Prelazimo na proučavanje sljedeće radnje s decimalnim razlomcima, sada ćemo sveobuhvatno razmotriti decimalno množenje... Hajdemo prvo razgovarati generalni principi množenje decimalnih razlomaka. Nakon toga ćemo prijeći na množenje decimalnog razlomka s decimalnim razlomkom, pokazati kako se izvodi množenje decimalnih razlomaka stupcem, razmotriti rješenja primjera. Zatim ćemo analizirati množenje decimalnih razlomaka prirodnim brojevima, posebice 10, 100 itd. U zaključku, razgovarajmo o množenju decimalnih razlomaka razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo u ovom članku govoriti samo o množenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). O ostalim slučajevima govori se u člancima o množenju racionalnih brojeva i množenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opći principi množenja decimalnih razlomaka

Razgovarajmo o općim načelima kojih se treba pridržavati pri izvođenju množenja s decimalni razlomci.

Budući da su konačni decimalni razlomci i beskonačni periodični razlomci decimalni oblik pisanja zajedničkih razlomaka, množenje takvih decimalnih razlomaka u biti je množenje uobičajenih razlomaka. Drugim riječima, kraj decimalnog množenja, množenje konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, i množenje periodičnih decimalnih razlomaka svodi se na množenje običnih razlomaka nakon pretvaranja decimalnih razlomaka u obične.

Razmotrimo primjere korištenja zvučnog principa množenja decimalnih razlomaka.

Primjer.

Pomnožite decimalne razlomke 1,5 i 0,75.

Riješenje.

Zamijenite decimalne razlomke koje želite pomnožiti s odgovarajućim uobičajenim razlomcima. Budući da je 1,5 = 15/10 i 0,75 = 75/100, onda. Možete smanjiti razlomak, nakon čega možete odabrati cijeli dio od pogrešnog razlomka, a još povoljnije dobiveni razlomak obični razlomak 1 125/1000 zapiši kao decimalni razlomak 1.125.

Odgovor:

1,5 0,75 = 1,125.

Valja napomenuti da je prikladno množiti konačne decimalne razlomke u stupcu, govorit ćemo o ovoj metodi množenja decimalnih razlomaka u.

Pogledajmo primjer množenja periodičnih decimalnih razlomaka.

Primjer.

Izračunajte umnožak periodičnih decimalnih razlomaka 0, (3) i 2, (36).

Riješenje.

Prevedemo periodične decimalne razlomke u obične razlomke:

Zatim . Dobiveni obični razlomak možete pretvoriti u decimalni razlomak:

Odgovor:

0, (3) 2, (36) = 0, (78).

Ako među umnoženim decimalnim razlomcima ima beskonačnih neperiodičnih razlomaka, tada sve pomnožene razlomke, uključujući konačne i periodične, treba zaokružiti na određenu znamenku (vidi zaokruživanje brojeva), a zatim pomnožite konačne decimalne razlomke dobivene nakon zaokruživanja.

Primjer.

Izvršite decimalno množenje 5,382 ... i 0,2.

Riješenje.

Prvo, zaokružite beskonačan neperiodični decimalni razlomak, zaokruživanje se može izvršiti na stotinke, imamo 5,382 ... ≈5,38. Nema potrebe zaokružiti konačnu decimalu od 0,2 na stotinke. Dakle, 5,382 ... · 0,2≈5,38 · 0,2. Ostaje izračunati proizvod konačnih decimalnih razlomaka: 5,38 · 0,2 = 538/100 · 2/10 = 1,076/1000 = 1,076.

Odgovor:

5,382 ... · 0,2≈1,076.

Decimalno množenje stupca

Množenje konačnih decimalnih razlomaka može se izvesti u stupcu, slično množenju u stupcu prirodnih brojeva.

Formulirajmo pravilo decimalnog množenja stupaca... Da biste pomnožili decimalne razlomke sa stupcem, trebate:

• zanemarujući zareze, izvršite množenje prema svim pravilima množenja sa stupcem prirodnih brojeva;
• u rezultirajućem broju odvojite onoliko znamenki na desnoj strani decimalnim zarezom koliko ima decimalnih mjesta u oba faktora zajedno, dok ako nema dovoljno znamenki u umnošku, onda s lijeve strane trebate dodati pravi iznos nule.

Razmotrimo primjere množenja decimalnih razlomaka sa stupcem.

Primjer.

Pomnožite decimalne razlomke 63,37 i 0,12.

Riješenje.

Izvedimo množenje decimalnih razlomaka stupcem. Prvo množimo brojeve, zanemarujući zareze:

Ostaje staviti zarez u rezultirajući proizvod. Ona treba odvojiti 4 znamenke udesno, budući da zbroj faktora iznosi četiri decimale (dva u razlomku 3,37 i dva u razlomku 0,12). Brojeva je dovoljno pa nema potrebe dodavati nule lijevo. Završimo snimanje:

Kao rezultat, imamo 3,37 0,12 = 7,6044.

Odgovor:

3,37 * 0,12 = 7,6044.

Primjer.

Izračunajte umnožak decimalnih razlomaka 3,2601 i 0,0254.

Riješenje.

Nakon množenja sa stupcem bez uzimanja u obzir zareza, dobivamo sljedeću sliku:

Sada u proizvodu morate odvojiti 8 znamenki s desne strane zarezom, budući da je ukupan broj decimalnih mjesta pomnoženih razlomaka osam. Ali u proizvodu postoji samo 7 znamenki, stoga morate dodijeliti toliko nula s lijeve strane kako biste 8 znamenki mogli odvojiti zarezom. U našem slučaju, trebate dodijeliti dvije nule:

Time se dovršava množenje decimalnih razlomaka stupcem.

Odgovor:

3,2601 0,0254 = 0,08280654.

Decimalno množenje sa 0,1, 0,01 itd.

Vrlo često morate pomnožiti decimalne razlomke s 0,1, 0,01 i tako dalje. Stoga je preporučljivo formulirati pravilo za množenje decimalnog razlomka s tim brojevima, što proizlazi iz načela množenja decimalnih razlomaka o kojima smo gore raspravljali.

Tako, množenje zadanog decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, 0,001 itd. daje razlomak, koji se dobiva iz originala, ako se u njegovom unosu zarez pomakne ulijevo za 1, 2, 3 i tako redom znamenke, dok ako nema dovoljno znamenki za nošenje zareza, onda trebate za dodavanje traženog broja nula ulijevo.

Na primjer, da biste decimalni razlomak 54,34 pomnožili s 0,1, potrebno je zarez staviti ulijevo za 1 znamenku u razlomku 54,34, a to će rezultirati razlomom 5,434, odnosno 54,34 · 0,1 = 5,434. Navedimo još jedan primjer. Pomnožite decimalni broj 9,3 sa 0,0001. Da bismo to učinili, trebamo pomaknuti zarez za 4 znamenke ulijevo u decimalnom razlomku 9.3 koji se množi, ali razlomak 9.3 ne sadrži toliko znamenki. Stoga trebamo dodijeliti toliko nula u razlomku 9,3 s lijeve strane kako bismo lako mogli izvršiti prijenos zareza za 4 znamenke, imamo 9,3 · 0,0001 = 0,00093.

Imajte na umu da glasno pravilo za množenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, ... vrijedi i za beskonačne decimalne razlomke. Na primjer, 0, (18) · 0,01 = 0,00 (18) ili 93,938 ... · 0,1 = 9,3938….

Decimalno množenje prirodnim brojem

U svojoj srži decimalno množenje prirodnim brojevima se ne razlikuje od množenja decimalnog mjesta sa decimalnim mjestom.

Najprikladnije je konačni decimalni razlomak pomnožiti prirodnim brojem u stupcu, dok se trebate pridržavati pravila za množenje sa stupcem decimalnih razlomaka o kojima je bilo riječi u jednom od prethodnih paragrafa.

Primjer.

Izračunaj umnožak 15 · 2.27.

Riješenje.

Pomnožimo prirodni broj s decimalnim razlomkom u stupcu:

Odgovor:

15 2,27 = 34,05.

Kad množite periodični decimalni razlomak prirodnim brojem, zamijenite periodični razlomak običnim razlomom.

Primjer.

Pomnožite decimalni 0, (42) prirodnim brojem 22.

Riješenje.

Prvo, pretvorimo periodični decimalni razlomak u običan razlomak:

Sada napravimo množenje:. Ovaj rezultat u decimalnom obliku je 9, (3).

Odgovor:

0, (42) 22 = 9, (3).

A kada množite beskonačan neperiodični decimalni razlomak prirodnim brojem, prvo morate zaokružiti.

Primjer.

Izvrši množenje 4 · 2,145….

Riješenje.

Zaokružujući izvorni beskonačni decimalni razlomak na stotinke, dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka. Imamo 4 · 2,145 ... ≈4 · 2,15 = 8,60.

Odgovor:

4 · 2,145 ... ≈ 8,60.

Decimalno množenje sa 10, 100, ...

Vrlo često morate pomnožiti decimalne razlomke s 10, 100, ... Stoga je preporučljivo detaljnije se zadržati na ovim slučajevima.

Zvučit ćemo pravilo za množenje decimalnog razlomka s 10, 100, 1.000 itd. Kada množite decimalni razlomak s 10, 100, ... u njegovom zapisu, morate pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... brojeve, odnosno odbaciti dodatne nule s lijeve strane; ako u zapisu pomnoženog razlomka nema dovoljno znamenki za nošenje zareza, tada trebate dodati traženi broj nula s desne strane.

Primjer.

Pomnožite decimalni 0.0783 sa 100.

Riješenje.

Pomicanje razlomka 0.0783 za dvije znamenke udesno u zapisu i dobit ćemo 007.83. Ispuštajući dvije nule s lijeve strane, dobivamo decimalni razlomak 7,38. Dakle, 0,0783 100 = 7,83.

Odgovor:

0,0783 100 = 7,83.

Primjer.

Pomnožite decimalni broj 0,02 s 10 000.

Riješenje.

Da pomnožimo 0,02 s 10 000, trebamo pomaknuti zarez 4 znamenke udesno. Očito, razlomak 0,02 nema dovoljno znamenki za prijenos zareza na 4 znamenke, pa ćemo dodati nekoliko nula desno kako bismo mogli nositi prijenos zareza. U našem primjeru dovoljno je dodati tri nule, imamo 0,02000. Nakon prijenosa zareza dobivamo unos 00200.0. Ako odbacimo nule s lijeve strane, imamo broj 200,0, koji je jednak prirodnom broju 200, što je rezultat množenja decimalnog razlomka 0,02 s 10 000.

U ovom ćemo članku pogledati takvu radnju kao što je množenje decimalnih razlomaka. Počnimo s formulacijom općih načela, zatim ćemo pokazati kako pomnožiti jedan decimalni razlomak s drugim i razmotriti metodu množenja stupaca. Sve definicije bit će ilustrirane primjerima. Zatim ćemo analizirati kako pravilno množiti decimalne razlomke običnim, kao i mješovitim i prirodnim brojevima (uključujući 100, 10 itd.)

U okviru ovog materijala dotaknut ćemo se samo pravila za množenje pozitivnih razlomaka. Slučajevi s negativnim obrađeni su posebno u člancima o množenju racionalnih i realnih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulirajmo opća načela kojih se moramo pridržavati pri rješavanju zadataka o množenju decimalnih razlomaka.

Sjetimo se za početak da decimalni razlomci nisu ništa drugo nego poseban oblik pisanja običnih razlomaka, stoga se proces njihovog množenja može svesti na isto za obične razlomke. Ovo pravilo radi i za konačne i za beskonačne razlomke: nakon što ih prenesemo u obične razlomke, lako je s njima izvesti množenje prema pravilima koja smo već proučavali.

Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.

Primjer 1

Izračunajte umnožak 1, 5 i 0,75.

Rješenje: Prvo zamijenimo decimalne razlomke običnim. Znamo da je 0,75 75/100, a 1,5 15 10. Možemo poništiti razlomak i odabrati cijeli dio. Dobiveni rezultat 125 1000 zapisat ćemo kao 1, 125.

Odgovor: 1 , 125 .

Metodu brojanja stupaca možemo koristiti kao za prirodne brojeve.

Primjer 2

Pomnožite jedan periodični razlomak 0, (3) s drugim 2, (36).

Za početak dovodimo izvorne razlomke u obične. Dobit ćemo:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Dakle, 0, (3) 2, (36) = 1 3 26 11 = 26 33.

Rezultirajući obični razlomak može se svesti u decimalni oblik dijeljenjem brojnika s nazivnikom u stupcu:

Odgovor: 0, (3) 2, (36) = 0, (78).

Ako imamo beskonačne neperiodične razlomke u iskazu problema, onda ih moramo prethodno zaokružiti (pogledajte članak o zaokruživanju brojeva ako ste zaboravili kako to učiniti). Nakon toga možete izvršiti radnju množenja s već zaokruženim decimalnim razlomcima. Navedimo primjer.

Primjer 3

Izračunaj umnožak 5, 382 ... i 0, 2.

Riješenje

U našem zadatku imamo beskonačan razlomak, koji se prvo mora zaokružiti na najbliže stotinke. Ispada da je 5, 382 ... ≈ 5, 38. Drugi faktor nema smisla zaokružiti na stotinke. Sada možete izračunati željeni proizvod i zapisati odgovor: 5, 38 · 0, 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1, 076.

Odgovor: 5, 382 ... · 0,2 ≈ 1,076.

Metoda brojanja stupaca može se koristiti ne samo za prirodne brojeve. Ako imamo decimale, možemo ih pomnožiti na potpuno isti način. Izvedimo pravilo:

Definicija 1

Množenje decimalnih razlomaka sa stupcem izvodi se u 2 koraka:

1. Provodimo množenje stupcem, ne obraćajući pažnju na zareze.

2. U konačni broj stavljamo decimalni zarez, odvajajući ga onoliko znamenki s desne strane koliko oba faktora zajedno sadrže decimalna mjesta. Ako zbog toga nema dovoljno brojeva za to, dodajte nule lijevo.

Pogledajmo primjere takvih izračuna u praksi.

Primjer 4

Pomnožite decimale 63, 37 i 0, 12 stupcem.

Riješenje

Prvi korak je množenje brojeva, zanemarujući decimalne točke.

Sada trebamo staviti zarez na pravo mjesto. Odvojit će četiri znamenke s desne strane, budući da je zbroj decimalnih mjesta u oba faktora 4. Ne morate dodavati nule, jer dovoljno znakova:

Odgovor: 3, 370, 12 = 7, 6044.

Primjer 5

Izračunajte koliko se 3,2601 pomnoži s 0,0254.

Riješenje

Brojimo bez obzira na zareze. Dobijamo sljedeći broj:

Stavit ćemo zarez koji odvaja 8 znamenki s desne strane, jer izvorni razlomci zajedno imaju 8 decimalnih mjesta. Ali naš rezultat je samo sedam znamenki, a ne možemo bez dodatnih nula:

Odgovor: 3,601 0,0254 = 0,08280654.

Kako pomnožiti decimalu sa 0,001, 0,01, 01 itd

Decimalne oznake često se množe takvim brojevima, pa je važno to moći učiniti brzo i točno. Zapišimo posebno pravilo koje ćemo koristiti u ovom množenju:

Definicija 2

Pomnožimo li decimalni razlomak s 0, 1, 0, 01 itd., na kraju ćemo dobiti broj sličan izvornom razlomku, sa zarezom pomaknutim ulijevo za traženi broj znamenki. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, morate dodati nule lijevo.

Dakle, da biste pomnožili 45, 34 s 0, 1, trebate pomaknuti zarez u izvornom decimalnom razlomku za jednu znamenku. Na kraju imamo 4.534.

Primjer 6

Pomnožite 9,4 sa 0,0001.

Riješenje

Zarez ćemo morati pomaknuti za četiri decimale prema broju nula u drugom faktoru, ali brojevi u prvom neće biti dovoljni za to. Dodijelimo potrebne nule i dobijemo da je 9,4 · 0, 0001 = 0, 00094.

Odgovor: 0 , 00094 .

Za beskonačne decimalne razlomke koristimo isto pravilo. Tako, na primjer, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) ili 94, 938 ... · 0, 1 = 9, 4938…. i tako dalje.

Proces takvog množenja ne razlikuje se od radnje množenja dva decimalna razlomka. Zgodno je koristiti metodu množenja stupaca ako u iskazu problema postoji konačni decimalni razlomak. U ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir sva ona pravila o kojima smo govorili u prethodnom stavku.

Primjer 7

Izračunaj koliko će biti 15 2, 27.

Riješenje

Pomnožite izvorne brojeve stupcem i odvojite dva decimalna mjesta.

Odgovor: 15 2, 27 = 34, 05.

Ako izvodimo množenje periodičnog decimalnog razlomka prirodnim brojem, prvo moramo promijeniti decimalni razlomak u običan.

Primjer 8

Izračunaj umnožak 0, (42) i 22.

Dovedemo periodični razlomak u oblik običnog.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Konačni rezultat može se zapisati u obliku periodičnog decimalnog razlomka kao 9, (3).

Odgovor: 0, (42) 22 = 9, (3).

Beskonačni razlomci moraju se zaokružiti prije brojanja.

Primjer 9

Izračunaj koliko će biti 4 · 2, 145….

Riješenje

Zaokružimo izvorni beskonačni decimalni razlomak na stotine. Nakon toga dolazimo do množenja prirodnog broja i konačnog decimalnog razlomka:

4 · 2, 145 ... ≈ 4 · 2, 15 = 8, 60.

Odgovor: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

Kako pomnožiti decimalu sa 1000, 100, 10 itd.

Decimalno množenje s 10, 100 itd. često se susreće u problemima, pa ćemo ovaj slučaj analizirati zasebno. Osnovno pravilo množenja je sljedeće:

Definicija 3

Da biste decimalni razlomak pomnožili s 1000, 100, 10 itd., trebate pomaknuti njegov zarez za 3, 2, 1 znamenku ovisno o množitelju i odbaciti dodatne nule s lijeve strane. Ako nema dovoljno znamenki za nošenje zareza, dodajte onoliko nula na desno koliko nam je potrebno.

Pokažimo na primjeru kako se to točno radi.

Primjer 10

Pomnožite 100 i 0,0783.

Riješenje

Da bismo to učinili, moramo pomaknuti decimalni zarez za 2 znamenke u desnu stranu. Na kraju ćemo dobiti 007, 83 Nule na lijevoj strani se mogu odbaciti i rezultat se zapisuje kao 7, 38.

Odgovor: 0,0783 100 = 7,83.

Primjer 11

Pomnožite 0,02 s 10 tisuća.

Rješenje: zarez ćemo pomaknuti četiri znamenke udesno. U izvornom decimalnom razlomku nemamo dovoljno znamenki za to, pa ćemo morati dodati nule. U ovom slučaju, tri nule će biti dovoljne. Kao rezultat toga, ispalo je 0, 02000, pomaknite zarez i dobijete 00200, 0. Zanemarujući nule na lijevoj strani, odgovor možemo napisati kao 200.

Odgovor: 0,02 10.000 = 200.

Pravilo koje smo dali radit će isto i u slučaju beskonačnih decimalnih razlomaka, ali ovdje treba biti vrlo oprezan s razdobljem konačnog razlomka, jer je u njemu lako pogriješiti.

Primjer 12

Izračunaj umnožak 5, 32 (672) puta 1000.

Rješenje: prije svega ćemo periodični razlomak napisati kao 5, 32672672672 ..., pa će vjerojatnost pogreške biti manja. Nakon toga možemo prenijeti zarez na potreban broj znakova (tri). Rezultat će biti 5326, 726726 ... Stavite točku u zagrade i napišite odgovor kao 5 326, (726).

Odgovor: 5, 32 (672) 1000 = 5 326, (726).

Ako u uvjetima zadatka postoje beskonačni neperiodični razlomci koje je potrebno pomnožiti s deset, sto, tisuću itd., ne zaboravite ih zaokružiti prije množenja.

Da biste izvršili ovu vrstu množenja, trebate decimalni razlomak predstaviti u obliku običnog razlomka, a zatim postupiti prema već poznatim pravilima.

Primjer 13

Pomnožite 0,4 sa 3 5 6

Riješenje

Prvo, pretvorimo decimalni razlomak u obični. Imamo: 0, 4 = 4 10 = 2 5.

Dobili smo odgovor s mješovitim brojem. Možete ga zapisati kao periodični razlomak 1, 5 (3).

Odgovor: 1 , 5 (3) .

Ako je u izračun uključen beskonačan neperiodični razlomak, trebate ga zaokružiti na određeni broj i tek onda pomnožiti.

Primjer 14

Izračunaj umnožak 3, 5678. ... ... · 2 3

Riješenje

Drugi faktor možemo predstaviti kao 2 3 = 0, 6666…. Zatim, zaokružimo oba faktora na tisućito mjesto. Nakon toga trebat ćemo izračunati umnožak dva konačna decimalna razlomka 3, 568 i 0, 667. Prebrojimo u stupac i dobijemo odgovor:

Konačni rezultat mora se zaokružiti na tisućinke, budući da smo do te znamenke zaokružili izvorne brojeve. Dobivamo da je 2.379856 ≈ 2.380.

Odgovor: 3, 5678. ... ... 2 3 ≈ 2, 380

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Decimala se koristi kada trebate izvršiti radnje s necijelim brojevima. Ovo se može činiti iracionalnim. Ali ovakvi brojevi uvelike olakšavaju matematičke operacije koje se moraju izvoditi s njima. To razumijevanje dolazi s vremenom, kada se njihovo pisanje upozna, a čitanje nije teško, a pravila decimalnih razlomaka savladaju. Štoviše, ponavljaju se sve već poznate radnje koje su asimilirane s prirodnim brojevima. Samo trebate zapamtiti neke značajke.

Decimalna definicija

Decimala je poseban prikaz necijelog broja s nazivnikom koji je djeljiv s 10, a odgovor je jedan i moguće nula. Drugim riječima, ako je nazivnik 10, 100, 1000 i tako dalje, tada je prikladnije prepisati broj pomoću zareza. Tada će se cijeli dio nalaziti prije njega, a zatim razlomljeni dio. Štoviše, snimanje druge polovice broja ovisit će o nazivniku. Broj znamenki koji se nalaze u razlomku mora biti jednak mjestu nazivnika.

Gore navedeno može se ilustrirati ovim brojevima:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Razlozi zašto trebate koristiti decimalne razlomke

Matematičarima su decimale bile potrebne iz nekoliko razloga:

Pojednostavljivanje snimanja. Takav se razlomak nalazi duž jednog retka bez crtice između nazivnika i brojnika, dok jasnoća ne trpi.

Jednostavnost u usporedbi. Dovoljno je jednostavno korelirati brojeve koji se nalaze na istim pozicijama, dok bi ih kod običnih razlomaka bilo potrebno dovesti do zajedničkog nazivnika.

Pojednostavljivanje izračuna.

Kalkulatori nisu dizajnirani za uvođenje običnih razlomaka, oni koriste decimalni zapis za sve operacije.

Kako ispravno čitati takve brojeve?

Odgovor je jednostavan: baš kao i običan mješoviti broj s nazivnikom koji je višekratnik 10. Jedina iznimka su razlomci bez cjelobrojne vrijednosti, tada pri čitanju trebate izgovoriti "nula cijelih brojeva".

Na primjer, 45/1000 treba izgovoriti kao četrdeset pet tisućinki, u isto vrijeme 0,045 bi zvučalo kao nula točka četrdeset pet tisućinki.

Pomiješan broj sa cijeli dio jednako 7 i razlomak 17/100, koji će biti zapisan kao 7,17, u oba slučaja čitat će se kao sedam točka sedamnaest stotinki.

Uloga znamenki u pisanju razlomaka

Matematičar zahtijeva ispravno označavanje ranga. Decimalni razlomci i njihovo značenje mogu se značajno promijeniti ako broj upišete na krivo mjesto. Međutim, prije je to bila istina.

Da biste pročitali znamenke cjelobrojnog dijela decimalnog razlomka, trebate samo koristiti pravila poznata za prirodne brojeve. A na desnoj strani se zrcali i čitaju drugačije. Ako su "desetice" zvučale u cijelom dijelu, onda će nakon zareza biti "desetke".

To se jasno može vidjeti u ovoj tablici.

Koji je ispravan način da se mješoviti broj zapiše kao decimalni razlomak?

Ako nazivnik sadrži broj jednak 10 ili 100 i druge, onda pitanje kako pretvoriti razlomak u decimalni broj nije teško. Da biste to učinili, dovoljno je prepisati sve njegove sastavne dijelove na drugačiji način. Sljedeće točke pomoći će u tome:

napišite brojnik razlomka malo u stranu, u ovom trenutku decimalna točka se nalazi s desne strane, nakon posljednje znamenke;

pomaknite zarez ulijevo, ovdje je najvažnije ispravno brojati brojeve - trebate ga pomaknuti za onoliko pozicija koliko ima nula u nazivniku;

ako ih nema dovoljno, onda bi na praznim pozicijama trebale biti nule;

nule koje su bile na kraju brojnika više nisu potrebne i mogu se precrtati;

ispred zareza dodijelite cijeli broj, ako ga nije bilo, onda će i ovdje biti nula.

Pažnja. Ne možete prekrižiti nule koje su okružene drugim brojevima.

O tome kako biti u situaciji kada nazivnik ne sadrži samo jedinice i nule, kako pretvoriti razlomak u decimalni, možete pročitati u nastavku. to važna informacija, s kojim se svakako trebate upoznati.

Kako se razlomak može pretvoriti u decimalni broj ako je nazivnik proizvoljan broj?

Ovdje su moguće dvije opcije:

Kada se nazivnik može predstaviti kao broj koji je jednak deset na bilo koji stepen.

Ako se takva operacija ne može izvesti.

Kako to mogu provjeriti? Trebate faktorirati nazivnik. Ako proizvod sadrži samo 2 i 5, onda je sve u redu, a razlomak se lako pretvara u konačnu decimalu. Inače, ako se pojave 3, 7 i drugi prosti brojevi, rezultat će biti beskonačan. Takav decimalni razlomak za jednostavnu upotrebu u matematičke operacije uobičajeno je zaokružiti. O tome će biti riječi malo u nastavku.

Proučavajući kako se dobivaju takvi decimalni razlomci, ocjena 5. Primjeri će vam ovdje dobro doći.

Neka nazivnici sadrže brojeve: 40, 24 i 75. Rastavljanje na primarni faktori za njih će biti ovako:

• 40 = 2 · 2 · 2 · 5;
• 24 = 2 2 2 3;
• 75 = 5 5 3.

U ovim se primjerima može finalizirati samo prvi razlomak.

Algoritam za pretvaranje običnog razlomka u konačni decimalni broj

Provjerite osnovnu faktorizaciju nazivnika i uvjerite se da će se sastojati od 2 i 5.

Ovim brojevima dodajte još 2 i 5 tako da postanu jednaki. Oni će dati vrijednost dodatnog množitelja.

Pomnožite nazivnik i brojnik ovim brojem. Kao rezultat, dobivate običan razlomak, ispod crte koja ima 10 u određenoj mjeri.

Ako se u zadatku ove radnje izvode s mješovitim brojem, tada se on prvo mora predstaviti kao nepravilan razlomak. I tek onda nastavite prema opisanom scenariju.

Zaokruženi decimalni prikaz razlomka

Ovakav način pretvaranja razlomka u decimalu nekome će se učiniti još lakšim. Jer nema puno akcije. Samo trebate podijeliti vrijednost brojnika s nazivnikom.

Bilo kojem broju s decimalnim dijelom desno od decimalne točke može se dodijeliti beskonačan broj nula. Ovo svojstvo treba koristiti.

Prvo zapišite cijeli dio, a zatim zarez. Ako je razlomak točan, napišite nulu.

Zatim treba izvršiti dijeljenje brojnika nazivnikom. Tako da imaju isti broj znamenki. To jest, dodijelite potreban broj nula desno od brojnika.

Izvodite dugo dijeljenje dok se ne unese potreban broj znamenki. Na primjer, ako trebate zaokružiti na stotine, tada bi odgovor trebao biti 3. Općenito, trebala bi biti jedna znamenka više nego što vam je potrebno na kraju.

Zapišite međuodgovor iza zareza i zaokružite prema pravilima. Ako je zadnja znamenka od 0 do 4, samo je trebate odbaciti. A kada je 5-9, onda onaj ispred njega treba povećati za jedan, odbacivši zadnji.

Natrag s decimalnog na razlomak

U matematici postoje problemi kada je prikladnije decimalne razlomke prikazati u obliku običnih, u kojima postoji brojnik s nazivnikom. Možete odahnuti: ova operacija je uvijek moguća.

Za ovaj postupak morate učiniti sljedeće:

zapišite cijeli dio, ako je jednak nuli, onda ne morate ništa pisati;

nacrtati frakcijsku crtu;

zapišite brojeve s desne strane iznad njega, ako su nule prve, onda ih je potrebno precrtati;

ispod crte upiši jedinicu s onoliko nula koliko je broj znamenki iza decimalne točke u početnom razlomku.

To je sve što trebate učiniti da decimalu pretvorite u razlomak.

Što možete učiniti s decimalnim razlomcima?

U matematici će to biti određene radnje s decimalnim razlomcima koje su se prethodno izvodile za druge brojeve.

Oni su:

usporedba;

zbrajanje i oduzimanje;

množenje i dijeljenje.

Prva radnja, usporedba, slična je onome kako je učinjena za prirodne brojeve. Da biste odredili koji je veći, trebate usporediti znamenke cijelog broja. Ako se pokaže da su jednaki, idite na razlomke i usporedite ih na isti način. Broj na kojem se nalazi najveća znamenka najznačajnije znamenke bit će odgovor.

Zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka

Ovo je možda najviše jednostavne radnje... Budući da se izvode prema pravilima za prirodne brojeve.



Dakle, da biste izvršili zbrajanje decimalnih razlomaka, potrebno ih je napisati jedan ispod drugog, stavljajući zareze u stupac. Kod ove oznake cijeli se dijelovi pojavljuju lijevo od zareza, a razlomci desno. A sada trebate zbrajati brojeve malo po malo, kao što se radi s prirodnim brojevima, ispuštajući zarez. Morate započeti zbrajanje s najmanjom znamenkom razlomka broja. Ako u desnoj polovici nema dovoljno znamenki, dodaju se nule.

Isto vrijedi i za oduzimanje. I ovdje postoji pravilo koje opisuje mogućnost posudbe od najznačajnijeg bita. Ako ima manje znamenki iza decimalne točke u smanjenom razlomku nego u oduzetom, tada se u njemu jednostavno pripisuju nule.

Situacija je malo kompliciranija sa zadacima gdje je potrebno izvesti množenje i dijeljenje decimalnih razlomaka.

Kako pomnožiti decimale u različitim primjerima?

Pravilo po kojem se decimalni razlomci množe prirodnim brojem je sljedeće:

zapišite ih u stupac, zanemarujući zarez;

umnožavati kao da su prirodni;

zarezom odvojiti onoliko znamenki koliko ih je bilo u razlomku izvornog broja.

Poseban slučaj je primjer u kojem je prirodni broj jednak 10 na bilo koji stepen. Zatim, da biste dobili odgovor, samo trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko pozicija koliko ima nula u drugom faktoru. Drugim riječima, kada se množi s 10, zarez se pomiče za jednu znamenku, za 100 - već će ih biti dvije i tako dalje. Ako u frakcijskom dijelu nema dovoljno znamenki, tada morate napisati nule na prazna mjesta.

Pravilo koje se koristi kada zadatak treba pomnožiti decimalne razlomke s drugim istim brojem:

napišite ih jedno ispod drugog, zanemarujući zareze;

umnožavati kao da su prirodni;

zarezom odvojiti onoliko znamenki koliko ih je bilo u razlomcima oba izvorna razlomka zajedno.

Primjeri su istaknuti kao poseban slučaj u kojem je jedan od faktora 0,1 ili 0,01 i tako dalje. U njima morate pomaknuti zarez ulijevo za broj znamenki u prikazanim množiteljima. To jest, ako se pomnoži s 0,1, tada se zarez pomiče za jednu poziciju.

Kako podijeliti decimalu u različitim zadacima?

Dijeljenje decimalnih razlomaka prirodnim brojem izvodi se prema sljedećem pravilu:

zapišite ih za dugu podjelu, kao da su prirodne;

podijeliti prema uobičajenom pravilu dok cijeli dio ne završi;

stavite zarez kao odgovor;

nastaviti dijeliti razlomljenu komponentu sve dok ostatak ne bude nula;

ako je potrebno, možete dodijeliti potreban broj nula.

Ako je cijeli broj jednak nuli, onda ga neće biti ni u odgovoru.

Zasebno, postoji podjela na brojeve jednake deset, sto i tako dalje. U takvim problemima trebate pomaknuti zarez ulijevo za broj nula u djelitelju. Događa se da u cijelom dijelu nema dovoljno znamenki, tada se umjesto njih koriste nule. Možda ćete primijetiti da je ova operacija slična množenju s 0,1 i sličnim brojevima.

Da biste izvršili decimalnu podjelu, morate koristiti ovo pravilo:

pretvorite djelitelj u prirodan broj, a za to pomaknite zarez u njemu udesno na kraj;

premjestiti zarez i u djeljivu istim brojem znamenki;

nastaviti prema prethodnom scenariju.

Podjela s 0,1 je istaknuta; 0,01 i drugi slični brojevi. U ovim primjerima, zarez je pomaknut udesno za broj decimalnih znamenki. Ako su gotovi, tada morate dodijeliti broj nula koji nedostaje. Vrijedi napomenuti da ova radnja ponavlja dijeljenje s 10 i slične brojeve.



Zaključak: sve je u praksi

Ništa u učenju ne dolazi lako ili bez napora. Za pouzdano savladavanje novog gradiva potrebno je vrijeme i praksa. Matematika nije iznimka.

Kako tema o decimalnim razlozima ne bi uzrokovala poteškoće, morate riješiti što više primjera s njima. Uostalom, bilo je vrijeme kada je zbrajanje prirodnih brojeva bilo zbunjujuće. I sada je sve u redu.

Stoga, da parafraziramo poznatu frazu: odluči, odluči i opet odluči. Tada će se zadaci s takvim brojevima izvoditi lako i prirodno, poput još jedne zagonetke.

Usput, zagonetke je isprva teško riješiti, a zatim morate napraviti uobičajene pokrete. Isto je i u matematičkim primjerima: nakon što ste prošli istu stazu nekoliko puta, tada više nećete razmišljati kamo skrenuti.

Da bismo razumjeli kako množiti decimalne razlomke, pogledajmo konkretne primjere.

Pravilo decimalnog množenja

1) Množimo se, zanemarujući zarez.

2) Kao rezultat, odvajamo onoliko znamenki iza zareza koliko ih ima iza zareza u oba faktora zajedno.

Primjeri.

Pronađite umnožak decimalnih razlomaka:

Za množenje decimalnih razlomaka, množimo, zanemarujući zareze. Odnosno, ne množimo 6,8 i 3,4, već 68 i 34. Kao rezultat, odvojimo onoliko znamenki nakon decimalne točke koliko ih ima nakon zareza u oba faktora zajedno. Prvi množitelj nakon decimalne točke ima jednu znamenku, drugi - također jednu. Ukupno odvajamo dvije znamenke iza decimalne točke i tako smo dobili konačni odgovor: 6,8 ∙ 3,4 = 23,12.

Množimo decimale bez uzimanja u obzir zareza. To jest, zapravo, umjesto množenja 36,85 s 1,14, množimo 3685 s 14. Dobivamo 51590. Sada, u ovom rezultatu, trebamo odvojiti onoliko znamenki zarezom koliko ih ima u oba faktora zajedno. Prvi broj nakon decimalne točke ima dvije znamenke, drugi - jednu. Ukupno odvajamo tri znamenke zarezom. Budući da se na kraju unosa nakon decimalne točke nalazi nula, ne zapisujemo je kao odgovor: 36,85 ∙ 1,4 = 51,59.

Da bismo pomnožili ove decimalne razlomke, množimo brojeve, zanemarujući zareze. Odnosno, množimo prirodne brojeve 2315 i 7. Dobivamo 16205. U ovom broju trebate odvojiti četiri znamenke nakon decimalne točke - koliko ih ima u oba faktora zajedno (po dva u svakom). Konačni odgovor: 23,15 ∙ 0,07 = 1,6205.

Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem izvodi se na isti način. Brojeve množimo, ne obraćajući pažnju na zarez, odnosno množimo 75 sa 16. U rezultatu, nakon zareza, treba biti onoliko znamenki koliko ih ima u oba faktora zajedno - jedan. Dakle, 75 ∙ 1,6 = 120,0 = 120.

Množenjem decimalnih razlomaka počinjemo množenjem prirodnih brojeva, budući da ne obraćamo pažnju na zareze. Nakon toga odvajamo onoliko znamenki iza decimalne točke koliko ih ima u oba faktora zajedno. U prvom broju nakon decimalne točke nalaze se dvije znamenke, u drugom - također dvije. Ukupno, kao rezultat, trebale bi biti četiri znamenke nakon decimalne točke: 4,72 ∙ 5,04 = 23,7888.

U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi nego što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka susreće prilično često, a ne može svatko izvršiti izračune bilo kojeg izraza, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se razlomljeni brojevi pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri određivanja duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se učenici upoznaju s pojmom udjela. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj dio od osam naziva se razlomak.

Razlomak jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovica; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Zapisi oblika 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se obični razlomci. Obični razlomak se dijeli na brojnik i nazivnik. Između njih je frakcijska crta, ili frakcijska crta. Kosa crta se može nacrtati kao vodoravna ili kosa crta. U ovom slučaju označava znak diobe.

Nazivnik predstavlja na koliko jednakih udjela je podijeljena vrijednost; a brojnik je koliko je uzeto jednakih udjela. Brojnik je napisan iznad razlomka, nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatnoj zraci. Ako je segment jedinice podijeljen na 4 jednaka dijela, označite svaki dio latinično slovo onda je rezultat izvrsno vizualno pomagalo. Dakle, točka A prikazuje razlomak jednak 1/4 cijelog jediničnog segmenta, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Sorte frakcija

Razlomci mogu biti obični, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na točne i netočne. Ova je klasifikacija prikladnija za obične razlomke.

Ispravan razlomak shvaća se kao broj s brojnikom manji od nazivnika... Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cijelog broja i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli dio, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (podjela ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili transformacija), mješoviti broj se prevodi u nepravilan razlomak.

Točan frakcijski izraz je uvijek manji od jedan, a netočan je uvijek veći ili jednak 1.

Što se toga tiče, ovaj izraz znači zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli dio u decimalnom zapisu biti jednak nuli.

Da biste napisali decimalni razlomak, prvo morate napisati cijeli dio, odvojiti ga zarezom od razlomka, a zatim zapisati frakcijski izraz. Mora se zapamtiti da brojnik nakon zareza mora sadržavati isti broj digitalnih znakova koliko u nazivniku postoje nule.

Primjer... Predstavite razlomak 7 21/1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Pogrešno je napisati netočan razlomak u odgovoru zadatka, pa ga se mora pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• v konkretan primjer nepotpun količnik - cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, a nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer... Pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47/5.

Riješenje... 47: 5. Nepotpuni kvocijent je 9, ostatak = 2. Dakle, 47/5 = 9 2/5.

Ponekad želite mješoviti broj predstaviti kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli se dio množi nazivnikom razlomka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer... Navedite mješoviti broj kao nepravilan razlomak: 9 8/10.

Riješenje... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Nad običnim razlomcima mogu se izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, pomnožite brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od proizvoda frakcijski brojevi s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaska rezultata morate poništiti razlomak. Imperativ je maksimalno pojednostaviti rezultirajući izraz. Naravno, ne može se reći da je netočan razlomak u odgovoru greška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer... Pronađite umnožak dvaju običnih razlomaka: ½ i 20/18.

Kao što možete vidjeti iz primjera, nakon pronalaska djela dobili smo skraćeni razlomački zapis. I brojnik i nazivnik u ovom slučaju podijeljeni su s 4, a odgovor je 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom je principu sasvim drugačiji od umnoška običnih. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• morate pomnožiti napisane brojeve, unatoč zarezima, to jest kao prirodno;
• broji broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih simbola s desne strane koliko je sadržano u zbroju u oba faktora nakon decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako u proizvodu ima manje brojeva, morate ispred njih napisati toliko nula da pokrijete ovaj iznos, staviti zarez i cijelom dijelu dodijeliti nulu.

Primjer... Izračunaj umnožak dva decimalna razlomka: 2,25 i 3,6.

Riješenje.

Množenje mješovitih razlomaka

Za izračunavanje umnožaka dva miješane frakcije, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• Pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite dobiveni rezultat;
• Pojednostavite izraz što je više moguće.

Primjer... Pronađi umnožak 4½ i 6 2/5.

Množenje broja s razlomkom (razlomci s brojem)

Osim pronalaženja umnoška dvaju razlomaka, mješoviti brojevi, postoje zadaci u kojima trebate pomnožiti s razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upiši broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći posao unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu odvojite cijeli dio od razlomka pomoću zareza, računajući s desne strane broj znamenki koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Za množenje običnog razlomka s brojem morate pronaći umnožak brojnika i prirodni faktor. Ako je odgovor poništivi razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer... Izračunaj umnožak 5/8 i 12.

Riješenje. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno skratiti rezultirajući rezultat i pretvoriti netočan razlomačni izraz u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate maksimalno pojednostaviti rezultirajući rezultat.

Primjer... Pronađite umnožak 9 5/6 i 9.

Riješenje... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje s faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Iz prethodnog stavka slijedi sljedeće pravilo. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., Zarez morate pomaknuti udesno za onoliko znamenki koliko u množitelju nakon nule ima nula.

Primjer 1... Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Riješenje... 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2... Pronađite proizvod 3.9 i 1000.

Riješenje... 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001 itd., Trebali biste pomaknuti zarez lijevo u rezultirajućem proizvodu za onoliko znamenki koliko ima nula do jedne. Ako je potrebno, ispred prirodnog broja upisuje se dovoljno nula.

Primjer 1... Pronađite umnožak 56 i 0,01.

Riješenje... 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2... Pronađi umnožak 4 i 0,001.

Riješenje... 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda različitih razlomaka ne bi trebalo uzrokovati nikakve poteškoće, osim možda izračunavanja rezultata; u ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.