Elementarne transformacije redova (stupaca) matrice znače sljedeće radnje:

1. Promjenjivanje dva retka (stupca).
2. Množenje svih elemenata retka (stupca) nekim brojem $ a \ neq 0 $.
3. Zbroj svih elemenata jednog retka (stupca) s odgovarajućim elementima drugog retka (stupca), pomnožen s nekim realnim brojem.

Primijenimo li neku elementarnu transformaciju na retke ili stupce matrice $ A $, dobit ćemo novu matricu $ B $. U ovom slučaju, $ \ rang (A) = \ rang (B) $, tj. elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.

Ako je $ \ rang A = \ rang B $, tada se pozivaju matrice $ A $ i $ B $ ekvivalent... Činjenica da je matrica $ A $ ekvivalentna matrici $ B $ zapisuje se ovako: $ A \ sim B $.

Često se koristi sljedeći zapis: $ A \ rightarrow B $, što znači da je matrica $ B $ dobivena iz matrice $ A $ pomoću neke elementarne transformacije.

Prilikom pronalaženja ranga Gaussovom metodom možete raditi s retcima i stupcima. Prikladnije je raditi sa nizovima, stoga se u primjerima na ovoj stranici transformacije izvode na nizovima matrica.

Imajte na umu da transpozicija ne mijenja rang matrice, tj. $ \ rang (A) = \ zvonilo (A ^ T) $. U nekim je slučajevima ovo svojstvo prikladno za korištenje (vidi primjer # 3), budući da je, ako je potrebno, lako napraviti stupce redaka i obrnuto.

Kratak opis algoritma

Uvedimo nekoliko pojmova. Nulta linija- niz čiji su svi elementi jednaki nuli. Niz od nule- niz, čiji je barem jedan element različit od nule. Vodeći element niz koji se razlikuje od nule naziva se njezin prvi (računajući slijeva nadesno) element različit od nule. Na primjer, u retku $ (0; 0; 5; -9; 0) $ vodeći će element biti treći element (jednak je 5).

Rang bilo koje nulte matrice je 0, pa ćemo razmotriti matrice koje nisu nula. Konačni cilj transformacije matrice je učiniti je stepenastom. Rang stepenaste matrice jednak je broju redova koji nisu nula.

Razmatrana metoda za pronalaženje ranga matrice sastoji se od nekoliko koraka. Prvi korak koristi prvi redak, drugi korak koristi drugi itd. Kada ispod retka koji koristimo u trenutnom koraku ostane samo nula redaka ili ih uopće nema, algoritam se zaustavlja jer će rezultirajuća matrica biti stepenasta.

Pređimo sada na one transformacije nizova koje se izvode u svakom koraku algoritma. Pretpostavimo da ispod trenutne linije, koju moramo koristiti u ovom koraku, postoje linije nule, gdje je $ k $ broj vodećeg elementa tekuće linije, a $ k _ (\ min) $ je najmanji od brojeve vodećih elemenata onih linija koje leže ispod trenutne crte ...

• Ako je $ k \ lt (k _ (\ min)) $, idite na sljedeći korak algoritma, tj. za korištenje sljedećeg retka.
• Ako je $ k = k _ (\ min) $, tada nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Ako se pojavi nula redaka, prenosimo ih na dno matrice. Zatim prelazimo na sljedeći korak algoritma.
• Ako je $ k \ gt (k _ (\ min)) $, tada mijenjamo trenutni redak s jednim od donjih redaka, čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Nakon toga nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka, za koje je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Ako nema takvih linija, prijeđite na sljedeći korak algoritma. Ako se pojavi nula redaka, prenosimo ih na dno matrice.

Kako se točno vodeći elementi nuliraju, razmotrit ćemo u praksi. Slova $ r $ (iz riječi "redak") označit će retke: $ r_1 $ je prvi red, $ r_2 $ je drugi red itd. Slova $ c $ (iz riječi "stupac") označit će stupce: $ c_1 $ - prvi stupac, $ c_2 $ - drugi stupac itd.

U primjerima na ovoj stranici koristit ću $ k $ za označavanje zaokretnog broja tekućeg retka, a $ k _ (\ min) $ će se koristiti za označavanje najmanjeg zaokretnog broja redaka ispod trenutnog retka.

Primjer # 1

Pronađite rang matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) $

Prvi korak

U prvom koraku radimo s prvim retkom. U prvom retku zadane matrice vodeći element je prvi element, tj. zaokretni broj prvog retka $ k = 1 $. Pogledajmo retke ispod prvog retka. Vodeći elementi na ovim linijama označeni su brojevima 4, 1, 1 i 1. Najmanji od ovih brojeva je $ k _ (\ min) = 1 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Drugim riječima, morate poništiti vodeće elemente trećeg, četvrtog i petog retka.

U načelu, možete nastaviti s nuliranjem gornjih elemenata, ali za one pretvorbe koje se izvode na nulu, prikladno je kada je vodeći element korištenog niza jedan. To nije potrebno, ali čini izračune vrlo jednostavnim. Imamo broj -2 kao vodeći element prvog retka. Postoji nekoliko mogućnosti zamjene "nezgodnog" broja s jednim (ili brojem (-1)). Možete, na primjer, prvi redak pomnožiti s 2, a zatim od prvog retka oduzeti peti. Ili možete jednostavno zamijeniti prvi i treći stupac. Nakon preslagivanja stupaca # 1 i # 3, dobivamo novu matricu ekvivalentnu zadanoj matrici $ A $:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ begin (niz) (ccccc) \ boldred (1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ normgreen (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) $$

Vodeći element prvog retka je jedan. Zaokretni broj prvog retka nije se promijenio: $ k = 1 $. Brojevi vodećih elemenata redaka ispod prvog su sljedeći: 4, 1, 2, 1. Najmanji broj je $ k _ (\ min) = 1 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka, za koje je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. To znači da morate poništiti vodeće elemente trećeg i petog retka. Ovi elementi označeni su plavom i zelenom bojom.

Kako bismo nulirali potrebne elemente, izvest ćemo operacije s redovima matrice. Ove operacije ću napisati zasebno:

$$ \ start (poravnato) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ end (poravnato) $$

Zapis $ r_3 + 5r_1 $ znači da su odgovarajući elementi prvog retka pomnoženi s pet dodani elementima trećeg retka. Rezultat se zapisuje umjesto trećeg retka u novu matricu. Ako dođe do poteškoća pri usmenom izvođenju takve operacije, tada se ta radnja može izvesti zasebno:

$$ r_3 + 5r_1 = ( - 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = ( - 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

Radnja $ r_5-r_1 $ je slična. Kao rezultat transformacije niza, dobivamo sljedeću matricu:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5 -r_1 \ end (niz) \ sim \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (niz) \ desno) $$

U ovom se trenutku prvi korak može smatrati dovršenim. Budući da se ispod prvog retka nalaze linije koje nisu nule, morate nastaviti raditi. Jedino upozorenje: u trećem retku rezultirajuće matrice svi su elementi potpuno podijeljeni s 2. Da bismo smanjili brojeve i pojednostavili naše izračune, elemente trećeg retka pomnožimo s $ \ frac (1) (2) $ , a zatim prijeđite na drugi korak:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ end (niz) \ desno) $$

Drugi korak

U drugom koraku radimo s drugom linijom. U drugom redu matrice vodeći element je četvrti, tj. zaokretni broj drugog retka $ k = 4 $. Pogledajmo retke ispod drugog retka. Vodeći elementi na ovim linijama označeni su brojevima 2, 2 i 2. Najmanji od tih brojeva je $ k _ (\ min) = 2 $. Budući da je $ k \ gt (k _ (\ min)) $, morate zamijeniti trenutni drugi redak s jednim od onih redaka čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Drugim riječima, morate promijeniti drugi redak s trećim, četvrtim ili petim. Odabrat ću peti redak (time će se izbjeći pojava razlomaka), tj. zamijenite peti i drugi redak:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (niz) \ desno) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim) \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ normgreen (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz) \ desno) $$

Pogledajmo ponovno drugi redak. Sada je vodeći element drugi element (označen je crvenom bojom), tj. $ k = 2 $. Najmanji od zaokretnih brojeva donjih redova (to jest, brojeva 2, 2 i 4) bit će $ k _ (\ min) = 2 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka, za koje je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. To znači da morate poništiti vodeće elemente trećeg i četvrtog retka. Ovi elementi označeni su plavom i zelenom bojom.

Imajte na umu da je u prethodnom koraku 1 napravljen za zaokret trenutnog retka pomoću permutacije stupca. To je učinjeno kako bi se izbjegao rad s razlomom. I ovdje možete staviti jedan na mjesto zaokreta u drugom retku: na primjer, zamjenom drugog i četvrtog stupca. Međutim, to nećemo učiniti jer se ionako neće pojaviti razlomci. Radnje sa nizovima bit će sljedeće:

$$ \ start (poravnato) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ end (poravnato) $$

Izvođenjem navedenih operacija dolazimo do sljedeće matrice:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_3 -r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz ) \ desno) $$

Drugi korak je gotov. Budući da se ispod drugog reda nalaze linije koje nisu nule, prelazimo na treći korak.

Treći korak

U trećem koraku radimo s trećim retkom. U trećem redu matrice vodeći element je četvrti, tj. zaokretni broj trećeg reda $ k = 4 $. Pogledajmo retke ispod trećeg retka. Vodeći elementi na tim linijama označeni su brojevima 4 i 4, od kojih je najmanji $ k _ (\ min) = 4 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka, za koje je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. To znači da morate poništiti vodeće elemente četvrtog i petog retka. Transformacije koje se provode u tu svrhu potpuno su slične onima koje su provedene ranije:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5 -r_3 \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (niz) \ desno) $$

Ispod treće linije nalazi se samo nula linija. To znači da je pretvorba dovršena. Doveli smo matricu u stupnjeviti oblik. Budući da reducirana matrica sadrži tri reda različita od nule, njezin je rang 3. Slijedom toga, rang izvorne matrice je također tri, tj. $ \ rang A = 3 $. Cjelovito rješenje bez objašnjenja je:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ \ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_3)) (\ sim) \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ phantom (0) \\ r_5 -r_1 \ end (niz) \ sim $$ $$ \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (niz) \ udesno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ end (niz) \ desno) \ overset (r_2 \ leftrightarrow (r_5)) (\ sim ) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5 -r_3 \ end (niz) \ sim \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (niz) \ desno) $$

Odgovor: $ \ rang A = 3 $.

Primjer 2

Pronađite rang matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) $.

Ova matrica nije nula, što znači da je njen rang veći od nule. Prijeđimo na prvi korak algoritma.

Prvi korak

U prvom koraku radimo s prvim retkom. U prvom retku zadane matrice vodeći element je prvi element, tj. zaokretni broj prvog retka $ k = 1 $. Pogledajmo retke ispod prvog retka. Vodeći elementi na ovim linijama označeni su brojem 1, tj. najmanji zaokretni broj osnovnih linija je $ k _ (\ min) = 1 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, potrebno je nulirati zaokretne elemente onih temeljnih redaka čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. Drugim riječima, morate poništiti vodeće elemente drugog, trećeg i četvrtog retka.

Radi praktičnosti izračuna učinimo vodeći element prvog retka jednim. U prethodnom primjeru za ovo smo zamijenili stupce, ali ova radnja neće funkcionirati s ovom matricom - u ovoj matrici nema elemenata jednakih. Izvršimo jednu pomoćnu radnju: $ r_1-5r_2 $. Tada će zaokret prvog reda biti 1.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) $$

Vodeći element prvog retka je jedan. Izništimo vodeće elemente temeljnih redaka:

$$ \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ kraj (niz) \ sim \ lijevo (\ početak (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (niz) \ desno) $$

Prvi korak je gotov. Budući da se ispod prvog retka nalaze linije koje nisu nule, morate nastaviti raditi.

Drugi korak

U drugom koraku radimo s drugom linijom. U drugom redu matrice vodeći element je drugi, tj. zaokretni broj drugog retka $ k = 2 $. Vodeći elementi u donjim redovima imaju isti broj 2, pa je $ k _ (\ min) = 2 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo zaokretne elemente onih temeljnih redaka čiji je zaokretni broj $ k _ (\ min) $. To znači da morate poništiti vodeće elemente trećeg i četvrtog retka.

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ kraj (niz) \ sim \ lijevo (\ početak (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (niz) \ desno) $$

Pojavio se nulti red. Spustimo to na dno matrice:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (niz) \ desno) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (niz) \ desno) $$

Drugi korak je gotov. Uočite da već imamo stupnjevitu matricu. Međutim, možemo formalno dovršiti naš algoritam. Budući da se ispod drugog retka nalaze linije koje nisu nule, trebali biste prijeći na treći korak i raditi s trećim retkom, ali ispod trećeg retka nema linija koje nisu nule. Stoga je pretvorba dovršena.

Usput, rezultirajuća matrica je trapezoidna. Trapezoidna matrica poseban je slučaj stepenaste matrice.

Budući da ova matrica sadrži tri reda različita od nule, njezin je rang 3. Slijedom toga, rang izvorne matrice je također tri, tj. $ \ rang (A) = 3 $. Cjelovito rješenje bez objašnjenja je:

$$ \ left (\ begin (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) r_1-5r_2 \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (niz) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ end (niz) \ desno) \ overset (r_3 \ leftrightarrow (r_4)) ( \ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (niz) \ desno) $$

Odgovor: $ \ rang A = 3 $.

Primjer br. 3

Pronađite rang matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (niz) \ desno) $.

Ponekad je u procesu rješavanja prikladno transponirati matricu. Budući da je rang transponirane matrice jednak rangu izvorne matrice, takva je operacija sasvim prihvatljiva. Ovaj primjer će razmotriti upravo takav slučaj. Tijekom transformacija pojavit će se dva identična niza $ (0; \; 1; \; - 2) $ (prvi i četvrti). U principu, možete izvesti radnju $ r_4-r_1 $, tada će četvrti redak biti nuliran, ali to će samo produžiti rješenje za jedan zapis, pa nećemo izvesti nuliranje četvrtog retka.

$$ \ left (\ begin (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ phantom (0) \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ end (niz) \ desno) \ sim $$ $$ \ sim \ lijevo (\ begin (niz) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (niz) \ desno) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_2)) (\ sim) \ left (\ start (\ begin ( niz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ end (niz) \ desno) \ start (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3 + 2r_1 \ end (niz) \ sim $$ $$ \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-3r_2 \ end (niz) \ sim \ left (\ begin (niz) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end (niz) \ desno) $$

Rang transformirane matrice je 2, stoga je rang izvorne matrice $ \ rang (A) = 2 $. U načelu, bilo je moguće pronaći rang bez transponiranja matrice: zamijenite prvi red s drugim, trećim ili petim i nastavite uobičajene transformacije s redovima. Metoda redukcije matrice u stupnjeviti oblik dopušta varijacije u procesu rješenja.

Odgovor: $ \ rang A = 2 $.

Primjer br. 4

Pronađite rang matrice $ A = \ left (\ begin (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ end (niz) \ desno) $.

Ova matrica nije nula, tj. njezin je rang veći od nule. Prijeđimo na prvi korak algoritma.

Prvi korak

U prvom koraku radimo s prvim retkom. U prvom redu date matrice vodeći element je drugi, tj. zaokretni broj prvog retka $ k = 2 $. Razmotrite crte ispod prvog retka. Vodeći elementi na tim linijama označeni su brojem 3, tj. najmanji zaokretni broj osnovnih linija je $ k _ (\ min) = 3 $. Budući da je $ k \ lt (k _ (\ min)) $, prelazimo na sljedeći korak algoritma.

Drugi korak

U drugom koraku radimo s drugom linijom. U drugom retku vodeći element je treći, tj. zaokretni broj drugog retka $ k = 3 $. Ispod drugog retka nalazi se samo jedan treći redak čiji je zaokretni broj 3, pa je $ k _ (\ min) = 3 $. Budući da je $ k = k _ (\ min) $, nuliramo vodeći element trećeg reda:

$$ \ left (\ begin (niz) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ end (niz) \ desno) \ begin (niz) (l) \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ r_3-2r_2 \ end (niz) \ sim \ lijevo (\ begin (niz ) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & -5 \ end (niz) \ desno) $$

Primljena je stepenasta matrica. Rang transformirane matrice, a time i rang izvorne matrice, je 3.

Odgovor: $ \ rang A = 3 $.

Primjer br. 5

Pronađite rang matrice $ A = \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ End (niz) \ desno) $.

Ponekad je moguće reducirati matricu u stepenastu pomoću samo jedne permutacije redaka ili stupaca. To se, naravno, događa iznimno rijetko, ali uspješno preuređivanje može znatno pojednostaviti rješenje.

$$ \ left (\ begin (niz) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (niz ) \ desno) \ overset (r_1 \ leftrightarrow (r_3)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & - 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (niz) \ desno) \ overset (c_1 \ leftrightarrow (c_4)) (\ sim) \ left (\ begin (array) (ccccc) 0 & 2 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \ end (niz) \ desno) $$

Matrica svedena na stepenastu, $ \ rang (A) = 3 $.

Odgovor: $ \ rang A = 3 $.

U ovom će se članku raspravljati o konceptu kao što je rang matrice i potrebnim dodatnim pojmovima. Navest ćemo primjere i dokaze pronalaženja ranga matrice, a također ćemo vam reći što je matrica minor i zašto je toliko važna.

Manja matrica

Da bismo razumjeli koji je rang matrice, potrebno je razumjeti takav pojam kao molar matrice.

Definicija 1

Maloljetnak-matrica matrice je odrednica kvadratne matrice reda k × k, koja se sastoji od elemenata matrice A koji se nalaze u unaprijed odabranim k-redovima i k-stupcima, zadržavajući položaj elemenata matrice A.

Jednostavno rečeno, ako u matrici A izbrišemo (pk) retke i (nk) stupce, a od onih preostalih elemenata sastavimo matricu, čuvajući raspored elemenata matrice A, tada je odrednica dobivene matrice molar reda k matrice A.

Iz primjera proizlazi da su minorni prvi red matrice A sami elementi matrice.

Postoji nekoliko primjera maloljetnika 2. reda. Odaberimo dva retka i dva stupca. Na primjer, 1. i 2. red, 3. i 4. stupac.

S ovim izborom elemenata, drugi red bit će manji - 1 3 0 2 = ( - 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Drugi minor drugog reda matrice A je 0 0 1 1 = 0

Dopustimo ilustraciju konstrukcije minorsa drugog reda matrice A:

Manjak 3. reda dobiva se brisanjem trećeg stupca matrice A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × ( - 1) + 3 × 1 × ( - 4) - 3 × 1 × ( - 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × ( - 4) = - 9

Ilustracija kako se dobiva minor 3. reda matrice A:

Za datu matricu ne postoje maloljetnici viši od 3. reda, jer

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

Koliko maloljetnika reda k postoji za matricu A reda p × n?

Broj maloljetnika izračunava se prema sljedećoj formuli:

C p k × C n k, gdje je e e C p k = p! k! (p - k)! i C n k = n! k! (n - k)! - broj kombinacija od p do k, od n do k, respektivno.

Nakon što odlučimo koji su sporedni elementi matrice A, možemo pristupiti određivanju ranga matrice A.

Rang matrice: metode pronalaženja

Rang matrice - najveći red matrice osim nule.

Oznaka 1

Poredak (A), Rg (A), Rang (A).

Iz definicije ranga matrice i mola matrice postaje jasno da je rang nulte matrice nula, a rang nenormalne matrice je nulti.

Pronalaženje ranga matrice po definiciji

Nabrajanje maloljetnika - metoda koja se temelji na određivanju ranga matrice.

Algoritam radnji popisivanjem maloljetnika :

Potrebno je pronaći rang matrice A reda str× n... Ako postoji barem jedan element različit od nule, tada je rang matrice barem jednak jedinici ( od je molar 1. reda, koji nije jednak nuli).

Nakon toga slijedi nabrajanje maloljetnika drugog reda. Ako su svi maloljetnici 2. reda jednaki nuli, tada je čin jednak jedinici. Ako postoji barem jedan mol različit od nule 2. reda, potrebno je prijeći na nabrajanje maloljetnika 3. reda, a rang matrice, u ovom slučaju, bit će jednak najmanje dva.

Na sličan način ćemo postupiti i s rangom 3. reda: ako su svi minorni elementi matrice jednaki nuli, tada će čin biti jednak dva. Ako postoji barem jedan nulti nular reda 3, tada je rang matrice najmanje tri. I tako dalje, po analogiji.

Primjer 2

Pronađite rang matrice:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Budući da je matrica različita od nule, njezin je rang barem jednak jedinici.

Manja 2. reda - 1 1 2 2 = ( - 1) × 2 - 1 × 2 = 4 nije nula. Otuda slijedi da je rang matrice A najmanje dva.

Ponavljamo maloljetne osobe 3. reda: S 3 3 × S 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 komada.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = ( - 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + ( - 1) × 2 × 3 - ( - 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1- 1- 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11- (- 2) × 6 × 4- (- 1) × 2 × 1 - ( - 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = ( - 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( - 2) × 2 × 3 - ( - 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = ( - 1) × 6 × ( - 7) + ( - 1) × ( - 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7)- (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × ( - 7) + ( - 1) × ( - 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - ( - 1) × 2 × (- 7)- 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × ( - 7) + ( - 2) × ( - 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - ( - 2) × 2 × (- 7)- 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = ( - 1) × 0 × ( - 7) + ( - 2) × ( - 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7)- (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Maloljetnici 3. reda jednaki su nuli, pa je rang matrice jednak dva.

Odgovor : Rang (A) = 2.

Nalaženje ranga matrice metodom graničenja maloljetnika

Metoda maloljetnih graničara - metoda koja vam omogućuje da dobijete rezultat s manje računalnog rada.

Suočavanje s molom - manji M ok (k + 1) -ti red matrice A, koji graniči s malim M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara sporednom M ok "sadrži" matricu koja odgovara maloljetni M.

Jednostavno rečeno, matrica koja odgovara obrubljenom minoru M dobiva se iz matrice koja odgovara rubnom manjinu M o k brisanjem elemenata jednog retka i jednog stupca.

Primjer 3

Pronađite rang matrice:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Za pronalaženje ranga uzimamo minor drugog reda M = 2 - 1 4 1

Zapisujemo sve granične maloljetnike:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Kako bismo potkrijepili metodu graničenja s maloljetnicima, predstavljamo teorem čija formulacija ne zahtijeva dokaznu osnovu.

Teorem 1

Ako su svi sporedni sporedni graničnici s k-tim manjinskim redom matrice A reda p po n jednaki nuli, tada su svi manji sporedni redoslijedi (k + 1) matrice A jednaki nuli.

Algoritam radnji :

Da biste pronašli rang matrice, nije potrebno ponavljati sve maloljetne osobe, dovoljno je pogledati granične.

Ako su granični maloljetnici jednaki nuli, tada je rang matrice nula. Ako postoji barem jedan manji koji nije jednak nuli, tada smatramo da se graniči s maloljetnim osobama.

Ako su svi nula, onda je Rank (A) dva. Ako postoji barem jedan manji od nule graničnik, nastavljamo razmatrati njegove maloljetne graniče. I tako dalje, na sličan način.

Primjer 4

Pronađite rang matrice metodom graničenja s maloljetnicima

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Kako riješiti?

Budući da element a 11 matrice A nije jednak nuli, tada uzimamo molar 1. reda. Počnimo tražiti minor koji graniči s nulom:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Našli smo granični minor drugog reda koji nije jednak nuli 2 0 4 1.

Idete ponoviti preko graničnih maloljetnika - (ima (4 - 2) × (5 - 2) = 6 komada).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odgovor : Rang (A) = 2.

Pronalaženje ranga matrice Gaussovom metodom (pomoću elementarnih transformacija)

Podsjetimo se što su elementarne transformacije.

Elementarne transformacije:

• preslagivanjem redova (stupaca) matrice;
• množenjem svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem ne nula k;

dodavanjem elementima bilo kojeg reda (stupca) elemenata koji odgovaraju drugom retku (stupcu) matrice, koji se množe s proizvoljnim brojem k.

Definicija 5

Pronalaženje ranga matrice Gaussovom metodom - metoda koja se temelji na teoriji ekvivalentnosti matrica: ako se matrica B dobije iz matrice A pomoću konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank (A) = Rank (B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz definicije matrice:

• u slučaju permutacije redova ili stupaca matrice, njezina odrednica mijenja predznak. Ako je jednaka nuli, tada ostaje jednaka nuli pri preuređivanju redaka ili stupaca;
• u slučaju množenja svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem k, koji nije jednak nuli, odrednica rezultirajuće matrice jednaka je odrednici izvorne matrice, koja se množi po k;

u slučaju dodavanja elementima određenog retka ili stupca matrice odgovarajući elementi drugog retka ili stupca, koji se množe s brojem k, ne mijenja njegovu odrednicu.

Bit metode elementarnih transformacija : reducirati matricu čiji se rang može pronaći na trapeznu primjenom elementarnih transformacija.

Za što?

Rang matrica ove vrste prilično je lako pronaći. Jednako je broju redaka koji sadrže barem jedan element različit od nule. A budući da se rang ne mijenja tijekom elementarnih transformacija, to će biti rang matrice.

Ilustrirajmo ovaj proces:

• za pravokutne matrice A reda p po n, čiji je broj redova veći od broja stupaca:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• za pravokutne matrice A reda p po n, čiji je broj redova manji od broja stupaca:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• za kvadratne matrice A reda n po n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

Primjer 5

Pronađite rang matrice A pomoću elementarnih transformacija:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Kako riješiti?

Budući da je element a 11 različit od nule, potrebno je pomnožiti elemente prvog reda matrice A s 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Elementima 2. reda dodajte odgovarajuće elemente 1. reda, koji se množe sa (-3). Elementima trećeg retka dodajte elemente prvog retka koji se množe sa (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3)- 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3)- 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1)- 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5)- 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5)- 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7)- 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) nije nula, pa elemente drugog reda matrice A pomnožimo s A (2) s a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + ( - 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + ( - 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + ( - 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Elementima 3. reda rezultirajuće matrice dodajte odgovarajuće elemente 2. reda koji se množe s 3 2;
• elementima 4. reda - elementi 2. reda, koji se množe s 9 2;
• do elemenata 5. reda - elementi 2. reda, koji se množe s 3 2.

Svi elementi retka su nula. Tako smo uz pomoć elementarnih transformacija matricu doveli u trapezoidni oblik, odakle se vidi da je R a n k (A (4)) = 2. Otuda slijedi da je rang izvorne matrice također jednak dva.

Komentar

Ako izvršite elementarne transformacije, približne vrijednosti nisu dopuštene!

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Definicija. Po rangu matrice je najveći broj linearno neovisnih linija koje se smatraju vektorima.

Teorem 1 o rangu matrice. Po rangu matrice je maksimalni red ne -nula minor matrice.

Koncept maloljetnika već smo analizirali u lekciji o odrednicama, a sada ćemo ga generalizirati. Uzmimo u matricu neke retke i neke stupce, a ti "neki" trebali bi biti manji od broja redaka i stupaca matrice, a za retke i stupce taj "neki" trebao bi biti isti broj. Zatim će na sjecištu nekih redaka i koliko stupaca biti matrica nižeg reda od naše izvorne matrice. Odrednica ove matrice bit će k-ti red manji ako se spomenuto "neki" (broj redaka i stupaca) označi s k.

Definicija. Maloljetno ( r+1) red u kojem se nalazi odabrani maloljetnik r-th red se naziva graniči za datog maloljetnika.

Dvije najčešće korištene metode su pronalaženje ranga matrice... to graniči s maloljetnim putem i metoda elementarnih transformacija(Gaussovom metodom).

Za metodu graničenja maloljetnika koristi se sljedeći teorem.

Teorem 2 o rangu matrice. Ako je od elemenata matrice moguće sastaviti mol r-ti red, nije jednak nuli, tada je rang matrice r.

U metodi elementarnih transformacija koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezoidna matrica ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj redaka u njemu, osim linija koje se u potpunosti sastoje od nula.

Nalaženje ranga matrice metodom graničenja maloljetnika

Ograničeni molar je molar višeg reda u odnosu na dani, ako taj molar višeg reda sadrži tu mol.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

graničiće se sa sljedećim maloljetnim osobama:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice Sljedeći.

1. Pronađite maloljetnike drugog reda koji se razlikuju od nule. Ako su svi maloljetnici drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo graničeće maloljetnike trećeg reda. Ako su svi rubni maloljetnici trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od graničnih maloljetnika trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo graniči maloljetne osobe. Ako su svi graničeni maloljetnici četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak tri ( r =2 ).

4. Nastavite sve dok veličina matrice dopušta.

Primjer 1. Pronađi rang matrice

.

Riješenje. Minor drugog reda .

Uokvirujemo ga. Bit će četiri susjedna maloljetnika:

,

,

Dakle, svi granični maloljetnici trećeg reda jednaki su nuli, pa je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).

Primjer 2. Pronađi rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je 1, budući da su svi maloljetnici drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom, kao i u slučajevima graničenja s maloljetnicima u sljedeća dva primjera, dragi studenti su pozvani da se sami uvjere, moguće korištenjem pravila za izračunavanje odrednica), a među maloljetnicima prvog reda, odnosno među elementima matrice, nisu jednaki nuli.

Primjer 3. Pronađi rang matrice

Riješenje. Minor drugog reda ove matrice, u svim minorima trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Stoga je rang ove matrice dva.

Primjer 4. Pronađi rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je 3, budući da je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Nalaženje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)

Već u primjeru 1 može se vidjeti da problem određivanja ranga matrice metodom graničenja s maloljetnicima zahtijeva izračunavanje velikog broja odrednica. Međutim, postoji način da se količina izračuna svede na minimum. Ova se metoda temelji na uporabi elementarnih matričnih transformacija, a naziva se i Gaussova metoda.

Transformacije elementarne matrice shvaćaju se kao sljedeće operacije:

1) množenje bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice s brojem koji nije nula;

2) dodavanje elementima bilo kojeg retka ili bilo kojeg stupca matrice odgovarajućih elemenata drugog retka ili stupca, pomnoženog s istim brojem;

3) zamjena dva reda ili stupca matrice;

4) uklanjanje "nula" linija, odnosno onih, čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija osim jedne.

Teorema. Elementarna transformacija ne mijenja rang matrice. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao do matrice B, tada.

Redci (kolone). Nekoliko redaka (stupaca) naziva se linearno neovisnima ako se niti jedan od njih ne može linearno izraziti u smislu ostalih. Rang sustava redova uvijek je jednak rangu sustava stupaca, a taj se broj naziva rang matrice.

Rang matrice je najviši red svih mogućih maloljetnih osoba koje nisu nula ove matrice. Rang nulte matrice bilo koje veličine je nula. Ako su svi maloljetnici drugog reda nuli, onda je čin jedan i tako dalje.

Rang matrice je dimenzija slike prigušeno ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ ime operatora (im) (A))) linearni operator kojem matrica odgovara.

Obično rang matrice A (\ displaystyle A) označeno zvonio ⁡ A (\ displaystyle \ ime operatora (zvonio) A), r ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rg) A) ili rang ⁡ A (\ displaystyle \ ime operatora (čin) A)... Potonja varijanta tipična je za engleski, dok su prve dvije za njemački, francuski i niz drugih jezika.

Kolegij YouTube

• 1 / 5

  Dopustiti biti pravokutna matrica.

  Zatim, po definiciji, rang matrice A (\ displaystyle A) je:

  Teorem (o ispravnosti definicije činova). Neka svi minorni matrice A m × n (\ displaystyle A_ (m \ puta n)) narudžba k (\ displaystyle k) jednaka nuli ( M k = 0 (\ displaystyle M_ (k) = 0)). Zatim ∀ M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ za sve M_ (k + 1) = 0) ako postoje.

  Povezane definicije

  Svojstva

  • Teorem (o osnovnom molu): Neka bude r = zvonilo ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ naziv operatora (zvonilo) A, M_ (r))- osnovni mol matrice A (\ displaystyle A), zatim:
  • Posljedice:
  • Teorem (o invarijantnosti ranga pod elementarnim transformacijama): Uvedimo zapis za matrice dobivene jedna od druge elementarnim transformacijama. Tada je sljedeća tvrdnja točna: Ako A ∼ B (\ displaystyle A \ sim B), tada su im redovi jednaki.
  • Kronecker - Capellijev teorem: Sustav linearnih algebarskih jednadžbi dosljedan je ako i samo ako je rang njezine glavne matrice jednak rangu njezine proširene matrice. Posebno:
    • Broj glavnih varijabli sustava jednak je rangu sustava.
    • Zajednički sustav bit će određen (njegovo rješenje je jedinstveno) ako je rang sustava jednak broju svih njegovih varijabli.
  • Silvestrova nejednakost: Ako A i B matrice veličina m x n i n x k, tada
  zvonilo ⁡ A B ≥ zvonilo ⁡ A + zvonilo ⁡ B - n (\ displaystyle \ ime operatora (rang) AB \ geq \ ime operatora (zvonilo) A + \ ime operatora (zvonilo) B -n)

  Ovo je poseban slučaj sljedeće nejednakosti.

  • Frobenijeva nejednakost: Ako su AB, BC, ABC dobro definirani, tada
  zvonilo ⁡ A B C ≥ zvonilo ⁡ A B + zvonilo ⁡ B C - zvonilo ⁡ B (\ displaystyle \ ime operatora (rang) ABC \ geq \ ime operatora (rang) AB + \ ime operatora (zvonilo) BC- \ ime operatora (zvonilo) B)

  Linearna transformacija i rang matrice

  Neka bude A (\ displaystyle A)- matrica veličina m × n (\ displaystyle m \ puta n) preko polja C (\ displaystyle C)(ili R (\ displaystyle R)). Neka bude T (\ displaystyle T)- odgovarajuća linearna transformacija A (\ displaystyle A) u standardnoj osnovi; znači da T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = Ax). Rang matrice A (\ displaystyle A) je dimenzija raspona vrijednosti transformacije T (\ displaystyle T).

  Metode

  Postoji nekoliko metoda za pronalaženje ranga matrice:

  • Metoda elementarne transformacije
  Rang matrice jednak je broju redova koji nisu nula u matrici nakon smanjenja u stupnjeviti oblik pomoću elementarnih transformacija nad redovima matrice.
  • Metoda maloljetnih graničara
  Neka matrica A (\ displaystyle A) pronađeno manje od nule k (\ displaystyle k)-naredba M (\ displaystyle M)... Uzmite u obzir sve maloljetnike (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-th reda, uključujući (graniči) minor M (\ displaystyle M); ako su svi jednaki nuli, onda je rang matrice k (\ displaystyle k)... Inače, među graničnim maloljetnicima postoji jedan od nule, pa se cijeli postupak ponavlja.

  Bilo koja matrica A narudžba m × n može se promatrati kao zbirka m redni vektori ili n vektori stupaca.

  Po činu matrice A narudžba m × n je najveći broj linearno neovisnih vektora stupaca ili redaka vektora.

  Ako je rang matrice A jednako je r, onda je napisano:

  Pronalaženje ranga matrice

  Neka bude A matrica proizvoljnog reda m× n... Da biste pronašli rang matrice A na nju primijeniti Gaussovu metodu eliminacije.

  Imajte na umu da ako je u nekoj fazi isključenja zaokret jednak nuli, zamijenit ćemo ovu liniju s linijom u kojoj zaokret nije nula. Ako se ispostavi da ne postoji takav redak, prijeđite na sljedeći stupac itd.

  Nakon izravnog poteza uklanjanja Gaussa, dobivamo matricu čiji su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Osim toga, mogu postojati nulti linijski vektori.

  Broj vektora reda koji nije nula bit će rang matrice A.

  Razmotrimo sve ovo jednostavnim primjerima.

  Primjer 1.

  Pomnoženje prvog retka s 4 i dodavanje u drugi red i množenje prvog reda s 2 te dodavanje u treći redak imamo:

  

  Drugi redak se množi s -1 i dodaje trećem retku:

  

  Dobili smo dva reda različita od nule i stoga je rang matrice 2.

  Primjer 2.

  Pronađi rang sljedeće matrice:

  

  Pomnožite prvi redak s -2 i dodajte drugom retku. Slično, nuliramo elemente trećeg i četvrtog retka prvog stupca:

  

  Nultirajte elemente trećeg i četvrtog retka drugog stupca dodavanjem odgovarajućih redaka u drugi redak pomnožen s -1.