raditi vrh? Ne možemo ga ostaviti onakvim kakav je bio da smo promijenili donji. Prema osnovnom svojstvu razlomka pomnožit ćemo brojnik s istim brojem kao i nazivnik. Ova se operacija mora izvesti sa svakim brojem koji ćemo zbrajati ili oduzimati. Međutim, takve se radnje s običnim razlomcima u razredu 6 već izvode "automatski", a poteškoće nastaju tek početno stanje proučavanje teme.

Usporedba

Ako dva razlomka imaju isti nazivnik, tada će veći biti onaj s većim brojnikom. Ako su gornji dijelovi isti, veći će biti onaj sa manji nazivnik... Treba imati na umu da su takve uspješne situacije za usporedbu rijetke. Najvjerojatnije se i gornji i donji dijelovi izraza neće podudarati. Zatim se morate sjetiti mogućih radnji s običnim razlomcima i koristiti se tehnikom zbrajanja i oduzimanja. Također, upamtite da ako govorimo o tome negativni brojevi, tada će velika frakcija biti manja.

Prednosti uobičajenih frakcija

Događa se da učitelji djeci kažu jednu frazu čiji se sadržaj može izraziti na sljedeći način: što se više informacija da prilikom formuliranja zadatka, to će rješenje biti lakše. Zvuči čudno? Ali stvarno: s velikim brojem poznatih veličina možete koristiti gotovo sve formule, ali ako je navedeno samo nekoliko brojeva, možda će biti potrebna dodatna razmišljanja, morat ćete zapamtiti i dokazati teoreme, navesti argumente u korist svog slučaja ...

Zašto to radimo? Osim toga, obični razlomci, usprkos svojoj glomaznosti, mogu uvelike pojednostaviti studentski život, omogućujući im da pri množenju i dijeljenju smanje cijele nizove vrijednosti, a pri izračunavanju zbroja i razlike izvade uobičajene argumente i, opet, smanje ih.

Kad je potrebno provesti zajedničke akcije s običnim i decimalni razlomci, transformacije se provode u korist prve: kako pretvoriti 3/17 u decimalnu? Samo s gubitkom informacija, ne drugačije. Ali 0,1 se može predstaviti kao 1/10, a zatim - kao 17/170. Tada se dva dobivena broja mogu zbrajati ili oduzimati: 30/170 + 17/170 \u003d 47/170.

Zašto su decimalni razlomci korisni

Ako je prikladnije izvoditi radnje s običnim razlomcima, tada je zapisivanje svega uz njihovu pomoć krajnje nezgodno, decimalni ovdje imaju značajnu prednost. Usporedite: 1748/10000 i 0,1748. To je ista vrijednost predstavljena u dvoje različite mogućnosti... Naravno, drugi način je lakši!

Uz to, decimalne razlomke lakše je predstaviti, jer svi podaci imaju zajedničku bazu koja se razlikuje samo po redoslijedima veličine. Na primjer, lako smo svjesni popusta od 30% i čak ga procjenjujemo kao značajan. Razumijete li odmah što je više - 30% ili 137/379? Dakle, decimalni razlomci daju standardizirani izračun.

U srednjoj školi učenici odlučuju kvadratne jednadžbe... Izvođenje radnji s običnim razlomcima ovdje je već izuzetno problematično jer formula za izračunavanje vrijednosti varijable sadrži korijen od iznosa. U prisutnosti razlomka koji se ne može svesti na decimalu, rješenje postaje toliko komplicirano da postaje gotovo nemoguće izračunati točan odgovor bez kalkulatora.

Dakle, svaki način predstavljanja razlomaka ima svoje prednosti u svom kontekstu.

Obrasci za snimanje

Postoje dva načina za bilježenje radnji s običnim razlomcima: kroz vodoravnu crtu, u dva "sloja" i kroz kosu crtu (aka "kosa crta") - u crtu. Kad učenik piše u bilježnicu, prva je opcija obično prikladnija i stoga češća. Raspodjela određenog broja brojeva u stanicama pridonosi razvoju pažljivosti u proračunima i provođenju transformacija. Kada zapisujete u niz, možete nenamjerno zbuniti postupak, izgubiti sve podatke - odnosno pogriješiti.

Danas vrlo često postoji potreba za ispisom brojeva na računalu. Razlomke možete odvojiti tradicionalnom vodoravnom trakom pomoću značajke u programu Microsoft Word 2010 i novijim verzijama. Činjenica je da u ovim inačicama softvera postoji opcija koja se naziva "formula". Prikazuje pravokutno transformabilno polje unutar kojeg možete kombinirati bilo koji matematički simbol, čineći dvokrilne i četverokatne razlomke. U nazivniku i brojniku možete koristiti zagrade i operacijske znakove. Kao rezultat toga, moći ćete zapisivati \u200b\u200bsve zajedničke radnje običnim i decimalnim razlomcima u tradicionalnom obliku, odnosno onako kako ih uče u školi.

Ako koristite standardni uređivač teksta Notepad, tada će svi razlomljeni izrazi biti napisani kosom crtom. Nažalost, ovdje nema drugog načina.

Zaključak

Dakle, razmotrili smo sve osnovne radnje s običnim razlomcima, kojih, ispada, nema toliko.

Ako se u početku čini da je ovo težak dio matematike, onda je ovo samo privremeni dojam - sjetite se, kad ste na ovaj način razmišljali o tablici množenja, pa čak i ranije - o uobičajenom pisanju i brojanju od jedan do deset.

Važno je razumjeti da se razlomci koriste u svakidašnjica svugdje, posvuda. Bavit ćete se novcem i inženjerskim proračunima, informacijska tehnologija i glazbena pismenost, i svugdje - svugdje! - razlomljeni brojevi shvatit će. Stoga, nemojte biti lijeni i temeljito proučite ovu temu - pogotovo jer to nije tako teško.