Postoji mnogo vrsta brojeva, od kojih su neki cijeli brojevi. Činilo se da su cijeli brojevi olakšali brojanje, ne samo u pozitivna strana ali i negativno.

Razmotrimo primjer:
Danju je vani temperatura bila 3 stupnja. Do večeri je temperatura pala za 3 stupnja.
3-3=0
Na ulici je postalo 0 stupnjeva. A noću je temperatura pala za 4 stupnja i počela se pokazivati ​​na termometru -4 stupnja.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, razmotrit ćemo ovaj problem na koordinatnoj liniji.

Imamo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Taj niz brojeva se naziva niz cijelih brojeva.

Pozitivni cijeli brojevi. Negativni cijeli brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule nalaze se prirodni brojevi ili se također zovu pozitivni cijeli brojevi... I lijevo od nule idite cijeli negativni brojevi.

Nula nije ni pozitivna ni negativna. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

Je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz pozitivnih i negativnih cijelih brojeva je beskonačan skup.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će se pozvati brojevi između tih cijelih brojeva konačan skup.

Na primjer:
Uzmite cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva uključeni su u konačan skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Označavaju se prirodni brojevi Latinično slovo N.
Cijeli brojevi označeni su latinskim slovom Z. Sav skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi Jesu li pozitivni cijeli brojevi.

Algebarska svojstva

Veze

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

• Poljupci koji se ljube
• Cijele stvari

Pogledajte što su "cijeli brojevi" u drugim rječnicima:

Gaussovi cijeli brojevi- (Gaussovi brojevi, složeni cijeli brojevi) su složeni brojevi koji imaju i stvarne i zamišljene dijelove cijelih brojeva. Uveo Gauss 1825. godine. Sadržaj 1 Definicija i operacije 2 Teorija djeljivosti ... Wikipedia

PUNJENI BROJEVI- u kvantnoj mehanici i kvantnoj statistici, brojevi koji označavaju stupanj ispunjenosti kvanta. stanja ch tsami kvantno mehanički. sustav mnogih identičnih čestica. Za sustave hc s polucijelim spinom (fermioni) Ch. Z. mogu uzeti samo dvije vrijednosti ... Fizička enciklopedija

Zuckermanovi brojevi- Zuckermanovi brojevi su prirodni brojevi koji su djeljivi umnoškom njihovih brojeva. Primjer 212 je Zuckermanov broj, budući da i. Slijed Svi cijeli brojevi od 1 do 9 su Zuckermanovi brojevi. Svi brojevi uključujući nulu nisu ... ... Wikipedia

Algebarski cijeli brojevi- Algebarski cijeli brojevi su složeni (a posebno realni) korijeni polinoma s cjelobrojnim koeficijentima i s vodećim koeficijentom jednakim. S obzirom na zbrajanje i množenje složenih brojeva, cijeli su brojevi algebarski ... ... Wikipedia

Složeni cijeli brojevi- Gaussovi brojevi, brojevi oblika a + bi, gdje su a i b cijeli brojevi (na primjer 4 7i). Geometrijski prikazano točkama složene ravnine koje imaju cjelobrojne koordinate. C. c. Ch. Uveo je K. Gauss 1831. u vezi s istraživanjem teorije ... ...

Cullenovi brojevi- U matematici su Cullenovi brojevi prirodni brojevi oblika n 2n + 1 (napisano Cn). Cullenove brojeve prvi je put proučavao James Cullen 1905. Cullenovi brojevi su posebna vrsta Protovih brojeva. Nekretnine 1976. Christopher Hoole (Christopher ... ... Wikipedia

Brojevi fiksnih točaka- Broj s formatom fiksne točke za predstavljanje stvarnog broja u memoriji računala kao cijeli broj. U ovom slučaju, sam broj x i njegov cijeli broj x ′ povezani su formulom, gdje je z vrijednost najmanje bitnog bita. Najjednostavniji primjer aritmetika s ... ... Wikipedia

Ispunite brojeve- u kvantnoj mehanici i kvantnoj statistici brojevi koji označavaju stupanj ispunjenosti kvantnih stanja kvantnim česticama mehanički sustav mnoge identične čestice (vidi Identične čestice). Za sustav čestica s polucijelim spinom ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Leyland brojevi- Leylandov broj je prirodni broj predstavljen kao xy + yx, gdje su x i y cijeli brojevi veći od 1. Prvih 15 Leylandovih brojeva su: 8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368 , 512, 593, 945, 1124, 1649 slijed A076980 u OEIS -u ... ... Wikipedia

Algebarski cijeli brojevi- brojevi koji su korijeni jednadžbi oblika xn + a1xn ​​1 + ... + an = 0, gdje su a1, ..., an racionalni cijeli brojevi. Na primjer, x1 = 2 + C. a. h., budući da je x12 4x1 + 1 = 0. Teorija Ts. h. nastao je 30 -ih godina 40 -ih godina. 19. stoljeća u vezi s K. -ovim istraživanjem ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Knjige

• Aritmetika: Cijeli brojevi. Djeljivost brojeva. Mjerenje količina. Metrički sustav mjera. Običan, Kiselev, Andrej Petrovič. Pažnju čitatelja privlači knjiga izuzetnog ruskog učitelja i matematičara A. P. Kiseleva (1852-1940) koja sadrži sustavni tečaj aritmetike. Knjiga sadrži šest odjeljaka. ...

Dodijelimo li broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobivamo niz pozitivnih cijelih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negativni cijeli brojevi

Pogledajmo mali primjer. Na slici lijevo prikazan je termometar koji pokazuje temperaturu od 7 ° C. Ako temperatura padne za 4 °, termometar će pokazati 3 ° topline. Smanjenje temperature odgovara radnji oduzimanja:

Ako temperatura padne za 7 °, termometar će pokazati 0 °. Smanjenje temperature odgovara radnji oduzimanja:

Ako temperatura padne za 8 °, termometar će pokazati -1 ° (1 ° mraz). No rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se zapisati pomoću prirodnih brojeva i nule.

Ilustrirajmo oduzimanje na nizu pozitivnih cijelih brojeva:

1) Od broja 7 izbrojite 4 broja lijevo i dobijte 3:

2) Od broja 7 izbrojite 7 brojeva lijevo i dobijte 0:

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva u nizu pozitivnih cijelih brojeva od 7 ulijevo. Kako bismo akciju 7 - 8 učinili izvedivom, proširit ćemo niz pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule zapisujemo (zdesna nalijevo) redom sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak -, pokazujući da je taj broj lijevo od nule.

Unosi -1, -2, -3, ... pročitajte minus 1, minus 2, minus 3 itd .:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Rezultirajući niz brojeva naziva se niz cijelih brojeva... Točke lijevo i desno u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastavljati desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom retku su pozvani brojevi prirodni ili skroz pozitivno(ukratko - pozitivan).

Lijevo od broja 0 u ovom retku su pozvani brojevi cijeli negativan(ukratko - negativan).

Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.

Stoga, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nula i pozitivnih cijelih brojeva.

Usporedba cijelih brojeva

Usporedite dva cijela broja- znači saznati koji je od njih veći, koji manji, ili utvrditi da su brojevi jednaki.

Cijele brojeve možete usporediti pomoću niza cijelih brojeva, budući da se brojevi u njemu nalaze od najmanjeg do najvećeg, ako se krećete po retku slijeva nadesno. Stoga u nizu cijelih brojeva zareze možete zamijeniti znakom manje:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Stoga, od dva cijela broja, više je broj koji je desno u redu, a manji je onaj koji je lijevo, sredstva:

1) Bilo koji pozitivan broj veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:

1 > 0; 15 > -16

2) Bilo koji negativan broj manje od nule:

7 < 0; -357 < 0

3) Od dva negativna broja, veći je onaj s desne strane u nizu cijelih brojeva.

U ovom ćemo članku definirati skup cijelih brojeva, razmotriti koji se cijeli brojevi zovu pozitivni, a koji negativni. Također ćemo pokazati kako se cijeli brojevi koriste za opis promjena u određenim količinama. Počnimo s definicijom i primjerima cijelih brojeva.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cijeli brojevi. Definicija, primjeri

Sjetimo se prvo prirodnih brojeva ℕ. Sam naziv sugerira da su to brojevi koji su se prirodno koristili za brojanje od pamtivijeka. Kako bismo pokrili pojam cijelih brojeva, moramo proširiti definiciju prirodnih brojeva.

Definicija 1. Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, suprotni brojevi i broj nula.

Skup cijelih brojeva označavamo slovom ℤ.

Skup prirodnih brojeva ℕ podskup je cijelih brojeva ℤ. Svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nijedan cijeli broj nije prirodan broj.

Iz definicije proizlazi da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3 cijeli broj. ... , broj 0, kao i brojevi - 1, - 2, - 3 ,. ...

U skladu s tim navest ćemo primjere. Brojevi 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 su cijeli brojevi.

Neka je koordinatna crta povučena vodoravno i usmjerena udesno. Pogledajmo to kako bismo vizualizirali raspored cijelih brojeva na pravoj liniji.

Ishodište na koordinatnoj liniji odgovara broju 0, a točke koje leže s obje strane nule odgovaraju pozitivnim i negativnim cijelim brojevima. Svaka točka odgovara jednom cijelom broju.

Do bilo koje točke ravne linije, čija je koordinata cijeli broj, možete doći odvajanjem određenog broja segmenata jedinice od ishodišta.

Pozitivni i negativni cijeli brojevi

Od svih cijelih brojeva logično je odvojiti pozitivne i negativne cijele brojeve. Dajmo njihove definicije.

Definicija 2. Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom.

Na primjer, broj 7 je znak plus, odnosno pozitivan cijeli broj. Na koordinatnoj liniji taj broj leži desno od referentne točke za koju se uzima broj 0. Ostali primjeri pozitivnih cijelih brojeva: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definicija 3. Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom minus.

Primjeri negativnih cijelih brojeva: - 528, - 2568, - 1.

Broj 0 odvaja pozitivne i negativne cijele brojeve i sam po sebi nije ni pozitivan ni negativan.

Svaki broj koji je suprotan od pozitivnog cijelog broja, po definiciji je negativan cijeli broj. I obrnuto je istina. Inverzija bilo kojeg negativnog cijelog broja je pozitivan cijeli broj.

Možete dati druge definicije negativnih i pozitivnih cijelih brojeva koristeći njihovu usporedbu s nulom.

Definicija 4. Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija 5. Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su manji od nule.

Odnosno, pozitivni brojevi leže desno od ishodišta na koordinatnoj liniji, a negativni cijeli brojevi su lijevo od nule.

Ranije smo rekli da su prirodni brojevi podskup cijelih brojeva. Razjasnimo ovu točku. Skup prirodnih brojeva sastoji se od pozitivnih cijelih brojeva. S druge strane, skup negativnih cijelih brojeva je skup suprotnih prirodnih brojeva.

Važno!

Bilo koji prirodni broj može se nazvati cijelim brojem, ali bilo koji cijeli broj se ne može nazvati prirodnim. Odgovarajući na pitanje jesu li negativni brojevi prirodni, treba hrabro reći - ne, nisu.

Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi

Dajmo definicije.

Definicija 6. Nenegativni cijeli brojevi

Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi i broj nula.

Definicija 7. Nepozitivni cijeli brojevi

Nepozitivni cijeli brojevi su negativni cijeli brojevi i broj nula.

Kao što vidite, broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Primjeri nenegativnih cijelih brojeva: 52, 128, 0.

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva: - 52, - 128, 0.

Nenegativan broj je broj veći ili jednak nuli. Prema tome, cijeli pozitivni broj je broj manji ili jednak nuli.

Izrazi "nepozitivan broj" i "nenegativan broj" koriste se za sažetost. Na primjer, umjesto da kažete da je broj a cijeli broj koji je veći ili jednak nuli, možete reći: a je nenegativan cijeli broj.

Korištenje cijelih brojeva za opis promjena u količinama

Za što se koriste cijeli brojevi? Prije svega, uz njihovu je pomoć prikladno opisati i odrediti promjenu broja bilo kojih objekata. Navedimo primjer.

Neka se u skladištu pohrani određeni broj radilica. Ako se u skladište donese još 500 radilica, njihov će se broj povećati. Broj 500 samo izražava promjenu (povećanje) broja detalja. Ako se tada iz skladišta odnese 200 dijelova, tada će taj broj također karakterizirati promjenu broja radilica. Ovaj put, prema dolje.

Ako se ništa neće uzeti iz skladišta, a ništa se neće donijeti, tada će broj 0 označavati nepromjenjivost broja dijelova.

Očigledna pogodnost korištenja cijelih brojeva, za razliku od prirodnih brojeva, jest ta što njihov znak jasno pokazuje smjer promjene vrijednosti (povećanje ili smanjenje).

Smanjenje temperature za 30 stupnjeva može se okarakterizirati negativnim brojem - 30, a povećanje za 2 stupnja - pozitivnim cijelim brojem 2.

Evo još jednog primjera korištenja cijelih brojeva. Ovaj put, recimo, moramo nekome dati 5 novčića. Zatim, možemo reći da imamo - 5 novčića. Broj 5 opisuje iznos duga, a znak minus kaže da moramo vratiti kovanice.

Ako jednoj osobi dugujemo 2 novčića, a drugoj 3, tada se ukupni dug (5 novčića) može izračunati pomoću pravila zbrajanja negativnih brojeva:

2 + (- 3) = - 5

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Učitelj najviše kategorije

Koji se brojevi zovu cijeli brojevi?

Ciljevi lekcije:

-Proširi pojam broja uvođenjem negativnih brojeva:

-Vodi vještinu pisanja pozitivnih i negativnih brojeva.

Ciljevi lekcije.

Obrazovni - promicati razvoj sposobnosti generaliziranja i sistematizacije, promicanje razvoja matematičkih horizonta, mišljenja i govora, pažnje i pamćenja.

Obrazovni -odgoj stava prema samoobrazovanju, samoobrazovanje, točna marljivost, kreativan stav prema aktivnosti, kritičko mišljenje.

U razvoju - razvijati kod učenika sposobnost uspoređivanja i generaliziranja, logičkog izražavanja misli, razvijanja matematičkog pogleda, mišljenja i govora, pažnje i pamćenja.

Tijekom nastave:

1. Uvodni razgovor.

Koje smo brojeve dosad gledali na satovima matematike?

-Prirodni i frakcijski.

Koji se brojevi nazivaju prirodnim?

- Ovo su brojevi koji se koriste pri brojanju stavki.

Koliko možete reći?

- beskonačno mnogo.

Je li nula prirodan broj? Zašto?

-Čemu služe razlomljeni brojevi?

-Ne brojimo samo predmete, već dijelove nekih količina.

Koje razlomke znaš?

- Obični i decimalni.

Zadatak broj 1.

Koji su prirodni brojevi? Obični razlomci? Decimalni razlomci?

10; 1,1; https://pandia.ru/text/77/504/images/image002_2.png "width =" 16 "height =" 35 src = "> ; https://pandia.ru/text/77/504/images/image004_0.png "width =" 24 "height =" 35 src = "> .

2. Objašnjenje novog materijala:

Međutim, u životu ste vjerojatno već upoznali druge brojeve, koje? Gdje?

-Negativan. Na primjer, u izvješću o vremenu.

Prije nego prijeđemo na istraživanje nove teme, razgovarajmo o znakovima koji će pomoći u proširenju skupa brojeva. Ovo su znakovi plus i minus. Razmislite o tome s čime su ti znakovi povezani u životu. Može biti bilo što: bijelo ili crno, dobro ili loše. Vaše ćemo primjere zapisati u obliku tablice.

Koliko misli uzrokuju samo dva znaka. Zapravo, ova dva znaka omogućuju kretanje u različitim smjerovima. Takvi su brojevi, "slični" prirodnim brojevima, ali sa znakom minus, potrebni u slučajevima kada se vrijednost može promijeniti u dva suprotna smjera. Da biste vrijednost izrazili kao negativan broj, unesite početnu, nultu oznaku. Pogledajmo primjere koje su drugi učinili, ali razmislite kod kuće i napravite svoju prezentaciju. Slajd 2-7.

Upotreba znaka vrlo je prikladna. Njegova je upotreba prihvaćena u cijelom svijetu. Ali nije uvijek bilo tako. Slajd broj 8.

Dakle, zajedno s prirodnim brojevima

1, 2, 3, 4, 5, …100, …, 1000, …

Razmotrit ćemo negativne brojeve, od kojih se svaki dobiva dodjeljivanjem znaka minus odgovarajućem prirodnom broju:

-1,- 2, - 3, - 4, - 5, …-100, …,- 1000, …

Prirodni broj i odgovarajući negativni broj nazivaju se suprotnim. Na primjer, brojevi 15 i -15. Moguće je -15 i 15. O je suprotno sebi.

Pravilo: Prirodni brojevi nasuprot njima su negativni i zove se broj 0 cijeli brojevi. Svi ti brojevi zajedno čine puno cijelih brojeva.

Otvorite stranicu 159 u udžbeniku, pronađite pravilo, pročitajte ga ponovo, naučite ga napamet kod kuće.

Uobičajeno je da se prirodni broj naziva pozitivnim cijelim brojem, odnosno radi se o istoj stvari. Ispred njega se, kako bi se naglasila vanjska razlika od negativnog, ponekad stavlja znak plus. + 5 = 5.

3. Formiranje vještina i sposobnosti:

1) № 000.

2) Ove brojeve podijelite u dvije grupe: pozitivne i negativne:

-15, 7, 28, -41, 0, 382, -591, -999, 2000.

3) Igra "moje raspoloženje".

Sada ćete procijeniti trenutno raspoloženje prema sljedećoj ljestvici:

Dobro raspoloženje: +1, +2, +3, +4, +5.

Loše raspoloženje: -1, -2, -3, -4, -5.

Jedna će osoba zapisati rezultate na ploču, a ostale će se izmjenjivati ​​naglas govoreći: “Imam dobro raspoloženje 4 boda "

4) Kreker igra

Nazvat ću parove brojeva, ako je par suprotan, onda pljesnite rukama, ako ne, onda bi u razredu trebala biti tišina:

5 i -5; 6 i 0,6; -300 i 300; 3 i 1/3; 8 i 80; 14 i -14; 5/7 i 7/5; -1 i 1.

5) Propedevtika proučavanja zbrajanja cijelih brojeva:

000 (a).

Na rješenje gledamo uz pomoć prezentacije. Slajd broj 8.

4. Sažetak lekcije:

-Koji se brojevi nazivaju pozitivnim? Negativan?

-O čemu ste saznali?

- Čemu služe negativni brojevi?

-Kako se pišu pozitivni i negativni brojevi?

5. D / Z: p. 8.1, br. 000, 721 (b), 715 (b). Kreativni zadatak: sastavi stih o cijelim brojevima, crtežu, prezentaciji, bajci.

Od slike ćemo oduzeti još jednu,
Stavili smo ravnu liniju.
Prepoznat ćemo ovaj znak
"Minus" ga zovemo.
1.
Postoji jedan,
Izgleda kao šibica.
Ona je samo crtica
Uz mali prasak.

2.
Jedva klizi po vodi
Kao labud, broj dva.
Izvila je vrat,
Za sobom tjera valove.

3.
Dvije udice, pogledaj
Rezultat je broj tri.
Ali na ove dvije udice
Ne možete saditi crva.

4.
Vilicu su nekako ispustili
Slomljen je jedan zub.
Ovaj utikač u cijelom svijetu
Zove se "četiri".

5.
Broj pet - s velikim trbuhom,
Nosi kapu s vizirom.
U školi je ovaj broj pet
Djeca vole primati.

6.
Kakva trešnja, prijatelju moj,
Je li stabljika savijena prema gore?
Pokušaš to pojesti,
Ova trešnja je broj šest.

7.
Ja sam takav poker
Ne mogu ga staviti u peć.
Svi znaju za nju
Da se zove "sedam".

8.
Uže uvijeno, uvijeno,
Vezane u dvije petlje.
"Koji je broj?" - pitaćemo mamu.
Mama će nam odgovoriti: "Osam".

9.
Vjetar je puhao i puhao snažno,
Okrenuo sam trešnju.
Broj šest, molim te reci mi
Pretvorio se u broj devet.

10.
Kao starija sestra
Vodi nulu jedan.
Samo su hodali zajedno
Broj deset odmah je postao.

Pjesme o matematici

· Mnogo matematike ne ostaje u sjećanju, ali kad je razumijete, tada se lako sjetite zaboravljenog povremeno.