Obični frakcijski brojevi prvi put se susreću sa školarcima u 5. razredu i prate ih tijekom života, budući da se u svakodnevnom životu često zahtijeva razmatranje ili korištenje predmeta ne u cijelosti, već u zasebnim dijelovima. Početak proučavanja ove teme su dionice. Dionice su jednaki dijelovi, na koje je podijeljen ovaj ili onaj predmet. Uostalom, nije uvijek moguće izraziti npr. duljinu ili cijenu neke robe cijelim brojem, treba uzeti u obzir dijelove ili djeliće neke mjere. Nastala od glagola "razdvojiti" - podijeliti na dijelove, a ima arapske korijene, u VIII stoljeću sama riječ "frakcija" nastala je na ruskom jeziku.

Frakcijski izrazi dugo su se smatrali najtežim područjem matematike. U 17. stoljeću, kada su se pojavili prvi udžbenici iz matematike, zvali su se "razbijeni brojevi", što je bilo vrlo teško prikazati u razumijevanju ljudi.

Moderan izgled jednostavne frakcijske ostatke, čiji su dijelovi odvojeni vodoravnom crtom, prvi je promovirao Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegova djela datiraju se u 1202. godinu. Ali svrha ovog članka je jednostavno i jasno objasniti čitatelju kako dolazi do množenja. miješane frakcije s različiti nazivnici.

Množenje razlomaka s različitim nazivnicima

U početku je vrijedno odrediti sorte frakcija:

• ispravan;
• pogrešno;
• mješoviti.

Zatim morate zapamtiti kako se množenje razlomaka brojeva s istim nazivnicima... Samo pravilo ovog procesa lako je formulirati neovisno: rezultat množenja prosti razlomci s istim nazivnicima je frakcijski izraz, čiji je brojnik umnožak brojnika, a nazivnik umnožak nazivnika tih razlomaka. Naime, novi nazivnik je kvadrat jednog od postojećih.

Prilikom množenja prosti razlomci s različitim nazivnicima za dva ili više faktora, pravilo se ne mijenja:

a /b * c /d = a * c / b * d.

Jedina razlika je u tome što će rezultirajući broj ispod razlomka biti umnožak različitih brojeva i, naravno, kvadrata jedan numerički izraz nemoguće ga je imenovati.

Vrijedno je razmotriti množenje razlomaka s različitim nazivnicima s primjerima:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Primjeri koriste načine smanjenja frakcijskih izraza. Možete poništiti samo brojeve brojnika s brojevima nazivnika; susjedni faktori iznad ili ispod razlomka ne mogu se poništiti.

Uz jednostavne frakcijske brojeve, postoji pojam mješovitih razlomaka. Mješoviti broj sastoji se od cijelog broja i razlomka, odnosno zbroj je ovih brojeva:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kako funkcionira množenje?

Predlaže se nekoliko primjera za razmatranje.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

U primjeru se koristi množenje broja sa obični razlomak, možete zapisati pravilo za ovu radnju formulom:

a * b /c = a * b /c.

Zapravo, takav je umnožak zbroj istih razlomaka, a broj pojmova to ukazuje prirodni broj. Poseban slučaj:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Postoji još jedna opcija za rješavanje množenja broja s razlomkom ostatka. Vi samo trebate podijeliti nazivnik s ovim brojem:

d * e /f = e /F D.

Korisno je koristiti ovu tehniku ​​kada se nazivnik podijeli prirodnim brojem bez ostatka ili, kako kažu, potpuno.

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke i dobijete proizvod na prethodno opisan način:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ovaj primjer uključuje način predstavljanja miješanog razlomka u netočnom, također se može predstaviti u obliku opće formule:

a bc = a * b + c / c, gdje nazivnik novog razlomka nastaje množenjem cjelobrojnog dijela s nazivnikom i dodavanjem brojniku izvornog razlomka, a nazivnik ostaje isti.

Ovaj proces djeluje u obrnuta strana... Da biste odabrali cjelobrojni dio i razlomki ostatak, trebate podijeliti brojnik pogrešan razlomak na svom nazivniku "kut".

Množenje nepravih razlomaka proizveden na konvencionalan način. Kada zapis ide ispod jednog razlomka, po potrebi je potrebno reducirati razlomke kako bi se brojevi smanjili ovom metodom i lakše je izračunati rezultat.

Na internetu postoji mnogo pomagača za rješavanje čak i složenih matematičkih problema različite varijacije programe. Dovoljna količina takve usluge nude svoju pomoć u brojanju množenja razlomaka s različite brojeve u nazivnicima - takozvani online kalkulatori za izračun razlomaka. Oni su sposobni ne samo množiti, već i izvoditi sve ostale jednostavne aritmetičke operacije s običnim razlomcima i mješovitim brojevima. Nije teško raditi s njim, odgovarajuća polja se popunjavaju na stranici web-mjesta, znak je odabran matematička radnja i pritisne se "izračunaj". Program izračunava automatski.

Tema aritmetičkih operacija s frakcijskim brojevima relevantna je u cijelom obrazovanju učenika srednjih i starijih škola. U srednjoj školi više se ne smatraju najjednostavnijim tipovima, ali cjelobrojni razlomci, ali se znanje o pravilima za transformaciju i izračune, dobiveno ranije, primjenjuje u izvornom obliku. Dobro savladano osnovno znanje daje potpuno povjerenje u dobra odluka najviše teške zadatke.

Zaključno, ima smisla citirati riječi Lava Nikolajeviča Tolstoja, koji je napisao: „Čovjek je djelić. Nije u moći čovjeka da poveća svoj brojnik – svoje dostojanstvo, ali svatko može smanjiti svoj nazivnik – svoje mišljenje o sebi, i tim smanjenjem se može približiti svom savršenstvu.”

Sada kada smo naučili kako zbrajati i množiti pojedinačne razlomke, možemo razmotriti više složene strukture... Na primjer, što ako isti problem sadrži zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka?

Prije svega, morate prevesti sve razlomke u netočne. Zatim uzastopno izvodimo tražene radnje - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. Naime:

1. Prvo se izvodi eksponencijacija - riješite se svih izraza koji sadrže indikatore;
2. Zatim - dijeljenje i množenje;
3. Posljednji korak je zbrajanje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed radnji se mijenja – prvo se mora izbrojati sve unutar zagrada. I zapamtite o netočnim razlomcima: trebate odabrati cijeli dio tek kada su sve ostale radnje već dovršene.

Prevedimo sve razlomke iz prvog izraza u netočne, a zatim izvršimo sljedeće radnje:

Sada pronađimo vrijednost drugog izraza. Ovdje razlomci s cijeli dio ne, ali postoje zagrade, pa prvo radimo zbrajanje, a tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 2. Zatim:

Konačno, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i diploma - bolje ih je računati zasebno. Uzimajući u obzir da je 9 = 3 3, imamo:

Pogledajte posljednji primjer. Da biste razlomak podigli na stepen, morate zasebno podići brojnik na ovaj stepen, a odvojeno - nazivnik.

Možete odlučiti na drugačiji način. Ako se prisjetimo definicije stupnja, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višekatne frakcije

Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i nazivnik obični brojevi... To je sasvim u skladu s definicijom brojčanog razlomka danom u prvoj lekciji.

Ali što ako se složeniji objekt stavi u brojnik ili nazivnik? Na primjer, drugi brojčani razlomak? Takve se konstrukcije pojavljuju prilično često, osobito pri radu s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad s višekatnim frakcijama: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" podova je prilično jednostavno, ako se sjećate da frakcijska traka znači standardnu ​​operaciju dijeljenja. Stoga se bilo koji razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i promatrajući redoslijed radnji, lako možemo svesti bilo koji razlomak na više razina na običan. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:

U svakom slučaju prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući liniju dijeljenja znakom dijeljenja. Također, zapamtite da se bilo koji cijeli broj može predstaviti kao razlomak s nazivnikom 1. To jest, 12 = 12/1; 3 = 3/1. dobivamo:

U posljednjem primjeru razlomci su poništeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada s frakcijama na više razina

Postoji jedna suptilnost u razlomcima na više katova koja se uvijek mora zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi izračuni bili točni. Pogledaj:

1. Brojnik sadrži jedan broj 7, a nazivnik sadrži razlomak 12/5;
2. Brojnik sadrži razlomak 7/12, a nazivnik je jedan broj 5.

Dakle, za jedan rekord dobili smo dva potpuno različita tumačenja... Ako prebrojite, odgovori će također biti drugačiji:

Kako biste uvijek nedvosmisleno čitali unos, upotrijebite jednostavno pravilo: linija razdvajanja glavnog razlomka mora biti duža od ugniježđene crte. Poželjno je - nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, gornji razlomci trebaju biti napisani na sljedeći način:

Da, moglo bi biti ružno i zauzimati previše prostora. Ali izbrojit ćete točno. Konačno, nekoliko primjera gdje razlomci na više katova stvarno nastaju:

Zadatak. Pronađite vrijednosti izraza:

Dakle, radimo s prvim primjerom. Pretvorimo sve razlomke u nepravilne, a zatim izvršimo operacije zbrajanja i dijeljenja:

Učinimo isto s drugim primjerom. Prevedimo sve razlomke u nepravilne i izvršimo tražene operacije. Kako ne bih zamarao čitatelja, izostavit ću neke od očitih proračuna. Imamo:

Zbog činjenice da u brojniku i nazivniku glavnih razlomaka postoje zbrojevi, pravilo za pisanje višekatnih razlomaka se automatski poštuje. Također, u posljednjem primjeru, namjerno smo ostavili 46/1 u obliku razlomaka da izvršimo dijeljenje.

Također imajte na umu da u oba primjera frakcijska traka zapravo zamjenjuje zagrade: prije svega pronašli smo zbroj, a tek onda - količnik.

Neki bi tvrdili da je prijelaz na nepravilne razlomke u drugom primjeru očito bio suvišan. Možda je tako. Ali time se osiguravamo od pogrešaka, jer bi se sljedeći put primjer mogao pokazati puno kompliciranijim. Odaberite za sebe što je važnije: brzina ili pouzdanost.

Prije ili kasnije, sva djeca u školi počinju učiti razlomke: njihovo zbrajanje, dijeljenje, množenje i sve moguće radnje koje se mogu izvesti samo s razlomcima. Kako bi djetetu pružili odgovarajuću pomoć, sami roditelji ne bi trebali zaboraviti kako se cijeli brojevi dijele na razlomke, inače mu nećete moći ništa pomoći, već ćete ga samo zbuniti. Ako trebate zapamtiti ovu radnju, ali ne možete sve informacije u svojoj glavi dovesti u jedno pravilo, onda će vam ovaj članak pomoći: naučit ćete kako podijeliti broj s razlomkom i vidjeti jasne primjere.

Kako podijeliti broj na razlomak

Napišite svoj primjer na nacrtu kako biste mogli voditi bilješke i oznake. Zapamtite da je cijeli broj upisan između ćelija, točno na njihovu sjecištu, i razlomački brojevi - svaki u svojoj ćeliji.

• V ovuda trebate okrenuti razlomak naopako, odnosno upisati nazivnik u brojnik, a brojnik u nazivnik.
• Znak dijeljenja se mora promijeniti u množenje.
• Sada samo morate izvesti množenje prema već naučenim pravilima: brojnik se množi cijelim brojem, a nazivnik se ne dodiruje.

Naravno, kao rezultat takve akcije, dobit ćete vrlo veliki broj u brojniku. Nemoguće je ostaviti razlomak u ovom stanju - učitelj jednostavno neće prihvatiti ovaj odgovor. Smanjite razlomak dijeljenjem brojnika s nazivnikom. Cijeli broj koji će se dobiti kao rezultat zapišite lijevo od razlomka u sredini ćelija, a ostatak će biti novi brojnik. Nazivnik ostaje nepromijenjen.

Ovaj algoritam je prilično jednostavan, čak i za dijete. Nakon što ga dovrši pet do šest puta, dijete će zapamtiti redoslijed radnje i moći će ga primijeniti na bilo koje razlomke.

Kako podijeliti broj s decimalom

Postoje i druge vrste razlomaka - decimalni. Podjela na njih događa se prema potpuno drugačijem algoritmu. Ako naiđete na takav primjer, slijedite upute:

• Najprije pretvorite oba broja u decimale... To je lako učiniti: vaš je djelitelj već predstavljen kao razlomak, a djeljivi prirodni broj odvajate zarezom, dobivajući decimalni razlomak. Odnosno, ako je dividenda bila 5, dobit ćete 5,0. Nakon zareza i djelitelja broj trebate odvojiti za onoliko znamenki koliko košta.
• Nakon toga, oba decimalna razlomka morate učiniti prirodnim brojevima. U početku će vam možda biti malo zbunjujuće, ali ovo je najviše brz način divizije, što će vam nakon nekoliko treninga trajati nekoliko sekundi. Razlomak 5,0 postaje broj 50, a razlomak 6,23 postaje 623.
• Podijeliti. Ako se pokazalo da su brojevi veliki ili će se dijeljenje dogoditi s ostatkom, izvršite to u stupcu. Tako ćete jasno vidjeti sve radnje. ovaj primjer... Ne morate namjerno stavljati zarez, jer će se on sam pojaviti tijekom dugog dijeljenja.

Ova vrsta dijeljenja u početku se čini previše zbunjujućom, budući da djelitelj i djelitelj trebate pretvoriti u razlomak, a zatim opet u prirodne brojeve. Ali nakon kratkog treninga, odmah ćete početi vidjeti one brojeve koje samo trebate podijeliti jedan s drugim.

Imajte na umu da vam sposobnost pravilnog dijeljenja razlomaka i cijelih brojeva može biti od koristi više puta u životu, stoga dijete treba znati ova pravila i jednostavna načela idealno kako u starijim razredima ne bi postali kamen spoticanja zbog koje dijete ne može odlučivati ​​o složenijim zadacima.

Sve radnje se mogu izvesti s razlomcima, uključujući dijeljenje. Ovaj članak prikazuje podjelu obični razlomci... Dat će se definicije, razmotriti primjeri. Pogledajmo pobliže dijeljenje razlomaka prirodnim brojevima i obrnuto. Razmatrat će se dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem.

Podjela običnih razlomaka

Dijeljenje je obrnuto od množenja. Prilikom dijeljenja nepoznati faktor je na poznato djelo i drugi čimbenik, gdje mu je zadano značenje sačuvano s običnim razlomcima.

Ako trebate podijeliti obični razlomak a b sa c d, tada da biste odredili takav broj morate pomnožiti s djeliteljem c d, to će završiti s dividendom a b. Uzmite broj i zapišite ga a b d c, gdje je d c inverz od c d broja. Jednadžbe se mogu napisati pomoću svojstava množenja, i to: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b, pri čemu je izraz a b d c kvocijent dijeljenja a b sa c d.

Iz ovoga dobivamo i formuliramo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka:

Definicija 1

Da biste obični razlomak a b podijelili s c d, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja.

Zapišimo pravilo kao izraz: a b: c d = a b d c

Pravila dijeljenja se svode na množenje. Da biste se toga držali, morate biti dobro upućeni u izvođenje množenja običnih razlomaka.

Prijeđimo na razmatranje dijeljenja običnih razlomaka.

Primjer 1

Podijelite 9 7 sa 5 3. Rezultat zapišite kao razlomak.

Riješenje

Broj 5 3 je recipročan od 3 5. Mora se koristiti pravilo za dijeljenje običnih razlomaka. Ovaj izraz zapisujemo na sljedeći način: 9 7: 5 3 = 9 7 3 5 = 9 3 7 5 = 27 35.

Odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Pri reduciranju razlomaka treba odabrati cijeli dio ako je brojnik veći od nazivnika.

Primjer 2

Podijelite 8 15: 24 65. Odgovor napiši kao razlomak.

Riješenje

Da biste riješili, trebate prijeći od dijeljenja do množenja. Zapišimo to u ovom obliku: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je napraviti smanjenje, a to se radi na sljedeći način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Odaberite cijeli dio i dobijete 13 9 = 1 4 9.

Odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Dijeljenje izvanrednog razlomka prirodnim brojem

Koristimo se pravilom dijeljenja razlomka prirodnim brojem: da biste a b podijelili prirodnim brojem n, trebate samo nazivnik pomnožiti s n. Odavde dobivamo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo dijeljenja posljedica je pravila množenja. Stoga će predstavljanje prirodnog broja kao razlomka dati jednakost ovog tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmotrimo ovu dijeljenje razlomka brojem.

Primjer 3

Podijelite razlomak 16 45 brojem 12.

Riješenje

Primijenimo pravilo dijeljenja razlomka brojem. Dobivamo izraz oblika 16 45: 12 = 16 45 12.

Smanjimo razlomak. Dobivamo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 3 5 = 4 135.

Odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom

Slično je i pravilo dijeljenja O pravilo za dijeljenje prirodnog broja običnim razlomkom: da bi se prirodni broj n podijelio s običnim brojem a b, potrebno je broj n pomnožiti s recipročnim razlomkom a b.

Na temelju pravila imamo n: a b = n b a, a zahvaljujući pravilu množenja prirodnog broja običnim razlomkom dobivamo svoj izraz u obliku n: a b = n b a. Ovu podjelu potrebno je razmotriti na primjeru.

Primjer 4

Podijelite 25 sa 15 28.

Riješenje

Moramo prijeći s dijeljenja na množenje. Zapisujemo u obliku izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Smanjite razlomak da dobijete rezultat kao razlomak 46 2 3.

Odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Dijeljenje običnog razlomka mješovitim brojem

Kada dijelite obični razlomak mješovitim brojem, možete jednostavno podijeliti obične razlomke. Potrebno je prevesti mješoviti broj u nepravilan razlomak.

Primjer 5

Podijelite 35 16 sa 3 1 8.

Riješenje

Budući da je 3 1 8 mješoviti broj, predstavite ga kao nepravilan razlomak. Tada dobivamo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sada podijelimo razlomke. Dobivamo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Dijeljenje mješovitog broja vrši se na isti način kao i za obične brojeve.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter